专题02 一次方程组（思维导图+2重点+7题型12类型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

专题02 一次方程组 知识点 1 ： 解一次方程组 知识点2： 一次方程组实际应用 1. 列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等. 2. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 1. 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 注：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 题型归纳 【题型1 已知一元二次方程的解求参数】 1．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）已知是方程组的解，那么的值为多少？ 【答案】1 【分析】本题考查方程组的解，根据方程组的解满足方程代入得到新方程组，求出a、b的值，再代入所求代数式即可得到答案． 【详解】解：将代入原方程组得， ， 即：， 由得：，∴; 将代入②得：， 解得：， ∴ ∴． 2．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，以及了二元一次方程（组）的解，通过解方程组求解x，y是解题的关键． 根据题意将和联立组成方程组，解方程组可求解x，y值，再将x，y值代入代入方程可得关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解；∵关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解， ①②，得 ， 把代入①，得， ， 把，代入，得 ， 解得 3．（22-23七年级下·四川资阳·期中）方程组的解是 ，求 ． 【答案】 【分析】把方程组的解代入原方程组，然后用一个未知数表示出另外两个未知数的值，再代入所求代数式． 【详解】解：把代入方程组， 得， ②①得：， 将代入①得：， 解得．     所以． 【点睛】此题较复杂，解答此题的关键是把一个未知数当做已知，表示出另外两个未知数，便可求解． 4．（22-23七年级下·吉林·阶段练习）小明在解关于x、y的二元一次方程组时，正确解得 求△和*分别代表的数． 【答案】△和*分别代表的数为， 【分析】将代入，求得，进而即可求解． 【详解】解：依题意，将代入， ， 解得：，则 ∴； ∴△和*分别代表的数为，． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 【题型2 一次方程组的特殊解法】 5．（2024七年级下·浙江·专题练习）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答这个题目． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是利用换元法解二元一次方程组．可以根据丙的方法求解，把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决． 【详解】解：所求方程组可变形为：，两方程相加得： ，① 根据第一组方程的解可得：，两方程相加得：，② 由①②得：，解得：． 原方程组的解为：． 6．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）阅读探索： 知识累计：解方程组 解：设，，原方程组可变为， 解方程组得，即，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组： (2)能力运用：已知关于，的方程组的解为，求出关于，的方程组的解． 【答案】(1)，详见解析 (2)，详见解析 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点， （1）根据换元法设，，进行求解计算即可； （2）根据换元法设，，进行求解计算即可． 熟练掌握运算法则是解决问题的关键． 【详解】（1）解：设，， ∴原方程组可变为：， 解得：， 即， 解得：； （2）设，， ∴所求方程组可变为： ∴可得， ∴解得：． 7．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值． (1)按照小云的方法，x的值_____，y的值为______；m的值为______． (2)请按照小辉的思路求出m的值． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握消元以及整体代入的思想方法是解答本题的关键． （1）根据题意列方程组求解即可； （2）利用整体代入的方法求解即可． 【详解】（1）解：，得， 把代入①得， 解得， 将，代入②得， 解得：， 故答案为：； （2），得， 即， 解得：． 【题型3 一次方程组错解复原问题】 满分技法：看错方程组中某个方程的系数,所得的解既是方程组中看错系数的方程的解,也是方程组中没有看错系数的方程的解,把解代入没有看错系数的方程中，构建新的方程组,然后解方程组. 8．（23-24七年级下·山东日照·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为． (1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把错看成了1；乙把错看成了1 (2) 【分析】 此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组等知识． （1）分别将两组解代入方程组，求出正确的与的值，以及错误与的值即可； （2）将正确的与的值代入方程组，确定出方程组，求出解即可． 【详解】（1） 解：将，代入方程组得 ， 解得：， 将，代入方程组得 ， 解得：， ∴甲把错看成了1；乙把错看成了1； （2） 解：根据（1）得正确的，， 则方程组为， 解得：． 9．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，小红和小明两人共同解方程组 根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值． 【答案】0 【分析】本题主要考查二元一次方程组解的定义，解决本题的关键是将已知方程组的解代入方程进行求解． 根据题意将代入方程②求出b，把代入①求出a，最后代入代数式求值． 【详解】解：∵小明看错了方程①中的，所以满足方程②， 即，解得， ∵小红看错了方程②中的，所以满足方程①， 即，解得， ∴． 10．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）嘉嘉和淇淇同解一个关于x，y的二元一次方程组，嘉嘉把方程①抄错，求得方程组的解为，淇淇把方程②抄错，求得方程组的解为． (1)求m和n的值； (2)求方程组的正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法、加减消元法、代入消元法是正确解答的关键． （1）由于嘉嘉把方程①抄错，求得解满足方程②，淇淇把方程②抄错，求得的解满足方程①，进而求出、的值， （2）将原方程组变为，进而求出、的值得出正确的答案． 【详解】（1）嘉嘉把方程①抄错，求得解为， 满足方程②， 即； 又淇淇把方程②抄错，求得的解为， 满足方程①， 即； 因此有， 解得； （2）所以原方程组可变为， 即， ①②得， ， 解得， 把代入①得，， 解得， 原方程组的正确的解为． 【题型4 已知一次方程组解的情况求参数】 11．（23-24七年级下·山东淄博·期中）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程组的方法，代入消元法和加减消元法，即可． （1）根据题意，得到，解出方程组的解，即可； （2）根据（1）中方程组的解，代入，求出，的值，即可． 【详解】（1）∵关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解 ∴ 令 由得，， 解得：； 把代入式，则 解得：； ∴方程组的解为：． （2）∵方程组的解为：， ∴把代入中， ∴， 化简得：， 由得，； 由得，， 解得：； 把代入式，则， 解得：； ∴． 12．（23-24七年级下·山东德州·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的值． 【答案】． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解；先利用加减消元法得到，进而得到方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：， 由得③， ∴， 由得，解得， 将代入③得，解得， ∴， 将代入①得， 解得． 13．（11-12七年级下·北京·单元测试）二元一次方程组的解x，y的值相等，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，根据的解x，y的值相等，求出x、y的值，然后再代入求值即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解x，y的值相等， ∴， 解得：， 把代入得：， 解得：． 14．（23-24七年级下·四川内江·期中）已知关于x、y的方程组的解满足，． (1)求a的取值范围． (2)化简：． 【答案】(1) (2)5 【分析】此题考查了解方程组，由方程组的解的情况求参数，化简绝对值， （1）解方程组得，，由，，得，解得； （2）利用（1）化简绝对值计算即可． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∵，， ∴， 解得； （2）由（1）得， ∴， ∴． 【题型5 一次方程组同解问题】 15．（23-24七年级下·广东惠州·期中）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解是使每个方程左右两边相等的未知数的值． （1）根据已知条件，重新把不含有a、b的两个方程联立成方程组，利用加减消元法求出x、y的值即可； （2）把（1）中求出的，分别代入和，得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b，再代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：， 得：， 把代入得：， ∴方程组的解为：； （2）把（1）中所求的，分别代入和得： ， 得：， 得：， 把代入得：， ∴ ． 16．（23-24七年级下·河南周口·期中）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解，求，的值． 【答案】， 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，先由题意得到，解方程组求出，先后代入和即可求出，的值． 【详解】解：根据题意可得方程组 ①＋②得，， 解得， 把代入①得，， 解得， ∴ 把代入得，， 解得， 把，，代入得，， 解得， ∴， 17．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）已知关于、的方程组． (1)试用含的式子表示方程组的解； (2)若上述方程组的解也是方程组的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，同解方程组问题： （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）根据题意可得，解方程得到，进而得到，据此求出n的值即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为； （2）解：∵上述方程组的解也是方程组的解， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型6 解三元一次方程组】 18．（23-24七年级下·四川眉山·期中）解方程组 【答案】 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组后两个方程消元后，与第一个方程联立求出与的值，进而求出的值，即可确定出方程组的解． 【详解】解：， 得：， 由③，代入得：， 解得：， 将代入③得：， 将，代入①得：， 则方程组的解为． 19．（23-24七年级下·全国·假期作业）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用消元法解方程组即可； （1）加减消元法解方程组即可 （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得：； ，得：； ，得：，解得：， 把代入⑤，得：，解得：， 把，代入③，得：，解得：， ∴方程组的解为：； （2） ，得：， ，得：，解得：； 把代入①，得：，解得：； 把代入②，得：，解得：， ∴方程组的解集为：． 【题型7一次方程组的实际应用】 【类型一】方案问题 20．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）干佛山、趵突泉、大明湖并称济南三大风景名胜区，为了激发学生个人潜能和团队精神，某学校组织学生去千佛山开展素质拓展活动．已知千佛山景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠．某班教师加学生一共去了50人，门票共需810元． (1)这个班参与活动的教师和学生各多少人？（应用二元一次方程组解决） (2)该班在购买活动奖品时，A奖品每件20元，B奖品每件50元，如果准备用200元购买，A，B两种奖品（200元恰好用完，两种奖品都有），请你帮班级设计出购买A，B两种奖品的购买方案． 【答案】(1)参与活动的教师有 4 人，学生有 46 人 (2)购买A种奖品5件，购买B种奖品2件 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用， （1）设参与活动的教师有人，学生有人，根据某班教师与学生一共去了50人，门票共需810元建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买种奖品件，种奖品件，则，根据均为正整数进行分析即可得． 【详解】（1）解：设这个班参与活动的教师人，学生人， 由题意得：， 解得， 答：这个班参与活动的教师4人，学生46人． （2）解：设购买种奖品件，种奖品件， 由题意得：， 则， 均为正整数， ， 答：购买种奖品5件，种奖品2件． 【点睛】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，正确建立方程组和方程是解题关键． 21．（2024七年级下·浙江·专题练习）某商场计划拨款万元从厂家购进台电视机，已知厂家生产三种不同号的电视机，出厂价分别为：甲种每台元，乙种每台元，丙种每台元． (1)若商场计划同时只购进其中两种不同型号的电视机，并且正好用完拨款．请你给出所有可行的采购方案． (2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利元、元、元．在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？ 【答案】(1)见解析 (2)方案2 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）利用平均价格总价单价，可求出购进台电视的平均价格为元，结合甲、乙、丙三种电视机的出厂价，可得出必购进甲种电视机，分购进甲、乙两种电视机及购进甲、丙两种电视机两种情况考虑，当购进甲、乙两种电视机时，设购进台甲种电视机，台乙种电视机，根据购进两种电视机共台且共花费元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值；当购进甲、丙两种电视机时，设购进台甲种电视机，台丙种电视机，根据购进两种电视机共台且共花费元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值； （2）利用总利润每台的销售利润购进数量，可分别求出选择各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：购进50台电视的平均价格为（元， 必购进甲种电视机， 当购进甲、乙两种电视机时，设购进台甲种电视机，台乙种电视机， 依题意得：， 解得：； 当购进甲、丙两种电视机时，设购进台甲种电视机，台丙种电视机， 依题意得：， 解得：， 共有两种采购方案， 方案1：购进台甲种电视机，台乙种电视机； 方案2：购进台甲种电视机，台丙种电视机； （2）选择方案1获得的利润为（元； 选择方案2获得的利润为（元． ， 为使获利最多，应选择进货方案2． 22．（23-24七年级下·四川眉山·期中）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形，侧面是相同的长方形，经测量，一张硬纸板有如图4种裁剪方案．方案：剪个侧面；方案：剪个侧面和个底面；方案：剪个侧面和个底面；方案：剪个底面．现有张硬纸板，请你设计一种不浪费纸板的裁剪组合方案，并计算最多可以做多少个盒子？ 【答案】按方案裁剪张，方案裁剪7张组合，最多可以做个盒子 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系．选择方案与方案组合，设按方案裁剪张，按方案裁剪张，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设计1：选择方案与方案组合， 设按方案裁剪张，按方案裁剪张， 根据题意可得：， 解得：， 可做盒子： (个)， 答：按方案裁剪张，方案裁剪张组合，最多可以做个盒子； 设计2：选择裁剪方案、方案组合， 设按方案裁剪张，按方案裁剪张， 根据题意可得：， 解得：， 可做盒子： (个)， 答：按方案裁剪张，方案裁剪张组合，最多可以做个盒子． 【类型二】行程问题 23．（23-24七年级下·山东临沂·期中）小魏和小梁从A、B两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行，出发两人相遇，相遇时小魏比小梁多行，相遇后1h小魏到达B地． (1)求两人的速度分别是多少？ (2)求A、B两地的距离是多少？ 【答案】(1)小魏的速度为，小梁的速度为 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，找到题中的等量关系，列出方程组是解题的关键． （1）设小魏的速度为，小梁的速度为，根据“出发两人相遇，相遇时小魏比小梁多行，相遇后1h小魏到达B地”可列出方程组，求解即可； （2）根据经过相遇时，小魏和小梁走过的路程之和即A、B两地的距离，即可求解； 【详解】（1）设小魏的速度为，小梁的速度为， 则由题意得：， 解得 答：小魏的速度为，小梁的速度为． （2）根据题意可知，A、B两地的距离为经过相遇时，小魏和小梁走过的路程之和，即： 答：A、B两地的距离是． 24．（23-24七年级下·山东聊城·期中）某同学从甲地骑自行车出发去乙地，他先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达乙地，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度走平路，回到甲地，共用去55分钟，求从甲地到乙地路程是多少千米？ 【答案】9千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，先设平路为千米，坡路为千米，依题意，列式，再解方程，即可作答． 【详解】解：设平路为千米，坡路为千米，根据题意得： 解得 故（千米）． 答：从甲到乙的路程是9千米． 25．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时． (1)求水流速度和AB两地之间的距离； (2)若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，问两地相距多少千米？ 【答案】(1)水流速度为5千米/时，两地相距120千米 (2)相距千米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程或方程组． （1）设水流速度为x千米/时，两地相距y千米，则轮船在顺水中的速度为千米/时，在逆水中的速度为千米/时，根据等量关系列出方程组，解方程组即可； （2）设相距m千米，根据轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设水流速度为x千米/时，两地相距y千米，则轮船在顺水中的速度为千米/时，在逆水中的速度为千米/时，根据题意得： ， 解得：， 答：水流速度为5千米时，两地相距120千米． （2）解：设相距m千米，根据题意得： 答：相距千米． 【类型三】工程问题 26．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）为拓展办学空间，凤中教育集团总校的新食堂正在紧锣密鼓的装修，其中由甲、乙两个装修组同时铺设地面． (1)甲装修组每天比乙装修组多铺设20平方米，两组每天可共铺设地面80平方米，求甲、乙两个装修组每天各铺设地面多少平方米？ (2)已知两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，若甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，求甲、乙装修组施工一天的工时费分别是多少元？ 【答案】(1)甲组每天铺设50平方米，乙组每天铺设30平方米 (2)甲组施工一天的工时费为3000元，乙组施工一天的工时费为1400元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设甲组每天铺设平方米，乙组每天铺设平方米．利用两组每天可共铺设地面80平方米，再建立方程求解即可； （2）设甲组施工一天的工时费为元，乙组施工一天的工时费为元．结合两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，再建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：设甲组每天铺设平方米，乙组每天铺设平方米． ， ， ∴乙组每天铺设（平方米）， 答：甲组每天铺设50平方米，乙组每天铺设30平方米． （2）设甲组施工一天的工时费为元，乙组施工一天的工时费为元． ， 得：， 答：甲组施工一天的工时费为3000元，乙组施工一天的工时费为1400元． 27．（2024七年级下·全国·专题练习）某工程队共有120人，分别在甲、乙两工地施工．由于工程需要，现从甲工地调18人去乙工地，这时两工地施工的人数刚好相等，求调动前甲、乙两工地各有多少人． 【答案】调动前甲工地有78人，乙工地有42人 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设调动前甲工地有人，乙工地有人，根据“工程队共有120人，调动之后人数相等”列方程组求解即可． 【详解】解：设调动前甲工地有人，乙工地有人．根据题意，得 ， 解得． 答：调动前甲工地有78人，乙工地有42人． 【类型四】数字问题 28．（23-24七年级下·甘肃天水·阶段练习）一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位数字比个位数字大2得到方程，根据将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66可得方程，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 由题意得，， 解得， ∴原来的两位数为． 29．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数． 【答案】这个两位数为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y.可列方程组求解． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y．      依题意，得：      解得：                   答：这个两位数为． 30．（23-24七年级上·江苏·周测）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的倍小，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数是． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，列出方程组，是解答本题的关键． 根据题意设个位数字为，十位数字为，利用已知条件列出二元一次方程组，由此得到答案． 【详解】解：根据题意设： 个位数字为，十位数字为， ， 解得：， 原来的两位数为：， 答：原来的两位数是． 【类型五】年龄问题 31．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 32．（23-24七年级下·山西临汾·期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    【答案】小亮今年的年龄为8岁 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小亮今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为岁，根据题意列出方程并求解，即可求解． 【详解】解：设小亮今年的年龄为岁，爸爸今年的年龄为岁 由题意可得： 解得： 答：小亮今年的年龄为8岁． 33．（21-22七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 【类型六】分配问题 34．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 【答案】可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将300张长方形硬纸片和150张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】解：设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 【类型七】销售利润问题 35．（23-24七年级下·福建厦门·期中）社区为了居民做好垃圾分类，准备增加，两种型号的垃圾箱．通过市场调研得知：购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元．该社区需购买个型垃圾箱和个型垃圾箱，共花费多少元？ 【答案】元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设型垃圾箱的单价是元，型垃圾箱的单价是元，根据“购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元”，可列出关于的二元一次方程组，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设型垃圾箱的单价是元，型垃圾箱的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 元． 答：该社区需购买个型垃圾箱和个型垃圾箱，共花费元． 【类型八】和差倍分问题 36．（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）3月12日，六安市轻工中学开展“植初心树未来”主题活动，先安排32人去拔草，18人去植树，后又增派19人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和植树的人数各是多少？ 【答案】支援拔草的有人，支援植树的有人 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设支援拔草的有人，支援植树的有人，根据增派19人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设支援拔草的有人，支援植树的有人， ∴，解得：， 答：支援拔草的有人，支援植树的有人． 37．（2023·海南·模拟预测）为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人搬运1小时比B型机器人搬运2小时少40kg，且A型机器人搬运3小时和B型机器人搬运2小时共1000kg，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料？ 【答案】A、B两种型号机器人每小时分别搬运，． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设A、B两种型号机器人每小时分别搬运，，根据A型机器人搬运1小时比B型机器人搬运2小时少，且A型机器人搬运3小时和B型机器人搬运2小时共，列出方程组进行计算即可． 【详解】解：设A、B两种型号机器人每小时分别搬运，，由题意，得： ， 解得：． 答：A、B两种型号机器人每小时分别搬运，． 【类型九】几何问题 38．（23-24七年级下·吉林长春·期中）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积． 【答案】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出和的值，即可解决问题．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得：， 解得：， 每个小长方形的面积为， 阴影部分的面积． 39．（23-24七年级下·河北邢台·期中）小明手中有块长方形的硬纸片，如果长减少，宽增加，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等． (1)求这个长方形的长、宽各是多少？ (2)现小明想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为，面积为的新长方形纸片，试判断小明能否成功，并说明理由． 【答案】(1)这个长方形的长、宽分别是， (2)小明不能成功，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用： （1）根据长方形、正方形的概念以及面积公式列出方程组，解方程组即可； （2）根据长方形的面积公式列出方程，根据实际情况判断即可． 【详解】（1）解：设长方形的长为，宽为， 则，解得，， 答：这个长方形的长、宽分别是，； （2）解：小明不能成功． 理由：设裁出的长为，宽为， 则，解之得，， 裁出的长为，宽为， 21和18都大于16， 小明不能成功． 【类型十】图表问题 40．（23-24七年级下·河北唐山·期中）某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况： 第一组 第二组 答错次数 1 2 答对次数 7 9 最终分数 40 45 (1)求x，y的值； (2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？ 【答案】(1)， (2)第三组答对8次 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程解决实际问题． （1）根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出二元一次方程组，求解即可； （2）设第三组答对n次，根据根据“最终得分＝基本分－答错失分＋答对得分”即可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得：， 解得： （2）解：设第三组答对n次，根据题意，得 ， 解得， 答：第三组答对8次． 41．（23-24七年级下·全国·课后作业）某学校现有甲种材料，乙种材料，制作A，B两种型号的工艺品，用料情况如下表： 需甲种材料 需乙种材料 1件A型工艺品 1件B型工艺品 (1)利用这些材料能制作A，B两种型号的工艺品各多少件？ (2)若每千克甲、乙两种材料分别为8元和10元，问：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费多少钱？ 【答案】(1)制作A种型号的工艺品30件，B种型号的工艺品20件 (2)306元，264元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，另外还涉及有理数混合运算的应用； （1）设利用这些材料能制作A种型号的工艺品x件，B种型号的工艺品y件，根据等量关系：两种工艺品所需甲种材料为，两种工艺品所需乙种材料为，列出二元一次方程组，并求解即可； （2）分别计算出制作1件两种型号的工艺品需要的费用，则可计算出制作A，B两种型号的工艺品各需材料费． 【详解】（1）解：设利用这些材料能制作A种型号的工艺品x件，B种型号的工艺品y件， 由题意，得，解得； 答：利用这些材料能制作A种型号的工艺品30件，B种型号的工艺品20件． （2）解：制作1件A种型号的工艺品需要（元）， 则制作A种型号的工艺品需材料费（元）； 制作1件B种型号的工艺品需要（元）， 则制作B种型号的工艺品需材料费（元）． 答：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费306元，264元． 【类型十一】古代问题 42．（23-24七年级下·江苏南通·期中）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九十四文钱，甜果苦果买九十个，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，试问甜苦果各几个？ 【答案】甜果24个，苦果66个． 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，解题的关键在于能够准确读懂题意．设甜果x个，苦果y个，列方程组求解即可． 【详解】解：设甜果x个，苦果y个． 解得： 答：甜果24个，苦果66个． 43．（18-19七年级下·安徽阜阳·期末）《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何?”译文“今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个、小容器个，总容量为斛，问大、小容器的容积各是多少斛?” 【答案】大容器的容积是斛，小容器的容积是斛 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系．设大容器的容积是斛，小容器的容积是斛，根据题意列出方程组即可求解． 【详解】解：设大容器的容积是斛，小容器的容积是斛， 依题意，得：， 解得：， 答：大容器的容积是斛，小容器的容积是斛． 44．（2024七年级下·江苏·专题练习）古老的“鸡兔同笼问题”：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？”这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题．它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣．怎样来解答这个问题呢？ 【答案】鸡有23只，兔有12只 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设鸡有只，兔有只，根据鸡、兔共有35个头、94只脚，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设鸡有只，兔有只， 依题意得：， 解得：， 答：鸡有23只，兔有12只． 【类型十二】其它问题 45．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）用含药和的两种防腐药水，配置含药的防腐药水，两种药水各需多少千克？ 【答案】需要含药的药水，含药的药水 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设需要含药的药水，含药的药水，根据“配置含药的防腐药水”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】解：设需要含药的药水，含药的药水， 由题意得：， 解得：， ∴需要含药的药水，含药的药水． 46．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）2024年火爆出圈的“广西小砂糖橘哈尔滨游学”刺激了哈尔滨的旅游热，A班组织学生前往哈尔滨“冰雪大世界”开展研学旅游活动，在此次活动中，学生随老师一同到该景区游玩.A班老师了解到，成人票每张240元，学生票按成人票五折优惠．他们一共23人，分别购票共需门票3120元． (1)问A班一共去了几名老师？几名学生？ (2)若B班有5名老师和24名学生，B班也想一起去“冰雪大世界”研学旅游，他们上网查到：如果按团体票（30人及以上）购票，每人按成人票六折优惠，请你帮他们算一算，怎样购票更省钱． 【答案】(1)A班一共去了3名老师，20名学生 (2)22名学生和8名老师购团体票，剩余学生购学生票更省钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用、有理数的乘法运算的应用，关键是理解题意，正确列出方程组． （1）设A班一共去了x名老师，y名学生，根据他们一共23人，分别购票共需门票3120元，建立方程组，求解即可； （2）根据题意，分别求出不同购票方式所需的费用，进而可得结论． 【详解】（1）解：设A班一共去了x名老师，y名学生， 依题意得 解得 答：A班一共去了3名老师，20名学生； （2）解：若两个班分开购票，共需门票费：（元）， 若两个班合在一起，22名学生和8名老师购团体票，其余学生购学生票，共需门票费：（元） 因为， 所以22名学生和8名老师购团体票，剩余学生购学生票更省钱． 47．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图所示为一块三角形土地，爷爷打算在这块三角形土地上种植，两种不同的花草，其中种植种花草与种植种花草的单位面积的费用之比为．该三角形的一边的长为，此边上的高为，应怎样划分这块土地，才能使种植，两种花草的总费用的比为？ 【答案】在边上取一点，使，连接，把分成两个三角形，在中种植种花草，在中种植种花草． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找出等量关系列方程组是解题的关键．设是上一点，，．根据种植种花草与种植种花草的单位面积的费用之比为．种植，两种花草的总费用的比为列方程求解即可． 【详解】解：如图，设是上一点，，． 根据题意，得 解得 在边上取一点，使，连接，把三角形分成两个三角形，在中种植种花草，在中种植种花草． 过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级下·广东湛江·阶段练习）已知是方程的一个解，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的解的定义，解一元一次方程，把与的值代入方程计算即可求出的值．熟知方程的解是使方程两边相等的未知数的值是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， 解得：， ∴的值是． 故选：C． 2．（23-24七年级下·广东湛江·阶段练习）下列各组数中，是二元一次方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法求出方程的解即可．解题关键是掌握解二元一次方程组的方法，选择合适的方法求解． 【详解】解： ①＋②，得：， 解得：， 把代入②，得：， 解得：， ∴方程组的解为． 故选：A． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）若方程与组有相同的解，则的值为（   ） A．2， B．2， C．3， D．，2 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，由题意得出，求出，从而得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵方程与组有相同的解， ∴， 解得：， 代入其他两个方程得出， 解得：， 故选：C． 4．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，则的值为（    ） A．4 B．1，4 C．1，4，49 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，正确理解是10和15的公约数是关键．先把m看成已知数，解出x，y的值，再根据x，y都是整数和m为正整数确定m的值即可. 【详解】解：， ①＋②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵x，y为整数， ∴或， 解得或或或2， ∵m为正整数， ∴ ∴， 故选：A. 5．（2024·云南德宏·一模）某市为助力新能源汽车产业的健康发展，打造新能源交通生态城市，近几年在全市范围内安装电动汽车充电桩．第一期该市投入资金万元，安装型充电桩个和型充电桩个；第二期又投入万元，安装型充电桩个和型充电桩个．已知这两期安装、两种型号的充电桩单价不变．设安装型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列二元一次方程组；设安装型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元，根据题意列出方程组，即可求解． 【详解】解：设安装型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元，根据题意得， 故选：D． 6．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）利用加减消元法解方程组，嘉嘉说：要消去x，可以将；淇淇说：要消去y，可以将，关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（    ） A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉和淇淇都对 D．嘉嘉和淇淇都不对 【答案】B 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．加减消元法适用于未知数的系数互为相反数或者系数相同，据此分析即可． 【详解】解：嘉嘉：将，可得，不可以消去x， 淇淇：，可得，可以消去y， 故嘉嘉不对，淇淇对， 故选：B． 7．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知是方程组的解，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查了三元一次方程组的解，以及解三元一次方程组，方程组的解为能使方程组中每一个方程左右两边相等的未知数的值，本题的技巧性比较强，求不要求出，及的值，而是整体求出．由题意，可将，及的值代入方程组得到关于，，的方程组，将方程组中三个方程左右两边相加，变形后即可求出的值． 【详解】解：由题意将代入方程组得： ， 得：， 即， ∴． 故选：． 8．（23-24七年级下·广东汕头·阶段练习）已知，则等于（    ） A．2024 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的乘方，二元一次方程求解，根据得，解方程组，代入计算即可． 【详解】解：根据， 得， 解得， 故， 故选：B． 9．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，先将方程组变形为，再根据题意得到，即可求出最后结果． 【详解】解：方程组可变为：， ∵关于x．y的方程组的解为， ∴， 由①得：， 解得：， 由②得：， ∴方程组的解是， 故选：B． 10．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）某份资料计划印制1000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制150份/h，B印刷机印制200份/h．两台印刷机完成该任务共需6h．甲、乙两人所列的方程组如图所示，下列判断正确的是（    ） 甲 解：设A印刷机印制了xh， B印刷机印制了yh． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了m份， B印刷机印制了n份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．根据两台印刷机印刷的时间和数量分别建立方程组进行判断即可得到答案． 【详解】解：设印刷机印制了，印刷机印制了， 两台印刷机完成该任务共需， ， 总共印制1000份， ， ， 设印刷机印制了份，印刷机印制了份， 总共印制1000份， ， 印刷机印制150份，印刷机印制200份， 印刷机印制小时，印刷机印制小时， ， ， 故选：C． 二、填空题 11．（23-24七年级下·广东湛江·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的概念，熟知方程中含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数为1次的整式方程是二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的概念可得且，求解即可得答案． 【详解】由题意，得且， 解得：， 故答案为：． 12．（2024·湖北宜昌·模拟预测）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少．答：人数为 人，买鸡的钱数为 钱． 【答案】 9 70 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：合理设未知数，理解题意列出方程．直接根据题中信息：每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱，列出方程求解，即可得到答案． 【详解】解：设人数为x，买鸡的钱数为y， 根据题意，得， 解得， 故答案为：9，70． 13．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）若是二元一次方程的一组解，则的值为 ． 【答案】2021 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，代数式求值，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，据此利用整体代入法代值计算即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴， 故答案为：2021． 14．（23-24七年级下·山东淄博·期中）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，设长方体木块长、宽，桌子的高为，根据图①和图②列出方程组求解即可． 【详解】解：设长方体木块长、宽，桌子的高为， 由题意得，， 解得， ∴桌子的高度等于， 故答案为：． 15．（2024·重庆·三模）如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“胜利数”．将“胜利数”的千位数字与十位数字对调后，再将这个四位数的百位去掉，这样得到的三位数记为，记，例如：四位数1729，∵，∴1729不是“胜利数”，又如：四位数5432，∵，∴5432是“胜利数”，.若能被7整除，令，则所有满足条件的之和是 ；若对于“胜利数”，在能被7整除的情况下，记，则当取得最大值时，“胜利数”是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是数的整除，乘法分配律的灵活应用，二元一次方程的正整数解问题，由，可得能被7整除，再分类讨论即可．清晰的分类讨论是解本题的关键． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵能被7整除， ∴能被7整除， 当时，，则； 当时，，（舍去）或，则； 当时，，（舍去）或（舍去）， 当时，（舍去） 当时，，，则； 当时，或，则或； 当时，，，则； 当时，，，则； ∴满足条件的之和是为； 要使得最大，则， ∴当，，时，最大值为， 当，，时，最大值为， 当，，时，最大值为， 综上所述，当，，时，最大，这时“胜利数”是； 故答案为：，； 三、解答题 16．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）解方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解此题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由②得：， 将③代入①得：， 解得：， 将代入③得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：整理得：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 17．（2024·河北廊坊·二模）篮球赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜场得分，负场得分．小组积分赛中，每个队伍要进行场比赛． (1)队胜了场，那么他们负了 场，积分是 分． (2)队总积分为分，那么队胜负场数分别是多少？ 【答案】(1)，； (2)队胜了场，负了场． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组解决问题． （1）由题意知队负了场，再由积分规则计算即可得到队积分为分； （2）设队胜了场，负了场，由等量关系列方程组求解即可解得答案． 【详解】（1）解：每个队伍要进行场比赛， 队胜了场，负了（场）， （分）， 队积分为分， 故答案为：，； （2）解：设队胜了场，负了场， 由题意可得，解得， 答：队胜了场，负了场． 18．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把看错了，得，试求出，，的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，正确理解定义是解题的关键． 把，代入方程即可得到一个关于，的方程组，即可求得，的值，把代入方程即可求得的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 把代入方程，得到：， 解得：． 故，，． 19．（23-24七年级下·广东广州·期中）关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？请说明理由； (2)方程组的解x与y具有“邻好关系”，求k的值． 【答案】(1)x与y具有“邻好关系”，理由见解析 (2)2 【分析】本题考查了解二元一次方程组的应用．正确的解二元一次方程组是解题的关键． （1）代入消元法解二元一次方程组，然后判断是否满足，进行作答即可； （2）加减消元法求得，由x与y具有“邻好关系”，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：x与y具有“邻好关系”，理由如下； ， 将代入②得，， 解得，， 将代入①得，， ∴， ∵， ∴x与y具有“邻好关系”； （2）解：， 得，， ∵x与y具有“邻好关系”， ∴， 解得，， ∴k的值为2． 20．（2024七年级下·浙江·专题练习）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答这个题目． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是利用换元法解二元一次方程组．可以根据丙的方法求解，把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决． 【详解】解：所求方程组可变形为：，两方程相加得： ，① 根据第一组方程的解可得：，两方程相加得：，② 由①②得：，解得：． 原方程组的解为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一次方程组 知识点 1 ： 解一次方程组 知识点2： 一次方程组实际应用 1. 列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等. 2. 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 1. 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案． 注：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 题型归纳 【题型1 已知一元二次方程的解求参数】 1．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）已知是方程组的解，那么的值为多少？ 2．（22-23七年级上·江苏盐城·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，求m的值． 3．（22-23七年级下·四川资阳·期中）方程组的解是 ，求 ． 4．（22-23七年级下·吉林·阶段练习）小明在解关于x、y的二元一次方程组时，正确解得 求△和*分别代表的数． 【题型2 一次方程组的特殊解法】 5．（2024七年级下·浙江·专题练习）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答这个题目． 6．（23-24七年级下·河北廊坊·阶段练习）阅读探索： 知识累计：解方程组 解：设，，原方程组可变为， 解方程组得，即，解得，此种解方程组的方法叫换元法． (1)拓展提高：运用上述方法解下列方程组： (2)能力运用：已知关于，的方程组的解为，求出关于，的方程组的解． 7．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）数学活动课上，小云和小辉在讨论老师出示的一道二元一次方程组的问题： 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足③，求m的值． (1)按照小云的方法，x的值_____，y的值为______；m的值为______． (2)请按照小辉的思路求出m的值． 【题型3 一次方程组错解复原问题】 看错方程组中某个方程的系数,所得的解既是方程组中看错系数的方程的解,也是方程组中没有看错系数的方程的解,把解代入没有看错系数的方程中，构建新的方程组,然后解方程组. 8．（23-24七年级下·山东日照·期中）在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得解为；乙看错了方程组中的b，得解为． (1)甲把a错看成了什么？乙把b错看成了什么？ (2)求出原方程组的正确解． 9．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，小红和小明两人共同解方程组 根据以上他们的对话内容，请你求出的正确值，并计算的值． 10．（23-24七年级下·河北石家庄·阶段练习）嘉嘉和淇淇同解一个关于x，y的二元一次方程组，嘉嘉把方程①抄错，求得方程组的解为，淇淇把方程②抄错，求得方程组的解为． (1)求m和n的值； (2)求方程组的正确的解． 【题型4 已知一次方程组解的情况求参数】 11．（23-24七年级下·山东淄博·期中）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 12．（23-24七年级下·山东德州·期中）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的值． 13．（11-12七年级下·北京·单元测试）二元一次方程组的解x，y的值相等，求k的值． 14．（23-24七年级下·四川内江·期中）已知关于x、y的方程组的解满足，． (1)求a的取值范围． (2)化简：． 【题型5 一次方程组同解问题】 15．（23-24七年级下·广东惠州·期中）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 16．（23-24七年级下·河南周口·期中）已知关于，的二元一次方程组与方程组有相同的解，求，的值． 17．（23-24七年级下·福建泉州·阶段练习）已知关于、的方程组． (1)试用含的式子表示方程组的解； (2)若上述方程组的解也是方程组的解，求的值． 【题型6 解三元一次方程组】 18．（23-24七年级下·四川眉山·期中）解方程组 19．（23-24七年级下·全国·假期作业）解方程组： (1) (2) 【题型7一次方程组的实际应用】 【类型一】方案问题 20．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）干佛山、趵突泉、大明湖并称济南三大风景名胜区，为了激发学生个人潜能和团队精神，某学校组织学生去千佛山开展素质拓展活动．已知千佛山景区成人票每张30元，学生票按成人票五折优惠．某班教师加学生一共去了50人，门票共需810元． (1)这个班参与活动的教师和学生各多少人？（应用二元一次方程组解决） (2)该班在购买活动奖品时，A奖品每件20元，B奖品每件50元，如果准备用200元购买，A，B两种奖品（200元恰好用完，两种奖品都有），请你帮班级设计出购买A，B两种奖品的购买方案． 21．（2024七年级下·浙江·专题练习）某商场计划拨款万元从厂家购进台电视机，已知厂家生产三种不同号的电视机，出厂价分别为：甲种每台元，乙种每台元，丙种每台元． (1)若商场计划同时只购进其中两种不同型号的电视机，并且正好用完拨款．请你给出所有可行的采购方案． (2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利元、元、元．在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？ 22．（23-24七年级下·四川眉山·期中）用长方形硬纸板做长方体盒子，底面为正方形，侧面是相同的长方形，经测量，一张硬纸板有如图4种裁剪方案．方案：剪个侧面；方案：剪个侧面和个底面；方案：剪个侧面和个底面；方案：剪个底面．现有张硬纸板，请你设计一种不浪费纸板的裁剪组合方案，并计算最多可以做多少个盒子？ 【类型二】行程问题 23．（23-24七年级下·山东临沂·期中）小魏和小梁从A、B两地同时出发，小魏骑自行车，小梁步行，沿同条路线相向匀速而行，出发两人相遇，相遇时小魏比小梁多行，相遇后1h小魏到达B地． (1)求两人的速度分别是多少？ (2)求A、B两地的距离是多少？ 24．（23-24七年级下·山东聊城·期中）某同学从甲地骑自行车出发去乙地，他先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达乙地，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度走平路，回到甲地，共用去55分钟，求从甲地到乙地路程是多少千米？ 25．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时． (1)求水流速度和AB两地之间的距离； (2)若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，问两地相距多少千米？ 【类型三】工程问题 26．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）为拓展办学空间，凤中教育集团总校的新食堂正在紧锣密鼓的装修，其中由甲、乙两个装修组同时铺设地面． (1)甲装修组每天比乙装修组多铺设20平方米，两组每天可共铺设地面80平方米，求甲、乙两个装修组每天各铺设地面多少平方米？ (2)已知两个装修组同时施工8天，共需要工时费35200元，若甲组单独施工6天，乙组单独施工12天，共需要工时费用34800元，求甲、乙装修组施工一天的工时费分别是多少元？ 27．（2024七年级下·全国·专题练习）某工程队共有120人，分别在甲、乙两工地施工．由于工程需要，现从甲工地调18人去乙工地，这时两工地施工的人数刚好相等，求调动前甲、乙两工地各有多少人． 【类型四】数字问题 28．（23-24七年级下·甘肃天水·阶段练习）一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？ 29．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是8，个位数字与十位数字交换后所得新数比原数大．求这个两位数． 30．（23-24七年级上·江苏·周测）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的倍小，求原来的两位数． 【类型五】年龄问题 31．（23-24七年级下·河南洛阳·期中）某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 32．（23-24七年级下·山西临汾·期中）根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    33．（21-22七年级下·云南·期中）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【类型六】分配问题 34．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 【类型七】销售利润问题 35．（23-24七年级下·福建厦门·期中）社区为了居民做好垃圾分类，准备增加，两种型号的垃圾箱．通过市场调研得知：购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元．该社区需购买个型垃圾箱和个型垃圾箱，共花费多少元？ 【类型八】和差倍分问题 36．（23-24九年级下·安徽六安·阶段练习）3月12日，六安市轻工中学开展“植初心树未来”主题活动，先安排32人去拔草，18人去植树，后又增派19人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和植树的人数各是多少？ 37．（2023·海南·模拟预测）为做好复工复产，某工厂用A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人搬运1小时比B型机器人搬运2小时少40kg，且A型机器人搬运3小时和B型机器人搬运2小时共1000kg，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料？ 【类型九】几何问题 38．（23-24七年级下·吉林长春·期中）在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积． 39．（23-24七年级下·河北邢台·期中）小明手中有块长方形的硬纸片，如果长减少，宽增加，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等． (1)求这个长方形的长、宽各是多少？ (2)现小明想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为，面积为的新长方形纸片，试判断小明能否成功，并说明理由． 【类型十】图表问题 40．（23-24七年级下·河北唐山·期中）某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况： 第一组 第二组 答错次数 1 2 答对次数 7 9 最终分数 40 45 (1)求x，y的值； (2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？ 41．（23-24七年级下·全国·课后作业）某学校现有甲种材料，乙种材料，制作A，B两种型号的工艺品，用料情况如下表： 需甲种材料 需乙种材料 1件A型工艺品 1件B型工艺品 (1)利用这些材料能制作A，B两种型号的工艺品各多少件？ (2)若每千克甲、乙两种材料分别为8元和10元，问：制作A，B两种型号的工艺品各需材料费多少钱？ 【类型十一】古代问题 42．（23-24七年级下·江苏南通·期中）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九十四文钱，甜果苦果买九十个，甜果一个三文钱，苦果三个一文钱，试问甜苦果各几个？ 43．（18-19七年级下·安徽阜阳·期末）《九章算术》是我国古代经典数学著作，奠定了中国传统数学的基本框架，书中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大、小器各容几何?”译文“今有大容器个，小容器个，总容量为斛；大容器个、小容器个，总容量为斛，问大、小容器的容积各是多少斛?” 44．（2024七年级下·江苏·专题练习）古老的“鸡兔同笼问题”：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？”这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题．它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣．怎样来解答这个问题呢？ 【类型十二】其它问题 45．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）用含药和的两种防腐药水，配置含药的防腐药水，两种药水各需多少千克？ 46．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）2024年火爆出圈的“广西小砂糖橘哈尔滨游学”刺激了哈尔滨的旅游热，A班组织学生前往哈尔滨“冰雪大世界”开展研学旅游活动，在此次活动中，学生随老师一同到该景区游玩.A班老师了解到，成人票每张240元，学生票按成人票五折优惠．他们一共23人，分别购票共需门票3120元． (1)问A班一共去了几名老师？几名学生？ (2)若B班有5名老师和24名学生，B班也想一起去“冰雪大世界”研学旅游，他们上网查到：如果按团体票（30人及以上）购票，每人按成人票六折优惠，请你帮他们算一算，怎样购票更省钱． 47．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图所示为一块三角形土地，爷爷打算在这块三角形土地上种植，两种不同的花草，其中种植种花草与种植种花草的单位面积的费用之比为．该三角形的一边的长为，此边上的高为，应怎样划分这块土地，才能使种植，两种花草的总费用的比为？ 过关检测 一、单选题 1．（23-24七年级下·广东湛江·阶段练习）已知是方程的一个解，那么的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东湛江·阶段练习）下列各组数中，是二元一次方程组的解的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）若方程与组有相同的解，则的值为（   ） A．2， B．2， C．3， D．，2 4．（23-24七年级下·河北沧州·阶段练习）已知m为正整数，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，则的值为（    ） A．4 B．1，4 C．1，4，49 D．无法确定 5．（2024·云南德宏·一模）某市为助力新能源汽车产业的健康发展，打造新能源交通生态城市，近几年在全市范围内安装电动汽车充电桩．第一期该市投入资金万元，安装型充电桩个和型充电桩个；第二期又投入万元，安装型充电桩个和型充电桩个．已知这两期安装、两种型号的充电桩单价不变．设安装型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）利用加减消元法解方程组，嘉嘉说：要消去x，可以将；淇淇说：要消去y，可以将，关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（    ） A．嘉嘉对，淇淇不对 B．嘉嘉不对，淇淇对 C．嘉嘉和淇淇都对 D．嘉嘉和淇淇都不对 7．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知是方程组的解，则的值是（   ） A．3 B．2 C．1 D．无法确定 8．（23-24七年级下·广东汕头·阶段练习）已知，则等于（    ） A．2024 B．1 C． D． 9．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）关于x．y的方程组的解为，则方程组的解是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）某份资料计划印制1000份，该任务由A，B两台印刷机先后接力完成，A印刷机印制150份/h，B印刷机印制200份/h．两台印刷机完成该任务共需6h．甲、乙两人所列的方程组如图所示，下列判断正确的是（    ） 甲 解：设A印刷机印制了xh， B印刷机印制了yh． 由题意，得 乙 解：设A印刷机印制了m份， B印刷机印制了n份． 由题意，得 A．只有甲列的方程组正确 B．只有乙列的方程组正确 C．甲和乙列的方程组都正确 D．甲和乙列的方程组都不正确 二、填空题 11．（23-24七年级下·广东湛江·阶段练习）已知是关于x，y的二元一次方程，则 ． 12．（2024·湖北宜昌·模拟预测）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少．答：人数为 人，买鸡的钱数为 钱． 13．（23-24七年级下·山西朔州·阶段练习）若是二元一次方程的一组解，则的值为 ． 14．（23-24七年级下·山东淄博·期中）利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于 ． 15．（2024·重庆·三模）如果一个四位数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“胜利数”．将“胜利数”的千位数字与十位数字对调后，再将这个四位数的百位去掉，这样得到的三位数记为，记，例如：四位数1729，∵，∴1729不是“胜利数”，又如：四位数5432，∵，∴5432是“胜利数”，.若能被7整除，令，则所有满足条件的之和是 ；若对于“胜利数”，在能被7整除的情况下，记，则当取得最大值时，“胜利数”是 ． 三、解答题 16．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）解方程组 (1)； (2)． 17．（2024·河北廊坊·二模）篮球赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜场得分，负场得分．小组积分赛中，每个队伍要进行场比赛． (1)队胜了场，那么他们负了 场，积分是 分． (2)队总积分为分，那么队胜负场数分别是多少？ 18．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把看错了，得，试求出，，的值． 19．（23-24七年级下·广东广州·期中）关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”，请完成下面问题： (1)方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？请说明理由； (2)方程组的解x与y具有“邻好关系”，求k的值． 20．（2024七年级下·浙江·专题练习）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答这个题目． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$