专题03一元二次方程的实际应用（思维导图+6重点+7题型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

专题03 一元二次方程的实际应用 知识点1：列方程解应用题的一般步骤 1. 简称：审、设、列、解、验、答. 2. 注意事项：第1步“审”一般不写出来,但它是最重要的一步，只有审清题意,明确已知量、未知量及它们之间的关系，才能准确地列出方程,第5步“验”一般只写出验根后的结果即可，过程不必详述，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不合题意的根舍去. 知识点2：解决几何问题 解决此类问题的关键是把实际问题抽象成几何问题，并根据条件列方程计算,注意检验解出的结果是否符合实际. 知识点3：解决增长(降低)率问题 解决此类问题有两个关键点:（1）增长(降低)率是不变的,每次都一样;（2）要注意增长(降低)次数，每次的增长(降低)基数是不同的，每一次的增长(降低)量也不同. 知识点4：解决数字问题 解决此类题的关键是厘清数量关系，若题目涉及多个数的和、差、倍、分等关系,可先设其中任意一个数为x，则其他数可用含x的代数式表示出来，再根据题目条件列方程求解. 知识点5：解决销售问题 解决此类问题的关键是熟练掌握等量关系:“每件利润－售价＝进价”“每件利润×销售量＝总利润”. 知识点6：解决动点问题 解决这类问题的关键是先设出未知数，再根据题意和图形表示出有关的量，最后由几何图形面积公式构造方程求解. 题型归纳 【题型1 传播问题】 满分技法 传播问题要认真审题，找到题目的基准量和比较量，利用“基准量×（1±百分率）2=比较量”进行列方程求解. 1．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有64台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了(　　) A．12人 B．12人 C．13人 D．14人 【题型2 增长率问题】 满分技法 (1)平均增长率是指增长数与基数的比.若基数为a,增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x)，两次增长后的值为a(1+x)2.依此类推,n 次增长后的值为a(1+x)n (2)平均降低率是指降低数与基数的比.若基数为a,降低率为,则一次降低后的值为a(1-x),两次降低后的值为a(1-x)2.依此类推,n次降低后的值为a(1-x)n 4．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）安徽省年人均是7.03万元，年人均是7.68万元．设人均年平均增长率是，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）2024年春节档电影《热辣滚烫》的票房高开低走，正月初一票房约为4.23亿，因受到同期其他电影的影响，票房走低，正月初三票房约为亿，若每天票房的下降率相同，设为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）某市2023年的生产总值比2022年增长了，预计2024年比2023年增长．若这两年年平均增长率为x，则满足的关系是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）据初步统计，合肥园博园自2023年9月26日开园至12月26日，累计接待游客约632万人，第1个月接待游客约为105万人，如果每月比上月增长的百分数为相同的x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某食品加工厂第一季度的销售额为万元，第三季度的销售额为万元，则该食品加工厂第二、三季度销售额的平均增长率为 ． 【题型3 与图形有关的问题】 满分技法 图形问题要定位清晰未知数，并利用等量关系列方程并求出所求数值. 9．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）阿进同学有一块长， 宽的长方形纸板，他想制作一个有盖的长方体盒子．为了合理使用材料，他设计了如图所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形．如果裁剪并折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状相同），那么裁去的左侧正方形的边长是（    ）      A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某学校开辟一块矩形的蔬菜种植基地，该基地两边靠着一个直角围墙如图（围墙的长足够长），另两边和由总长为80米长的篱笆组成． (1)若蔬菜种植基地的面积为1200平方米，求的长； (2)能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 11．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）《劳动教育》成为一门独立的课程，我校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为米），用长为米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽米的小门，供同学们进行劳动实践． (1)若设菜地的宽为米，___________米（用含的代数式表示）； (2)求当为何值时，围成的菜地面积为平方米； (3)要想围成菜地面积为平方米，可能吗？请计算说明理由． 12．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，而且这三块长方形区域的面积相等，设的长度为．    (1)______； (2)的长度为______m（用含有的代数式表示）； (3)当长方形区域的面积为时，求的长度． 13．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．               图1                                          图2 (1)如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若该收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 【题型4 数字问题】 满分技法 数字问题不算难，巧妙设元是关键 正确而巧妙地设出未知数，一般采用如下的间接设元法: (1)三个连续整数的表示:一般设中间一个数是工,则其余两个数分别为x-1,x+1. (2)三个连续偶数或三个连续奇数的两种表示:①设中间偶(奇)数为x,则三个连续偶(奇)数可表示为 x-2,x,x十2.②三个连续偶数可以表示为2x-2,2x，2x十2;三个连续奇数可以表示为2x-3,2x-1,2x+1. (3)两位数的表示方法:若十位、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为10a十b. (4)三位数的表示方法:若百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数可表示为100a十10b+c 14．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 15．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）两个连续奇数的积为，若设其中较小的奇数为，则可列方程为 ，这两个数分别为 ． 16．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数． 【题型5 营销问题】 满分技法 销售问题常用公式： (1)利润＝售价－进价，利润率＝； (2)打折后的价格=原价×打折数×； (3)单位利润×数量＝总利润，单位售价×数量＝总售价; (4)售价=进价×(1＋利润率); (5)总利润=每件利润×销售量=总收入－总支出. 17．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件20元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每周的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系． (1)求每周的销售量（件）与每件的售价（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围） (2)物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的，该带货主播销售这种防护品每周的总利润要想达到3360元，那么每件的售价应定为多少元？ 18．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某汽车销售公司4月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量之间有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该部汽车的进价为万元，每多售出辆，所有售出的汽车进价每辆均降低万元，月底汽车生产厂家根据销售公司的销售量一次性返利给销售公司，销售量在辆以内含辆，每辆返利万元；若当月销售量在辆以上，每辆返利万元． (1)若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元； (2)如果该公司把该品牌汽车的售价定为万元辆，并计划当月盈利万元，那么需要销售多少辆汽车？提示：盈利=销售利润+返利) 19．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）某商场销售某种冰箱，每台进货价为3000元，市场调研表明：当销售价为3500元/台时，平均每天能销售10台；而当销售价每降低20元时，平均每天就能多售出1台．该商场为了减少库存，让利于顾客，且想使这种冰箱的销售利润平均每天达到6000元，那么每台冰箱应降价多少元？ 20．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）“道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销售，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让市民得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【题型6 动态几何问题】 满分技法 解决动点问题的通用策略： 动点问题是动态几何问题最常见的形式之一，解决动点问题要先分析出动点的运动特点，包括起始位置、终止位置、运动方向、运动轨迹、运动速度和运动时间，再结合具体的几何图形，运用相关知识列方程求解,注意对所求结果要进行检验，看是否符合题意。 21．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图中，，，．点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：经过几秒，的面积等于 22．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为 (1) cm， cm；(用含x的式子表示) (2)若的面积为，求x的值． 23．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 24．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知中，，点P从点A开始沿边以每秒的速度移动，点Q从点C开始沿以每秒的速度移动，如果分别从A、C两点同时出发，经几秒时间使的面积等于？ 25．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，点B在射线上，过点B作射线，点C在射线上，且，点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是，与直线相交于点D，设点P的运动时间为，的面积为． (1)当点在射线上时，，求的值． (2)求出关于的函数关系式． (3)当点运动多少秒时，． 【题型7 图表信息题】 满分技法 解决图表信息题策略： 1. 仔细阅读题目，理解题目要求和所给图表的内容。 2. 提取关键信息并分析数据关系.分析不同数据之间的关联和差异，理解它们之间的因果关系或相关性。对于复杂的图表，可以尝试将数据转化为表格形式，以便更清晰地分析数据关系。 3. 构建数学模型.根据题目要求和所提取的信息，构建合适的数学模型或公式。使用数学模型进行计算或推理，得出题目的答案。 26．（21-22八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 过关检测 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某城市美术馆今年1月份接待游客10万人，3月份接待游客12.1万人，则这两个月接待游客人数的月平均增长率为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投入5亿元，设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具，据某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售200辆，第一季度共销售该品牌电动自行车662辆，设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，则x满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）电影《热辣滚烫》讲述了宅家多年的女孩杜乐莹（由贾玲饰演）在遇到拳击教练昊坤（由雷佳音饰演）后，如何克服生活挑战，重拾自我，开启全新人生的故事．2024年春节（2月10日）一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约4亿元，以后每月票房按相同的增长率增长，历时2个月，至4月10最后一天公映，累计票房收入达34.6亿元，若把平均每月的增长率记作，则方程正确的为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得，据此可得，最佳乐观系数的值等于（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·安徽·期中）2021年“房住不炒”第三次出现在政府报告中，明确了要稳地价、稳房价、稳预期．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企业连续降价两次后的平均价格是降价之前的，则平均每次降价的百分率为 ． 7．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，把一块长为，宽为的长方形硬纸板的四个角减去四个相同的小正方形，然后把硬纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列方程为 ．    8．（22-23八年级下·安徽六安·期中）《安徽省电动自行车管理条例》自2023年3月1日起施行．《条例》规定，驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标准．某商店以每件元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的．若商店计划每周销售该头盔获利元，则每件头盔的售价应为 元． 9．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，点O是矩形内一点，则点O到四个顶点的距离满足关系式，若点O在对角线，，．则 ．    10．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：按照这个规定，解决下列问题： （1） ． （2）关于x的方程（其中）的解为 ． 11．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）某水果店以20元/千克的价格新进-批水果，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售价格x（元千克）之间的函数图像是一条线段，如图所示． (1)该水果店想在销售成本不超过1500元的情况下，使销售利润达到1400元，销售价格应定为多少元？ (2)在（1）条件下，该水果店为了五一期间促销，经过两次降价将销售价格定为72.9元千克且全部售完，求平均每次降价的百分比． 12．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某电商在某短视频平台上直播带货，已知该电商销售的生活用品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商承诺直播间价格不高于110元件．根据之前的市场调研，商家发现当售价为110元件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． (1)当日销售量为30件时，该生活用品的售价为______元/件； (2)求出该生活用品日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数表达式； (3)若要尽可能多的让利于顾客，同时销售该生活用品每天获利1200元，则该生活用品每件售价应定为多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程的实际应用 知识点1：列方程解应用题的一般步骤 1. 简称：审、设、列、解、验、答. 2. 注意事项：第1步“审”一般不写出来,但它是最重要的一步，只有审清题意,明确已知量、未知量及它们之间的关系，才能准确地列出方程,第5步“验”一般只写出验根后的结果即可，过程不必详述，但此步骤必不可少，一定要充分利用题目中的条件把不合题意的根舍去. 知识点2：解决几何问题 解决此类问题的关键是把实际问题抽象成几何问题，并根据条件列方程计算,注意检验解出的结果是否符合实际. 知识点3：解决增长(降低)率问题 解决此类问题有两个关键点:（1）增长(降低)率是不变的,每次都一样;（2）要注意增长(降低)次数，每次的增长(降低)基数是不同的，每一次的增长(降低)量也不同. 知识点4：解决数字问题 解决此类题的关键是厘清数量关系，若题目涉及多个数的和、差、倍、分等关系,可先设其中任意一个数为x，则其他数可用含x的代数式表示出来，再根据题目条件列方程求解. 知识点5：解决销售问题 解决此类问题的关键是熟练掌握等量关系:“每件利润－售价＝进价”“每件利润×销售量＝总利润”. 知识点6：解决动点问题 解决这类问题的关键是先设出未知数，再根据题意和图形表示出有关的量，最后由几何图形面积公式构造方程求解. 题型归纳 【题型1 传播问题】 满分技法 传播问题要认真审题，找到题目的基准量和比较量，利用“基准量×（1±百分率）2=比较量”进行列方程求解. 1．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮就会有64台电脑被感染．设每轮感染中平均一台电脑可感染台，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解决此题的关键． 设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑．根据等量关系：经过两轮感染后就会有64台电脑被感染求解即可． 【详解】解：每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 列方程得：， 即． 故选：C． 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支．已知1个主干长出的枝干和小分支的总数是56，则这种植物每个枝干长出小分支的个数是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意找出等量关系是解题关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据题意可列出关于x的方程，再求解即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去），， ∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8． 故选：C． 3．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了(　　) A．12人 B．12人 C．13人 D．14人 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；传染源为人，每次传播人，第一轮传播后，感染的人数一共为人，人则成为第二轮的传染源，因此第二轮感染的人数为人，根据两轮感染的总人数即可列出方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 根据题意，得， 解得：或(舍去)， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人． 故选：D． 【题型2 增长率问题】 满分技法 (1)平均增长率是指增长数与基数的比.若基数为a,增长率为x,则一次增长后的值为a(1+x)，两次增长后的值为a(1+x)2.依此类推,n 次增长后的值为a(1+x)n (2)平均降低率是指降低数与基数的比.若基数为a,降低率为,则一次降低后的值为a(1-x),两次降低后的值为a(1-x)2.依此类推,n次降低后的值为a(1-x)n 4．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）安徽省年人均是7.03万元，年人均是7.68万元．设人均年平均增长率是，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用2023年人均 年人均年平均增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：． 5．（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）2024年春节档电影《热辣滚烫》的票房高开低走，正月初一票房约为4.23亿，因受到同期其他电影的影响，票房走低，正月初三票房约为亿，若每天票房的下降率相同，设为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：每天票房的下降率相同，设为， 根据题意得． 故选：C． 6．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）某市2023年的生产总值比2022年增长了，预计2024年比2023年增长．若这两年年平均增长率为x，则满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程，设2022年为元，再利用两种方式求出2024年建立方程即可得． 【详解】设2022年为元， 由题意得：， 整理得：， 故选：D． 7．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）据初步统计，合肥园博园自2023年9月26日开园至12月26日，累计接待游客约632万人，第1个月接待游客约为105万人，如果每月比上月增长的百分数为相同的x，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设每月比上月增长的百分数为相同的x，则第2个月接待游客约为万人，第3个月接待游客约为万人，再根据3个月累计接待游客约632万人列出对应的方程即可． 【详解】解：设每月比上月增长的百分数为相同的x， 由题意得，， 故选：C． 8．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）某食品加工厂第一季度的销售额为万元，第三季度的销售额为万元，则该食品加工厂第二、三季度销售额的平均增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 设第二、三季度销售额的平均增长率为，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设第二、三季度销售额的平均增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴第二、三季度销售额的平均增长率为， 故答案为：． 【题型3 与图形有关的问题】 满分技法 图形问题要定位清晰未知数，并利用等量关系列方程并求出所求数值. 9．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）阿进同学有一块长， 宽的长方形纸板，他想制作一个有盖的长方体盒子．为了合理使用材料，他设计了如图所示的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形．如果裁剪并折出底面积为的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状相同），那么裁去的左侧正方形的边长是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设裁去左侧正方形的边长为，则折成的长方体盒子的底面长为，再根据矩形面积计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设裁去左侧正方形的边长为，则折成的长方体盒子的底面长为， 由题意得，        整理得：， 解得： (不合题意，舍去)          ∴折成的有盖盒子，裁去左侧的正方形边长是， 故选：D． 10．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某学校开辟一块矩形的蔬菜种植基地，该基地两边靠着一个直角围墙如图（围墙的长足够长），另两边和由总长为80米长的篱笆组成． (1)若蔬菜种植基地的面积为1200平方米，求的长； (2)能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)的长为20米或60米 (2)不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式， （1）设的长为米，则的长为米，依题意列出方程，解方程即可求解； （2）根据题意，列出方程，由方程解的情况即可得解； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决此题的关键． 【详解】（1）设的长为米，则的长为米， 根据题意，得， 整理，得， 解得：， 答：的长为20米或60米． （2）不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， ， 该方程无实数根， 不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地． 11．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）《劳动教育》成为一门独立的课程，我校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为米），用长为米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽米的小门，供同学们进行劳动实践． (1)若设菜地的宽为米，___________米（用含的代数式表示）； (2)求当为何值时，围成的菜地面积为平方米； (3)要想围成菜地面积为平方米，可能吗？请计算说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据各边之间的关系，可得出长为米； （2）根据围成的菜地面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可； （3）根据菜地面积若为平方米，即可得出关于的一元二次方程，利用根的判别式即可判断． 【详解】（1）解：∵篱笆的总长为米，菜地的前端各设计了两个宽米的小门，且菜地的宽为米， ∴长为米． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故当围成的菜地面积为平方米时，宽为米 （3）解：不能围成面积为平方米的菜地，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 即不能围成面积为平方米的菜地． 12．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块长方形区域，而且这三块长方形区域的面积相等，设的长度为．    (1)______； (2)的长度为______m（用含有的代数式表示）； (3)当长方形区域的面积为时，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据题意，四边形，四边形，四边形都是矩形，得到，，根据题意，得到，，列式计算即可． （2）根据，计算即可； （3）根据题意，得，解方程计算即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）设，根据题意， 得四边形，四边形，四边形都是矩形， 设，， 根据题意，得，， ∴, ∴, 解得， 故 故答案为：． （2）根据(1),得，，， ∴， ∴， 故答案为：． （3）根据题意，得， 整理，得， 解得， 答：的长度为． 13．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）有两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板．               图1                                          图2 (1)如图1，把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若该收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长． (2)如图2，把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒．若和两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为．有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请通过计算判断是否能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 【答案】(1)2cm (2)不能，详见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设剪去的小正方形的边长为，则折成的无盖收纳盒的底面为长，宽为的长方形，根据该无盖收纳盒的底面积为，可列出关于的一元二次方程求解； （2）设剪去小长方形的宽为，则折成的有盖的长方体收纳盒的底面为长，宽为，根据盒子的底面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出值，将其符合题意的值代入及中，可得出折成的有盖的长方体收纳盒的长、宽、高，再结合玩具机械狗的尺寸大小，即可得出玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，则该收纳盒的底面是长为，宽为的长方形， 根据题意得， 整理得：， 解得（不合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为． （2）（2）不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 理由如下： 设剪去的小长方形的宽为，则该收纳盒的底面是长为，宽为， 根据题意得， 整理得， 解得（不合题意，舍去）， ， 折成的有盖的长方体收纳盒的长为，宽为，高为， ， 不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 【题型4 数字问题】 满分技法 数字问题不算难，巧妙设元是关键 正确而巧妙地设出未知数，一般采用如下的间接设元法: (1)三个连续整数的表示:一般设中间一个数是工,则其余两个数分别为x-1,x+1. (2)三个连续偶数或三个连续奇数的两种表示:①设中间偶(奇)数为x,则三个连续偶(奇)数可表示为 x-2,x,x十2.②三个连续偶数可以表示为2x-2,2x，2x十2;三个连续奇数可以表示为2x-3,2x-1,2x+1. (3)两位数的表示方法:若十位、个位上的数字分别为a,b,则这个两位数可表示为10a十b. (4)三位数的表示方法:若百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c,则这个三位数可表示为100a十10b+c 14．（22-23八年级下·安徽阜阳·期中）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是 【答案】74 【分析】设这个两位数的十位数字为a，个数数字为b，然后根据十位上的数字比个位上的数字的平方少9．如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27列出方程求解即可． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为a，个数数字为b， 由题意得，， 整理得：， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴原来的两位数是74， 故答案为：74． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 15．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）两个连续奇数的积为，若设其中较小的奇数为，则可列方程为 ，这两个数分别为 ． 【答案】 或 【分析】设其中较小的奇数为，则较大的奇数为，根据题意，列方程为，解方程即可． 【详解】设其中较小的奇数为，则较大的奇数为， 根据题意，得， 解得， 当时，； 当时，． 故答案为：，或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握连续奇数的特点是解题的关键． 16．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）一个两位数，十位数与个位数字之和是3，把这个数的个位数与十位数字对调后，得到的新两位数与原来的两位数的乘积为252，求原来的两位数． 【答案】原来的两位数是12或21 【分析】设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“新两位数与原来的两位数的乘积为252”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】设原来的两位数十位上的数字为，则个位上的数字为， 依题意得： ， 整理得：， 解得：，， 当时，， 当时，， 原来的两位数是12或21， 答：原来的两位数是12或21． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【题型5 营销问题】 满分技法 销售问题常用公式： (1)利润＝售价－进价，利润率＝； (2)打折后的价格=原价×打折数×； (3)单位利润×数量＝总利润，单位售价×数量＝总售价; (4)售价=进价×(1＋利润率); (5)总利润=每件利润×销售量=总收入－总支出. 17．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）“抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件20元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每周的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系． (1)求每周的销售量（件）与每件的售价（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围） (2)物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的，该带货主播销售这种防护品每周的总利润要想达到3360元，那么每件的售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)当这种防护品每件的售价定为32元时，该主播每月的总利润可达到3360元． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）由图象可知每月销售量(件)与售价(元)之间为一次函数关系，设其函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）由题意得关于x的一元二次方程，解一元二次方程可得答案． 【详解】（1）解：由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系， 设其函数关系式为， 将，代入，得，解得：， ∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为； （2）解：根据题意得：， 整理得，， 解得，， ∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的， ∴，即， ∴不合题意应舍去， ∴． ∴当这种防护品每件的售价定为32元时，该主播每月的总利润可达到3360元． 18．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某汽车销售公司4月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量之间有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该部汽车的进价为万元，每多售出辆，所有售出的汽车进价每辆均降低万元，月底汽车生产厂家根据销售公司的销售量一次性返利给销售公司，销售量在辆以内含辆，每辆返利万元；若当月销售量在辆以上，每辆返利万元． (1)若该公司当月售出辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元； (2)如果该公司把该品牌汽车的售价定为万元辆，并计划当月盈利万元，那么需要销售多少辆汽车？提示：盈利=销售利润+返利) 【答案】(1) (2)辆 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、一元二次方程的应用； （1）利用每辆汽车的进价（月销售量），即可求出结论； （2）设需要销售辆汽车，则每辆的销售利润为（）万元，分及＞两种情况考虑，利用总利润每辆的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： 万元， 每辆汽车的进价为万元． 故答案为：； （2）设需要销售辆汽车，则每辆的销售利润为万元． 当时，， 整理得：， 解得： (不符合题意，舍去)； 当时，， 整理得：， 解得： (不符合题意，舍去)， (不符合题意，舍去)． 答：需要销售辆汽车． 19．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）某商场销售某种冰箱，每台进货价为3000元，市场调研表明：当销售价为3500元/台时，平均每天能销售10台；而当销售价每降低20元时，平均每天就能多售出1台．该商场为了减少库存，让利于顾客，且想使这种冰箱的销售利润平均每天达到6000元，那么每台冰箱应降价多少元？ 【答案】每台冰箱应降价200元． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每台冰箱应降价x元，根据销售价每降低20元时，平均每天就能多售出1台，销售利润平均每天达到6000元，列出方程进行求解即可．正确的列出方程，是解题的关键． 【详解】解：设每台冰箱应降价x元，根据题意得： ， 解得，， ∵商场为了减少库存，让利于顾客，， ∴， 答：每台冰箱应降价200元． 20．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）“道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销售，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让市民得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔月份及月份的月销售量，得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据“月销售利润每个头盔的利润月销售量”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意，得：， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个， 由题意，得：， 整理，得：， ， 或， 解得：（为让市民得到实惠，舍去），， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 【题型6 动态几何问题】 满分技法 解决动点问题的通用策略： 动点问题是动态几何问题最常见的形式之一，解决动点问题要先分析出动点的运动特点，包括起始位置、终止位置、运动方向、运动轨迹、运动速度和运动时间，再结合具体的几何图形，运用相关知识列方程求解,注意对所求结果要进行检验，看是否符合题意。 21．（23-24八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）如图中，，，．点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：经过几秒，的面积等于 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．设出运动所求的时间，可将和的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出． 【详解】解：设点P，Q运动的时间为，则，，则， 的面积等于， ，即， 解方程得，，， 经过或时，的面积等于． 22．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在长方形中，，点P从点A出发沿以的速度向点B运动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C运动．设运动时间为 (1) cm， cm；(用含x的式子表示) (2)若的面积为，求x的值． 【答案】(1)， (2)1或5 【分析】（1）根据点，的运动速度及时间，即可用含的代数式表示出当运动时间为时，的长度； （2）根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出，的长度；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，，，． 故答案为：；． （2）解：依题意得：， 即， 整理得：， 解得：，． 答：的值为1或5． 23．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）如图，在长方形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度向点B运动，一直到达点B为止，点Q以的速度向点D运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形的面积为？ (2)当t为何值时，线段的长为？ 【答案】(1)当t为5时，四边形的面积为 (2)当t为或时．线段的长为 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确表示运动过程中的相关线段、灵活应用勾股定理构建方程是关键； （1）先表示，．再利用面积公式列方程解题即可； （2）过点Q作于点M，则，表示．．再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当运动时间为时，，． 由题意得， 解得． 答；当t为5时，四边形的面积为． （2）如图，过点Q作于点M，则， 由题意知．． 在中．由勾股定理得， 即， 解得，．经检验符合题意； 答：当t为或时．线段的长为． 24．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知中，，点P从点A开始沿边以每秒的速度移动，点Q从点C开始沿以每秒的速度移动，如果分别从A、C两点同时出发，经几秒时间使的面积等于？ 【答案】2秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设经x秒时间使的面积等于，根据三角形的面积公式列出方程，即可求解． 【详解】解：设经x秒时间使的面积等于，根据题意得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 答：经2秒时间使的面积等于． 25．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，点B在射线上，过点B作射线，点C在射线上，且，点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是，与直线相交于点D，设点P的运动时间为，的面积为． (1)当点在射线上时，，求的值． (2)求出关于的函数关系式． (3)当点运动多少秒时，． 【答案】(1) (2) (3)4秒、6秒或12秒 【分析】本题考查了三角形面积公式和一元二次方程的应用，根据已知进行分类讨论是解题的关键； （1）由题在射线上时，秒，此时，，此时，然后根据三角形面积计算公式计算即可得解； （2）分、，两种情况，根据三角形的面积公式求出关于的函数关系式； （3）由即可列出等式，当秒时，则，当秒时，则，解答得到相应的值即可。 【详解】（1）解：，， 为直角三角形， ， 当点在射线上时，， 点P由点A开始沿射线运动，点Q由点C开始沿射线运动，两点同时出发，速度都是， ，， ， ， ， 整理得：， 解得：（舍去负值）， ； （2），点P、Q运动速度是， 当秒时，P在线段上，此时，， ， 当秒时，P在射线上，此时，， ． 关于的函数关系式为：； （3），， 为直角三角形， ， ， 当秒时，， 整理得：， 解得，． 当秒时，， 整理得：， 解得， (不合题意，舍去)， ∴经过4秒、6秒或12秒时，． 【题型7 图表信息题】 满分技法 解决图表信息题策略： 1. 仔细阅读题目，理解题目要求和所给图表的内容。 2. 提取关键信息并分析数据关系.分析不同数据之间的关联和差异，理解它们之间的因果关系或相关性。对于复杂的图表，可以尝试将数据转化为表格形式，以便更清晰地分析数据关系。 3. 构建数学模型.根据题目要求和所提取的信息，构建合适的数学模型或公式。使用数学模型进行计算或推理，得出题目的答案。 26．（21-22八年级下·安徽池州·期中）如图是2022年5月份的日历，在日历表上可以用一个方框圈出的四个数． (1)若圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为______（用含的代数式表示）； (2)若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数． 【答案】(1)； (2)9． 【分析】（1）设圈出的四个数中，最小的数为，根据日历上两个数之间的关系可得答案； （2）根据最小数与最大数的乘积为105，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】（1）解：设圈出的四个数中，最小的数为，则最大的数为 故答案为： （2）设四个数中，最小数为，根据题意，得. 解得（不符合题意负值舍去） 答：这个最小值为9. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 过关检测 1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某城市美术馆今年1月份接待游客10万人，3月份接待游客12.1万人，则这两个月接待游客人数的月平均增长率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x，根据题意得： ， 解得：（舍去）， 答：这两个月接待游客人数的月平均增长率为． 故选：C 2．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2022年投入3亿元，预计2024年投入5亿元，设教育经费的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，正确理解题意列得方程是解题的关键．设教育经费的年平均增长率为x，则2023年投入亿元，2024年投入亿元，由此得到方程． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 3．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具，据某品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售200辆，第一季度共销售该品牌电动自行车662辆，设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，则x满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据该品牌电动自行车1月份销售200辆，第一季度共销售该品牌电动自行车662辆，列出方程即可． 【详解】解：设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为x，由题意，得： ； 故选B． 4．（23-24八年级下·安徽宣城·期中）电影《热辣滚烫》讲述了宅家多年的女孩杜乐莹（由贾玲饰演）在遇到拳击教练昊坤（由雷佳音饰演）后，如何克服生活挑战，重拾自我，开启全新人生的故事．2024年春节（2月10日）一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约4亿元，以后每月票房按相同的增长率增长，历时2个月，至4月10最后一天公映，累计票房收入达34.6亿元，若把平均每月的增长率记作，则方程正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设平均每天票房的增长率为，根据一元二次方程增长率问题，列出方程即可求解． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， 根据题意得：， 故选：D． 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价，最高销售限价以及实数确定实际销售价格，这里被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数恰好使得，据此可得，最佳乐观系数的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题设条件，由，得到，整理后得到关于最佳乐观系数的方程，求解即可．解题的关键是正解理解题意并掌握一元二次方程的解法． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴． 故选：D． 6．（23-24八年级下·安徽·期中）2021年“房住不炒”第三次出现在政府报告中，明确了要稳地价、稳房价、稳预期．为响应中央“房住不炒”的基本政策，某房企业连续降价两次后的平均价格是降价之前的，则平均每次降价的百分率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设平均每次降价的百分率为，利用经过两次降价后的价格=原价平均每次降价的百分率，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 依题意得：， 解得：(不合题意，舍去)． 故答案为：． 7．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，把一块长为，宽为的长方形硬纸板的四个角减去四个相同的小正方形，然后把硬纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列方程为 ．    【答案】（方程形式不唯一） 【分析】设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：（方程形式不唯一）． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．（22-23八年级下·安徽六安·期中）《安徽省电动自行车管理条例》自2023年3月1日起施行．《条例》规定，驾驶人和搭载人应当规范佩戴安全头盔，同时，针对不规范佩戴安全头盔提出具体的处罚标准．某商店以每件元的价格购进一批安全头盔，经市场调研发现，该头盔每周销售量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数，物价部门规定每件头盔的利润不能超过进价的．若商店计划每周销售该头盔获利元，则每件头盔的售价应为 元． 【答案】 【分析】根据题意，列方程表示每周利润，代入求解即可． 【详解】解：由题意，得 ， 即， 解得，，， ∵每件头盔的利润不能超过进价的， ∴每件头盔的售价不能超过元， 所以舍去， 所以售价应为100元， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的营销问题，理解题意列出方程是解题的关键． 9．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，点O是矩形内一点，则点O到四个顶点的距离满足关系式，若点O在对角线，，．则 ．    【答案】或 【详解】根据、的值计算出的值，即可得到的值，再用表示出，即可得到关于的方程，求解即可． 【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O在对角线上，， ∴， ∴， 整理得， 解得或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确解出的长是解题的关键． 10．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：按照这个规定，解决下列问题： （1） ． （2）关于x的方程（其中）的解为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次根式的性质，一元二次方程的应用，利用分类讨论的思想解决问题是关键 （1）根据实数的大小比较法则和二次根式的性质求解即可； （2）分两种情况讨论：和，根据已知规定列一元二次方程分别求解即可． 【详解】解：（1），，且， ， ， 故答案为：； （2）若，则， 由题意得：， 解得：或（舍）； 若，则， 由题意得：， 解得：或（舍）， 方程的解为或， 故答案为：或． 11．（23-24八年级下·安徽阜阳·阶段练习）某水果店以20元/千克的价格新进-批水果，经调查发现，在一段时间内，销售量（千克）与销售价格x（元千克）之间的函数图像是一条线段，如图所示． (1)该水果店想在销售成本不超过1500元的情况下，使销售利润达到1400元，销售价格应定为多少元？ (2)在（1）条件下，该水果店为了五一期间促销，经过两次降价将销售价格定为72.9元千克且全部售完，求平均每次降价的百分比． 【答案】(1)销售价格应定为90元千克 (2)平均每次降价的百分比是 【分析】本题考查了一次函数的应用及一元二次方程的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为把，代入即可求出，再根据“销售利润达到1400元”列出方程求解，最后分别求出两个销售成本的值，舍去不符合题意的值即可得出答案； （2）设平均每次降价的百分比是m，根据“经过两次降价将销售价格定为72.9元千克且全部售完”列出方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为把， 代入得， 解得， y与x之间的函数关系式为， 根据题意得， 解得，． 当时，销售成本为：， 当时，销售成本为：， 答：销售价格应定为90元/千克． （2）解：设平均每次降价的百分比是m，根据题意得， 解得，（舍去）． 答：平均每次降价的百分比是． 12．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）某电商在某短视频平台上直播带货，已知该电商销售的生活用品的进货价为70元件，为吸引流量，该电商承诺直播间价格不高于110元件．根据之前的市场调研，商家发现当售价为110元件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． (1)当日销售量为30件时，该生活用品的售价为______元/件； (2)求出该生活用品日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数表达式； (3)若要尽可能多的让利于顾客，同时销售该生活用品每天获利1200元，则该生活用品每件售价应定为多少元？ 【答案】(1)105 (2) (3)该生活用品的每件售价应定为90元 【分析】本题考查的是一次函数的应用，一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）根据售价每降低1元，日销售量增加2件，再列式计算即可； （2）由销售量等于原有销售量加上增加的销售量列函数关系式即可； （3）由销售量乘以每件商品的利润再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当日销售量为30件时，该生活用品的售价为元件 （2）根据题意，得， 即． ∵该生活用品的进货价为70元件，且该电商承诺直播间价格不高于110元件， ∴该生活用品日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数表达式为． （3）根据题意，得， 整理．得． 解得，． ∵要尽可能多的让利于顾客， ∴． 答；该生活用品的每件售价应定为90元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$