专题01二次根式（思维导图+3重点+11题型+过关检测）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

专题01 二次根式 知识点1：二次根式的概念 1. 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 2．二次根式有意义的条件 （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 【拓展】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点2：二次根式的性质与化简 1.二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） 2.二次根式的化简： （1）方法： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （2）化简二次根式的步骤： ①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 3．最简二次根式 （1）概念：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （2）最简二次根式的条件：①被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；②被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 知识点3：二次根式的运算 1．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 2．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 3．同类二次根式 （1）定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． （2）方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 4．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 5．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 6．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 7．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/11 16:00:26；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 题型归纳 【题型1 二次根式的定义】 满分技法 判断二次根式，厘清“是”“否”是关键. 1．（2024春•合肥期中）下列各式中，一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一般地，我们把形如的式子叫做二次根式判断即可． 【解答】解：选项，是三次根式，故该选项不符合题意； 选项，是负数，故该选项不符合题意； 选项，2是正数，故该选项符合题意； 选项，时不是二次根式，故该选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键． 2．（2023春•瑶海区期中）下列代数式中，属于二次根式的为　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义得出形如：是二次根式，进而判断即可． 【解答】解：、，，故不是二次根式，故此选项错误； 、，是三次根式，故不是二次根式，故此选项错误； 、，则，故是二次根式，故此选项正确； 、，，故不是二次根式，故此选项错误； 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式定义，利用定义分别判断得出是解题关键． 3．（2021春•庐江县期中）若是整数，则正整数的最小值是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数为7． 【解答】解：，且是整数； 是整数，即是完全平方数； 的最小正整数值为7． 故选：． 【点评】主要考查了乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．二次根式的运算法则：乘法法则．除法法则．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式． 4．（2023春•霍邱县期末）代数式　不一定　是二次根式（填“一定”“一定不”“不一定” 【答案】不一定． 【分析】根据二次根式的定义解答即可． 【解答】解：当时，， 当时，代数式不是二次根式， 代数式不一定是二次根式． 故答案为：不一定． 【点评】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键． 【题型2 二次根式有意义的条件】 满分技法 技法一：求二次根式有意义的条件的一般步骤 第1步:根据二次根式的概念(被开方数是非负数)列不等式(组); 第2步:解这个不等式(组)得到字母的取值范围. 技法二：确定二次根式中字母取值的方法 (1)若二次根式在实数范围内有意义，则被开方数大于或等于 0,列出不等式(组)求解;若二次根式在实数范围内无意义，则被开方数小于0,列出不等式(组)求解. (2)若一个式子的分母是二次根式，则必须满足分母中的被开方数大于0这个条件，从而列不等式(组)求解. 5．（2023春•包河区期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得， 解得， 即的取值范围是． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． 6．（2024春•安庆期中）若，则等于　　 A．1 B．5 C． D． 【答案】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件可以确定的值，进而求出的值，再将、的值代入要求的式子即可． 【解答】解：， 且， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键． 7．（2024春•蜀山区校级期中）若二次根式有意义，则的取值范围　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再解即可． 【解答】解：由题意得：， 解得：． 故选：． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 8．（2024春•铜官区校级期中）若式子在实数范围内有意义，则的值可能为　　 A．2025 B．2023 C． D．2022 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出的范围． 【解答】解：由题意可知：， 解得， 故选：． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，解题的关键是学会构建不等式组解决问题． 【题型3 二次根式的性质与化简】 满分技法 (1)化简二次根式要严格按照，进行. (2)正确区分与的异同点是化简二次根式的关键. (3)化简形如的式子时,一般分两步: 第1步:将其化为的形式; 第2步:根据的取值范围确定去掉绝对值号后的符号. 9．（2024春•庐江县期中）化简的结果正确的是　　 A．3 B． C．4 D． 【分析】根据二次根式的乘法法则得到，然后利用二次根式的性质化简即可． 【解答】解：． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的性质：．也考查了二次根式的乘法法则． 10．（2024春•瑶海区期中）若，则化简的结果是　　 A． B．1 C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质求出的取值范围，再根据二次根式的性质与绝对值的性质化简，然后合并同类项即可得解． 【解答】解：， ， 解得， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，求出的取值范围是解题的关键． 11．（2023春•舒城县校级期中）化简的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【解答】解：原式 ， 故选：． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 12．（2024春•蜀山区期中）下列各式中，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质，化简即可解答． 【解答】解：、，故错误； 、，正确； 、，故错误； 、，故错误； 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟记二次根式的性质． 【题型4 最简二次根式】 满分技法 最简二次根式满足的三个条件： (1)被开方数中不含小数或分母,即被开方数是整数或整式; (2)被开方数中不含指数大于1的因数或因式; (3)分母中不含有根号. 13．（2024春•大观区校级期中）下列二次根式是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的化简方法将每个根式进行化简，判断哪个为最简二次根式即可． 【解答】解：、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意， 故选：． 【点评】本题考查的是最简二次根式，熟知被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式是解题的关键． 14．（2024春•瑶海区期中）在中，最简二次根式有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义解答． 【解答】解：二次根式中只有被开方数不含分母且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式． 故选：． 【点评】本题考查了最简二次根式，熟悉最简二次根式的定义是解题的关键． 15．（2024春•合肥期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：．是最简二次根式，故本选项符合题意； ．的被开方数的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； ．的被开方数中的因数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； ．的被开方数中的因数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式． 【题型5 二次根式的乘除法】 满分技法 技法一：(1)二次根式相乘时,把被开方数和各个根号外面的系数分别相乘，将系数的积作为积的系数，把被开方数相乘的积作为积的被开方数,即,其中.(2)二次根式相乘,被开方数的积中有开得尽方的因数或因式时，一定要开方.(3)有理数中的运算律、运算法则在二次根式的乘法中仍然适用. 技法二：(1)两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结果相乘，即,其中.(2)被开方数相除时,可以用法则“除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数”进行约分，再利用二次根式的乘法法则得出最终结果. 16．（2023春•谯城区期中）下列运算错误的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可． 【解答】解：． ， 则不符合题意； ． ， 则符合题意； ． ， 则不符合题意； ． ， 则不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查二次根式的除法运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握． 17．（2023春•蜀山区校级期中）计算　　． 【答案】． 【分析】直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 18．（2024春•铜官区校级期中）化简：． 【答案】． 【分析】先利用二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了二次根式的化简，二次根式的乘除混合运算．解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则． 【题型6 分母有理化】 满分技法 分母有理化时，分子、分母所乘以的式子叫做分母的有理化因式.分母有理化的关键是确定分母的有理化因式. 19．（2023春•金安区期中）已知，，则，的关系是　　 A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式 【答案】 【分析】求出与的值即可求出答案． 【解答】解：，， ， 故选：． 【点评】本题考查分母有理化，解题的关键是求出与的值，本题属于基础题型． 20．（2024春•蜀山区校级期中）比较大小： 　　．（填“”“ ”或“” 【答案】． 【分析】利用平方差公式把进行分母有理化，再比较大小即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了分母有理化以及实数大小比较，掌握利用平方差公式进行分母有理化的方法是解答本题的关键． 21．（2024春•瑶海区校级期中）已知：，求代数式的值． 【分析】先分母有理化，再代入根据平方差公式和简便计算求值即可． 【解答】解：，， 【点评】考查了分母有理化和代数式求值，注意公式和整体思想的运用可以简化计算． 22．（2022春•迎江区校级期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例， 例，，， （1）　　，　　； （2）请你用含为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的结论，求下列式子的值． ． 【分析】（1）将；分母有理化，有理化因式分别为，； （2）被开方数是两个相邻的数，即，它的有理化因式为； （3）由（1）（2）得，原式，合并可得结果． 【解答】解：（1）； （2） （3） ， ． 【点评】本题考查分母有理化，找规律是解决此题的关键． 23．（2023春•贵池区期中）已知，； （1）求的值； （2）若的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】（1）31； （2）． 【分析】（1）有理化分母化简、的值，再把原式化成，最后代值计算； （2）通过估算求得、，再代值计算． 【解答】解：（1）， ， 原式 ； （2），， 的小数部分是，的小数部分是， ，， ． 【点评】本题考查了求代数式的值，有理化分母，二次根式的性质，关键是有理化分母，估算无理数的大小． 【题型7 同类二次根式】 满分技法 (1)同类二次根式必须同时满足最简二次根式和被开方数相同两个条件.它与根号外面的因数(因式)无关. (2)当两个二次根式不是最简二次根式时，要先化简，再判断. 24．（2023春•蚌埠期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同的叫做同类二次根式，即可解答． 【解答】解：、， 与不是同类二次根式，不符合题意； 、， 与是同类二次根式，符合题意； 、， 与不是同类二次根式，不符合题意； 、， 与不是同类二次根式，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 25．（2024春•瑶海区校级期中）下列二次根式，能与合并的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义即可求解． 【解答】解：， ．，与不是同类二次根式，所以不能与合并，不符合题意； ．，与不是同类二次根式，所以不能与合并，不符合题意； ．，与是同类二次根式，所以能与合并，符合题意； ．，与不是同类二次根式，所以不能与合并，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 26．（2024春•大观区校级期中）若与最简二次根式可以合并，则　2　． 【答案】2． 【分析】根据被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式进行求解即可． 【解答】解：，且与最简二次根式可以合并， ， ； 故答案为：2． 【点评】本题考查的是同类二次根式，熟知同类二次根式的定义是解题的关键． 【题型8 二次根式的加减法】 满分技法 （1）二次根式的加减，实际上只是对同类二次根式的合并，不是同类二次根式的不能合并，但也不能丢弃，它们也是结果的一部分. （2）二次根式的运算过程中,根号外的系数不能是带分数，应化为假分数. （3）在二次根式的运算中，整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则仍然适用. 27．（2023春•长丰县期末）计算：　　． 【答案】． 【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键． 28．（2024春•庐阳区校级期中）计算：． 【答案】． 【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是熟练掌握如何把二次根式化成最简二次根式． 29．（2023春•淮北期末）计算：． 【答案】． 【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键． 【题型9 二次根式的混合运算】 满分技法 二次根式混合运算中的三大妙招： (1)根据算式特点灵活选用乘法公式，并且根据解题需要逆用公式； (2)应用乘法公式时，经常要把算式的一部分作为一个整体套用公式，但一定要注意变形时的符号问题； (3)在乘方和乘法运算中,运用结合律调整运算顺序,也可简化运算. 30．（2024春•镜湖区校级期中）计算的结果是　　 A． B． C． D．1 【答案】 【分析】根据同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、二次根式的乘法法则即可得． 【解答】解：原式 ， 故选：． 【点评】本题考查了同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、二次根式的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 31．（2024春•金安区校级期中）计算　　． 【答案】． 【分析】利用二次根式的混合运算法则和完全平方公式求解即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟知运算法则是解题的关键． 32．（2024春•包河区期中）计算：的结果是　5　． 【分析】运用平方差公式进行计算二次根式的计算就可以得出结论． 【解答】解：原式， ． 故答案为：5 【点评】本题考查了运用平方差公式进行二次根式的计算，解答时观察算式的结构选择合适的方法是解答的关键． 33．（2024春•庐阳区校级期中）计算：． 【答案】． 【分析】分别根据乘法分配律，二次根式的加减法和乘法法则以及绝对值的性质即可计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键． 【题型10 二次根式的化简求值】 满分技法 二次根式的化简与求值往往会运用到“整体代入法”.如果所求代数式中含有某些特殊的整体，这些整体的取值已知或者能够很容易地求出，那么我们就可以将这些整体的取值直接代入求值，从而简化计算过程. 34．（2024春•铜官区校级期中）若，则代数式的值为　　 A．2007 B． C．2024 D． 【答案】 【分析】先将配方得，再将代入原代数式即可求解． 【解答】解：， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用、代数式求值，熟练掌握完全平方公式是本题解题关键． 35．（2024春•瑶海区校级期中）若，，则的值为　　 A．4 B． C．16 D．4或 【答案】 【分析】先判断，的符号．再变形整体代入计算即可． 【解答】解：，， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是根据已知判断，的符号． 36．（2024春•庐江县期中）已知，则代数式的值是 　13　． 【答案】13． 【分析】由，可得，有，即可得． 【解答】解：， ， ， ， 故答案为：13． 【点评】本题考查代数式求值，解题的关键是根据已知变形，求出，再整体代入． 37．（2024春•大观区校级期中）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）194； （2）． 【分析】（1）先将、化简，求出和的值，然后对所求子变形，即可解答本题； （2）根据（1）、的值，对所求式子变形，即可解答本题． 【解答】解：（1），， ，， ，， ； （2）由（1）知，，， 则． 【点评】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 【题型11 二次根式的应用】 满分技法 解规律探究题的一般方法 (1)操作:运用相关知识对给出的算式求出结果; (2)观察与发现:观察操作中所列出的式子或等式,发现其规律; (3)猜想:根据发现的规律进行猜想,得出一般性的结论; (4)应用:运用得出的一般性结论解决问题 38．（2024春•黄山期中）如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【解答】解：两张正方形纸片的面积分别为和， 它们的边长分别为，， ，， 空白部分的面积， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键在于根据正方形的面积求出两个正方形的边长． 39．（2024春•大观区校级期中）我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，为三角形的面积，，若一个三角形的三边长分别为，，，，，且，则值为　　 A． B． C． D．10 【答案】 【分析】依据题意，由海伦秦九韶公式转化得到关于的一元二次方程即可求解． 【解答】解：，， ， ， 即， ， ， 即， 把，，代入得： ， 整理得， 即， 且， ， ， 即， 故选：． 【点评】本题主要考查二次根式的应用，解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握解一元二次方程是关键． 40．（2024春•合肥期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为的盒子底部（如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：设小长方形卡片的长为，宽为， 根据题意得：， 则图②中两块阴影部分周长和是 ． 故选：． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用，整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键． 过关检测 1．（2024春•田家庵区校级期中）下列是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可求解． 【解答】解：、被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、是最简二次根式，该选项符合题意； 、被开方数是小数，不是最简二次根式，该选项不合题意； 、被开方数含有开方开得尽的因数4，不是最简二次根式，该选项不合题意； 故选：． 【点评】本题考查了最简二次根式的定义，关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2．（2024春•庐阳区校级期中）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简后为　　 A．7 B． C． D． 【答案】 【分析】由数轴可知，，可得，，再根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：由数轴可知，， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查实数与数轴，二次根式的性质，熟练掌握数轴上点的特征，二次根式的性质是解题的关键． 3．（2024春•庐阳区校级期中）下列各式中，与是同类二次根式的为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义即可求解． 【解答】解：．，与是同类二次根式，符合题意； ．，与不是同类二次根式，不符合题意； ．，与不是同类二次根式，不符合题意； ．，与不是同类二次根式，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 4．（2024春•田家庵区校级期中）若与最简二次根式能合并，则的值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【分析】，能与合并，则，进而可求出的值． 【解答】解：， 与最简二次根式能合并， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了同类二次根式，熟练掌握最简二次根式的特点是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． 5．（2024春•潘集区期中）计算的结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据幂的乘方与积的乘方，平方差公式的运算法则，进行计算即可解答． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 6．（2024春•田家庵区校级期中）使式子有意义的的取值范围是 　且　． 【答案】且． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【解答】解：由题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键． 7．（2024春•黄山期中）已知，则　2024　． 【答案】2024． 【分析】根据二次根式有意义的条件得，所以，所以可得，即，即可得出答案． 【解答】解： ， ， ， ， ， ． 故答案为：2024． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件和二次根式的化简，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 8．（2024春•瑶海区校级期中）化为最简二次根式为　　． 【分析】根据二次根式的除法，可化简二次根式． 【解答】解：原式， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式，被开方数的分子分母都乘以7，再根据分式的除法，可得答案． 9．（2023春•花山区校级期中）已知，，则　　． 【答案】． 【分析】先求出、，再把原式利用平方差公式变形，代入计算即可． 【解答】解：，， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 10．（2024春•潘集区期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先运算乘法和除法，再运算加减，即可作答； （2）分别运用完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类，即可作答． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，涉及完全平方公式、平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 11．（2023春•颍州区校级期中）已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）31． 【分析】（1）根据二次根式的加法法则、减法法则分别求出，，再根据平方差公式计算； （2）根据完全平方公式计算． 【解答】解：（1），， ，， ； （2） ． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 12．（2024春•瑶海区校级期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； （1）请直接写出第5个等式：　　； （2）利用上述规律，比较与的大小； （3）直接写出　　． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）利用各被开方数与序号数的关系写出第5个等式； （2）利用（1）中等式的规律得到，，然后比较与的大小即可； （3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：（1）第5个等式为； 故答案为：； （2），， ， ， 即； （3）原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/11 15:59:54；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式 知识点1：二次根式的概念 1. 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 2．二次根式有意义的条件 （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 【拓展】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点2：二次根式的性质与化简 1.二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） 2.二次根式的化简： （1）方法： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （2）化简二次根式的步骤： ①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 3．最简二次根式 （1）概念：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． （2）最简二次根式的条件：①被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；②被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 知识点3：二次根式的运算 1．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 2．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 3．同类二次根式 （1）定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． （2）方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 4．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 5．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 6．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 7．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/11 16:00:26；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 题型归纳 【题型1 二次根式的定义】 满分技法 判断二次根式，厘清“是”“否”是关键. 1．（2024春•合肥期中）下列各式中，一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．（2023春•瑶海区期中）下列代数式中，属于二次根式的为　　 A． B． C． D． 3．（2021春•庐江县期中）若是整数，则正整数的最小值是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2023春•霍邱县期末）代数式　 　是二次根式（填“一定”“一定不”“不一定” 【题型2 二次根式有意义的条件】 满分技法 技法一：求二次根式有意义的条件的一般步骤 第1步:根据二次根式的概念(被开方数是非负数)列不等式(组); 第2步:解这个不等式(组)得到字母的取值范围. 技法二：确定二次根式中字母取值的方法 (1)若二次根式在实数范围内有意义，则被开方数大于或等于 0,列出不等式(组)求解;若二次根式在实数范围内无意义，则被开方数小于0,列出不等式(组)求解. (2)若一个式子的分母是二次根式，则必须满足分母中的被开方数大于0这个条件，从而列不等式(组)求解. 5．（2023春•包河区期中）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 6．（2024春•安庆期中）若，则等于　　 A．1 B．5 C． D． 7．（2024春•蜀山区校级期中）若二次根式有意义，则的取值范围　　 A． B． C． D． 8．（2024春•铜官区校级期中）若式子在实数范围内有意义，则的值可能为　　 A．2025 B．2023 C． D．2022 【题型3 二次根式的性质与化简】 满分技法 (1)化简二次根式要严格按照，进行. (2)正确区分与的异同点是化简二次根式的关键. (3)化简形如的式子时,一般分两步: 第1步:将其化为的形式; 第2步:根据的取值范围确定去掉绝对值号后的符号. 9．（2024春•庐江县期中）化简的结果正确的是　　 A．3 B． C．4 D． 10．（2024春•瑶海区期中）若，则化简的结果是　　 A． B．1 C． D． 11．（2023春•舒城县校级期中）化简的结果是　　 A． B． C． D． 12．（2024春•蜀山区期中）下列各式中，正确的是　　 A． B． C． D． 【题型4 最简二次根式】 满分技法 最简二次根式满足的三个条件： (1)被开方数中不含小数或分母,即被开方数是整数或整式; (2)被开方数中不含指数大于1的因数或因式; (3)分母中不含有根号. 13．（2024春•大观区校级期中）下列二次根式是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 14．（2024春•瑶海区期中）在中，最简二次根式有　　个． A．1 B．2 C．3 D．4 15．（2024春•合肥期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【题型5 二次根式的乘除法】 满分技法 技法一：(1)二次根式相乘时,把被开方数和各个根号外面的系数分别相乘，将系数的积作为积的系数，把被开方数相乘的积作为积的被开方数,即,其中.(2)二次根式相乘,被开方数的积中有开得尽方的因数或因式时，一定要开方.(3)有理数中的运算律、运算法则在二次根式的乘法中仍然适用. 技法二：(1)两个二次根式相除，可采用根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的结果相乘，即,其中.(2)被开方数相除时,可以用法则“除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数”进行约分，再利用二次根式的乘法法则得出最终结果. 16．（2023春•谯城区期中）下列运算错误的是　　 A． B． C． D． 17．（2023春•蜀山区校级期中）计算　 　． 18．（2024春•铜官区校级期中）化简：． 【题型6 分母有理化】 满分技法 分母有理化时，分子、分母所乘以的式子叫做分母的有理化因式.分母有理化的关键是确定分母的有理化因式. 19．（2023春•金安区期中）已知，，则，的关系是　　 A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．互为有理化因式 20．（2024春•蜀山区校级期中）比较大小： 　 　．（填“”“ ”或“” 21．（2024春•瑶海区校级期中）已知：，求代数式的值． 22．（2022春•迎江区校级期末）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例， 例，，， （1）　　，　　； （2）请你用含为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律； （3）利用上面的结论，求下列式子的值． ． 23．（2023春•贵池区期中）已知，； （1）求的值； （2）若的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【题型7 同类二次根式】 满分技法 (1)同类二次根式必须同时满足最简二次根式和被开方数相同两个条件.它与根号外面的因数(因式)无关. (2)当两个二次根式不是最简二次根式时，要先化简，再判断. 24．（2023春•蚌埠期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 25．（2024春•瑶海区校级期中）下列二次根式，能与合并的是　　 A． B． C． D． 26．（2024春•大观区校级期中）若与最简二次根式可以合并，则　 　． 【题型8 二次根式的加减法】 满分技法 （1）二次根式的加减，实际上只是对同类二次根式的合并，不是同类二次根式的不能合并，但也不能丢弃，它们也是结果的一部分. （2）二次根式的运算过程中,根号外的系数不能是带分数，应化为假分数. （3）在二次根式的运算中，整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则仍然适用. 27．（2023春•长丰县期末）计算：　 　． 28．（2024春•庐阳区校级期中）计算：． 29．（2023春•淮北期末）计算：． 【题型9 二次根式的混合运算】 满分技法 二次根式混合运算中的三大妙招： (1)根据算式特点灵活选用乘法公式，并且根据解题需要逆用公式； (2)应用乘法公式时，经常要把算式的一部分作为一个整体套用公式，但一定要注意变形时的符号问题； (3)在乘方和乘法运算中,运用结合律调整运算顺序,也可简化运算. 30．（2024春•镜湖区校级期中）计算的结果是　　 A． B． C． D．1 31．（2024春•金安区校级期中）计算　 　． 32．（2024春•包河区期中）计算：的结果是　 　． 33．（2024春•庐阳区校级期中）计算：． 【题型10 二次根式的化简求值】 满分技法 二次根式的化简与求值往往会运用到“整体代入法”.如果所求代数式中含有某些特殊的整体，这些整体的取值已知或者能够很容易地求出，那么我们就可以将这些整体的取值直接代入求值，从而简化计算过程. 34．（2024春•铜官区校级期中）若，则代数式的值为　　 A．2007 B． C．2024 D． 35．（2024春•瑶海区校级期中）若，，则的值为　　 A．4 B． C．16 D．4或 36．（2024春•庐江县期中）已知，则代数式的值是 　 　． 37．（2024春•大观区校级期中）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【题型11 二次根式的应用】 满分技法 解规律探究题的一般方法 (1)操作:运用相关知识对给出的算式求出结果; (2)观察与发现:观察操作中所列出的式子或等式,发现其规律; (3)猜想:根据发现的规律进行猜想,得出一般性的结论; (4)应用:运用得出的一般性结论解决问题 38．（2024春•黄山期中）如图，在矩形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为　　 A． B． C． D． 39．（2024春•大观区校级期中）我国宋代数学家秦九韶的著作《数书九章》中关于三角形的面积公式与古希腊数学家海伦的成果并称“海伦秦九韶公式”．它的主要内容是：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，为三角形的面积，，若一个三角形的三边长分别为，，，，，且，则值为　　 A． B． C． D．10 40．（2024春•合肥期中）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为的盒子底部（如图②，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是　　 A． B． C． D． 过关检测 1．（2024春•田家庵区校级期中）下列是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•庐阳区校级期中）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简后为　　 A．7 B． C． D． 3．（2024春•庐阳区校级期中）下列各式中，与是同类二次根式的为　　 A． B． C． D． 4．（2024春•田家庵区校级期中）若与最简二次根式能合并，则的值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2024春•潘集区期中）计算的结果是　　 A． B． C． D． 6．（2024春•田家庵区校级期中）使式子有意义的的取值范围是 　 　． 7．（2024春•黄山期中）已知，则　 　． 8．（2024春•瑶海区校级期中）化为最简二次根式为　 　． 9．（2023春•花山区校级期中）已知，，则　 　． 10．（2024春•潘集区期中）计算： （1）； （2）． 11．（2023春•颍州区校级期中）已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 12．（2024春•瑶海区校级期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； （1）请直接写出第5个等式：　 　； （2）利用上述规律，比较与的大小； （3）直接写出　 　． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/11 15:59:54；用户：15801716282；邮箱：15801716282；学号：31290231 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$