专题07 数列通项公式与数列求和（考点清单，14题型解读）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019选择性必修第三册）

清单07 数列通项公式与数列求和 【考点题型一】观察法求数列的通项 由数列的前几项求数列的通项公式 （1）各项的符号特征，通过或来调节正负项． （2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系． （3）相邻项(或其绝对值)的变化特征． （4）拆项、添项后的特征． （5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律． 【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法， 蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的. 【例1】（23-24高二下·四川广元·期中）下列不能作为数列的通项公式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·吉林长春·期中）数列，3，，9的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·北京·期中）数列的前四项依次是4，44，444，4444，则数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二下·辽宁大连·月考）数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】由Sn与an的关系求数列通项 已知求的三个步骤： （1）先利用求出. （2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式． （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式， 如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分与两段来写． 【例2】（23-24高二下·广东惠州通·月考）设数列的前项和为，若，则（   ） A．65 B．127 C．129 D．255 【变式2-1】（23-24高二下·河北衡水·月考）已知为等比数列的前项和，，则（   ） A．12 B．24 C．48 D．96 【变式2-2】（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列是正项数列，且，则（    ） A．216 B．260 C．290 D．316 【考点题型三】累加法求数列通项 若，则；……，， 两边分别相加得： 【例3】（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（    ） A．43 B．46 C．37 D．36 【变式3-1】（23-24高二下·宁夏吴忠·月考）已知数列首项为，且，则（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二下·河南·月考）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二下·四川成都·期中）已知数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】累乘法求数列通项 若，则，，……，，， 两边分别相乘得： 【例4】（23-24高二下·河南南阳·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高三上·河南·期中）在数列中，，，，则（    ） A． B．15 C． D．10 【变式4-3】（22-23高二下·广东佛山·期中）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】待定系数法求数列通项 1、形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项． 2、形如 ，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为． 3、形如，通过配凑转化为，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 【例5】（23-24高二上·河北石家庄·期末）设数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知数列满足，且，若，则（    ） A．253 B．506 C．1012 D．2024 【变式5-2】（23-24高二下·河南周口·月考）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．9 B．21 C．45 D．93 【变式5-3】（22-23高二下·江西萍乡·期末）已知正项数列中，，则数列的通项（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】取倒数法求数列通项 对于，取倒数得． 当时，数列是等差数列； 当时，令，则，可用待定系数法求解． 【例6】（23-24高二上·湖北黄冈·月考）已知数列满足递推关系：，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】公式法求和 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 【例7】（23-24高二下·四川成都·期中）等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）设，记为数列前项的和，若，求． 【变式7-1】（23-24高二下·北京顺义·期中）已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且，，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和的最值； （3）设，求数列的前项和． 【变式7-2】（23-24高二下·北京·期中）在等差数列中，，． （1）求数列的首项和公差； （2）设数列的前n项和为，求的最小值及取最小值时n的值． 【变式7-3】（23-24高二下·陕西西安·月考）（1）已知数列满足，，求． （2）等比数列的前项和为，已知、、成等差数列． （i）求的公比； （ii）若，求． 【考点题型八】分组转化法求和 （1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． （2）常见类型： ①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列； ②通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列. 【例8】（23-24高二下·四川达州·期中）已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【变式8-1】（23-24高二下·广东江门·月考）在递增等比数列中，，，数列的前n项和为，． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【变式8-2】（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，且. （1）若，证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 【变式8-3】（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知递增的等比数列满足，且成等差数列. （1）求的通项公式； （2）设求数列的前项和. 【考点题型九】并项法求和 并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，． 【例9】（23-24高二下·陕西西安·月考）在数列中，已知，则的值为？ 【变式9-1】（23-24高二下·广东佛山·期中）设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【变式9-2】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知数列满足. （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【变式9-3】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前30项的和. 【考点题型十】逆序相加法求和 倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． 【例10】（23-24高二下·北京·期中）已知，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24高二下·云南文山·月考）函数，则的值为（    ）． A．2012 B． C．2013 D． 【变式10-2】（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 【变式10-3】（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为 . 【考点题型十一】裂项相消法求和 1、用裂项法求和的裂项原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【例11】（23-24高二下·河南·月考）已知正项数列前项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【变式11-1】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知数列的首项，前项和为，且，． （1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式； （2）设数列，求数列的前项和． 【变式11-2】（23-24高二下·河北石家庄·月考）已知等差数列的前n项的和为成等差数列，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，数列的前n项的和为，试比较与的大小，并证明你的结论. 【变式11-3】（23-24高二下·河南·月考）已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前项和为，求证：. 【考点题型十二】错位相减法求和 1、解题步骤 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 【例12】（23-24高二下·重庆·期中）已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式以及前项和； （2）若，求数列的前项和. 【变式12-1】（23-24高二下·山东潍坊·期中）在数列中，（是常数，），且成公比不为1的等比数列. （1）求的值; （2）求数列的通项公式: （3）求数列的前项和. 【变式12-2】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知数列满足，，数列的前项和为，且． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和． 【变式12-3】（23-24高二下·江西南昌·期中）已知数列的通项公式为，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为， （1）求的通项公式及； （2）设，为数列的前项和，求. 【考点题型十三】数列求和与不等式成立问题 数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面： 一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解；二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。 【例13】（2024·辽宁辽阳·一模）已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）设，证明：. 【变式13-1】（23-24高二下·贵州铜仁·月考）已知数列的前n项和为，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）记数列的前n项和为，若对任意都成立，求实数m的取值范围. 【变式13-2】（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列中，，设为前项和，，已知数列，设的前项和． （1）求； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式13-3】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知数列的前项和满足． （1）求的通项公式； （2）设数列满足，记数列的前项和为，若存在使得成立，求的取值范围． 【考点题型十四】数列中的探究性问题 数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤： ①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立． 【例14】（2023·广东·模拟预测）记为数列的前项和，已知的等差中项为. （1）求证为等比数列； （2）数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由. 【变式14-1】（23-24高二下·黑龙江双鸭山·月考）数列满足：是等比数列，，且． （1）求； （2）求集合中所有元素的和； （3）对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由． 【变式14-2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知数列满足，是公差为的等差数列． （1）求的通项公式． （2）令，求数列的前n项和． （3）令，是否存在互不相等的正整数m，s，n，使得m，s，n成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由． 【变式14-3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知数列的前项和为，且满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单07 数列通项公式与数列求和 【考点题型一】观察法求数列的通项 由数列的前几项求数列的通项公式 （1）各项的符号特征，通过或来调节正负项． （2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系． （3）相邻项(或其绝对值)的变化特征． （4）拆项、添项后的特征． （5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律． 【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法， 蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的. 【例1】（23-24高二下·四川广元·期中）下列不能作为数列的通项公式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项：通项为的数列，前4项分别为，，，，成立； B选项：通项为，列出前面几项，也成立； C选项：通项为的数列的第1项为，不成立； D选项：通项为的数列，前4项分别为 ，，，，成立.故选：C． 【变式1-1】（23-24高二下·吉林长春·期中）数列，3，，9的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】数列各项可改写为：， 因此一个通项公式可为=.故选：B. 【变式1-2】（23-24高二下·北京·期中）数列的前四项依次是4，44，444，4444，则数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，数列的前四项依次是：4，44，444，4444， 则有，，，， 则数列的通项公式可以是，故选：C． 【变式1-3】（23-24高二下·辽宁大连·月考）数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据数列的特点，归纳可得其通项公式为：.故选：D. 【考点题型二】由Sn与an的关系求数列通项 已知求的三个步骤： （1）先利用求出. （2）用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式． （3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式， 如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分与两段来写． 【例2】（23-24高二下·广东惠州通·月考）设数列的前项和为，若，则（   ） A．65 B．127 C．129 D．255 【答案】B 【解析】时，，则. 时，， ， 是2为首项，2为公比的等比数列，，故选：B. 【变式2-1】（23-24高二下·河北衡水·月考）已知为等比数列的前项和，，则（   ） A．12 B．24 C．48 D．96 【答案】C 【解析】由题知可得， 当时，， 所以，且， 由于为等比数列，可知，解得， 所以， .故选：C 【变式2-2】（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 ① 知， 当时，； 当时， ②， 由① ② ：，即得， 当时，符合题意，故.故选：A. 【变式2-3】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列是正项数列，且，则（    ） A．216 B．260 C．290 D．316 【答案】A 【解析】令，得，∴． 当时，． 与已知式相减，得． ∴， 又时，满足上式，∴． ∴，∴．故选：A 【考点题型三】累加法求数列通项 若，则；……，， 两边分别相加得： 【例3】（2024·陕西咸阳·三模）在数列中，，，则（    ） A．43 B．46 C．37 D．36 【答案】C 【解析】法一：由题得 ， 所以. 法二：由题，， 所以.故选：C. 【变式3-1】（23-24高二下·宁夏吴忠·月考）已知数列首项为，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由数列首项为，且， 则.故选：C. 【变式3-2】（23-24高二下·河南·月考）已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知得：， 又，所以，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列, 因此， 当时， 相加得：.故选：A. 【变式3-3】（23-24高二下·四川成都·期中）已知数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，得， 则当时，，，，， 以上各式相加得，， 所以，即， 当时，适合此式，所以.故选：D. 【考点题型四】累乘法求数列通项 若，则，，……，，， 两边分别相乘得： 【例4】（23-24高二下·河南南阳·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】故选：B 【变式4-1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知首项为1的数列，且对任意正整数恒成立，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意易知， 由变形为，故， 所以 ， 因为，所以，故， 所以.故选：C 【变式4-2】（23-24高三上·河南·期中）在数列中，，，，则（    ） A． B．15 C． D．10 【答案】B 【解析】因为，所以，即，得. 所以. 因为，所以.故选：B. 【变式4-3】（22-23高二下·广东佛山·期中）已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 两式相减得: , 即，即，即，. 所以，，，…，. 相乘得：……， 即，因为，所以，. 当时，，所以.故选：B 【考点题型五】待定系数法求数列通项 1、形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项． 2、形如 ，）的递推式，当时，两边同除以转化为关于的等差数列；当时，两边人可以同除以得，转化为． 3、形如，通过配凑转化为，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 【例5】（23-24高二上·河北石家庄·期末）设数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】数列中，由，得，而， 因此数列是首项为1，公比为的等比数列， ，即，所以.故选：D 【变式5-1】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知数列满足，且，若，则（    ） A．253 B．506 C．1012 D．2024 【答案】B 【解析】因为，所以. 因为，所以，故为常数列， 所以. 由，解得.故选：B 【变式5-2】（23-24高二下·河南周口·月考）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．9 B．21 C．45 D．93 【答案】C 【解析】由得，整理得， 又得， 故数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即 所以.故选：C. 【变式5-3】（22-23高二下·江西萍乡·期末）已知正项数列中，，则数列的通项（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解法一：在递推公式的两边同时除以，得①， 令，则①式变为，即， 所以数列是等比数列，其首项为，公比为， 所以，即， 所以， 所以， 解法二：设，则， 与比较可得， 所以， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，所以，故选：D 【考点题型六】取倒数法求数列通项 对于，取倒数得． 当时，数列是等差数列； 当时，令，则，可用待定系数法求解． 【例6】（23-24高二上·湖北黄冈·月考）已知数列满足递推关系：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，，由，得，即，而， 因此数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 则，， 所以.故选：C 【变式6-1】（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则，，，…，， 以上各式相加可得，，.故选：B 【变式6-2】（23-24高二上·浙江杭州·期末）若数列满足递推关系式，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以， 又，所以，故数列是以为首项，以为公差的等差数列， 则，得， 所以.故选：A 【变式6-3】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得：， 又，数列是以1为首项，为公差的等差数列， ， ，，，故选：D． 【考点题型七】公式法求和 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 【例7】（23-24高二下·四川成都·期中）等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）设，记为数列前项的和，若，求． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设的公差为，由题设得 因为，所以，解得，故. （2）由（1）得，因为，， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以， 由得，解得. 【变式7-1】（23-24高二下·北京顺义·期中）已知数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且，，． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和的最值； （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1），；（2），没有最大值；（3） 【解析】（1）因为数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列， 且，，即， 所以公差，则，所以， 又因为，，即， 所以公比，所以； （2）数列的前项和， 所以或时，取得最小值，且，没有最大值； （3）由（1）可得， 所以的前项和． 【变式7-2】（23-24高二下·北京·期中）在等差数列中，，． （1）求数列的首项和公差； （2）设数列的前n项和为，求的最小值及取最小值时n的值． 【答案】（1），；（2）最小值为，此时或． 【解析】（1）设等差数列的公差为， 因为，，可得，记得， 所以数列的首项为，公差为． （2）由（1）知，可得， 因为，所以或时，取得最小值． 【变式7-3】（23-24高二下·陕西西安·月考）（1）已知数列满足，，求． （2）等比数列的前项和为，已知、、成等差数列． （i）求的公比； （ii）若，求． 【答案】（1）（2）（i）；（ii） 【解析】（1）因为，所以，又， 所以，则； （2）（i）因为、、成等差数列，所以， 即， 因为，所以，解得或（舍去）； （ii）因为且，即，解得， 所以. 【考点题型八】分组转化法求和 （1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． （2）常见类型： ①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列； ②通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列. 【例8】（23-24高二下·四川达州·期中）已知数列是公差不为零的等差数列，满足，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设数列的公差为，由已知有 ，即，解得（舍）， ，； （2）， . 【变式8-1】（23-24高二下·广东江门·月考）在递增等比数列中，，，数列的前n项和为，． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）在递增等比数列中，，，解得， 设公比为，则，又因为为递增数列，故， 所以，所以，即； 数列的前n项和为，， 当时，， 则， 当时，，符合上式， 所以. （2）由（1）知，，所以， 则 ， 即. 【变式8-2】（23-24高二上·河北衡水·期末）在数列中，，且. （1）若，证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）， 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可知，所以， 所以 ． 【变式8-3】（23-24高二上·贵州毕节·期末）已知递增的等比数列满足，且成等差数列. （1）求的通项公式； （2）设求数列的前项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意，设等比数列的公比为， 则， 成等差数列， ，即， 化简整理，得，解得（舍去），或， 首项， . （2）由（1）可得 则数列的前项和为 【考点题型九】并项法求和 并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，． 【例9】（23-24高二下·陕西西安·月考）在数列中，已知，则的值为？ 【答案】 【解析】因为， 当为偶数时 ， 当为奇数时 ， 所以，，， 所以. 【变式9-1】（23-24高二下·广东佛山·期中）设是等差数列，是公比大于0的等比数列，已知，，． （1）求和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，解得，所以或． 又因为，所以，所以， 故，． （2）， ． 【变式9-2】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知数列满足. （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析，；（2） 【解析】（1）显然，将两边同时取倒数得，即， 所以数列是公差为2的等差数列， 所以，所的. （2）由已知得，那么数列的前项和， 当为偶数时，； 当为奇数时，． 故. 【变式9-3】（23-24高二上·山东青岛·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且成等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前30项的和. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）依题意，则，解得， 则，故， 所以，解得，则， 故. （2）， ， . 【考点题型十】逆序相加法求和 倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． 【例10】（23-24高二下·北京·期中）已知，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则 两式相加得 所以，所以.故选：A. 【变式10-1】（23-24高二下·云南文山·月考）函数，则的值为（    ）． A．2012 B． C．2013 D． 【答案】B 【解析】由可得：， 所以，， 所以设 ， 则两式相加可得： 故选：B. 【变式10-2】（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列是公比为的正项等比数列，且，若，则（    ） A．4050 B．2025 C．4052 D．2026 【答案】A 【解析】由数列是公比为的正项等比数列，故， 因为，故， 即有， 由，则当时，有， 设， ， ，， 故．故选：. 【变式10-3】（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成．因此，此方法也称为高斯算法．现有函数，则的值为 . 【答案】1009 【解析】由函数，得， 令， 则， 两式相加得，解得， 所以所求值为1009. 【考点题型十一】裂项相消法求和 1、用裂项法求和的裂项原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 【注意】利用裂项相消法求和时，既要注意检验通项公式裂项前后是否等价，又要注意求和时，正负项相消消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项． 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【例11】（23-24高二下·河南·月考）已知正项数列前项和为，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）()；（2） 【解析】（1）∵①， 当，时，有②， 由①－②得，即， ∵正项数列，，∴，， ∴数列是首项为2，公差为3的等差数列， ∴（）. （2）由（1）得， 则（）， ∴. 【变式11-1】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知数列的首项，前项和为，且，． （1）证明：数列为等差数列，并求的通项公式； （2）设数列，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析，；（2） 【解析】（1）因为，所以， 因为，即， 故数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，所以； （2）由（1）， 当时，， 所以， 又适合上式，所以， 所以， 所以． 【变式11-2】（23-24高二下·河北石家庄·月考）已知等差数列的前n项的和为成等差数列，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，数列的前n项的和为，试比较与的大小，并证明你的结论. 【答案】（1）；（2），证明见解析 【解析】（1）设的公差为，由题意得， 即，解得， 所以. （2）， 所以， 因为，所以，即. 【变式11-3】（23-24高二下·河南·月考）已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为，所以 又，所以， 所以是以9为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以. （2）由（1）知， 所以 ， 又，所以. 【考点题型十二】错位相减法求和 1、解题步骤 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 【例12】（23-24高二下·重庆·期中）已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式以及前项和； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由，得，解得， 所以， 所以； （2）由（1）可得， 所以， 则， 所以 ， 所以. 【变式12-1】（23-24高二下·山东潍坊·期中）在数列中，（是常数，），且成公比不为1的等比数列. （1）求的值; （2）求数列的通项公式: （3）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1），，， 因为成公比不为1的等比数列， 所以，解得或. 当时，，不符合题意舍去，故. （2）当时，由于， 所以， 又，故. 当时，满足上式，所以. （3）因为， 所以， ， 两式相减得 即. 【变式12-2】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知数列满足，，数列的前项和为，且． （1）求，的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）因为，， 所以当时，，得． 当时，， 所以，所以． 因为时也满足， 所以，所以，所以． 因为，所以当时，，解得． 当时，，所以，所以， 所以是首项为，公比为的等比数列，故． （2）由（1）可得， 所以， ， 两式相减得 ， 所以. 【变式12-3】（23-24高二下·江西南昌·期中）已知数列的通项公式为，在与中插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为， （1）求的通项公式及； （2）设，为数列的前项和，求. 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）因为在，之间插入项，使这个数成公差为的等差数列， 所以， 所以. （2）易知，所以， 两式相减得， 所以. 【考点题型十三】数列求和与不等式成立问题 数列与不等式是高考的热点问题，其综合的角度主要包括两个方面： 一是不等式恒成立或能成立条件下，求参数的取值范围：此类问题常用分离参数法，转化为研究最值问题来求解；二是不等式的证明：常用方法有比较法、构造辅助函数法、放缩法、数学归纳法等。 【例13】（2024·辽宁辽阳·一模）已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）设，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）由题意可知，当时，； 当时，由得，， 两式作差可得，， 也适合该式，故； （2）证明：由题意知， 故， 由于，则，故， 即. 【变式13-1】（23-24高二下·贵州铜仁·月考）已知数列的前n项和为，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）记数列的前n项和为，若对任意都成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1），；（2） 【解析】（1）当时，，当时，， 所以，化简得， 因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. （2）因为， 所以，由得， 因为对任意都成立，所以，解得， 故实数m的取值范围为. 【变式13-2】（23-24高二下·辽宁大连·期中）已知数列中，，设为前项和，，已知数列，设的前项和． （1）求； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）由可得：，， 上面两式相减得：，整理得：，， 所以数列是常数列，即，所以，则， 所以 两边同乘以2得： 两式相减得：， 即. （2）由可得：，整理得：， 当为偶数时，上面不等式可化简为：， 利用该数列单调递增性可知：，所以， 当为奇数时，上面不等式可化简为：， 再利用该数列单调递减性可知：，所以， 综上可得：. 【变式13-3】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知数列的前项和满足． （1）求的通项公式； （2）设数列满足，记数列的前项和为，若存在使得成立，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），当时，， 当，时，，， 两式相减得：为非零定值，而， 即是以1为首项，公比的等比数列，所以； （2）， 所以， ， 两式相减：， 由得，，即存在使成立， 随着增大，在减小，当时，， 故求的取值范围是． 【考点题型十四】数列中的探究性问题 数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤： ①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立． 【例14】（2023·广东·模拟预测）记为数列的前项和，已知的等差中项为. （1）求证为等比数列； （2）数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在， 【解析】（1）因为的等差中项为，所以， 因为时，，则，所以， 由得， 又，两式相减得，即， 所以有，所以， 所以是等比数列，其首项为，公比为2. （2）由（1）知，所以，所以， 因为，所以， 又， 所以，所以. 【变式14-1】（23-24高二下·黑龙江双鸭山·月考）数列满足：是等比数列，，且． （1）求； （2）求集合中所有元素的和； （3）对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试分别判断数列是否是“和稳定数列”．若是，求出所有的值；若不是，说明理由． 【答案】（1），；（2） （3）数列是“和稳定数列”，，数列不是“和稳定数列”，理由见解析 【解析】（1）， 又，，解得： 因为是等比数列，所以的公比， 又当时，， 作差得： 将代入，化简：，得： 是公差的等差数列， （2）记集合的全体元素的和为， 集合的所有元素的和为， 集合的所有元素的和为， 集合的所有元素的和为，则有 对于数列： 当时，是数列中的项 当时，不是数列中的项 ，其中 即（其中表示不超过实数的最大整数） （3）①当时，是的正整数倍， 故一定不是数列中的项； 当时，，不是数列中的项； 当时，，是数列中的项； 综上，数列是“和稳定数列”，； ②数列不是“和稳定数列”，理由如下： 不妨设：，则，且 故不是数列中的项. 数列不是“和稳定数列”. 【变式14-2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知数列满足，是公差为的等差数列． （1）求的通项公式． （2）令，求数列的前n项和． （3）令，是否存在互不相等的正整数m，s，n，使得m，s，n成等差数列，且，，成等比数列？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由见解析 【解析】（1）由已知得，且，则， 所以，所以，解得． （2）由（1）知，所以． ． （3）由题意可知． 假设存在，则，且， 即，则有， 化简得，将代入，即得． 因为，当且仅当时，等号成立． 又因为m，n，s互不相等，所以不存在． 【变式14-3】（23-24高二下·江苏连云港·期中）已知数列的前项和为，且满足：，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设数列的通项公式为，问:是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，，取值见解析. 【解析】（1）由①，当时，，       当时，②， ①-②得，即， 所以，所以， 当时，，上式也成立， 所以数列为常数列，，所以. （2）由，， 则， 所以的前项和为. （3）由（1）知. 要使成等差数列，则， 即，整理得， 因为，为正整数，所以只能取2，3，5. 当时，； 当时，； 当时，. 故存在正整数，使得成等差数列. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$