专题08 导数及其应用（考点清单，14题型解读）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019选择性必修第三册）

清单08 导数及其应用 【考点题型一】平均变化率与瞬时变化率问题 1、平均的变化率的定义：. 2、设物体运动路程与事件的关系是，当趋近于0时，函数在到之间的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数称为时刻的瞬时速度。 【例1】（23-24高二下·辽宁朝阳·期中）函数在上的平均变化率是（    ） A． B．8 C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·北京·期中）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A． B． C． D．a和b的大小随着m，n的改变而改变 【变式1-2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数的图象上一点及附近一点，则（    ） A． B．2 C． D． 【变式1-3】（23-24高二下·重庆·月考）（多选）一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且（表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（    ） A．该物体瞬时速度的最小值为1m/s B．该物体瞬时速度的最小值为2m/s C．该物体在第1s时的动能为16J D．该物体在第1s时的动能为8J 【考点题型二】导数定义中极限的应用 导数的形式化计算主要考查对导数概念的理解。需要说明的是导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。 【例2】（23-24高二下·河南·月考）已知函数，则（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式2-1】（23-24高二下·湖北·期中）已知，则（   ） A．－1 B．1 C．2 D．4 【变式2-2】（23-24高二下·河北邢台·期中）已知，则（    ） A． B．2 C． D． 【变式2-3】（23-24高二下·江苏无锡·月考）已知是定义在上的可导函数，若，则 . 【考点题型三】求（复合）函数的导数 1、导数的四则运算法则 （1）加减法： （2）乘法： （3）除法： 2、复合函数的求导法则 一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为， 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 规律：从内到外层层求导，乘法连接。 【例3】（23-24高二下·广东广州·期中）下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二下·北京·期中）下列导数运算错误的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【变式3-2】（23-24高二下·重庆·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高二下·广东广州·期中）（多选）下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【考点题型四】“在”曲线上一点的切线问题 求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 【例4】（23-24高二下·内蒙古·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二下·广东深圳·月考）已知曲线在点处的切线方程是，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式4-2】（23-24高二下·湖南常德·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 . 【变式4-3】（23-24高二下·江西·月考）已知曲线在处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求曲线过点的切线方程. 【考点题型五】“过”曲线上一点的切线问题 求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 【例5】（22-23高二下·辽宁·月考）过原点且与函数图像相切的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二下·江西赣州·月考）已知函数，直线过点且与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．24 B．或 C．45 D．0或45 【变式5-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ）． A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二下·河南·月考）过点可作的斜率为1的切线，则实数 . 【考点题型六】两条曲线的公切线问题 求公切线方程 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；若不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程。 具体做法为：设公切线在上的切点，在上的切点， 则 【例6】（23-24高二下·湖北·月考）已知直线是曲线与的公切线，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式6-1】（23-24高二下·江苏南通·月考）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-2】（22-23高二下·湖北·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）． A．26 B．23 C．15 D．11 【变式6-3】（22-23高三下·安徽·开学考试）已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为 ． 【考点题型七】利用导数研究函数的单调性 1、求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2、含参函数讨论的 （1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”； （2）导函数是都有变号零点，即“有没有”； （3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”； （4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。 【例7】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二下·福建莆田·期中）已知函数，其单调增区间为 ； 【变式7-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）讨论函数的单调性； 【变式7-3】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【考点题型八】已知函数的单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 【例8】（23-24高二下·四川内江·期中）函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24高二下·江苏·期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二下·安徽·月考）已知函数，若在上单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数在上存在递减区间，则实数a的取值范围为 ． 【考点题型九】原函数与导函数的图象关系 通过图象研究函数单调性的方法： （1）观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势； （2）观察导函数的图象重在找出导函数图象与轴的交点，分析导数的正负。 【例9】（23-24高二下·四川成都·期中）函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（   ） A．， B．， C．， D．，， 【变式9-1】（23-24高二下·全国·期末）如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高二下·吉林·期中）已知函数在定义域内可导，的大致图象如图所示，则其导函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数的大致图象如图所示（其中是函数的导函数），则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【考点题型十】导数构造法解函数不等式 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造 【例10】（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（23-24高二下·山东枣庄·月考）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知函数是定义在R上的奇函数，是的导函数，且当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式10-4】（23-24高二下·贵州贵阳·月考）已知定义在上的函数满足：，则不等式的解集为 . 【考点题型十一】利用导数求函数的极值或极值点 1、函数的极值 （1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 2、利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根的左右侧的符号不变，则不是极值点． 【例11】（23-24高二下·广东潮州·期中）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极小值点 D．是函数的极小值点 【变式11-1】（23-24高二下·广东佛山·月考）函数的极大值点为 ． 【变式11-2】（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数在和上为增函数，在上为减函数． （1）求的解析式； （2）求的极值． 【变式11-3】（23-24高二下·四川达州·期中）已知函数，的图象在处的切线交轴于点. （1）求实数的值； （2）求函数的极值. 【考点题型十二】已知函数的极值或极值点求参数 1、已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤： ①求函数的导数；②由极值点的导数值为0，列出方程（组），求解参数 注意：求出参数后，一定要验证是够满足题目的条件。 2、对于函数在某区间内无机制的问题，往往转化为其导数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立。 【例12】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）若在处有极值，则（     ） A．0 B． C．1 D． 【变式12-1】（23-24高二上·天津滨海新·期中）函数在处有极小值，则的值等于（   ） A．0 B． C． D．6 【变式12-2】（23-24高二下·广东广州·期中）函数在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知函数． （1）若，判断的单调性； （2）若在上没有极值点，求的取值范围． 【考点题型十三】利用导数求函数的最值 1、函数的最值 （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． （2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 2、利用导数求函数最值的方法 （1）若函数的图象是一条连续不断的曲线，在曲线内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点. （2）求一个函数在闭区间上的最值时，一定是找出该区间上导数值为0的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，期中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值。 【例13】（23-24高二下·河北石家庄·期中）函数在区间上的最小值，最大值分别为（    ） A．0， B．0， C． D． 【变式13-1】（23-24高二下·江西赣州·月考）函数的最大值是（    ） A． B．0 C． D．3 【变式13-2】（23-24高二下·山东青岛·期中）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（23-24高二下·江苏·期中）已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）求在区间上的最小值． 【考点题型十四】已知函数的最值求参数 已知函数的最值求参数问题常用方法有函数图象法、导数法等。 （1）图象法是较为直观的一种方法，通过观察函数的图象来判断函数的极值及其对应的参数值； （2）导数法：对于已知的函数，我们可以先求出其导数，然后找出导数为零的点或者导数变号的点，这些点就是函数取得极值的地方。接下来，可以通过这些点进行一些判断，例如使用二阶导数来判断极值类型，从而得到函数的最值及其对应的参数值。 【例14】（23-24高二下·四川遂宁·月考）若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式14-1】（23-24高二下·宁夏·月考）已知函数在区间上的最小值为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式14-2】（23-24高二下·浙江海宁·月考）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是 . 【变式14-3】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知函数在上存在最小值，实数a的取值范围为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单08 导数及其应用 【考点题型一】平均变化率与瞬时变化率问题 1、平均的变化率的定义：. 2、设物体运动路程与事件的关系是，当趋近于0时，函数在到之间的平均变化率趋近于常数，我们把这个常数称为时刻的瞬时速度。 【例1】（23-24高二下·辽宁朝阳·期中）函数在上的平均变化率是（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【解析】函数在上的平均变化率是.故选：A. 【变式1-1】（23-24高二下·北京·期中）已知和在区间上的平均变化率分别为a和b，则（    ） A． B． C． D．a和b的大小随着m，n的改变而改变 【答案】B 【解析】依题意，， ，所以.故选：B 【变式1-2】（23-24高二下·广东佛山·期中）已知函数的图象上一点及附近一点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由题有：.故选：D. 【变式1-3】（23-24高二下·重庆·月考）（多选）一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且（表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（    ） A．该物体瞬时速度的最小值为1m/s B．该物体瞬时速度的最小值为2m/s C．该物体在第1s时的动能为16J D．该物体在第1s时的动能为8J 【答案】AD 【解析】由题意得， 则该物体瞬时速度的最小值为，A正确，B错误. 由，得，所以该物体在第时的动能为，C错误，D正确.故选：AD. 【考点题型二】导数定义中极限的应用 导数的形式化计算主要考查对导数概念的理解。需要说明的是导数是一个局部概念，它只与函数在及其附近的函数值有关，与无关。 【例2】（23-24高二下·河南·月考）已知函数，则（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【解析】函数，求导得，， 所以.故选：B 【变式2-1】（23-24高二下·湖北·期中）已知，则（   ） A．－1 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【解析】，故选：B． 【变式2-2】（23-24高二下·河北邢台·期中）已知，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】 故选：A. 【变式2-3】（23-24高二下·江苏无锡·月考）已知是定义在上的可导函数，若，则 . 【答案】 【解析】． 【考点题型三】求（复合）函数的导数 1、导数的四则运算法则 （1）加减法： （2）乘法： （3）除法： 2、复合函数的求导法则 一般地，复合函数的导数和函数，的导数间的关系为， 即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 规律：从内到外层层求导，乘法连接。 【例3】（23-24高二下·广东广州·期中）下列函数求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确；故选：D． 【变式3-1】（23-24高二下·北京·期中）下列导数运算错误的是（    ） A．，则 B．，则 C．，则 D．，则 【答案】B 【解析】A选项，，则，A正确； B选项，，，B错误； C选项，，，C正确； D选项，，，D正确.故选：B 【变式3-2】（23-24高二下·重庆·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D错误；故选：B. 【变式3-3】（23-24高二下·广东广州·期中）（多选）下列求导运算正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】对于A，因为，所以，故错误； 对于B，因为，所以，故正确； 对于C，因为，所以，故错误； 对于D，因为，所以，故正确. 故选：BD. 【考点题型四】“在”曲线上一点的切线问题 求曲线“在”某点处的切线方程步骤 第一步（求斜率）：求出曲线在点处切线的斜率 第二步（写方程）：用点斜式 第三步（变形式）：将点斜式变成一般式。 【例4】（23-24高二下·内蒙古·期末）曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，则所求切线切点坐标为， ，有，则所求切线斜率为， 所求的切线方程为，即.故选：B 【变式4-1】（23-24高二下·广东深圳·月考）已知曲线在点处的切线方程是，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【解析】函数，求导得，依题意，， ，显然，因此，所以.故选：A 【变式4-2】（23-24高二下·湖南常德·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为 . 【答案】 【解析】因为，所以， ，， 曲线在点处的切线斜率为， 又因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以. 【变式4-3】（23-24高二下·江西·月考）已知曲线在处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求曲线过点的切线方程. 【答案】（1），；（2）或. 【解析】（1）依题意，，即，又， 所以，解得，所以. （2）由（1）知，，， 由，得不是切点，设切点为，显然， 则， 联立得，解得或，即或， 当时，，切线方程为， 当时，，切线方程为 所以曲线过点的切线方程为或. 【考点题型五】“过”曲线上一点的切线问题 求曲线“过”某点处的切线方程步骤 第一步：设切点为； 第二步：求出函数在点处的导数； 第三步：利用Q在曲线上和，解出及； 第四步：根据直线的点斜式方程，得切线方程为． 【例5】（22-23高二下·辽宁·月考）过原点且与函数图像相切的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 设所求切线的切点为，则， 由题知，，解得， 所以切线斜率为， 故所求切线方程为.故选：C. 【变式5-1】（23-24高二下·江西赣州·月考）已知函数，直线过点且与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．24 B．或 C．45 D．0或45 【答案】B 【解析】由，得， 设直线与曲线相切的切点为， 则在处的切线斜率为， 所以，切线方程为， 将点的坐标代入并整理，得， 即，解得或， 所以直线的斜率为24或.故选：B. 【变式5-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， 设切点为，则， 所以，解得.故选：D． 【变式5-3】（23-24高二下·河南·月考）过点可作的斜率为1的切线，则实数 . 【答案】2-2ln2 【解析】由，设切点的横坐标为，由，解得， 故，由过点且斜率为1的切线方程： ，令得：.，即. 【考点题型六】两条曲线的公切线问题 求公切线方程 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；若不知切点坐标，则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程。 具体做法为：设公切线在上的切点，在上的切点， 则 【例6】（23-24高二下·湖北·月考）已知直线是曲线与的公切线，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点， 由于，， 所以，，，， 所以由点在切线上，得切线方程为， 由点在切线上，得切线方程为， 故， 化简可得，解得，故选：B． 【变式6-1】（23-24高二下·江苏南通·月考）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，， 则直线与曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为， 即，则，解得， 故，故选：A. 【变式6-2】（22-23高二下·湖北·期中）若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）． A．26 B．23 C．15 D．11 【答案】D 【解析】因为， 所以，由，解得或（舍去），所以切点为， 因为切点在切线上，解得，所以切线方程为， 设切点为， 由题意得，解得，所以，故选：D 【变式6-3】（22-23高三下·安徽·开学考试）已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【解析】由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：； 由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：． 所以，， 消去得， 故或，所以直线l的方程为：或． 【考点题型七】利用导数研究函数的单调性 1、求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 2、含参函数讨论的 （1）最高次幂的系数是否为0，即“是不是”； （2）导函数是都有变号零点，即“有没有”； （3）导函数的变号零点是否在定义域或指定区间内，即“在不在”； （4）导函数有多个零点时大小关系，即“大不大”。 【例7】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，定义域为， 则，令， 所以函数的单调减区间是.故选：A. 【变式7-1】（23-24高二下·福建莆田·期中）已知函数，其单调增区间为 ； 【答案】 【解析】由题得函数的定义域为 由，则， 令，得， 所以的单调递增区间为. 【变式7-2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，. （1）当时，求函数的单调区间； （2）讨论函数的单调性； 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）答案见解析 【解析】（1）当时定义域为， 且， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）函数的定义域为， 又， 当时，则恒成立， 令，解得；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， ①当，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，则在定义域上恒成立， 故在上单调递增； ③当，即时，令，解得或； 令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减； 当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减. 【变式7-3】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1）；（2）答案见解析. 【解析】（1）由题意知，当时，， 则， 故曲线在处的切线方程为． （2）的定义域为，且， 当时，则， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，则有： 若，则，令，则单调递增； 令，则或单调递减； 若，则，令，则单调递增； 令，则或单调递减； 若，则单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 【考点题型八】已知函数的单调性求参数 （1）函数在区间D上单调增（单减）在区间D上恒成立； （2）函数在区间D上存在单调增（单减）区间在区间D上能成立； （3）已知函数在区间D内单调不存在变号零点 （4）已知函数在区间D内不单调存在变号零点 【例8】（23-24高二下·四川内江·期中）函数在上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为， 求导得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 又函数在上单调递减，所以. 所以实数的取值范围为.故选：B. 【变式8-1】（23-24高二下·江苏·期中）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知，在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，即，，所以故选：D 【变式8-2】（23-24高二下·安徽·月考）已知函数，若在上单调，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且， 所以为奇函数，要使函数在上单调，只要函数在上单调； 又，且， 又函数在上单调，故函数在上只能单调递减， 由，即，解得， 当时，，时，，， 故有在上恒成立， 经检验知，时符合题意．故选：D 【变式8-3】（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数在上存在递减区间，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题意得的定义域为， 所以， 因为函数在区间上存在递减区间， 即在区间上能成立. 设，，开口向上，对称轴为， 所以当时，单调递增，所以， 所以，则，即实数a的取值范围为. 【考点题型九】原函数与导函数的图象关系 通过图象研究函数单调性的方法： （1）观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势； （2）观察导函数的图象重在找出导函数图象与轴的交点，分析导数的正负。 【例9】（23-24高二下·四川成都·期中）函数在定义域内可导，记的导函数为，的图象如图所示，则的单调增区间为（   ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】B 【解析】若要，则由图可知，， 故的单调增区间为，.故选：B. 【变式9-1】（23-24高二下·全国·期末）如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先由原函数是偶函数，可知导函数是奇函数，故排除， 再由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正负正负，故选：． 【变式9-2】（23-24高二下·吉林·期中）已知函数在定义域内可导，的大致图象如图所示，则其导函数的大致图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】观察图象知，当时，先单调递减，再单调递增，则先为负数，再为正数， 在当时，先单调递增，再单调递减，最后单调递增， 所以先为正数，再为负数，最后为正数，故只有B选项符合.故选：B. 【变式9-3】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函数的大致图象如图所示（其中是函数的导函数），则的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由的图象可知， ， 所以当时，， 当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减. 结合选项可知：C正确，ABD错误.故选：C 【考点题型十】导数构造法解函数不等式 关系式为“加”型构造： （1） 构造 （2） 构造 （3） 构造 （4）构造（注意的符号） （5） 构造 关系式为“减”型构造： （6） 构造 （7） 构造 （8） 构造 （9）构造（注意的符号） （10） 构造 【例10】（23-24高二下·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，， 所以函数单调递增，， 即，得，所以， 所以不等式的解集为.故选：D 【变式10-1】（23-24高二下·山东枣庄·月考）已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设， 因为，所以， 故在上单调递减， 又，故， 故当时，，当时，， ， 故的解集为.故选：A 【变式10-2】（23-24高二下·广东佛山·月考）已知函数是定义在R上的奇函数，是的导函数，且当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则． 因为当时，，所以， 所以在上单调递增． 因为为奇函数，所以为奇函数． 因为，所以，所以，即， 所以，所以．故选：D 【变式10-3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在R上的奇函数，其导函数为，，当时，，则使得成立的x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，则， 由于当时，， 则当时，，在单调递减， 又为奇函数，， 则，则函数为偶函数， 可得函数在上单调递增， 又，则， 当时，由，可得，即，解得； 当时，由，可得，即，解得； 综上，不等式的解集为,,．故选：B． 【变式10-4】（23-24高二下·贵州贵阳·月考）已知定义在上的函数满足：，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】令，则，所以是增函数， 不等式可变形为， 因为，所以不等式等价于， 所以，解得，所以不等式的解集为. 【考点题型十一】利用导数求函数的极值或极值点 1、函数的极值 （1）函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 2、利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值； ②如果由负变正，则是极小值． ③如果在的根的左右侧的符号不变，则不是极值点． 【例11】（23-24高二下·广东潮州·期中）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极小值点 D．是函数的极小值点 【答案】D 【解析】由图及题设，当时，； 当； 当时，； 当时，； 即函数在和上单调递增，在上单调递减， 因此函数在时取得极小值，在时取得极大值； 故A，B，C错，D正确.故选：D. 【变式11-1】（23-24高二下·广东佛山·月考）函数的极大值点为 ． 【答案】 【解析】因为， 由或. 由, 所以在，上单调递增，在上单调递减，故极大值点为． 【变式11-2】（23-24高二下·广东广州·期中）已知函数在和上为增函数，在上为减函数． （1）求的解析式； （2）求的极值． 【答案】（1）；（2）极大值，极小值. 【解析】（1），， 由题意得与是方程的两个根， 则，解得， . （2）由已知得是的极大值点，是的极小值点， 由可知，函数有且仅有两个极值点. 极大值， 极小值. 【变式11-3】（23-24高二下·四川达州·期中）已知函数，的图象在处的切线交轴于点. （1）求实数的值； （2）求函数的极值. 【答案】（1）6；（2）的极大值为；极小值为 【解析】（1），所以，即切线斜率为2， 又，所以切点坐标为 在处的切线方程为：， 代入点，得； （2）由（1）得， ， 令，得或 当变化时，变化情况如下表： 2 3 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 因此，时，有极大值，极大值为； 时，有极小值，极小值为. 【考点题型十二】已知函数的极值或极值点求参数 1、已知可导函数的极值求参数问题的解题步骤： ①求函数的导数；②由极值点的导数值为0，列出方程（组），求解参数 注意：求出参数后，一定要验证是够满足题目的条件。 2、对于函数在某区间内无机制的问题，往往转化为其导数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立。 【例12】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）若在处有极值，则（     ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由，可得， 因为在处有极值，所以，解得， 此时，， 当时，；当时，， 则在处取得极小值.故选：B. 【变式12-1】（23-24高二上·天津滨海新·期中）函数在处有极小值，则的值等于（   ） A．0 B． C． D．6 【答案】A 【解析】由题意得，因为在处有极小值， 所以，解得， 所以， 令，解得或， 故函数在和上为增函数， 令，解得， 故函数在上为减函数， 所以在处有极小值，符合题意， 所以，故选：A. 【变式12-2】（23-24高二下·广东广州·期中）函数在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的定义域为，且， 令，可得， 由题意可知与有2个变号交点，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 可得，且当x趋近于0，趋近于，当x趋近于，趋近于0， 可得的图象，如图所示： 由图象可得，解得， 所以实数的取值范围为.故选：D. 【变式12-3】（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知函数． （1）若，判断的单调性； （2）若在上没有极值点，求的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2） 【解析】（1）当时，，其定义域为， ， 由，得．由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． （2）因为， ， 当时，， 若在上没有极值点，则在上单调， 即在上恒成立，或在上恒成立． 若在上恒成立，则，解得， 若在恒成立，则，解得． 综上所述，a的取值范围为． 【考点题型十三】利用导数求函数的最值 1、函数的最值 （1）在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． （2）若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． 2、利用导数求函数最值的方法 （1）若函数的图象是一条连续不断的曲线，在曲线内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点. （2）求一个函数在闭区间上的最值时，一定是找出该区间上导数值为0的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，期中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值。 【例13】（23-24高二下·河北石家庄·期中）函数在区间上的最小值，最大值分别为（    ） A．0， B．0， C． D． 【答案】A 【解析】由可得，， 因，故，则，即在上单调递增， 故当时，，当时，.故选：A. 【变式13-1】（23-24高二下·江西赣州·月考）函数的最大值是（    ） A． B．0 C． D．3 【答案】C 【解析】因为，所以， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值是.故选：C. 【变式13-2】（23-24高二下·山东青岛·期中）函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 又，，， 所以函数在上的值域为.故选：A. 【变式13-3】（23-24高二下·江苏·期中）已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）求在区间上的最小值． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），，， 所以在处的切线方程为，即； （2），令，得， 1 3 0 减函数 增函数 所以在区间上的最小值为. 【考点题型十四】已知函数的最值求参数 已知函数的最值求参数问题常用方法有函数图象法、导数法等。 （1）图象法是较为直观的一种方法，通过观察函数的图象来判断函数的极值及其对应的参数值； （2）导数法：对于已知的函数，我们可以先求出其导数，然后找出导数为零的点或者导数变号的点，这些点就是函数取得极值的地方。接下来，可以通过这些点进行一些判断，例如使用二阶导数来判断极值类型，从而得到函数的最值及其对应的参数值。 【例14】（23-24高二下·四川遂宁·月考）若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】， 则当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 即在处取得最值，则有，解得.故选：C. 【变式14-1】（23-24高二下·宁夏·月考）已知函数在区间上的最小值为，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 当时，则，所以在单调递增， 此时函数最小值为，解得，不符合题意，舍去； 当时，令，得；令，得； 所以在上单调递减，在单调递减增， ①当时，在区间上单调递增， 所以最小值为，不符合题意舍去； ②当时，在上先减后增， 所以最小值为，解得； ③当时，在上单调递减， 所以最小值为，解得，不符合题意，舍去， 综上所述.故选：D. 【变式14-2】（23-24高二下·浙江海宁·月考）若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意得， 令，则或；令，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减，且时取极大值2. 又，故为使函数在区间上有最大值， 需满足，解得. 【变式14-3】（23-24高二下·河北石家庄·期中）已知函数在上存在最小值，实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】已知函数，所以， 时 或，时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减，且， 令得，，即，得到或 因为在上存在最小值，则区间左端点的函数值不能低于极小值， 所以，即. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$