专题07 立体几何表面积、体积、截面和点线面的8种常考题型归类【好题汇编】-备战2023-2024学年高一数学下学期期末真题分类汇编（北师大版2019必修第二册）

专题07 立体几何表面积、体积、截面和点线面位置关系的8种常考题型归类 立体几何表面积、体积、截面和点线面位置关系的8种常考题型 题型09：几何体的内切球问题 题型04：直观图问题 题型03：几何体的距离最值问题 题型02：几何体的截面问题 题型01：几何体的结构特征 题型05：柱体的表面积和体积问题 题型06：锥体的表面积和体积问题 题型07：点线面的位置关系判断 题型08：几何体的外接球问题 几何体的结构特征 1．下列关于几何体特征的判断正确的是（    ） A．一个斜棱柱的侧面不可能是矩形 B．底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥 C．有一个面是边形的棱锥一定是棱锥 D．平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的矩形 【答案】C 【分析】根据直棱柱、正棱锥、棱锥的分类，以及平行六面体的几何结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，斜棱柱的侧面中，可以有的侧面是矩形，所以A不正确； 对于B中，根据正棱锥的定义，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面多边形的中心的棱锥是正棱锥，所以B不正确； 对于C中，根据棱锥的分类，可得有一个面是边形的棱锥一定是棱锥，所以C正确； 对于D中，平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的平行四边形，所以D错误. 故选：C. 2．下列说法正确的是（    ） A．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 B．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 D．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 【答案】C 【分析】根据圆台的定义判断A；根据圆锥的定义判断B；根据直棱柱的定义性质判断CD. 【详解】对于A，用平行于底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台，故A错误； 对于B，直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥，故B错误； 对于C，侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故C正确； 对于D，有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱，故D错误； 故选：C 3．以下说法正确的是（     ） A．半圆弧以其直径所在的的直线为轴旋转所成的曲面叫球； B．球的大圆的半径等于球的半径； C．球面和球是同一个概念； D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆. 【答案】B 【分析】根据球面和球的定义判断ABC，根据球的性质判断D 【详解】对于A，半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，而球面围成的几何体叫球，所以A错误， 对于B，球的大圆的半径等于球的半径，所以B正确， 对于C，因为半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面， 而球面围成的几何体叫球，所以球面和球是不同的概念，所以C错误， 对于D，如果球面上的两点是球的直径的两个端点，则可以作无数个大圆，所以D错误， 故选：B 4．下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是平行四边形 B．长方体是正四棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．圆柱的所有母线长都相等 【答案】AD 【分析】根据棱柱、正棱柱、正棱锥和圆柱的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】由棱柱定义可得棱柱的侧面都是平行四边形，所以A正确； 当长方体底面的长宽高互不相等时，该长方体不是正四棱柱，所以B错误； 底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥，所以C错误； 根据圆柱的定义，可得圆柱的所有母线长都相等，所以D正确. 故选：AD. 5．从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（    ） A．每个面都是等边三角形 B．每个面都是直角三角形 C．有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形 D．有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形 【答案】D 【分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个分析判断即可. 【详解】如图， 每个面都是等边三角形，A不选； 每个面都是直角三角形，B不选； 三个面直角三角形，一个面等边三角形，C不选，选D． 故选：D. 6．下列说法错误的是（    ） A．一个棱柱至少有5个面 B．斜棱柱的侧面中没有矩形 C．圆柱的母线平行于轴 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】B 【分析】 根据几何体的性质判断即可. 【详解】由棱柱的性质可知A正确，B错误；由圆柱的性质可知C正确；由正棱锥的性质可知D正确. 故选：B 几何体的截面问题 7．一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球 【答案】D 【分析】根据各选项中旋转体的定义与性质逐项判断. 【详解】对于A：圆柱的轴截面是矩形，故A不符合题意； 对于B：由于圆锥的轴截面是一个等腰三角形，故B不符合题意； 对于C，圆台轴截面是等腰梯形，故C不符合题意； 对于D：用任意的平面去截球，得到的截面均为圆，故D符合题意． 故选：D． 8．用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（    ） A．矩形 B．圆形 C．梯形 D．椭圆 【答案】A 【分析】根据截面与几何体相交时的形状，即可判定选项. 【详解】用一个平面去截一个圆台，截面平行于底面，截面为圆形，B错误； 截面与圆台的轴平行时，得到梯形，C错误； 截面与底面不平行也不相交时，得到椭圆，D错误； 图形不可能是矩形，则A正确， 故选:A. 9．用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据不同角度截得几何体的形状判断得出答案. 【详解】解： 对于选项A：当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆； 对于选项B：当截面与轴截面平行时，得到的截面形状是长方形； 对于选项C：当截面与轴截面斜交时，得到的截面形状是椭圆； 对于选项D：截面的形状不可能是等腰梯形； 故选：D 10．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点、、，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是（    ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 【答案】B 【分析】画出图形观察即可. 【详解】如图所示，    截去的立体图形有四个面，四个顶点，六条边，所以该几何体为三棱锥. 故选：B. 11．一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是（    ） A．四棱台 B．四棱柱 C．四棱锥 D．五棱锥 【答案】C 【分析】根据棱柱，棱台和棱锥的面的个数，结合选项得出答案即可． 【详解】对于A，四棱台是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意； 对于B，四棱柱是上下两个四边形，四个侧面有6个面，满足题意； 对于C，四棱锥有一个底面，四个侧面有5个面，不满足题意； 对于D，五棱锥有一个底面，五个侧面有6个面，满足题意. 故选：C 12．用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（     ） A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形 B．截面有可能是四边形，并且有可能是正方形 C．截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形 D．截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合正方体的几何结构，以及截面的概念与性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，在正方体中， 对于A中，过点三点的截面为，截面的形状为正三角形，所以A正确； 对于B中，过棱的中点，作正方体的截面，此时截面与上下底面平行且全等，所以截面的性质为正方形，所以B正确； 对于C中，用一个平面截正方体，截面可以是五边形，但不能为正五边形，所以C错误； 对于D中，如图所示，用一个平面截正方体，当取各边的中点时，截面是正六边形，所以D正确. 故选：ABD.       13．如图，已知正方体的棱长为为的中点，过点作与直线垂直的平面，则平面截正方体的截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 作出符合条件的截面并求出周长判断即可. 【详解】 当点为的中点时，取的中点，连接， 显然≌，则，， 即有，而平面，平面，则， 又平面，于是平面，而平面， 因此，同理，显然平面， 所以是平面截正方体所得截面，其周长为. 故选：D. 14．如图，在正方体中，，，分别是，的中点.用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，，，证明平面平面，进而求出截面面积. 【详解】取的中点，连接，，， 正方体，平面， 平面，， 是的中点，，且， 四边形是矩形， 且，四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， ，平面，平面， 平面平面， 即平面为过点且平行于平面的平面截正方体所得平面， ，，， . 故选：A. 几何体的距离最值问题 15．在三棱锥中，，，一只蜗牛从点出发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱的中点，则蜗牛爬行的最短距离是（）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三棱锥的侧面展开，从而可知线段为所求，再利用余弦定理即可得解. 【详解】如图所示，将三棱锥的侧面展开，则线段为所求，    由题意得，， 由余弦定理可得， 则，即蜗牛爬行的最短距离是. 故选：D. 16．如图，正三棱锥中，，侧棱长为，过点的平面与侧棱相交于，则△的周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正三棱锥沿剪开，要使△的周长的最小则有，结合已知条件及正三棱锥的性质知△是等边三角形，即可知周长的最小值. 【详解】将正三棱锥沿剪开可得如下图形， ∵，即，又△的周长为， ∴要使△的周长的最小，则共线，即， 又正三棱锥侧棱长为，△CAC'是等边三角形， ∴. 故选：D 17．如图，在圆柱中，，分别为圆，的直径，，，为的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从爬到的最短路径的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把半圆柱侧面展开得到侧面展开图为矩形，结合矩形的性质，即可求解. 【详解】如图所示，把半圆柱侧面展开，得到侧面展开图为矩形 ， 在圆柱中，因为，可得， 即矩形中，，，则最短路径的长度为． 故选：A.    18．如图，已知正方体棱长为2，其内壁是十分光滑的镜面.一束光线从点射出，在正方体内壁经平面反射，又经平面反射后，到达的中点，则该光线所经过的路径长为 . 【答案】 【分析】易得光线从点射出通过两次反射到达点，则其路径在平面内，设光线在平面和平面内的反射点分别是，在矩形中，过点作于点，利用相似比及勾股定理求出即可. 【详解】如图①，光线从点射出通过两次反射到达点， 则其路径在平面内， 设光线在平面和平面内的反射点分别是， 如图②，在矩形中，，过点作于点， 则，故， 则，所以， 则， 所以，， 所以该光线所经过的路径长为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：明确入射光线和反射光线是共面的，都在平面内，是解决本题的关键. 19．如图，有一底面边长为，高为的正六棱柱形粮仓，侧面的中心点为，此时一只蚂蚁正在处，它要沿棱柱侧面到达所经过的最短路程是 .    【答案】 【分析】将此棱柱沿剪开，侧面的中心在上的投影为，由题意可知在展开图中的长是所求的最短路程. 【详解】如图，将此棱柱沿剪开，其展开图为一个长为，宽为的矩形，侧面的中心在上的投影为， 所以若要最短，应沿着侧面走直线到处， 由图可知，，所以. 故答案为：.    20．已知圆锥的母线长度为3，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为3，则此圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】/0.5 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，对应的弧长是底面圆的周长，对应的弦是最短距离，由此求出底面圆的半径． 【详解】解：把圆锥的侧面展开形成一个扇形， 则对应的弧长是底面圆的周长，对应的弦是最短距离， 如图所示，由，得， 所以； 设底面圆的半径为，则， 解得， 即底面圆的半径为． 故答案为：． 直观图问题 21．关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直 【答案】ABC 【分析】根据斜二测画法逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确； 对于B，对于平面多边形，不妨以三角形为例， 如图①， 在中，，其面积， 在其直观图（图②）中， 作，则直观图的面积 ， 因为平面多边形可由若干个三角形拼接而成，在直观图中，每个三角形的面积都为原三角形面积的， 故平面多边形直观图的面积也为原来平面多边形面积为，B正确； 对于C，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等， 故一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确； 对于D，空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直，如长方体的长和高，D错误. 故选：ABC. 22．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合斜二测画法的原几何图形，进而求得其对角线长，得到答案. 【详解】由梯形的直观图，结合斜二测画法，得到原几何图形是直角梯形， 如图所示，其中，， 所以. 故选：C． 23．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（    ） A． B．1 C．8 D． 【答案】B 【分析】根据斜二测画法的规则将图还原，平面图是一个直角三角形，从而可求出其面积. 【详解】 由直观图还原平面图形可知，在中，，， , 所以 故选：B． 24．已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的公式，画出复原图即可求解. 【详解】因为，，取的中点为坐标原点，以为建立坐标系如左图， 因为斜二测直观图为矩形，，, 则， 可得原图中（右图），, , 四边形的面积为. 故选：D. 25．一个水平放置的三角形ABC的直观图是边长为2的等边三角形，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个三角形的面积关系，即可求解. 【详解】由题意可知，， 而，所以. 故选：A 26．用斜二测画法画的直观图如图所示，其中，，则中边上的中线长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出的原图形，结合三角形的几何性质可求得中边上的中线长. 【详解】在直观图中，，且，则，故， 又因为，则，可得， 故为等腰直角三角形，所以，，故轴， 依据题意，作出的原图形如下图所示：    延长至点，使得，则为的中点， 由题意可知，，，，且， 所以，且，故四边形为平行四边形，则， 取的中点，连接， 因为、分别为、的中点，则. 故选：D. 27．如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则（    ）    A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为6 【答案】AD 【分析】根据直观图与平面图的关系可得ABCD是直角梯形，计算直角梯形各边长，逐一判断选项中的结论即可. 【详解】如图过作于，    由等腰梯形可得：是等腰直角三角形， 即，即A正确； 还原平面图为下图，    即， 过C作，由勾股定理得，即错误； 故四边形ABCD的周长为：，即C错误； 四边形ABCD的面积为：，即D正确. 故选：AD 柱体的表面积和体积问题 28．如图，在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为（    ）． A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】利用棱柱和棱锥公式结合整体减部分的方法即可. 【详解】因为正三棱柱， 所以， 则 ， 故选：A. 29．已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】首先求出、，然后证明平面，最后求出三棱锥体积. 【详解】中，因为，，，所以； 中，，，，所以； 中，，，，所以，从而. 因为，，，平面，平面， 所以平面. . 故选：A 30．《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用侧面与下底面的夹角的正切值均为，求得正棱台的高，进而求得其斜高，结合侧面积公式，即可求解. 【详解】设上底面为，下底面为，取的中点，的中点，连接， 设上底面的中心为，下底面的中心为，连接， 过点作于点，如图所示， 因为， 所以即为侧面与下底面夹角的平面角，即， 又因为， 所以，所以， 所以， 所以方亭的侧面积为. 故选：B. 31．如图，三棱台中，，三棱台的体积记为，三棱锥的体积记为，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】根据高相等，体积之比等于底面积之比得到，，从而得到. 【详解】因为棱台中，， 所以，， 由于三棱锥和三棱锥的高相等， 故， 又三棱锥与三棱锥的高相等，， 故， 其中， 故 故选：A 32．已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据三棱棱柱体积的计算公式直接计算，判断选项. 【详解】, 故选:A 33．底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的体积和侧面积分别为（    ） A． B． C．32，24 D．32，6 【答案】A 【分析】由正四棱锥的结构特征求高、斜高，根据体积、侧面积公式求结果. 【详解】由正四棱锥底面为正方形，且底面中心为顶点在底面上射影， 结合题设，底面对角线长为，则棱锥的高，斜高为， 所以正四棱锥的体积为， 侧面积为. 故选：A. 34．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】B 【分析】 割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案. 【详解】由于，而截去的正四棱锥的高为，所以原正四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积为， 截去的正四棱锥的体积为， 所以棱台的体积为. 故选：B. 35．某小区计划修建一个圆台形的花台，它的上、下底面半径分别为和．若需要的土才能把花台填满，则花台高为 ． 【答案】1 【分析】利用圆台体积公式求解. 【详解】圆台形的花台，它的两底面半径分别为1m和2m，高为m， 则两底面积分别为，， 圆台的体积， 解得，所以花台高为1m. 故答案为：1 36．已知正三棱锥的底面边长为2，高为1，则其体积为 ． 【答案】/ 【分析】应用棱锥的体积公式求体积即可. 【详解】由正三棱锥性质知：底面是边长为2的等边三角形，故底面积为， 又三棱锥的高为1，故体积为. 故答案为： 37．在三棱锥中，已知，则该三棱锥的体积为 . 【答案】20 【分析】把三棱锥补形到长方体中，设长方体的三条棱长为，根据条件列出方程组，解方程组求出即得解． 【详解】如图，设长方体的三条棱长为，    由题得； ； ， 解之得 所以 所以该三棱锥的体积为: 故答案为：20 锥体的表面积和体积问题 38．若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设甲圆柱底面圆半径为，高为，乙圆柱底面圆半径为，高为，由等面积之比得到，再由体积相同得到，最后由侧面积公式计算可得. 【详解】设甲圆柱底面圆半径为，高为，乙圆柱底面圆半径为，高为， 则，∴. 又，则， ∴. 故选：B. 39．已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用圆锥侧面积公式求出底面圆半径，进而求出高即可计算得解. 【详解】设圆锥PO的底面圆半径为，由母线长为2，侧面积等于，得， 解得，因此圆锥的高， 所以该圆锥的体积为. 故选：C 40．若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面展开图面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥侧面积公式即可. 【详解】设该圆锥的侧面展开图面积为,底面半径为，母线长为， 则， 故选：B. 41．已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，现往圆锥内放入一个体积最大的球，则球的表面积与圆锥的侧面积之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆锥的轴截面等边三角形的内切圆半径即为球的半径，求出球的半径，然后分别求出球的表面积与圆锥的侧面积，即可求出比值. 【详解】圆锥内放入一个体积最大的球，其半径为圆锥的轴截面等边三角形的内切圆半径， 故该球的半径为， 故球的表面积为， 圆锥的侧面积为， 则球的表面积与圆锥的侧面积之比是. 故选：B. 42．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出上下底面的面积，作出辅助线，得到母线长，从而得到圆台的表面积. 【详解】由题意，得上底面面积为，下底面面积为，    由图形可得，， 母线与下底面所成的角为，故， 故圆台的母线长为2，所以侧面积为， 所以该圆台的表面积为． 故选：C． 43．已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积最大为 (结果保留)； 【答案】 【分析】结合已知条件首先表示出圆柱的侧面积，再利用均值不等式求解即可. 【详解】不妨设矩形的一条边为，则矩形的另一条边为， 则旋转后的圆柱的底面圆半径为，高为， 从而圆柱的侧面积为， 当且仅当时，即时，圆柱的侧面积取得最大值. 故答案为：. 44．已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为1的扇形，则该圆锥的侧面积为 ． 【答案】/ 【分析】根据扇形的面积公式计算即可. 【详解】圆锥的侧面积即是侧面展开图对应的扇形的面积， 所以侧面积. 故答案为：. 45．已知一个圆台的上､下底面半径为，若球与该圆台的上､下底面及侧面均相切，且球与该圆台体积比为，则 . 【答案】 【分析】作出圆台的轴截面，然后根据题意可求出圆台的母线长，从而可求出圆的高，进而可求出圆台的体积. 【详解】作出圆台的轴截面，如图所示：为切点，为圆台的高. 圆台的母线， 所以圆台的高 球的半径，由球与该圆台体积比为得： ，整里得： 方程两边同除，解得或3（舍去） 故答案为： 46．某圆台的上下底面半径分别为1和2，若它的外接球表面积为，则该圆台的高为 . 【答案】 【分析】由球体面积求球体半径，结合圆台轴截面外接圆为外接球最大截面圆，根据已知条件即可求圆台的高. 【详解】若外接球半径，则，可得， 由圆台轴截面外接圆为外接球最大截面圆，如下图于， 所以，则该圆台的高. 故答案为： 47．已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为 ． 【答案】/ 【分析】 根据体积先计算出圆锥的高，再根据高计算出圆锥的母线，即展开图扇形的半径，最后在根据弧长公式求出圆心角. 【详解】 设圆锥（如图所示）的高为．    因为，所以，母线． 将圆锥沿展开所得扇形的弧长为底面周长，根据弧长公式， 所以圆心角. 故答案为：. 点线面的位置关系判断 48．已知是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】在A中，a与b可以成任意角；在B中a与b是平行的；在C中，可得b⊥α，从而得到；在D中，可得a与b可以成任意角，从而得到正确结果. 【详解】由a，b是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面， 在A中， ，因为b的方向不确定，则a与b可以成任意角，故A错误； 在B中，根据对应的性质可知，可知a与b是平行的，故B错误； 在C中，由可知，由线面垂直的性质可知，故C正确； 在D中，，因为b的方向不确定，可得a与b可以成任意角，故D错误． 故选：C. 49．设为两条直线，为两个平面，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若且，则与平行、相交或异面，所以A不正确； 对于B中，若且，则与平行、相交或异面，所以B不正确； 对于C中，若且， 如图所示，取点，过点，作，则， 设，可得，因为，且平面， 所以平面，又因为平面，所以， 所以为与所成角的平面角，由，可得，即， 所以四边形为矩形，所以，所以，所以C正确； 对于D中，若且，则与平行、相交或异面，所以D不正确. 故选：C. 50．已知是不重合的直线，是一个平面，对于下列命题说法正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】C 【分析】根据平面的基本性质，结合空间线线、线面位置关系判断各项正误. 【详解】A：若，则，可能平行或异面，错； B：若且，则或，错； C：若且，则，对； D：若且，若，则不一定垂直，错. 故选：C 51．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据空间中点线面的位置关系，借助于正方体，逐项分析即可. 【详解】 对于A,如上图正方体中，设平面为， 平面为，为， 满足，，此时，故A错误； 对于B，因为，，α、β是不同的平面，则必有， 故B正确； 对于C，如上图正方体中，设平面为， 平面为，为， 满足，，此时，故C错误； 对于D，如上图正方体中，设平面为， 为，为， 则满足，，此时，故D错误. 故选:B. 52．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列选项中能推出的是（    ） A．， B．， C．，， D．， 【答案】D 【分析】 根据直线和平面的相关知识直接判断即可. 【详解】对于A，由，，显然不能得到，故A错误； 对于B，由，，可以得到或异面或相交，故B错误； 对于C，由，，，得或异面，故C错误； 对于D，由，，可以推出，故D正确. 故选：D 53．设，为两条不重合的直线，为一个平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】根据空间中线面之间的位置关系，判断各选项即可. 【详解】对于A，直线可能在平面内，可能与平面相交，也可能平面平行，故A错误. 对于B，设直线为平面内的任意一条直线，因为，，所以， 又，所以，即b与内任意直线垂直，所以，故B正确. 对于C，若，，则直线与直线可能平行，也可能异面，故C错误. 对于D，过直线作平面，使得平面与平面相交，设， 因为，，，所以， 又，，所以，则，故D正确. 故选: BD 54．已知直线m，n为异面直线，平面，平面，则下列线面关系可能成立的是（    ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】AD 【分析】根据线面垂直、面面垂直、面面平行的相关性质一一判断即可. 【详解】对AD，当平面平面，且时，两直线可以为异面直线，故AD正确； 对C，若平面平面，则，则共面，这与直线m，n为异面直线矛盾，故C错误； 对B，当平面时，则平面平面，此时与C错误一致，故B错误. 故选：AD. 55．已知为直线，、、为不同的平面，则下列结论中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】利用平行垂直的性质逐一判断即可. 【详解】对于A：，，平行于同一个平面的两个平面平行，正确； 对于B：，，平行于同一条直线的两个平面可能平行，可能相交，错误； 对于C：，，垂直于同一个平面的两个平面可能平行，可能相交，错误； 对于D：，，垂直于同一条直线的两个平面平行，正确； 故选：AD. 56．已知不重合的直线，，和平面，，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】AD 【分析】根据直线和平面的相关性质逐一判断即可. 【详解】对于A，根据平行传递性可知，若，，则，故A正确； 对于B，若，，则可能出现，或，或相交但不垂直，或异面但不垂直，故B错误； 对于C，若，，，，则或相交，故C错误； 对于D，根据面面垂直判定定理可知，若，，则，故D正确. 故选：AD 几何体的外接球问题 57．已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由条件可得球的半径，再由球的表面积公式，即可得到结果. 【详解】设球的半径为，则，解得， 所以球的表面积为， 故选：A. 58．若平面截球O所得截面圆的半径为3，且球心O到平面的距离为2，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得球的半径，再由球的表面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设球O的半径为R，则，所以球O的表面积为. 故选：B 59．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3∶1，且该几何体的顶点均在体积为的球的表面上，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题意可知：正四棱柱和正四棱锥的高相等，且该几何体的外接球的直径为正四棱柱的体对角线，再通过题意建立方程求出正四棱柱和正四棱锥的高及底面正方形的边长，最后通过表面积公式计算即可求解． 【详解】 因为球的体积为，球的半径， 正四棱柱和正四棱锥的体积之比为，且共一个底面， 正四棱柱和正四棱锥的高相等， 设正四棱柱和正四棱锥的高都为，设正四棱柱的底面正方形的边长为， 作底面，交平面于N,易知N，H分别为中心， 根据对称性可知该几何体的外接球的直径为正四棱柱的体对角线， 设球心为O,则O为NH中点， ，即， 又，，，，， 作，则为中点，又， 该几何体的表面积为． 故选：A 60．在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将三棱锥转化为长方体，结合长方体的外接球以及长度关系运算求解. 【详解】如图，将三棱锥转化为长方体，    可知三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 则，可得， 则外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 61．已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，，且三棱锥的体积最大值为，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三棱锥体积的最大值求得此时到平面的距离，利用勾股定理计算出外接球的半径，再由公式求出表面积. 【详解】设三棱锥外接球球心为， 在三角形中，由余弦定理得， 由于，所以， 设三角形外接圆半径为，外心为. 由正弦定理得. 由三角形的面积为定值， 则当三棱锥体积最大时，到平面的距离最大， 设此时到平面的距离为， 所以三棱锥的体积最大为，故， 由图可知，三棱锥体积最大时三点共线且， 由球心性质可知，平面. 设外接球的半径为， 在中，， 则，即，解得. 则该球的表面积. 故选：C. 62．在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为 ． 【答案】 【分析】将直三棱柱补成长方体，求出该直三棱柱的外接球的直径，利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】因为，，，则，则， 将直三棱柱补成长方体，如下图所示：    所以，直三棱柱的外接球直径为， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为. 故答案为：. 63．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，现有如图所示的“堑绪”，其中，，若“堑绪”的体积为，则“堑堵”的外接球的表面积为 . 【答案】27π 【分析】根据“堑堵”的体积求出，将“堑堵”置于边长为3的正方体中，此时“堑堵”的外接球即为正方体的外接球，求出正方体的对角线可得答案. 【详解】由题意知“堑堵”的体积， 所以，将“堑堵”置于边长为3的正方体中， 此时“堑堵”的外接球即为正方体的外接球， 外接球的直径为， 所以“堑堵”的外接球的表面积. 故答案为：. 64．已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为 . 【答案】 【分析】根据已知条件求得正四棱锥的底面边长和高，结合线面角的知识求得正确答案. 【详解】如图所示正四棱锥，，则平面. 设正四棱锥外接球的半径为，则R=2， 设正四棱锥底面边长为，高为，则①， 由整理得②， 由①②解得， 由于平面，所以正四棱锥的侧棱与底面所成的角为， . 故答案为： 65．已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为 ． 【答案】 【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的体积公式可得结果． 【详解】由题意设三棱台为，如图， 上底面所在平面截球所得圆的半径是，（为上底面截面圆的圆心） 下底面所在平面截球所得圆的半径是，（为下底面截面圆的圆心） 由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线上，设球的半径为， 当在线段上时，轴截面中由几何知识可得，无解； 当在的延长线上时，可得，解得，得， 因此球的体积是. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：本题求球的半径时，容易只考虑在线段上，从而无法求解. 66．已知等边的边长为2，将其沿边旋转到如图所示的位置，此时点，，，在同一球面上，且，则该球的表面积为 . 【答案】/ 【分析】设为的外心，为的外心，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，两垂线交于点，为外接球的球心，为外接球的半径，求出即可求解. 【详解】 由和为全等的等边三角形，设，分别为线段，的中点，连接，，，则，， 设为的外心，为的外心，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，两垂线交于点， 则为该球的球心，连接，知和全等，点在线段上， 在中，，则， 又，，所以， 外接圆半径为，所以， 因为和相似，所以，解得， 设该球的半径为，连接，所以， 则该球的表面积为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：解决有关三棱锥的外接球问题，关键是确定球心，任一截面通过圆心的垂线穿过球心，计算球的半径的常用方法是利用勾股定理. 几何体的内切球问题 67．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题等价于求该正方体内切球的表面积，结合已知数据求解. 【详解】易知体积最大的球为该正方体的内切球，球的半径为1， 则该球的表面积为 故选：D. 68．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，则圆柱的体积和球的体积之比及圆柱的表面积和球的表面积之比分别是（    ）    A．、 B．、 C．、1 D．、 【答案】B 【分析】设球的半径为，则可求出圆柱和球的体积和表面积，即可得出答案. 【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为， 圆柱的体积，球的体积， 所以， 圆柱的表面积，球的表面积， 所以， 故选：B． 69．一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥内切球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合轴截面求内切球的半径，进而可得结果. 【详解】设圆锥的底面半径是r，母线为l， 则，，，圆锥的高， 设圆锥内切球的半径是R， 可得，即，解得， 因此圆锥内切球的体积是． 故选：D． 70．若将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知制成的最大的球体恰好正方体的内切球，求出球的半径，从而可求出球的体积 【详解】由题意可知制成的最大的球体恰好正方体的内切球， 因为正方体的棱长为，所以其内切球的半径为， 所以制作的最大零件的体积为， 故选：D 71．已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出圆锥和其内切球的轴截面，求得母线长，根据内切球性质以及勾股定理可列式求得内切球半径，即可求得答案. 【详解】如图，作出圆锥和其内切球的轴截面，设O为内切球球心，半径为r，内切球与圆锥母线AB相切于D， 设E为圆锥底面中心，则，    易得，圆锥的底面半径为1，则，， 在中，，即， 解得， 故圆锥内切球的体积为， 故选：A 72．将一个底面半径为2，高为3的圆柱体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆柱底面直径与高的关系可知球体最大直径，然后可得. 【详解】由题可知，圆柱的底面直径为4，高为3， 因为，所以该圆柱体铁块能磨制的最大球体直径为3，半径为， 所以该球体的最大体积为. 故选：B 73．棱长为4的正方体的内切球的体积为 ． 【答案】/ 【分析】正方体内切球的直径即为正方体的棱长，再由体积公式计算． 【详解】由题意球半径为2，体积为． 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 立体几何表面积、体积、截面和点线面位置关系的8种常考题型归类 立体几何表面积、体积、截面和点线面位置关系的8种常考题型 题型09：几何体的内切球问题 题型04：直观图问题 题型03：几何体的距离最值问题 题型02：几何体的截面问题 题型01：几何体的结构特征 题型05：柱体的表面积和体积问题 题型06：锥体的表面积和体积问题 题型07：点线面的位置关系判断 题型08：几何体的外接球问题 几何体的结构特征 1．下列关于几何体特征的判断正确的是（    ） A．一个斜棱柱的侧面不可能是矩形 B．底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥 C．有一个面是边形的棱锥一定是棱锥 D．平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的矩形 2．下列说法正确的是（    ） A．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台 B．直角三角形绕其一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥 C．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 D．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 3．以下说法正确的是（     ） A．半圆弧以其直径所在的的直线为轴旋转所成的曲面叫球； B．球的大圆的半径等于球的半径； C．球面和球是同一个概念； D．经过球面上不同的两点只能做一个最大的圆. 4．（多选）下列说法正确的是（    ） A．棱柱的侧面都是平行四边形 B．长方体是正四棱柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．圆柱的所有母线长都相等 5．从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（    ） A．每个面都是等边三角形 B．每个面都是直角三角形 C．有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形 D．有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形 6．下列说法错误的是（    ） A．一个棱柱至少有5个面 B．斜棱柱的侧面中没有矩形 C．圆柱的母线平行于轴 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 几何体的截面问题 7．一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是（   ） A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球 8．用一个平面去截一个圆台，得到的图形不可能是（    ） A．矩形 B．圆形 C．梯形 D．椭圆 9．用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（    ）   A．  B．  C．  D．   10．从长方体的一个顶点出发的三条棱上各取一点、、，过此三点作长方体的截面，那么截去的几何体是（    ） A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 11．一个几何体由6个面围成，则这个几何体不可能是（    ） A．四棱台 B．四棱柱 C．四棱锥 D．五棱锥 12．（多选）用一个平面去截正方体，关于截面的说法，正确的有（     ） A．截面有可能是三角形，并且有可能是正三角形 B．截面有可能是四边形，并且有可能是正方形 C．截面有可能是五边形，并且有可能是正五边形 D．截面有可能是六边形，并且有可能是正六边形 13．如图，已知正方体的棱长为为的中点，过点作与直线垂直的平面，则平面截正方体的截面的周长为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在正方体中，，，分别是，的中点.用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（    ） A． B． C． D． 几何体的距离最值问题 15．在三棱锥中，，，一只蜗牛从点出发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱的中点，则蜗牛爬行的最短距离是（）． A． B． C． D． 16．如图，正三棱锥中，，侧棱长为，过点的平面与侧棱相交于，则△的周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 17．如图，在圆柱中，，分别为圆，的直径，，，为的中点，则一只蚂蚁在圆柱表面从爬到的最短路径的长度为（    ）    A． B． C． D． 18．如图，已知正方体棱长为2，其内壁是十分光滑的镜面.一束光线从点射出，在正方体内壁经平面反射，又经平面反射后，到达的中点，则该光线所经过的路径长为 . 19．如图，有一底面边长为，高为的正六棱柱形粮仓，侧面的中心点为，此时一只蚂蚁正在处，它要沿棱柱侧面到达所经过的最短路程是 .    20．已知圆锥的母线长度为3，一只蚂蚁从圆锥的底面圆上一点出发，绕着圆锥侧面爬行一周，再回到出发点的最短距离为3，则此圆锥的底面圆半径为 ． 直观图问题 21．（多选）关于斜二测画法，下列说法正确的是（    ） A．在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B．若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为 C．一个梯形的直观图仍然是梯形 D．在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直 22．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 23．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（    ） A． B．1 C．8 D． 24．已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 25．一个水平放置的三角形ABC的直观图是边长为2的等边三角形，则的面积是（    ） A． B． C． D． 26．用斜二测画法画的直观图如图所示，其中，，则中边上的中线长为（    ）    A． B． C． D． 27．（多选）如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则（    ）    A． B． C．四边形ABCD的周长为 D．四边形ABCD的面积为6 柱体的表面积和体积问题 28．如图，在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为（    ）． A． B．3 C． D．6 29．已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C．2 D． 30．《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（    ） A． B． C． D． 31．如图，三棱台中，，三棱台的体积记为，三棱锥的体积记为，则（    ） A． B． C． D．7 32．已知正三棱柱所有棱长均为2，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B．4 C． D． 33．底面边长为，且侧棱长为的正四棱锥的体积和侧面积分别为（    ） A． B． C．32，24 D．32，6 34．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（    ） A．26 B．28 C．30 D．32 35．某小区计划修建一个圆台形的花台，它的上、下底面半径分别为和．若需要的土才能把花台填满，则花台高为 ． 36．已知正三棱锥的底面边长为2，高为1，则其体积为 ． 37．在三棱锥中，已知，则该三棱锥的体积为 . 锥体的表面积和体积问题 38．若甲、乙两个圆柱的体积相等，底面积分别为和，侧面积分别为和.若，则（    ） A． B． C． D． 39．已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 40．若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面展开图面积是（    ）． A． B． C． D． 41．已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，现往圆锥内放入一个体积最大的球，则球的表面积与圆锥的侧面积之比是（    ） A． B． C． D． 42．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为，则该圆台的表面积为（    ） A． B． C． D． 43．已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，则旋转形成的圆柱的侧面积最大为 (结果保留)； 44．已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为1的扇形，则该圆锥的侧面积为 ． 45．已知一个圆台的上､下底面半径为，若球与该圆台的上､下底面及侧面均相切，且球与该圆台体积比为，则 . 46．某圆台的上下底面半径分别为1和2，若它的外接球表面积为，则该圆台的高为 . 47．已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为 ． 点线面的位置关系判断 48．已知是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 49．设为两条直线，为两个平面，若，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 50．已知是不重合的直线，是一个平面，对于下列命题说法正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 51．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 52．已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列选项中能推出的是（    ） A．， B．， C．，， D．， 53．（多选）设，为两条不重合的直线，为一个平面，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 54．（多选）已知直线m，n为异面直线，平面，平面，则下列线面关系可能成立的是（    ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 55．（多选）已知为直线，、、为不同的平面，则下列结论中正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 56．（多选）已知不重合的直线，，和平面，，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 几何体的外接球问题 57．已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 58．若平面截球O所得截面圆的半径为3，且球心O到平面的距离为2，则球O的表面积为（    ） A． B． C． D． 59．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的体积之比为3∶1，且该几何体的顶点均在体积为的球的表面上，则该几何体的表面积为（    ） A． B． C． D． 60．在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 61．已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，，且三棱锥的体积最大值为，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 62．在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为 ． 63．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，现有如图所示的“堑绪”，其中，，若“堑绪”的体积为，则“堑堵”的外接球的表面积为 . 64．已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为 . 65．已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为 ． 66．已知等边的边长为2，将其沿边旋转到如图所示的位置，此时点，，，在同一球面上，且，则该球的表面积为 . 几何体的内切球问题 67．将棱长为2的正方体削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（　　） A． B． C． D． 68．如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，则圆柱的体积和球的体积之比及圆柱的表面积和球的表面积之比分别是（    ）    A．、 B．、 C．、1 D．、 69．一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥内切球的体积是（    ） A． B． C． D． 70．若将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（    ） A． B． C． D． 71．已知圆锥的底面半径为1，高为，则该圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 72．将一个底面半径为2，高为3的圆柱体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（    ） A． B． C． D． 73．棱长为4的正方体的内切球的体积为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$