专题08 立体几何异面直线所成角、线面角、面面角及平行和垂直的证明的6种常考题型归类【好题汇编】-备战2023-2024学年高一数学下学期期末真题分类汇编（北师大版2019必修第二册）

专题08 立体几何异面直线所成角、线面角、面面角及平行和垂直的证明的6种常考题型归类 立体几何异面直线所成角、线面角、面面角及平行和垂直的证明的6种常考题型 题型05:线线垂直、线面垂直、面面垂直证明 题型06:立体几何的综合性问题 题型03:平面与平面所成角问题 题型02:直线与平面所成角问题 题型04:线线平行、线面平行和面面平行的证明 题型01:异面直线所成角问题 异面直线所成角问题 1．正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，顶点在底面ABC上的射影为的中心，则异面直线AB与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 4．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在长方体中，，异面直线与所成的的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 6．已知在正四棱台中，，若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 7．在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 直线与平面所成角问题 8．（多选）已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（    ） A．圆台的母线与底面所成的角为 B．圆台的侧面积为 C．圆台的体积为 D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 9．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与平面夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 10．（多选）在长方体中，与平面所成的角为，则（    ） A．异面直线与所成的角为 B．异面直线与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角的正弦值为 11．（多选）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且点到平面的距离为，则（    ） A．该圆锥的体积为 B．直线与平面所成的角为 C．二面角为 D．直线与所成的角为 12．（多选）在正方体中，下列说法正确的是（    ） A． B．平面 C．直线与平面的夹角为 D．三棱锥是正四面体 13．（多选）已知正方体的棱长为1，则（    ） A．直线与直线所成的角为 B．平面 C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的余弦值为 14．已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为 . 15．在正三棱柱中，，点为棱的中点，则直线与平面夹角的正弦值为 ． 平面与平面所成角问题 16．如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 17．在正三棱台中，，二面角为，则该三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 18．将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 19．在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（    ） A．4 B．2 C． D． 20．如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 21．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 22．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，底面半径为2，，是底面圆周上两点，且，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 23．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则下列各选项正确的是（    ） A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．过圆锥任意两条母线的截面中面积最大的为 线线平行、线面平行和面面平行的证明 24．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点． (1)求证：BE∥平面ADP； (2)求异面直线PA与CB所成的角的大小． 25．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是与的交点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 26．如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点． (1)证明：； (2)求三棱锥的体积． 27．已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证： (1)E、F、D、B四点共面 (2)平面平面. 28．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E､F､G分别为PC､PD､BC的中点.    (1)求证：PA平面EFG； (2)求三棱锥P﹣EFG的体积. 29．如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，O分别为上、下底的中心，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求棱柱的侧面积. 30．如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，点分别是线段的中点．    (1)求证：平面 (2)是线段的中点，证明：平面平面． 31．如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.    (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由. 线线垂直、线面垂直、面面垂直证明 32．如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积． 33．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面面，，，为的中点. (1)求证：面面； (2)若的大小为，求四棱锥的体积. 34．如图，在四棱锥中，平面，，. (1)求证：平面； (2)若，求点C到平面的距离. 35．如图，四棱锥中，，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，M是的中点，求三棱锥的体积. 36．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证：    (1)平面； (2)． 37．如图，在三棱锥中，平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 38．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积． 39．如图1，在矩形ABCD中，，．将△BCD沿BD翻折至，且，如图2．    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面ABD夹角的余弦值． 40．如图，在四棱锥中，，，，平面平面． (1)求证：平面； (2)设，，求三棱锥的体积． 41．正三棱柱的底面边长与侧棱长都是2，分别是的中点． (1)求三棱柱的全面积； (2)求证：∥平面； (3)求证：平面⊥平面． 立体几何的综合性问题 42．如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（    ）    A． B． C．直线与平面所成角的最大值是 D．的最小值为 43．如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，点为 上一点，且，则下列结论中正确的有（    ） A．正三棱台的高为 B．点P的轨迹长度为 C．高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内 D．过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 44．已知正方体的棱长为2，P，Q分别是棱，上的动点（含端点），则（    ）    A．四面体的体积是定值 B．直线与平面所成角的范围是 C．若P，Q分别是棱，的中点，则 D．若P，Q分别是棱，的中点，则经过P，Q，C三点作正方体的截面，截面面积为 45．如图，棱长为1的正方体中，E为棱的中点，点F在该正方体的侧面上运动，且满足平面．下列说法正确的是（    ） A．点F轨迹是长度为的线段 B．三棱锥的体积为定值 C．存在一点F，使得 D．直线与直线所成角的正弦值的取值范围为 46．已知正四棱锥的底边长为2，高为2，且各个顶点都在球的球面上，则下列说法正确的是（    ） A．直线与平面所成角的余弦值为 B．平面截球所得的截面面积为 C．球的体积为 D．球心到平面的距离为 47．如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．直线与平面所成角的正弦值是 D．平面与平面夹角的余弦值是 48．已知正三棱台中，的面积为，的面积为，，棱的中点为，则（    ） A．该三棱台的侧面积为 B．该三棱台的高为 C．平面 D．二面角的余弦值为 49．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的有（    ） A．该圆台轴截面面积为 B．与的夹角 C．该圆台的体积为 D．沿着该圆台侧面，从点到中点的最短距离为 50．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的是（　　）    A． B． C．平面平面 D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 立体几何异面直线所成角、线面角、面面角及平行和垂直的证明的6种常考题型归类 立体几何异面直线所成角、线面角、面面角及平行和垂直的证明的6种常考题型 题型05:线线垂直、线面垂直、面面垂直证明 题型06:立体几何的综合性问题 题型03:平面与平面所成角问题 题型02:直线与平面所成角问题 题型04:线线平行、线面平行和面面平行的证明 题型01:异面直线所成角问题 异面直线所成角问题 1．正方体中，分别是的中点，则直线与直线所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过平移将异面直线的所成角转化为相交直线的所成角，在三角形内利用余弦定理即可求得 【详解】 如图，取的中点，再取的中点，连接，因点是的中点，易证,可得， 又因点是的中点，故，则，故直线与直线所成角即直线与直线所成角. 不妨设正方体棱长为4，在中，， 由余弦定理，，即直线与直线所成角的余弦值为. 故选：C. 2．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，顶点在底面ABC上的射影为的中心，则异面直线AB与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于‖，所以为异面直线AB与所成角，然后根据题意可判断为等边三角形，从而可求出，进而可求得结果. 【详解】设顶点在底面上的射影为，连接， 因为，所以为异面直线AB与所成角， 因为为等边三角形，为的中心， 所以， 因为顶点在底面ABC上的射影为， 所以平面， 因为平面，所以，, 所以，所以， 因为，所以， 所以为等边三角形，所以， 所以， 所以异面直线AB与所成角的余弦值为， 故选：A 3．如图，正三棱柱中，点E为正方形的中心，点F为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，取的中点，结合平行公理，利用异面直线所成角的定义，借助等腰三角形的性质求解即可. 【详解】在正三棱柱中，取中点，连接， 由点E为正方形的中心，得，而， 于是，由为棱的中点，得， 则四边形是平行四边形，有，即或其补角就是异面直线与所成的角， 显然正三棱柱所有棱长都相等，令棱长为2， 则， 等腰底边上的高，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 故选：D 4．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用全等三角形证得，由余弦定理求出，再利用定义法求出直线与所成角的正弦值. 【详解】连结交于，连结，则为的中点，如图， 由底面为正方形，，得，即， 又，则，有，即， 在中，由余弦定理得，则为正三角形， 由，得是直线与所成的角，即，， 所以直线与所成角的正弦值为. 故选：A 5．如图，在长方体中，，异面直线与所成的的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把异面直线所成的角，转化为平面角，再用解三角形的方法求解. 【详解】连接，交于点，取的中点，连接. 因为，所以与所成的角为（或其补角）. 令，在中，由，得. 又，， 由余弦定理得，即，解得， 所以. 故选：C 6．已知在正四棱台中，，若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得为异面直线与所成角，即可求出，连接、，过点作交于点，过点作交于点，即可求出棱台的高，从而求出棱台的体积. 【详解】如图在正四棱台中，， 所以为异面直线与所成角，又， 所以，，且，所以， 连接、，过点作交于点，过点作交于点， 则，， 所以，则， 即正四棱台的高， 所以棱台的体积.    故选：D 7．在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【分析】连接，可得或，求解三角形即可求出. 【详解】如图，连接，在中，因为为中点，所以，， 在中，因为为中点，所以，， 因为与所成的角为，所以或， 当时，为等边三角形，所以， 当，由余弦定理可得，即， 所以的长为1或. 故选：C. 直线与平面所成角问题 8．已知圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线长为，则（    ） A．圆台的母线与底面所成的角为 B．圆台的侧面积为 C．圆台的体积为 D．若圆台的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为 【答案】ABD 【分析】选项A，先求出圆台的高，进而求出圆台的母线与底面所成的角即可；选项B，由圆台的侧面积公式求解即可；选项C，由圆台的体积公式求解即可；选项D，设球心到下底面的距离为，由勾股定理得，求解即可. 【详解】对于A，因为圆台的上、下底面半径分别为1和3，母线为， 所以圆台的高为：， 根据线面角定义求出母线与底面所成角，A正确； 对于B，由圆台的侧面积公式， 求得圆台的侧面积为：，B正确； 对于C，由圆台的体积公式， 求得圆台体积为：，C错误； 对于D，由题意可知球心在下底面下方，设球心到下底面的距离为， 由勾股定理得，解得， 则该球的半径为，所以该球的表面积为，D正确． 故选：ABD. 9．已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，，则直线与平面夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求，再作出平面，根据垂直关系，以及等面积转化，确定垂足点的位置，以及，再求线面角的正弦值. 【详解】如图，由题意可知，， 中，根据余弦定理可知，则， 过点作平面，，连结，，连结，    因为平面，平面，所以 ，且平面 所以平面，平面， 所以，又因为，所以， 同理， 中，，则， 根据等面积公式，，所以，， 又，所以， 则， 直线与平面夹角的夹角为，. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定垂足的位置，以及垂直关系的转化. 10．在长方体中，与平面所成的角为，则（    ） A．异面直线与所成的角为 B．异面直线与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角、线面角的向量求法求解即得. 【详解】在长方体中，连接，显然对角面是矩形，即， 由，得，因此矩形是正方形，又平面， 则是与平面所成的角，即，令，则， 建立如图所示的空间直角坐标系，，    对于A，，， 则，因此异面直线与所成的角为，A正确； 对于B，，， 则，因此异面直线与所成的角为，B正确； 对于C，，而平面的法向量， ，显然是不等于的钝角， 因此与平面所成的角不为，C错误； 对于D，平面的法向量，， 所以与平面所成的角的正弦值为，D正确. 故选：ABD 11．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且点到平面的距离为，则（    ） A．该圆锥的体积为 B．直线与平面所成的角为 C．二面角为 D．直线与所成的角为 【答案】BCD 【分析】取线段的中点，连接，过作，垂足为，可证明面，即可得，对于A：求出底面圆半径，然后用圆锥的体积公式求解；对于B：直线与平面所成的角为，在直角三角形中求解即可；对于C：二面角的平面角为，在直角三角形中求解即可；对于D：取线段的中点，连接 ，直线与所成的角为或其补角，求出的三边，然后利用余弦定理求解. 【详解】取线段的中点，连接，过作，垂足为， 易知，又，面， 所以面，又面， 所以，又，且，面， 所以面，所以线段的长为点到平面的距离， 即，    对于A：在等腰三角形中，，， 所以， 所以该圆锥的体积为，A错误； 对于B：由面可得直线与平面所成的角为， 在直角三角形中，，所以，B正确； 对于C：由面可得二面角的平面角为， 在直角三角形中，，所以，C正确； 对于D：取线段的中点，连接 ， 明显有， 则直线与所成的角为或其补角， 因为，则， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 在中，， 所以，D正确.    故选：BCD. 12．在正方体中，下列说法正确的是（    ） A． B．平面 C．直线与平面的夹角为 D．三棱锥是正四面体 【答案】ABD 【分析】对于选项A: 先证面,再证即可；对于选项B：先通过线面垂直证明，，再结合线面垂直的判定定理证明即可; 对于选项C:结合线面角的定义计算该线面角即可；对于选项D:由即可判定. 【详解】于选项A:连接, 在正方体中有面，且面, 所以， 又因为底面为正方形，所以， 因为,面，所以面, 因为面,所以.故选项A正确；    对于选项B：连接, 在正方体中有面,且面, 所以， 又因为底面为正方形，所以， 因为,面,所以面, 因为面,所以. 在正方体中有面,且面, 所以， 又因为底面为正方形，所以， 因为,面,所以面, 因为面,所以. 因为,面,所以平面,故选项B正确；    对于选项C：连接, 在正方体中有面, 所以为直线在平面的射影, 即为直线与平面所成的角, 设正方体的棱长为，则，, 则，故选项C错误；    对于选项D:连接 在正方体中易得 故三棱锥是正四面体.故选项D正确.    故选：ABD. 13．已知正方体的棱长为1，则（    ） A．直线与直线所成的角为 B．平面 C．点到平面的距离为 D．直线与平面所成角的余弦值为 【答案】BD 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标得到，即可判断选项A；利用向量法证明，即可判断选项B；利用向量法求出点到平面的距离即可判断选项C；利用向量法求出直线与平面所成角的余弦值即可判断选项D. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：. A：，因为，所以，因此选项A不正确； B：，所以， 所以，而，平面，因此平面，所以选项正确； C：因为平面，所以是平面的法向量，， 所以点到平面的距离为，因此选项C不正确； ：设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的余弦值，因此选项D正确. 故选：BD. 14．已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为 . 【答案】 【分析】根据已知条件求得正四棱锥的底面边长和高，结合线面角的知识求得正确答案. 【详解】如图所示正四棱锥，，则平面. 设正四棱锥外接球的半径为，则R=2， 设正四棱锥底面边长为，高为，则①， 由整理得②， 由①②解得， 由于平面，所以正四棱锥的侧棱与底面所成的角为， . 故答案为： 15．在正三棱柱中，，点为棱的中点，则直线与平面夹角的正弦值为 ． 【答案】/ 【分析】记分别为直线的中点，取中点，连结，，只需证平面，即可得是与平面所成的角，进而可求出结果. 【详解】记分别为直线的中点，取中点，连结，， 所以在正三棱柱中，，平面平面， 平面平面，面，所以平面； 又是的中点，所以，所以平面， 故即是与平面所成的角； 设，则， ，所以. 故答案为：. 平面与平面所成角问题 16．如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，利用结合向量的数量积的运算公式，即可求解． 【详解】因为二面角的大小为，，，，，， 所以与的夹角为，又因为， 所以 ， 所以，即． 故选：A． 17．在正三棱台中，，二面角为，则该三棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合正三棱台的结构特征求出棱台的高，再利用棱台的体积公式计算即得. 【详解】在正三棱台中，令的中点分别为，连接， 则，于是二面角的平面角为，即， 设上底面与下底面的中心分别为，连接，则， 过点作，垂足为，则，则，则， 所以该三棱台的体积为. 故选：B 18．将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图，在正双三棱锥中，两两互相垂直，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，连接，说明为二面角的平面角，通过几何关系计算求解. 【详解】取中点，连接，交平面于点， 由正棱锥性质及对称性易知为的中心，且， 故为二面角的平面角， 设正三棱锥侧棱长为2，易得， 则， 在中由余弦定理得. 故选：D. 19．在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，得到为二面角的平面角，所以，从而求出四棱锥的高，由棱锥体积公式求出答案. 【详解】连接，相交于点，则为正方形的中心， 故⊥底面， 取的中点，连接，则，， 故为二面角的平面角，所以， 故， 所以该四棱锥的体积为. 故选：C 20．如图，正方体，棱长为是的中点，则二面角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角平面角的定义得到是二面角的平面角，然后求正弦值即可. 【详解】    如图，取中点，连接，， 因为为正方体，所以，， 因为为中点，所以，， 因为平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角， ，，， ，所以二面角的正弦值为. 故选：B. 21．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则的面积为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】作图，取AC中点，根据圆锥的性质及二面角的定义计算PD、AC长即可. 【详解】      如图所示，∵AB为底面直径，，， ∴是等腰三角形，由余弦定理可得，， 由圆锥的特征易知， 取中点D，连接， 显然有，即二面角为， ∴，则， ∴， 故选：B 22．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，底面半径为2，，是底面圆周上两点，且，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连，可证是二面角的平面角，再根据已知条件计算可得结果. 【详解】取的中点，连， 因为，所以，因为，所以， 所以是二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以，所以. 所以二面角的大小为.    故选：B 23．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则下列各选项正确的是（    ） A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为 C． D．过圆锥任意两条母线的截面中面积最大的为 【答案】C 【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性；利用二面角的知识判断C；对于D选项，结合三角形的面积公式求解判断即可. 【详解】依题意，，，所以， A选项，圆锥的体积为，A选项错误； B选项，圆锥的侧面展开图扇形弧长为， 所以圆锥的侧面积为，B选项错误； C选项，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，C选项正确； D选项，设过圆锥任意两条母线的截面为，， 在中，， 因为，所以当时，截面面积最大， 而，故D选项错误. 故选：C.    线线平行、线面平行和面面平行的证明 24．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点． (1)求证：BE∥平面ADP； (2)求异面直线PA与CB所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)60° 【分析】（1）取PD的中点取PD的中点F，连接EF，AF，利用平行四边形证明BE∥AF即可； （2）取CD的中点G，连接AG，PG，可得∠PAG(或其补角)为PA与CB所成的角，由等边三角形求解即可. 【详解】（1）取PD的中点取PD的中点F，连接EF，AF， 则在△PCD中，EF∥CD且EF＝CD， 由已知AB∥CD且AB＝CD， 所以AB∥EF且AB＝EF， 所以四边形ABEF为平行四边形， 所以BE∥AF，而AF⊂平面ADP，BE⊄平面ADP， 所以BE∥平面ADP． （2）取CD的中点G，连接AG，PG， 所以AB∥GC且AB＝GC， 所以四边形ABCG为平行四边形， 所以BC∥AG，所以∠PAG(或其补角)为PA与CB所成的角， 由题意得PA＝AG＝PG＝3，所以∠PAG＝60°， 所以异面直线PA与CB所成的角的大小为60°． 25．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是与的交点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据正方体的性质可得是的中点，从而可得，根据线面平行的判定定理即可证明； （2）根据即可求解. 【详解】（1）∵是与的交点，∴是的中点， 又是棱的中点，∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）由正方体的性质可得平面， 所以. 26．如图，在棱长为3的正方体中，分别为棱的中点． (1)证明：； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，结合中位线证明出结论； （2）求出底面积和高，利用锥体体积公式求出答案. 【详解】（1）连接， 因为分别为棱的中点， 所以， 因为正方体的棱长为3， 所以，， 故四边形为平行四边形， 所以， 故； （2）由题意得，正方形的面积为， ，， 故， 又⊥平面，故⊥平面， 三棱锥的体积为. 27．已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证： (1)E、F、D、B四点共面 (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意证明，即可得结果； （2）根据线面、面面平行的判定定理分析证明. 【详解】（1）证明：分别是、的中点， 所以， 又， 所以四边形是平行四边形， . ， 即确定一个平面，故E、F、D、B四点共面. （2）（2）M、N分别是、的中点， .又平面，平面，平面. 连接，如图所示，则，. 四边形是平行四边形. . 又平面，平面. 平面. 都在平面,且,所以平面平面. 28．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E､F､G分别为PC､PD､BC的中点.    (1)求证：PA平面EFG； (2)求三棱锥P﹣EFG的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，说明不在平面，在平面，证明平行平面内的直线即可证明平面； （2）利用转化法，求出底面面积和高，求三棱锥的体积． 【详解】（1）如图，取的中点，连接，， ，分别为，的中点，． ，分别为，的中点， ．．，，，四点共面 ，分别为，的中点， ． 平面，平面， 平面． （2）平面，平面， ． 为正方形，．，平面, 平面． ，， ． ，    29．如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的菱形，，O分别为上、下底的中心，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求棱柱的侧面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)48 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明线面平行； （2）作出辅助线，利用等体积法和三棱锥的体积求出，即，从而求出侧面积. 【详解】（1）证明：连接. ∵点O，E分别为，的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）取中点，连接，. ∵E为的中点， ∴为的中位线， ∴，且. ∵， ∴， 由菱形的性质知，为边长为2的等边三角形. 又平面， ∴平面，， ∵点E是的中点， ∴， ∴，即. ∴侧面积. 30．如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，点分别是线段的中点．    (1)求证：平面 (2)是线段的中点，证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）四边形是平行四边形可知， 连接AE必与BD相交于中点F，故， 面ABC，面ABC， 面ABC；    （2）由点分别为中点可得：， 面ACD，面ACD，面ACD， ，面ACD，面ACD，面ACD， 平面， 故平面平面ACD．    31．如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.    (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明； （2）由中位线、线面平行的性质可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明； （3）根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面， 平面平面，所以； （2）如下图，取为中点，连接，由E是PD的中点， 所以且，由（1）知，又， 所以且，所以四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，则平面.    （3）取中点N，连接，， 因为E，N分别为，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 线段存在点N，使得平面，理由如下： 由（2）知：平面，又，平面，平面， 所以平面平面，又M是上的动点，平面， 所以平面，所以线段存在点N，使得平面. 线线垂直、线面垂直、面面垂直证明 32．如图，在直三棱柱中，，，，，点是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)64 【分析】（1）设与交于点，可得，由线面平行的判定可得答案 （2）由余弦定理得可得，由勾股定理可得，又平面得，可得平面可得答案； （3）在中过点作，垂足为，可得平面，利用相等可得答案. 【详解】（1）设与交于点，则为的中点，连接， 则在中，则DE是的中位线，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）在中，由，，， 由余弦定理，得， 则，即，为直角三角形，． 又平面，平面，， 又，平面， 平面， 平面，． （3）在中过点作，垂足为， 平面平面，且平面平面，平面 易知，， ，． 33．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面面，，，为的中点. (1)求证：面面； (2)若的大小为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据侧面面，得到面，再利用面面垂直的判定定理证明； （2）取AB的中点O，连接PO，易知为等边三角形，从而，然后根据E为PD的中点求解. 【详解】（1）证明：侧面面，，面面=AB， 面，又平面PBC， 面面； （2）如图所示： 取AB的中点O，连接PO，因为，的大小为， 所以为等边三角形， 则，因为侧面面，侧面面， 所以平面， ， 又因为E为PD的中点， 所以. 34．如图，在四棱锥中，平面，，. (1)求证：平面； (2)若，求点C到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) . 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理、性质定理可得答案； （2）利用线面垂直的判定定理、性质定理可得，再由可得答案. 【详解】（1）平面平面， 平面， 平面； （2）， 平面平面， 平面， 平面，平面，则， ， ， 设点到平面的距离为h， 由，得，即， 点到平面的距离为. 35．如图，四棱锥中，，，，平面平面. (1)证明：； (2)若，M是的中点，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用直角梯形的性质计算证得，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理即得. （2）取的中点，连接，利用面面垂直的性质结合等体积法求出体积. 【详解】（1）在四棱锥中，，，， 四边形是直角梯形，，，， 于是，即，而平面平面， 平面平面，平面，则平面，又平面， 所以. （2）取的中点，连接，由，得，， 由平面平面，平面平面，平面，得平面， 由M是的中点，得点到平面的距离，又， 显然，所以三棱锥的体积. 36．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别是，的中点．求证：    (1)平面； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）借助线面垂直判定定理即可得； （2）借助线面垂直性质定理即可得. 【详解】（1）四棱锥的底面是矩形， ，平面，平面， ，又，、平面， 平面； （2）由（1）知平面， 同理可得，平面， ，分别是，的中点， ，平面， 又平面，. 37．如图，在三棱锥中，平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质可得出，利用勾股定理的逆定理可证得，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）取线段的中点，连接、，推导出平面，可知直线与平面所成角为，计算出、的长，即可求得的值，即为所求. 【详解】（1）证明：在中，，，，则， 所以，， 又因为平面，平面，所以，， 因为，、平面，因此，平面. （2）解：取线段的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，则且， 因为平面，则平面， 所以，与平面所成的角为， 因为平面，平面，所以，， 因为，，则， 因为为的中点，则， 因为平面，平面，则， 所以，， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 38．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据勾股定理证得，根据直棱柱的性质和线面垂直的性质定理证得；再根据线面垂直的判定定理证得平面；最后根据面面垂直的判定定理即可证得平面平面. （2）根据三棱锥等体积及锥体体积公式可求解. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴. ∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC， ∴， 又因为，平面，平面， ∴平面， 又平面ACE， ∴平面平面． （2）由（1）知，平面， ∴AC为三棱锥的高，且. 由直三棱柱的性质可得：四边形为矩形. 因为，分别为，的中点， 所以，，， 则， ∴． 39．如图1，在矩形ABCD中，，．将△BCD沿BD翻折至，且，如图2．    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面ABD夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）作，在平面内过点E作，即作出平面与平面ABD所成二面角的平面角，解三角形求出线相段的长，解即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，则， 故，又，且平面， 故平面，而平面， 故平面平面； （2）作，垂足为E，在平面内过点E作，交于F，连接， 则即为平面与平面ABD夹角或其补角，    由题意知，， 故，， 又在中，，则， 则， 又平面，平面，故， 则， 故，即， 在中，, 故平面与平面ABD夹角的余弦值为． 40．如图，在四棱锥中，，，，平面平面． (1)求证：平面； (2)设，，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见及解析 (2) 【分析】 （1）取的中点，结合等腰三角形三线合一、面面垂直和线面垂直性质可得，又，由线面垂直的判定可证得结论； （2）利用勾股定理可求得，，根据，结合棱锥体积公式可求得结果． 【详解】（1） 取的中点，连接， 因为，为中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，，所以， 且，平面，所以平面． （2） 由（1）知平面， 因为平面，所以， 又，，所以， 因为，所以为等腰三角形， 所以 所以， 所以. 【点睛】 本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了几何体体积计算问题，是中档题． 41．正三棱柱的底面边长与侧棱长都是2，分别是的中点． (1)求三棱柱的全面积； (2)求证：∥平面； (3)求证：平面⊥平面． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用棱柱的表面积公式进行求解即可； （2）利用线面平行的判定定理进行证明即可； （3）利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）因为三棱柱是正三棱柱，且棱长均为2，所以底面是正三角形，侧面均为正方形， 故三棱柱的全面积为； （2）在正三棱柱中，因为分别是的中点， 可知，又∥， 所以四边形是平行四边形，故∥， 又平面，平面， 所以∥平面． （3）连，设与相交于，则由侧面为正方形，可知与互相平分． 在中，，在中，，故， 连，则． 又，，连，则， 又与相交于，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． 立体几何的综合性问题 42．如图，在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列选项正确的有（    ）    A． B． C．直线与平面所成角的最大值是 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】由正方体的性质，得到正方体中的垂直关系，对照选项作出判断；作出直线与平面所成角，进而判断线面角的最大值；通过翻折平面，将平面与平面沿翻折到同一个平面内，进而判断的最小值. 【详解】对于选项A，由正方体性质，易得,, 因为平面， 所以平面. 因为平面，所以，故A正确； 对于选项B，当与重合，则此时与夹角为，故B错误； 对于选项C，如图连接交于，      因为平面，平面，所以. 因为,平面, 所以平面，即平面， 所以为直线与平面所成角，所以. 所以当最小时最大，即时，最小. 由，可得， 此时，故的最大值为， 直线与平面所成角的最大值是，故C正确； 对于选项D，如图，将平面与平面沿翻折到同一个平面内    由题意，， 从而，故为平行四边形. 又，故为矩形. 从而当为与交点时，最小，此时，故D正确. 故选:ACD. 43．如图，已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点P在侧面内运动（包含边界），且AP与平面所成角的正切值为，点为 上一点，且，则下列结论中正确的有（    ） A．正三棱台的高为 B．点P的轨迹长度为 C．高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内 D．过点的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 【答案】ACD 【分析】延长正三棱台侧棱相交于点，分析可知三棱锥为正四面体，对于A：根据正四面体的高以及棱台的性质分析求解；对于B：根据线面夹角可得，可知点的轨迹为等边的内切圆，即可得结果；对于C：根据三棱台、圆柱的结构特征分析判断；对于D：利用等体积法求正四面体的内切球，分析可知该棱台内最大的球即为正四面体的内切球，即可得结果. 【详解】延长正三棱台侧棱相交于点，由题意可知：， 在等腰梯形中，因为，，，则. 即为等边三角形，可知三棱锥为正四面体，且. 对于选项A：设为等边的中心， 由正四面体的性质可知：侧面，且， 即点到底面的距离为， 又因为，，所以正三棱台的高为，故A正确； 对于选项B：因为与平面所成角的正切值为， 即，解得， 且等边的内切圆半径， 可知点的轨迹为等边的内切圆，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于选项C：因为正三棱台的高，且的内切圆半径为， 所以高为，底面圆的半径为的圆柱可以放在棱台内，故C正确； 对于选项D：设正四面体的内切球半径， 由等体积法可得：，解得. 因为，则该棱台内最大的球即为正四面体的内切球. 又因为，，， 则为的中点，过点的平面正好过该内切球的球心， 所以截面面积为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：将三棱台补成三棱锥，结合题意分析可知三棱锥为正四面体，结合正四面体的性质分析判断. 44．已知正方体的棱长为2，P，Q分别是棱，上的动点（含端点），则（    ）    A．四面体的体积是定值 B．直线与平面所成角的范围是 C．若P，Q分别是棱，的中点，则 D．若P，Q分别是棱，的中点，则经过P，Q，C三点作正方体的截面，截面面积为 【答案】ABC 【分析】由体积公式计算判断A；由线面角公式判断B；由距离计算判断C;由截面做法及计算判断D. 【详解】对A，因为四面体的体积为，h为到底面的距离，且为定值2， 为定值，故四面体的体积是定值，A正确； 对B，连接，易得平面， 故平面，则到平面的距离即为到平面的距离； 又，平面， 则平面，则到平面的距离为， 易得，则直线与平面所成角的正弦值为， 所以直线与平面所成角的范围是，故B正确；    对C，若P，Q分别是棱，的中点，易得，故C正确； 对D，取中点M,中点N,连接， 易知故四边形为平行四边形，则， 易知，故，故经过P，Q，C三点作正方体的截面，截面为梯形， 如图：    又易得，， 作易得为矩形， 设，则， 由则，解得， 故， 故四边形的面积为，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题考查正方体性质，线面角及截面问题，明确截面形状是解决D的关键. 45．如图，棱长为1的正方体中，E为棱的中点，点F在该正方体的侧面上运动，且满足平面．下列说法正确的是（    ） A．点F轨迹是长度为的线段 B．三棱锥的体积为定值 C．存在一点F，使得 D．直线与直线所成角的正弦值的取值范围为 【答案】ACD 【分析】设G为中点，证得平面，平面，得到平面平面，得出点的轨迹为线段，可判定A正确；由，可判定B错误；当点为中点时，证得，可判定C正确；当点为中点和点与或重合时，分别求得直线与直线所成角的正弦值可判定D正确. 【详解】设G为中点，则截面图形是为等腰梯形，分别为的中点， 可得且， 因为平面，平面，且平面，平面， 所以平面，平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 因为平面，且点在该正方体的侧面上运动， 所以点的轨迹为线段，且，所以A正确； 由，所以B错误； 当点为中点时，因为，可得， 因为，所以，所以C正确； 当点为中点时， 在正方体，可得， 则直线与直线所成的角，即为直线与直线所成的角，设， 在等腰中，，可得， 在中，可得， 所以； 当点与或重合时，此时直线与直线所成角的正弦值为， 所以直线与直线所成角的正弦值的取值范围为，所以D正确. 故选：ACD. 46．已知正四棱锥的底边长为2，高为2，且各个顶点都在球的球面上，则下列说法正确的是（    ） A．直线与平面所成角的余弦值为 B．平面截球所得的截面面积为 C．球的体积为 D．球心到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】在直角，求得，可判定A正确；设正四棱锥外接球的半径为，得到平面截球所得的截面圆的半径为，可得判定B错误；求得由外接球的半径为，结合球的体积，可判定C正确；设等腰的外接圆的圆心，外接圆的半径为，结合球的性质，可判定D正确. 【详解】如图所示，因为正四棱锥的底边长为2，高为2，且各个顶点都在球的球面上， 连接，且，则平面，， 对于A中，在直角，，可得， 所以，所以A正确； 对于B中，设正四棱锥外接球的半径为， 在直角中，， 可得，即，解得， 则平面截球所得的截面圆的半径为， 所以截面圆的面积为，所以B错误； 对于C中，由外接球的半径为，所以球的体积为， 所以C正确； 对于D中，设等腰的外接圆的圆心，外接圆的半径为， 取的中点，连接，则点在上，且， 在直角中，可得，即，解得， 根据球的性质，可得平面， 在直角中，可得， 即球心到平面的距离为，所以D正确. 故选：ACD. 47．如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体，且该八面体的各棱长均相等，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．直线与平面所成角的正弦值是 D．平面与平面夹角的余弦值是 【答案】AD 【分析】对于A，需证平面CDE与平面CDE；取中点，所以为二面角的平面角，求出此二面角不是直二面角，可判断B；同理为二面角的平面角，可判定D;对于C，先证平面BEDF，故即为直线AE与平面BDE所成的角，求解即可. 【详解】连接AC交BD于点O，则点O为正方形ABCD的中心， 由对称性可知，，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面CDE，平面，所以平面， 同理平面，又，AF，平面， 所以平面平面，A正确； 取中点，连接，则， 所以为二面角的平面角， 设该八面体的棱长为，则， 所以， 所以二面角不是直二面角，则平面与平面不垂直， 而平面平面，所以平面与平面也不垂直，B错误； 同理，取中点，连接，为二面角的平面角， ，所以平面与平面夹角的余弦值是，D正确； 由，，得，在正方形ABCD中，， 平面BEDF，平面BEDF，又，所以平面BEDF， 所以即为直线AE与平面BDE所成的角， 设该八面体的棱长为2，则， 所以，所以，C错误. 故选：AD. 48．已知正三棱台中，的面积为，的面积为，，棱的中点为，则（    ） A．该三棱台的侧面积为 B．该三棱台的高为 C．平面 D．二面角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】 计算出正三棱台侧面上的高，结合梯形的面积公式可判断A选项；利用梯形的几何性质求出该三棱台的高，可判断B选项；分别延长棱、、交于点，推导出三棱锥为正四面体，且为等边的中心，结合正四面体的几何性质可判断C选项；利用二面角的定义可判断D选项. 【详解】 对于A，根据条件可得，， 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、， 因为，，， 所以，，则， 因为，，，则四边形为矩形， 所以，，所以，， 则，即等腰梯形的高为， 其面积为， 所以该三棱台的侧面积为，故A错误； 对于B，设的中心为，的中心为，可知是直角梯形， 过点在平面内作，垂足为点， 因为，，，则四边形为矩形， 因为，解得，同理可得， 所以，，， 所以，，则， 所以，，故B正确； 对于C，分别延长棱、、交于点， 因为，，则，可得， 则，同理可得， 所以，四面体为正四面体， 延长交于点，则，所以，， 且，即，则为的中点， 又因为，则为正的中心，故平面，故C正确； 对于D，二面角即正四面体相邻侧面的夹角， 因为为的中点，为等边三角形，则， 且， 因为是边长为的等边三角形，则，且， 故二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 则，故二面角的余弦值为，故D正确． 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 49．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面ABCD中，，且，下列说法正确的有（    ） A．该圆台轴截面面积为 B．与的夹角 C．该圆台的体积为 D．沿着该圆台侧面，从点到中点的最短距离为 【答案】AD 【分析】对于A，根据已知条件求出圆台的下底面半径和高，利用梯形的面积公式即可求解；对于B，根据已知条件及图形，结合向量夹角的定义即可求解；对于C，利用圆台的体积公式即可求解；对于D，将圆台补成圆锥，得到展开图，求得圆心，利用勾股定理即可求解. 【详解】对于A，由，且，得， 圆台高为， ∴圆台轴截面面积为，故A正确； 对于B，由已知及题图知，且， ∴，与的夹角，故B错误； 对于C，圆台的体积，故C错误； 对于D，将圆台一半侧面展开，如下图中，且为中点，而圆台对应的圆锥体侧面（一半）展开为扇形，且， ∵， ∴在中，， 即到中点的最短距离为，故D正确. 故选：AD 50．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的是（　　）    A． B． C．平面平面 D． 【答案】ABC 【分析】 利用线面垂直和面面垂直的性质和判定方法逐项判断即可. 【详解】 对于选项A,C， 因为底面，平面,则， 因为,且平面,平面， 所以平面， 因为平面，所以， 且平面，所以平面⊥平面，故A，C正确； 对于B,由选项A知， ，又，且平面,平面 所以平面， 且平面，所以，故B正确； 对于D,若， 则垂直于在平面内的射影，显然不成立，故D错误. 故选：ABC. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$