专题21.11 一元二次方程（全章常考易错点分类专题）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题21.11 一元二次方程（全章常考易错点分类专题） 【易错点1】忽视一元二次方程二次项系数不等于0； 【例1】（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）若方程是关于x 的一元二次方程，则m的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2：二次项系数不为0，可得答案． 解：由题意得：，解得， 故选：B． 【点拨】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且），特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点． 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】首先把代入解方程可得，，再结合一元二次方程定义可得的值． 解：把代入得： ， 解得：，， 是一元二次方程， ， ， ， 故选：B． 【点拨】此题主要考查了一元二次方程的解和定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0． 【变式2】（21-22九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知关于的方程是一元二次方程，则为 . 【答案】 【分析】一元二次程的一般形式：（），据此进行求解即可． 解：由题意得 ， 解得：； 故答案：． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键，含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程． 【易错点2】求根的判别式时忽视二次项系数不等于0； 【例2】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若关于x的方程有实数根，则实数k 的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】此题主要考查方程有解的情况，解题的关键是根据题意分情况讨论． 根据题意分一元二次方程和一元一次方程两种情况讨论即可求解． 解：当方程为一元二次方程时，，且， 即， 解得；， 故且， 当方程为一元一次方程时，，方程的根为， 综上，k的取值为， 故选：A． 【变式1】（2024·四川宜宾·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根和系数的关系，解一元一次不等式，掌握一元二次方程有实数根时是解题关键．根据一元二次方程有实数根，得出，，进而解不等式求解即可． 解：关于x的一元二次方程有实数根， 即方程，且 ，， 解得：， k的取值范围为且， 故答案为：且． 【变式2】（2024·四川德阳·二模）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，由题意得，，且，即可求解． 解：由题意得，，且， 解得，且． 故选：D． 【易错点3】开方时漏根或方程两边同时除以相同因式漏根； 【例3】（22-23九年级上·河北邢台·期末）嘉淇在解方程时出现了错误，解答过程如下： 原方程可化为． （第一步） 方程两边同时除以，得． （第二步） （1）嘉淇的解答过程是从第_________步开始出错的； （2）请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)二；(2) 【分析】（1）依据等式的基本性质判断即可得；（2）利用因式分解法求解可得． 解：（1）解：嘉淇的解答过程是从第二步开始出错的，其错误原因是如果则两边不能同时除以； （2）解：， ， 则， ， 则或， 解得，． 【点拨】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【变式1】（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先移项，再利用因式分解的方法解方程即可． 解：∵， ∴， ∴， 解得：，． 故选C 【变式2】（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）某学生解方程出现了错误，解答过程如下： 解：（第一步） ．（第二步） （1）该学生解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是________； （2）请写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)一；正数的平方根有两个，它们互为相反数； (2)，． 【分析】（）根据正数平方根有两个进行判断即可；（）根据解方程方法直接开平方即可． 解：（1）根据正数平方根有两个， ∴第一步开始出错，原因是：正数的平方根有两个，它们互为相反数； 故答案为：一，正数的平方根有两个，它们互为相反数； （2）， ∴或， ∴，． 【点拨】此题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握解方程的步骤及选取合适方法解一元二次方程． 【易错点4】用公式法或配方时，没有化为一元二次方程一般形式； 【例4】（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如图所示. （1）小明的解答过程是从第___________步开始出错的，其错误的原因是___________； （2）请你写出此题正确的解答过程. 【答案】(1)一，原方程没有化成一般形式；(2)见解析 【分析】（1）公式法必须先化成一般式，故他第一步错误，错误原因是没有化简成一般式； （2）根据公式法解方程计算即可． 解：（1）小明的解答过程是从第一步开始出错的；其错误的原因是原方程没有化成一般形式； （2）， ∴，，， ∴， 方程有两个不等的实数根， 即，. 【点拨】本题考查公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握应用公式法的条件和要求． 【变式1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解方程时所得到的解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】此题的关键是要把一元二次方程化为一般式，从而得到a=4,b=-12,c=-3 【变式2】（23-24九年级上·广西防城港·期中）【探究与应用】 公式法是解一元二次方程常用的方法之一，应用比较广泛，能适用于解所有的一元二次方程． 【观察与分析】小张在解方程时，他的解答过程如下： 解：，，，（第一步） ．（第二步） 方程有两个不相等的实数根 （第三步） ，．（第四步） 【思考与应用】 (1)小张的解答过程是否正确？ (2)如果你认为正确，请你用另一种方法来解这个方程，看看得到的结果是否一致；如果你认为不正确，请指出小张从第几步开始出错，并用小张的方法重新解方程． 【答案】(1)小张的解答过程不正确; (2)小张的解答过程从第一步开始出错了，正确的解答过程见解析，， 【分析】（1）先将一元二次方程方程化成 ，再运用根的判别式即可判断； （2）运用公式法解一元二次方程即可； （1）解：∵，即， ∴，，，即小张在第一步就出现解答错误； ∴小张的解答过程不正确． （2）解：小张的解答过程从第一步开始出错了， 正确的解答过程如下： 解：原方程化为 ，，， 方程有两个不相等的实数根 ， ，． 【点拨】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程的一般形式等知识点，掌握运用公式法解一元二次方程成为解答本题的关键． 【易错点5】换元法解一元二次方程时忽视大于0时出现多根； 【例5】23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设，则原方程为，据此解方程得到或（舍去），则． 解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【变式】（2024八年级下·浙江·专题练习）已知实数、满足等式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，关键是把看成一个整体来计算，即换元法思想． 将看作一个整体，然后用换元法解方程即可． 解：设，则有： ， 解得，； ， 故． 故答案为：4． 【易错点6】换元法解一元二次方程时忽视判别式； 【例6】（23-24八年级下·上海浦东新·期中）若实数x满足，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查解一元二次方程，代数式求值．解题的关键是掌握换元思想，因式分解法解一元二次方程．设，原方程化为，解这个一元二次方程，可得 的值是或6，用判别式排除，得． 解：设， ∵， ∴， 解得：或， 当时，即：， ∵， ∴此时无解，舍去； ∴， 故答案为：6． 【变式】（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案． 解：∵， ∴， ， 设，则， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 当时，则， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解， ∴的值为； 当时，则， 整理得：， ， ∴时，方程无解． 综上所述，的值为， 故答案为：． 【易错点7】利用根与系数关系解题时，忽视了判别式∆≥0和二次项系数不为0； 【例7】（2024·甘肃天水·三模）已知关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得出，列出不等式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后代入，列出方程求解即可． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根于系数的关系，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；以及一元二次方程根与系数关系：． 解：（1）关于的方程有两个不相等实数根，， ， ； （2），，， ， ， ， 解得：或或， ， ． 【变式1】（2024·四川巴中·一模）关于的方程的两实根异号，则k满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根的判别式，设方程的两根为，，根据题意得，，根据二次根式有意义的条件得进行计算即可得；解题的关键是掌握二次根式有意义的条件，根的判别式． 解：设方程的两根为，， ∵方程的两实根异号， ∴， 解得，， ∵方程的两实根， ∴， ， 解得，， ∵ ∴， 综上，， 故选：D． 【变式2】（2024·四川南充·三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1); (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，掌握根的判别式，韦达定理是解题的关键． （1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）根据韦达定理，通过配方法，用含的式子表示出两个的和，解参数方程并结合k的取值范围即可求解． （1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，，， ∴， ∴，整理得，， ∴， 故实数的取值范围为． （2）解：∵方程的两个根分别为， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ 解得，， ∵， ∴． 【易错点8】解一元二次方程求几何线段长时，忽视分类讨论或构成条件； 【例8】（23-24八年级下·山东淄博·期中）三角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，则三角形周长为（    ） A．1.5 B．13 C．12或14 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，三角形三边关系，先利用因式分解的方法求出方程的两个根，根据三角形三边关系确定符合题意的边长，即可求出最后结果． 解：， ， ，， 角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根， （舍去）， 则三角形周长， 故选：D． 【变式1】（23-24九年级上·湖北恩施·阶段练习）若三角形三边的长均能使代数式的值为零，则此三角形的周长是 ． 【答案】9或15或18 【分析】令已知的代数式为0列出关于的方程，求出方程的解得到的值，然后分两种情况考虑：当三角形为等腰三角形时，6只能为腰长，求出此时周长；当三角形为等边三角形时，边长可以为3或6，分别求出三角形周长．综上所述，得到所有满足题意的三角形周长． 解：令， 解得，， ①当三角形为等腰三角形时，三边分别为3，3，6时，不能构成三角形，舍去；三边分别为6，6，3时，三角形的周长为； ②当三角形为等边三角形时，边长为3或6，此时三角形周长为9或18． 综上所述，三角形的周长为9或15或18． 故答案为：9或15或18． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用以及三角形三边关系，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键． 【变式2】（23-24九年级上·广东广州·期中）已知1是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则三角形的周长为 ． 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，将代入方程找出关于m的一元一次方程，解一元一次方程即可得出m的值，将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论，根据三角形的三边关系找出三角形的三条边长是解题的关键． 解：将代入方程，得：， 解得：． 当时，原方程为， 解得：， ∵， ∴此等腰三角形的三边为5、5、1， ∴此等腰三角形的周长为：． 故答案为：11． 【易错点9】利用一元二次方程解决实际问题时，未注意问题实际条件； 【例9】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．    （1）若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？ （2）围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由． 【答案】(1)鸡场的长为15米，宽为10米；(2)不能 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键，注意宽的取值范围． （1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出x的值即可，注意x要符合题意； （2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，根据根的判别式的值，即可得出答案． （1）解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 解得：， 当时，， 当时，，（舍去）， 则养鸡场的宽是，长为． （2）解：设养鸡场的宽为xm，根据题意得： ， 整理得：， ， ∵方程没有实数根， ∴围成养鸡场的面积不能达到160平方米． 【变式1】（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）某商场用5万元购进一批衬衫，很快就销售一空，于是商场打算再购进一批相同的衬衫销售，由于该衬衫畅销，导致每件衬衫的进价涨了10元，所以商场6万元购买的衬衫与上次数量一样多． （1）每件衬衫原来的进价是多少元？ （2）根据第二次的进价，当销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，为了尽可能让利给顾客，商场决定降价出售．要使每天的销售利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)50；(2)80． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程． （1）设原来衬衫每件进价为x元，则后一批衬衫每件进价为元，利用数量总价单价，结合两批衬衫购进的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可求出； （2）设定价为a元，根据后一批衬衫每天的销售利润为3000元，即可得出关于a的一元二次方程的解法，一元二次方程，解之取符合题意的值即可得出结论． （1）解：设原来衬衫每件进价为x元，则后一批衬衫每件进价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原来衬衫每件进价为50元． （2）解：设定价为a元，根据题意得 ． 整理得， 解得， 为了尽可能让利给顾客， ， 答：定价为80元的时候可以每天的利润达到3000元同时让利于顾客． 【变式2】（22-23九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？ 【答案】这个花圃的长为10米，宽为8米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，根据花圃的面积为80平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，即可得出结论． 解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，依题意，得： ，解得：． 当时，；当时，． ∵这堵墙的长度为12米， ∴不符合题意，舍去， 答：这个花圃的长为10米，宽为8米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题21.11 一元二次方程（全章常考易错点分类专题） 【易错点1】忽视一元二次方程二次项系数不等于0； 【例1】（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）若方程是关于x 的一元二次方程，则m的值为（   ） A．2 B． C．2或 D．0 【变式1】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．或2 B． C．2 D．0 【变式2】（21-22九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知关于的方程是一元二次方程，则为 . 【易错点2】求根的判别式时忽视二次项系数不等于0； 【例2】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）若关于x的方程有实数根，则实数k 的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【变式1】（2024·四川宜宾·一模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为 ． 【变式2】（2024·四川德阳·二模）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【易错点3】开方时漏根或方程两边同时除以相同因式漏根； 【例3】（22-23九年级上·河北邢台·期末）嘉淇在解方程时出现了错误，解答过程如下： 原方程可化为． （第一步） 方程两边同时除以，得． （第二步） （1）嘉淇的解答过程是从第_________步开始出错的； （2）请写出此题正确的解答过程． 【变式1】（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 【变式2】（22-23九年级上·吉林白城·阶段练习）某学生解方程出现了错误，解答过程如下： 解：（第一步） ．（第二步） （1）该学生解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是________； （2）请写出此题正确的解答过程． 【易错点4】用公式法或配方时，没有化为一元二次方程一般形式； 【例4】（22-23九年级上·河北沧州·阶段练习）小明在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如图所示. （1）小明的解答过程是从第___________步开始出错的，其错误的原因是___________； （2）请你写出此题正确的解答过程. 【变式1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解方程时所得到的解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·广西防城港·期中）【探究与应用】 公式法是解一元二次方程常用的方法之一，应用比较广泛，能适用于解所有的一元二次方程． 【观察与分析】小张在解方程时，他的解答过程如下： 解：，，，（第一步） ．（第二步） 方程有两个不相等的实数根 （第三步） ，．（第四步） 【思考与应用】 （1）小张的解答过程是否正确？ （2）如果你认为正确，请你用另一种方法来解这个方程，看看得到的结果是否一致；如果你认为不正确，请指出小张从第几步开始出错，并用小张的方法重新解方程． 【易错点5】换元法解一元二次方程时忽视大于0时出现多根； 【例5】23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）若，则的值是 ． 【变式】（2024八年级下·浙江·专题练习）已知实数、满足等式，则 ． 【易错点6】换元法解一元二次方程时忽视判别式； 【例6】（23-24八年级下·上海浦东新·期中）若实数x满足，则 ． 【变式】（2024·上海徐汇·三模）如果实数x满足，那么的值是 ． 【易错点7】利用根与系数关系解题时，忽视了判别式∆≥0和二次项系数不为0； 【例7】（2024·甘肃天水·三模）已知关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【变式1】（2024·四川巴中·一模）关于的方程的两实根异号，则k满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·四川南充·三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【易错点8】解一元二次方程求几何线段长时，忽视分类讨论或构成条件； 【例8】（23-24八年级下·山东淄博·期中）三角形两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，则三角形周长为（    ） A．1.5 B．13 C．12或14 D．12 【变式1】（23-24九年级上·湖北恩施·阶段练习）若三角形三边的长均能使代数式的值为零，则此三角形的周长是 ． 【变式2】（23-24九年级上·广东广州·期中）已知1是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，则三角形的周长为 ． 【易错点9】利用一元二次方程解决实际问题时，未注意问题实际条件； 【例9】（23-24八年级下·山东济宁·期中）如图，要修建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长为18米），其余三边用竹篱笆，篱笆的总长度为35米，围成长方形鸡场的四周不能有空隙．    （1）若要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各应为多少米？ （2）围成鸡场的面积能达到160平方米吗？如果能，写出计算过程，如果不能，说明理由． 【变式1】（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）某商场用5万元购进一批衬衫，很快就销售一空，于是商场打算再购进一批相同的衬衫销售，由于该衬衫畅销，导致每件衬衫的进价涨了10元，所以商场6万元购买的衬衫与上次数量一样多． （1）每件衬衫原来的进价是多少元？ （2）根据第二次的进价，当销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，为了尽可能让利给顾客，商场决定降价出售．要使每天的销售利润为3000元，那么销售单价应定为多少元？ 【变式2】（22-23九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$