专题1.3 正方形的性质和判定（3个考点1个易错点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

专题1.3 正方形的性质和判定（3个考点1个易错点） 【考点1 正方形的概念和性质】 【考点2正方形的判定】 【考点3正方形的性质与判定综合】 【易错点 正方形的性质】 【考点1 正方形的概念和性质】 1．（2023秋•朝阳区校级期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等 2．（2022秋•方城县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．以AB为一边在△ABC的同侧作正方形，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．25 3．（2023秋•温县期中）如表，在由九个小正方形组成的大正方形中，每个小正方形上各标有一个数，且每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a﹣b+c的值为（　　） 4 a 2 ﹣1 1 3 b 5 c A．﹣5 B．﹣4 C．0 D．5 4．（2022秋•高碑店市期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝8cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中正方形对角线AC的长为（　　） A．8cm B．16cm C．24cm D．8cm 5．（2023春•巴彦县期中）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论： ①AE＝BF； ②AE⊥BF； ③AO＝OE； ④∠AED＝∠FBC中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2020•红桥区三模）如图，四边形ABCD为正方形，A点坐标为（﹣1，0），点B，C，D分别在坐标轴上，则正方形的周长是（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 7．（2023秋•平遥县期中）在平面直角坐标系中放置了一个面积为5的正方形，如图所示，点B在y轴上，且坐标是（0，2），点C在x轴上，则点D的坐标为（　　） A．（2，1） B．（3，1） C．（1，3） D．（1，2） 8．（2023春•仓山区期中）如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP，BP，CP．若△APB是等边三角形，则∠BPC的度数为（　　） A．30° B．60° C．75° D．90° 9．（2023春•淮阳区期末）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，则∠EAC＝（　　） A．15° B．28° C．30° D．45° 10．（2023•池州模拟）如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G，若CG＝4，CF＝3，则AE的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 11．（2022秋•碑林区期末）如图，分别以Rt△ACB的直角边AB和斜边AC为边向外作正方形ABGF和正方形ACDE，连结EF．已知CB＝6，EF＝10，则△AEF的面积为（　　） A． B． C．24 D．12 12．（2022秋•平顶山期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E为AB上一动点．连接OE，作OF⊥OE交BC于点F，已知AB＝2，则四边形EBFO的面积为（　　） A．1 B．2 C． D．4 【考点2正方形的判定】 13．（2023春•浦东新区校级期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是（　　） A．AB＝AD且AC⊥BD B．AC⊥BD且AC和BD互相平分 C．∠BAD＝∠ABC且AC＝BD D．AC＝BD且AB＝AD 14．（2023春•汝阳县期末）用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，学具成为图1所示菱形时，测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　） A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm 15．（2023春•临颍县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　） A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF 16．（2023•顺德区校级三模）在四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G、H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F、H得到的四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 17．（2023•雁塔区校级二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是（　　） A．CD＝AD B．OD＝CD C．BD＝AC D．∠AOB＝60° 18．（2023春•黄冈期中）如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB＝（　　）时，则四边形AECF是正方形． A．30° B．45° C．60° D．90° 19．（2023•合阳县校级一模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是正方形的是（　　） A．AC＝BC＝CD＝DA B．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AB＝BC，CD⊥DA 20．（2023•原平市模拟）小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，④号箭头处可以添加的条件是 　 　．（写出一种即可） 【考点3正方形的性质与判定综合】 21．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，已知AC＝cm，小红作了如下操作：分别以A，C为圆心，1cm的长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，则四边形ABCD的形状是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 22．（2023春•岱岳区期末）小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从下列四个条件： ①AB＝BC； ②∠ABC＝90°； ③AC＝BD； ④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形． 现有下列四种选法你认为错误的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 23．（2022春•河西区期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（　　） A．∠AFP＝∠BPQ B．EF∥QP C．四边形EFPQ是正方形 D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半 24．（2022春•新泰市期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+CE2＝EF2.其中正确的为 　　.（将正确的序号都填入） 25．（2023•贵阳模拟）如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G． （1）求证：四边形BFEG是矩形； （2）若正方形ABCD的周长是40cm，当AF＝5cm时，求证：四边形BFEG是正方形． 26．（2022秋•绥德县期中）如图所示，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，且AE＝AF，∠CEF＝45°． （1）求证：矩形ABCD是正方形； （2）若AF＝3，BE＝1，求矩形ABCD的面积． 27．（2023秋•威宁县校级期末）如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长； （3）当∠ADE＝40°时，求∠EFC的度数． 28．（2022春•富县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC （1）求证：四边形AFDE为正方形； （2）若AD＝32，求四边形AFDE的面积． 29．（2022春•峄城区期中）问题解决：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由． 30．（2022春•东台市期中）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF和∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，点B，D为垂足． （1）∠EAF＝　　（直接写结果）． （2）①求证：四边形ABCD是正方形． ②若BE＝EC＝2，求DF的长． 【易错点 正方形的性质】 1．（2023秋•鄞州区期末）将正方形纸片BEFG和正方形纸片DHMN按如图所示放入周长为10的长方形ABCD中，将图中的两个空白图形分别记为P，Q，已知下列某个选项的值，仍不能求出甲的周长，这个选项是（　　） A．乙的周长 B．丙的周长 C．P与Q的周长和 D．P与Q的周长差 2．（2024春•太湖县期中）有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3．（2023秋•埇桥区期中）如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长为（　　） A．4 B．2 C．4 D．2 4．（2023春•黔东南州期末）下面的性质中，平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　　） A．四边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 5．（2022春•会同县期末）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D．2 6．（2024春•南岗区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为边BC中点，P为正方形边上一点，且PB＝AE，则PE的长为　 　． 7．（2023秋•京口区期中）如图是由三个边长分别为6、10、x的正方形组成的图形，若线段AB将它们分成面积相等的两部分，则x的值是 　 　． 8．（2023春•襄汾县期末）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中： ①DE＝EF； ②△DAE≌△DCG； ③AC⊥CG； ④CE＝CF． 其中正确的结论序号是 　 　． 9．（2022春•鄂州期中）如图，分别以△ABC的边AB，AC为边往外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BG，CE，EG，若AB＝3，AC＝1，则BC2+EG2的值为 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 正方形的性质和判定（3个考点1个易错点） 【考点1 正方形的概念和性质】 【考点2正方形的判定】 【考点3正方形的性质与判定综合】 【易错点 正方形的性质】 【考点1 正方形的概念和性质】 1．（2023秋•朝阳区校级期末）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等 【答案】B 【解答】解：A、对角线相等，菱形不具有此性质，故本选项不符合题意； B、对角线互相平分是平行四边形具有的性质，正方形、菱形、矩形都具有此性质，故本选项符合题意； C、对角线互相垂直，矩形不具有此性质，故本选项不符合题意； D、对角线互相平分且相等，菱形不具有对角线相等的性质，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（2022秋•方城县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4．以AB为一边在△ABC的同侧作正方形，则图中阴影部分的面积为（　　） A．4 B．8 C．16 D．25 【答案】C 【解答】解：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝2， 由勾股定理知，AB2＝AC2+BC2＝22+42＝20． 故． 故选：C． 3．（2023秋•温县期中）如表，在由九个小正方形组成的大正方形中，每个小正方形上各标有一个数，且每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a﹣b+c的值为（　　） 4 a 2 ﹣1 1 3 b 5 c A．﹣5 B．﹣4 C．0 D．5 【答案】A 【解答】解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ∴4+a+2＝﹣1+1+3＝b+5+c＝2+3+c， 解得：a＝﹣3，b＝0，c＝﹣2， ∴a﹣b+c＝﹣3﹣0+（﹣2）＝﹣5， 故答案选：A． 4．（2022秋•高碑店市期末）小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝8cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中正方形对角线AC的长为（　　） A．8cm B．16cm C．24cm D．8cm 【答案】D 【解答】解：如图1，图2中，连接AC． 图1中， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝8cm， 在图2中， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝AB＝8cm； 故选：D． 5．（2023春•巴彦县期中）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论： ①AE＝BF； ②AE⊥BF； ③AO＝OE； ④∠AED＝∠FBC中，正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝AD＝AB，∠BAF＝∠ADE＝90°， ∵CE＝DF， ∴DE＝AF， 在△ADE和△BAF中， ， ∴△ADE≌△BAF（SAS）， ∴AE＝BF（故①正确）；∠AED＝∠FBC（故④正确）； ∵∠ABF+∠AFB＝∠DAE+∠DEA＝90°， ∴∠AFB+∠EAF＝90°， ∴AE⊥BF一定成立（故②正确）； 假设AO＝OE， ∵AE⊥BF， ∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）， 在Rt△BCE中，BE＞BC， ∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾， ∴假设不成立，AO≠OE（故③错误）； ∵AE⊥BF， 在Rt△ABO中，AO2+BO2＝AB2， 在Rt△AOF中，AO2+OF2＝AF2， ∴2AO2+BO2+OF2＝AB2+AF2＝BF2， ∴2AO2＝BF2﹣BO2﹣OF， ∴2AO2＝（BO+FO）2﹣BO2﹣FO2， ∴2AO2＝2BO×FO， ∴AO2＝BO×FO，故④正确 故选：C． 6．（2020•红桥区三模）如图，四边形ABCD为正方形，A点坐标为（﹣1，0），点B，C，D分别在坐标轴上，则正方形的周长是（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 【答案】C 【解答】解：在正方形ABCD中， ∠DAO＝45°， ∵A（﹣1，0）， ∴OA＝1， ∴AD＝， ∵AD＝CD＝BC＝AB， ∴正方形的周长为4， 故选：C． 7．（2023秋•平遥县期中）在平面直角坐标系中放置了一个面积为5的正方形，如图所示，点B在y轴上，且坐标是（0，2），点C在x轴上，则点D的坐标为（　　） A．（2，1） B．（3，1） C．（1，3） D．（1，2） 【答案】B 【解答】解：如图，过点D作DE⊥x轴于点E， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BCD＝90°， ∵∠BOC＝90°， ∴∠OBC+∠OCB＝∠OCB+∠DCE， ∴∠OBC＝∠DCE， 在△OBC与△ECD中， ， ∴△OBC≌△ECD（AAS）， ∴DE＝OC，CE＝OB， ∵正方形ABCD的面积为5， ∴BC＝， 由题意得：BC2＝OB2+OC2， ∴OC＝＝1，DE＝1，CE＝2， ∴点D的坐标为（3，1）． 故选：B． 8．（2023春•仓山区期中）如图，点P是正方形ABCD内一点，连接AP，BP，CP．若△APB是等边三角形，则∠BPC的度数为（　　） A．30° B．60° C．75° D．90° 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝AB，∠CBA＝90°， ∵△PAB是等边三角形， ∴∠PBA＝60°，PB＝AB， ∴∠CBP＝30°，PB＝BC， ∴， 故选：C． 9．（2023春•淮阳区期末）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，则∠EAC＝（　　） A．15° B．28° C．30° D．45° 【答案】C 【解答】解：∵正方形ABCD中，∠DAC＝45°，∠ADC＝90°， 等边三角形DCE中，∠CDE＝60°， ∴∠ADE＝150°， 又∵AD＝CD＝DE， ∴等腰三角形ADE中，∠DAE＝＝15°， ∴∠EAC＝∠DAC﹣∠DAE＝45°﹣15°＝30°． 故选：C． 10．（2023•池州模拟）如图所示，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G，若CG＝4，CF＝3，则AE的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【解答】解：如图，连接CE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°， 在△ABE和△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴AE＝CE， ∵EF⊥BC，EG⊥CD，∠BCD＝90°， ∴四边形CFEG是矩形， ∴EF＝GC＝4，∠EFC＝90°， ∴CE＝＝＝5， ∴AE＝CE＝5， 故选：C． 11．（2022秋•碑林区期末）如图，分别以Rt△ACB的直角边AB和斜边AC为边向外作正方形ABGF和正方形ACDE，连结EF．已知CB＝6，EF＝10，则△AEF的面积为（　　） A． B． C．24 D．12 【答案】D 【解答】解：如图， 连接CE，CF，BE，BF，设BE，CF交于点M，AC，BE交于点N， ∵四边形ACDE，ABGF是正方形， ∴AC＝AE，AB＝AF，∠EAC＝∠FAB＝90°， ∴∠EAC+∠CAB＝∠BAF+∠CAB， 即∠EAB＝∠CAF， ∴△ABE≌△AFC（SAS）， ∴∠ACF＝∠AEB， ∵∠CNE＝∠CMN+∠ACF＝∠NAE+∠AEB， ∴∠CMN＝∠NAE＝90°， 即CF⊥BE， ∴CM2+BM2＝CB2，EM2+FM2＝EF2，BM2+MF2＝BF2，CM2+EM2＝EC2， ∴CM2+BM2+EM2+FM2＝CB2+EF2， ∴BF2+CE2＝CB2+EF2＝62+102＝136， 又∵， ∴2AB2+2AC2＝136， 又∵AC2﹣AB2＝BC2＝36， 解得：AB2＝16，AC2＝52， ∴， 过点A作AT⊥EF于点T， 设ET＝x， ∴AT2＝AE2﹣ET2＝AF2﹣（10﹣ET）2， 即52﹣x2＝16﹣（10﹣x）2， 解得：， ∴， ∴， 故选：D． 12．（2022秋•平顶山期末）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E为AB上一动点．连接OE，作OF⊥OE交BC于点F，已知AB＝2，则四边形EBFO的面积为（　　） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，AB＝2， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠ABC＝∠BCD＝90°，AC⊥BD， ∴AC＝BD＝2，∠ABO＝∠OBC＝∠BCO＝∠ACD＝45°， ∴OB＝OC＝OD＝OA＝， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠BOC＝90°， ∴∠AOE+∠BOE＝90°，∠COF+∠BOF＝90°， ∵OF⊥OE， ∴∠BOE+∠BOF＝90°， ∴∠BOE＝∠COF， 在△BOE和△COF中， ， ∴△BOE≌△COF（SAS）， ∴S△BOE＝S△COF， ∴S四边形EBFO＝S△COF+S△DOF＝S△DOC， ∵AB＝2， ∴S正方形ABCD＝4， ∴SS正方形ABCD＝1， ∴四边形EBFO的面积为1． 故选：A． 【考点2正方形的判定】 13．（2023春•浦东新区校级期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，那么添加下列条件能判定四边形ABCD是正方形的是（　　） A．AB＝AD且AC⊥BD B．AC⊥BD且AC和BD互相平分 C．∠BAD＝∠ABC且AC＝BD D．AC＝BD且AB＝AD 【答案】D 【解答】解：A、AB＝AD且AC⊥BD，是菱形，不符合题意； B、对角线互直垂直且互相平分，是菱形，不符合题意； C、∠BAD＝∠ABC且AC＝BD不能判断四边形ABCD是正方形，不符合题意； D、AC＝BD且AB＝AD四边相等，是正方形，符合题意； 故选：D． 14．（2023春•汝阳县期末）用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，学具成为图1所示菱形时，测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　） A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm 【答案】A 【解答】解：如图1，连接AC， ∵∠B＝60°，AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝20cm， 如图2，连接AC， ∵AB＝BC＝20cm，∠ABC＝90°， ∴AC＝20cm， 故选：A． 15．（2023春•临颍县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　） A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF 【答案】C 【解答】解：∵EF垂直平分BC， ∴BE＝EC，BF＝CF， ∵BF＝BE， ∴BE＝EC＝CF＝BF， ∴四边形BECF是菱形； 当BC＝AC时， ∵∠ACB＝90°， 则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形． ∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠EBC＝45°， ∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°， ∴菱形BECF是正方形． 故选项A正确，但不符合题意； 当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意； 当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项C错误，符合题意； 当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项D正确，但不符合题意． 故选：C． 16．（2023•顺德区校级三模）在四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G、H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F、H得到的四边形一定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点， ∴FG＝CD，FG∥CD．HE＝CD，HE∥CD． ∴FG＝EH，FG∥EH， ∴四边形EGFH是平行四边形． 故选：A． 17．（2023•雁塔区校级二模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是（　　） A．CD＝AD B．OD＝CD C．BD＝AC D．∠AOB＝60° 【答案】A 【解答】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答： （1）有一组邻边相等的矩形是正方形， （2）对角线互相垂直的矩形是正方形． ∴添加DC＝AD，能使矩形ABCD成为正方形． 故选：A． 18．（2023春•黄冈期中）如图，在△ABC中，O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，若点O运动到AC的中点，且∠ACB＝（　　）时，则四边形AECF是正方形． A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【解答】解：过点E，F作EH⊥BD，FG⊥BD， ∵CE，CF为∠ACB，∠ACD的角平分线， ∴∠ECF＝90°． ∵MN∥BC， ∴∠FEC＝∠ECH， ∵∠ECH＝∠ECO， ∴∠FEC＝∠ECO， ∴OE＝OC． 同理OC＝OF， ∴OE＝OF， ∵点O运动到AC的中点， ∴OA＝OC， ∴四边形AECF为一矩形， 若∠ACB＝90°，则CE＝CF， ∴四边形AECF为正方形． 故选：D． 19．（2023•合阳县校级一模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是正方形的是（　　） A．AC＝BC＝CD＝DA B．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AB＝BC，CD⊥DA 【答案】C 【解答】解：因为对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形， 故C选项符合题意， 故选：C． 20．（2023•原平市模拟）小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，④号箭头处可以添加的条件是 　有一组邻边相等（答案不唯一）　．（写出一种即可） 【答案】有一组邻边相等（答案不唯一）． 【解答】解：有一组邻边相等的矩形是正方形， 故答案为：有一组邻边相等（答案不唯一）． 【考点3正方形的性质与判定综合】 21．（2022秋•朝阳区校级期末）如图，已知AC＝cm，小红作了如下操作：分别以A，C为圆心，1cm的长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，则四边形ABCD的形状是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】D 【解答】解：四边形ABCD为正方形， 理由如下：由题意得，AB＝AD＝CB＝CD＝1cm， ∴四边形ABCD是菱形， ∵AB2+BC2＝AC2， ∴∠ABC＝∠ADC＝∠BAD＝∠BCD＝90° ∴四边形ABCD是正方形， 故选：D． 22．（2023春•岱岳区期末）小明在学习了正方形以后，给同桌小文出了道题：从下列四个条件： ①AB＝BC； ②∠ABC＝90°； ③AC＝BD； ④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使平行四边形ABCD为正方形． 现有下列四种选法你认为错误的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】C 【解答】解：A．∵四边形ABCD是平行四边形， 当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当②∠ABC＝90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意； B．∵四边形ABCD是平行四边形， 当①AB＝BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当③AC＝BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意； C．∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形， 当③AC＝BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意； D．∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当②∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD是矩形， 当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 23．（2022春•河西区期末）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（　　） A．∠AFP＝∠BPQ B．EF∥QP C．四边形EFPQ是正方形 D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半 【答案】D 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD， ∵AF＝BP＝CQ＝DE， ∴DF＝CE＝BQ＝AP， ∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS）， ∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A选项正确，不符合题意； ∵EF＝FP＝PQ＝QE， ∴四边形EFPQ是菱形， ∴EF∥PQ，故B选项正确，不符合题意； ∵△APF≌△BQP， ∴∠AFP＝∠BPQ， ∵∠AFP+∠APF＝90°， ∴∠APF+∠BPQ＝90°， ∴∠FPQ＝90°， ∴四边形EFPQ是正方形．故C选项正确，不符合题意； ∵四边形PQEF的面积＝EF2，四边形ABCD面积＝AB2， 若四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半， 则EF2＝AB2，即EF＝AB． 若EF≠AB，则四边形PQEF的面积不是四边形ABCD面积的一半， 故D选项不一定正确，符合题意． 故选：D． 24．（2022春•新泰市期中）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分别交BC、CD于点E、F，且∠EOF＝90°，OC、EF交于点G．给出下列结论：①△COE≌△DOF；②△OBE≌△OCF；③四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的；④DF2+CE2＝EF2.其中正确的为 　①②③　.（将正确的序号都填入） 【答案】①②③． 【解答】解：①在正方形ABCD中，OC＝OD，∠COD＝90°，∠ODC＝∠OCB＝45°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠COE＝∠EOF﹣∠COF＝90°﹣∠COF， ∴∠COE＝∠DOF， ∴△COE≌△DOF（ASA），故①正确； ②在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵∠EOF＝90°， ∴∠BOE＝∠COF， ∴△OBE≌△OCF（ASA）；故②正确； ③由①全等可得四边形CEOF的面积与△OCD面积相等， ∴四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积的，故③正确； ④∵△COE≌△DOF， ∴CE＝DF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD， ∴BE＝CF， 在Rt△ECF中，CE2+CF2＝EF2， ∴DF2+BE2＝EF2，故④错误； 综上所述，正确的是①②③， 故选：①②③． 25．（2023•贵阳模拟）如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G． （1）求证：四边形BFEG是矩形； （2）若正方形ABCD的周长是40cm，当AF＝5cm时，求证：四边形BFEG是正方形． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）证明见解答过程． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB⊥BC，∠B＝90°． ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠BFE＝90°，∠BGE＝90°． 又∵∠B＝90°， ∴四边形BFEG是矩形； （2）∵正方形ABCD的周长是40cm， ∴AB＝40÷4＝10cm． ∵四边形ABCD为正方形， ∴△AEF为等腰直角三角形， ∴AF＝EF， ∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm． ∵AF＝5cm，AB＝10cm， ∴EF＝BF＝5cm， ∴四边形BFEG是正方形． 26．（2022秋•绥德县期中）如图所示，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，且AE＝AF，∠CEF＝45°． （1）求证：矩形ABCD是正方形； （2）若AF＝3，BE＝1，求矩形ABCD的面积． 【答案】（1）见解答； （2）17． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠D＝∠C＝90°， ∵AE＝AF， ∴∠AFE＝∠AEF， ∵∠CEF＝45°，∠C＝90°， ∴∠CFE＝45°， ∴∠AFD＝∠AEB， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴AB＝AD， ∴矩形ABCD是正方形． （2）解：∵由（1）可知：， 又BE＝1，∠B＝90°， ∴由勾股定理得，， ∵四边形ABCD是正方形， ∴． 27．（2023秋•威宁县校级期末）如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝2，CE＝2，求CG的长； （3）当∠ADE＝40°时，求∠EFC的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）2； （3）130°． 【解答】（1）证明：过点E作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，如图1， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠DCA＝∠BCA＝45°． ∵EP⊥CD，EQ⊥BC， ∴∠QEC＝∠PEC＝45°，EQ＝EP． ∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°， ∴∠QEF＝∠PED． 在Rt△EQF和Rt△EPD中， ， ∴Rt△EQF≌Rt△EPD（ASA）， ∴EF＝ED， ∴矩形DEFG是正方形． （2）解：如图2， 在Rt△ABC中，， ∵CE＝2， ∴AE＝CE， ∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形， ∴CG＝2． （3）解：当∠ADE＝40°时， ∠DEC＝45°+40°＝85°， ∵∠DEF＝90°， ∴∠CEF＝5°． ∵∠ECF＝45°， ∴∠EFC＝130°． 28．（2022春•富县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC （1）求证：四边形AFDE为正方形； （2）若AD＝32，求四边形AFDE的面积． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）512． 【解答】（1）证明：∵DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AFDE是平行四边形． ∵AD平分∠BAC， ∴∠FAD＝∠EAD． ∵DE∥AB， ∴∠EDA＝∠FAD． ∴∠EDA＝∠EAD． ∴AE＝DE． ∴四边形AFDE是菱形． ∵∠BAC＝90°， ∴四边形AFDE是正方形． （2）解：∵四边形AFDE是正方形，AD＝32， ∴AF＝DF＝DE＝AE＝＝16． ∴四边形AFDE的面积为16×16＝512． 29．（2022春•峄城区期中）问题解决：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G． （1）求证：四边形ABCD是正方形； （2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）△AHF是等腰三角形，理由见解析． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠B＝90°， ∵DE⊥AF， ∴∠DAB＝∠AGD＝90°， ∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF， ∵DE＝AF， ∴△ADE≌△BAF（AAS）， ∴AD＝AB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形； （2）解：△AHF是等腰三角形， 理由：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝∠ABH＝90°， ∵DE⊥AF， ∴∠DAB＝∠AGD＝90°， ∴∠BAF+∠DAF＝90°，∠ADE+∠DAF＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF， ∵DE＝AF， ∴△ADE≌△BAF（AAS）， ∴AE＝BF， ∵DE＝AF， ∴BH＝AE， ∴BH＝BF， ∵∠ABH＝90°， ∴AH＝AF， ∴△AHF是等腰三角形． 30．（2022春•东台市期中）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF和∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，点B，D为垂足． （1）∠EAF＝　45°　（直接写结果）． （2）①求证：四边形ABCD是正方形． ②若BE＝EC＝2，求DF的长． 【答案】（1）45°； （2）①证明见解析； ②． 【解答】（1）解：∵∠C＝90°， ∴∠CFE+∠CEF＝90°， ∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°， ∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF， ∴∠AFE＝DFE，∠AEF＝BEF， ∴∠AEF+∠AFE＝（∠DFE+∠BEF）＝270°＝135°， ∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°， 故答案为：45°； （2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示： 则∠AGE＝∠AGF＝90°， ∵AB⊥CE，AD⊥CF， ∴∠B＝∠D＝90°＝∠C， ∴四边形ABCD是矩形， ∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A， ∴AB＝AG，AD＝AG， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形； ②解：设DF＝x， ∵BE＝EC＝2， ∴BC＝4， 由①得四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝4， 在Rt△ABE与Rt△AGE中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）， ∴BE＝EG＝2， 同理，GF＝DF＝x， 在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2， 即22+（4﹣x）2＝（x+2）2， 解得：x＝， ∴DF的长为． 【易错点 正方形的性质】 1．（2023秋•鄞州区期末）将正方形纸片BEFG和正方形纸片DHMN按如图所示放入周长为10的长方形ABCD中，将图中的两个空白图形分别记为P，Q，已知下列某个选项的值，仍不能求出甲的周长，这个选项是（　　） A．乙的周长 B．丙的周长 C．P与Q的周长和 D．P与Q的周长差 【答案】D 【解答】解：设正方形BEFG和正方形DHMN的边长分别为x和y，长方形ABCD的AB为a， ∵长方形ABCD周长为10， ∴AD＝5﹣a， 则甲的长和宽为：x+y﹣a，x+y+a﹣5， 丙的长和宽为：5﹣a﹣x，a﹣y， 乙的长和宽为：5﹣a﹣y，a﹣x， P的边长为：x， Q的边长为：y， ∴甲的周长为：4（x+y）﹣20，乙的周长为：10﹣2（x+y），丙的周长为：10﹣2（x+y）， P的周长为：4x， Q的周长为：4y， ∴选项A，乙的周长已知，则可以求得x+y的值，即能求得甲的周长； 选项B，丙的周长已知，则可以求得x+y的值，即能求得甲的周长； 选项C，P与Q的周长已知，则分别可以求得x，y的值，即能求得甲的周长； 选项D，P与Q的周长差已知，则只能知道x﹣y的值，故不能求得甲的周长， 故选：D． 2．（2024春•太湖县期中）有5张边长为2的正方形纸片，4张边长分别为2、3的矩形纸片，6张边长为3的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，且每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成正方形的边长最大为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解答】解：设大正方形的边为a，小正方形的边长为b， 矩形的边长为a、b，如图所示： ∵大正方形，有6张，小正方形有5张，矩形有 4张， ∴构成边长最大是为9正方形，其中有两边为9， 则需要5个边长为3的正方形，另外两边的边长 都为3+2+2+2＝9也可以满足3a＝3b+a， 即2a＝3b． 故选：D． 3．（2023秋•埇桥区期中）如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，BC＝8，CE＝4，H是AF的中点，那么CH的长为（　　） A．4 B．2 C．4 D．2 【答案】B 【解答】解：连接AC、CF，如图： ∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， ∴∠ACG＝45°，∠FCG＝45°， ∴∠ACF＝90°， ∵BC＝8，CE＝4， ∴AC＝8，CF＝4， 由勾股定理得，AF＝＝4， ∵H是AF的中点，∠ACF＝90°， ∴CH＝AF＝2， 故选：B． 4．（2023春•黔东南州期末）下面的性质中，平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　　） A．四边相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】D 【解答】解：A．平行四边形和矩形的对边相等，但四边不一定相等，故A不符合题意； B．平行四边形，菱形的对角线互相平行，但不一定相等，正方形和矩形的对角线相等，故B不符合题意； C．矩形对角线互相平分且相等但不互相垂直，故C不符合题意； D．平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故D符合题意； 故选：D． 5．（2022春•会同县期末）如图，以边长为4的正方形ABCD的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于E、F两点，则线段EF的最小值为（　　） A．2 B．4 C． D．2 【答案】D 【解答】解：如图，连接EF， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠EAO＝∠FDO＝45°，AO＝DO； ∵∠EOF＝90°，∠AOD＝90°， ∴∠AOE＝∠DOF； 在△AOE与△DOF中， ， ∴△AOE≌△DOF（ASA）， ∴OE＝OF（设为λ）； ∴△EOF是等腰直角三角形， 由勾股定理得： EF2＝OE2+OF2＝2λ2； ∴EF＝OE＝λ， ∵正方形ABCD的边长是4， ∴OA＝2，O到AB的距离等于2（O到AB的垂线段的长度）， 由题意可得：2≤λ≤2， ∴2≤EF≤4． 所以线段EF的最小值为2． 故选：D． 6．（2024春•南岗区校级期中）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点E为边BC中点，P为正方形边上一点，且PB＝AE，则PE的长为　2或　． 【答案】2或． 【解答】解：当点P在AD边上时， ∵PB＝AE，点E为边BC中点， ∴点P为边AD中点， ∴PE＝AB＝2； 当点P在CD边上时， ∵PB＝AE，点E为边BC中点， ∴点P为边CD中点， ∴PE＝＝＝． 所以PE的长为：2或． 故答案为：2或． 7．（2023秋•京口区期中）如图是由三个边长分别为6、10、x的正方形组成的图形，若线段AB将它们分成面积相等的两部分，则x的值是 　4或6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示，延长AE，BG交于点C，延长AN，BH交于点D，则四边形ADBC是矩形， ∴△ABD与△ABC面积相等， 又∵线段AB将三个正方形分成面积相等的两部分， ∴四边形CEFG与四边形DHMN的面积相等， ∴6×（10﹣6）＝x（10﹣x）， 解得x＝4或6， 故答案为：4或6． 8．（2023春•襄汾县期末）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中： ①DE＝EF； ②△DAE≌△DCG； ③AC⊥CG； ④CE＝CF． 其中正确的结论序号是 　①②③　． 【答案】①②③． 【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF，故①正确； ∴矩形DEFG为正方形； ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确； ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∴∠ACG＝90°， ∴AC⊥CG，故③正确； 当DE⊥AC时，点C与点F重合， ∴CE不一定等于CF，故④错误， 综上所述：①②③． 故答案为：①②③． 9．（2022春•鄂州期中）如图，分别以△ABC的边AB，AC为边往外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BG，CE，EG，若AB＝3，AC＝1，则BC2+EG2的值为 　20　． 【答案】20． 【解答】解：如图，连接BE，CG， ∵正方形ABDE和正方形ACFG， ∴AB＝AE，AG＝AC，∠BAE＝∠CAG＝90°， ∴∠BAG＝∠CAE， ∴△BAG≌△EAC（SAS）， ∴∠ABG＝∠AEC， ∵∠AHB＝∠OHE， ∴∠EOH＝∠BAH＝90°， ∴∠EOG＝∠BOC＝90°， ∴BC2+EG2＝OB2+OC2+OE2+OG2＝BE2+CG2， ∵AB＝3，AC＝1， ∴BE2＝32+32＝18，CG2＝12+12＝2， ∴BE2+CG2＝18+2＝20， ∴BC2+EG2＝20． 故答案为：20． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$