专题10 几何压轴题-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（浙江专用）

专题10 几何压轴题专题 一、选择题 1．（2024·浙江杭州·二模）如图，在中，点D是上一点(不与点A，B重合)，过点D作交于点E，过点E作交于点F，点G是线段上一点，，点H是线段上一点，，连接．若已知的面积，则一定能求出（   ） A．的面积 B．的面积 C．四边形的面积 D．的面积 2．（2024·浙江温州·二模）如图，把一张宽为的长方形纸片沿，折叠 ． 顶点A，B，C，D的对应点分别为，，，， 点 与重合，点A恰与，的交点重合．若，则的 长 为 （    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江温州·二模）到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂方法叫做“常春证法”，即利用面积分割法证得．如图，已知，，边和分别与交于点F和点G，连接．若的面积为7，且，则的值为（    ）． A． B．3 C． D． 4．（2024·浙江金华·二模）如图，把4个形状大小均相同的矩形摆放成正方形，连接并延长交于点，连接．若，则的值是　　 A． B． C． D． 5．（2024·浙江嘉兴·二模）用两对全等的直角三角形（）和一个矩形拼成如图所示的（无缝隙且不重叠），和的面积相等，连结，若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·浙江金华·二模）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助此分割方法所得图形证明了勾股定理．如图所示，矩形就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中，一定能求出矩形面积的是（    ） A．与的积 B．与的积 C．与的积 D．与的积 7．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知正方形和正方形，且A、B、E三点在一条直线上，连接，以为边构造正方形交于点M，连接，设．若点Q、B、F三点共线，，则n的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2024·浙江杭州·二模）勾股定理的证明方法多样．如图正方形是由小正方形和四个全等的直角三角形无缝密铺组成．延长交以为直径的圆于点（点在的上侧），连接，．分别以，为边向外作正方形，．已知的面积为2，正方形的面积为1，则正方形的面积为 ． 9．（2024·浙江台州·二模）在矩形中， 别是边 上的点．把和分别沿对折，使分别落在对角线上的处，连结、．若点重合（如图①），则 °；若（如图②），则 ． 10．（2024·浙江温州·二模）如图，点P 是正方形的中心，过点P 的线段和将正方形分割成4个相同的四边形，这4个四边形拼成正方形． 连接， 记和的面积分别为，设 ； （1）若A，B，Q 三点共线，则 （2）正方形和的面积之比为 ． （用含k 的代数式表示） 11．（2024·浙江湖州·二模）如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．连结并延长，交于点，若，正方形和正方形的面积分别记为，则的值为 ；的值为 ．    12．（2024·浙江·二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连接并延长交于点M，交于点N，连接．当时， ． 13．（2024·浙江杭州·二模）如图1，是的直径，E是的中点，，过点E作交于C、D两点． （1）的度数为 ； （2）如图2，P点为劣弧上一个动点（不与B、C重合），连接，点Q在上，若时，平分，则x的值为 ． 三、解答题 14．（2024·浙江杭州·二模）（1）如图1，是的直径，直线是的切线，为切点．，是直线上两点（不与点重合，且在直径的两侧），连结，分别交于点，点．连结．求证：． （2）将图1中的直线沿着方向平移，与交于点，如图2．结论否仍成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由． （3）在（1）的条件下，连结，得如图3，当，时，求的值． 15．（2024·浙江杭州·二模）如图1，已知内接于，且，是的中点，连接交直径于点，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)如图，连接并延长交于点，连接．求的值． 16．（2024·浙江杭州·二模）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点B作射线，垂足为B，点P在上． (1)【动手操作】如图②，若点P在线段上，画出射线，并将射线绕点P逆时针旋转与交于点E，根据题意在图中画出图形，图中的度数为 度； (2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，若点P在射线上移动，将射线绕点P逆时针旋转与交于点E，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 17．（2024·浙江台州·二模）如图，内接于， 连接并延长交弦 于点E， 交于点D， 且，连接，． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，求 (用含k 的式子表示)． 18．（2024·浙江台州·二模）如图，内接于，是的直径，点为的中点，连接并延长点，连接，直线切于点．作于点，连接，分别交，于点，． (1)若，，求的长． (2)求证：． (3)连接，记的面积为，四边形的面积为，若，求的值． 19．（2024·浙江金华·二模）根据以下操作，完成任务． 如何折出正多边形？ 操 作 1 如图①，先对折正方形，得到的垂直平分线，再摊开、铺平，把点D，C折到的垂直平分线上．折叠后的点D，点C重合，记为点O．得到 ． 操 作 2 将操作1中折出的 剪下，如图②，将 对折，记折痕为，再摊开、铺平，把点A，B折到上．折叠后的点A，点B重合，记为点G…… 问题解决 任 务 1 判断 的形状，并说明理由 任 务 2 某数学学科小组在操作2的基础上继续折叠，提供了以下三种方案： 方案①：将纸片沿向上折叠，使得点H落在点P处． 方案②：将对折，使得角两边与重合，折痕交于点P． 方案③：将纸片向左上方折叠，使得点E与点H重合，折叠后的点F落在点P处． 以上方案中折出的四边形为正方形的是 ．(填写序号) 任 务3 求操作1中的正方形与操作2中所折出的正方形的面积之比． 20．（2024·浙江嘉兴·二模）【操作思考】 如图1，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形的内部，点A的对应点为点G，折痕为，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使与重合，折痕为． （1）求的度数． 【探究应用】 将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结，作的中垂线分别交于点P，H，连结．        （2）求证：． （3）若，求的面积． 21．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践 如图，在矩形中，点E是边AD上的一点（点E不与点A，点D重合），连结BE．过点C作交AD的延长线于点F，过点B作交FC的延长线于点G，过点F作交BE的延长线于点H．点P是线段CF上的一点，且． 探究发现：（1）点点发现结论：．请判断点点发现的结论是否正确，并说明理由． 深入探究：（2）老师请学生经过思考，提出新的问题，请你来解答． ①“运河小组”提出问题：如图1，若点P，点D，点H在同一条直线上，，，求的长． ②“武林小组”提出问题：如图2，连结和，若，，，求的值．    22．（2024·浙江绍兴·二模）如图，已知，在一边长固定的正方形中，点为中点，为线段上一动点，连接，作于点，为中点，作于点，交于点，作于点，交于点． (1)求证：； (2)若点从点移动到点，随着长度的增大，的长度将如何变化？判断并说明理由； (3)若，四边形的面积为，的面积为，求的值（用的代数式表示）． 23．（2024·浙江湖州·二模）如图，已知在等腰三角形中，，过点作射线，点是延长线上的一个动点，连结，交于点．    (1)求证：； (2)如图2，过点作，分别交于点和点，连结，交于点，连结．已知． ①若与相切，求的长； ②是否存在点，使得四边形是平行四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 24．（2024·浙江·二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 25．（2024·浙江·二模）如图1，内接于⊙，，点D为上的动点，连结交于点E，连结并延长交于点F，连结．    (1)当时，求的度数； (2)如图2，当，，时，求的长； (3)如图3，当为⊙的直径，，时，求k的值． 26．（2024·浙江金华·二模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，点是上的一点，且，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，过点作，交于点．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在中，点是的中点，连结，交于点，且．若，求的值． 27．（2024·浙江杭州·二模）在矩形中，，，点是上的一个动点，点与点关于对称，连接，延长交射线于点，延长交或于点，如图1，图2． (1)如图1，若，求； (2)如图2，当时，求的长； (3)当时，直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 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∴， ∴， ∵， ∴， ∵，, ∴， ∴,即，解得：，解得：， ∵的面积为7， ∴,即，解得：（舍弃负值）， ∴． 故选：D． 4．（2024·浙江金华·二模）如图，把4个形状大小均相同的矩形摆放成正方形，连接并延长交于点，连接．若，则的值是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，由题意得到，，由，推出，由，推出，得到，求出，由勾股定理求出，，即可得到． 【详解】解：设，， 由题意得：， ， ， 四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，，，， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形、正方形的性质，关键是由，得到，由，推出，得到，求出，由勾股定理求出，，即可得到答案． 5．（2024·浙江嘉兴·二模）用两对全等的直角三角形（）和一个矩形拼成如图所示的（无缝隙且不重叠），和的面积相等，连结，若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 由题意知，四边形为矩形，从而设，根据，得出，根据和的面积相等，得出，证明，根据相似三角形的性质得出，结合①②可得出，根据可解答． 【详解】如图，由题意知，四边形为矩形， ， 设， ∵， 则， ∵和的面积相等， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 结合①②可得， ∴． 故选：B． 6．（2024·浙江金华·二模）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助此分割方法所得图形证明了勾股定理．如图所示，矩形就是由两个这样的图形拼成（无重叠、无缝隙）．下面给出的条件中，一定能求出矩形面积的是（    ） A．与的积 B．与的积 C．与的积 D．与的积 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，一元二次方程的运用，根据图形得到关于x的方程，并用整体代入思想解答是解题关键．欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，可设小正方形的边长为x，在直角三角形中，利用勾股定理建立关于x 的方程，利用整体代入思想解决问题，从而求出矩形的面积． 【详解】解：设小正方形的边长为x，设，则， ∴， 在中，， 即， 整理得，， 矩形的面积为：， ∴该矩形的面积为， ∴矩形的面积是与的积， 故选：A． 7．（2024·浙江杭州·二模）如图，已知正方形和正方形，且A、B、E三点在一条直线上，连接，以为边构造正方形交于点M，连接，设．若点Q、B、F三点共线，，则n的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正切的定义等；掌握判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线是解题的关键． 过点Q作于N，连接Q、B、F，由正方形的性质得，，，由等腰三角形的性质得，由可判定和，由可判定，结合全等三角形的性质及正切的定义，即可求解． 【详解】解：过点Q作于N，连接Q、B、F， 四边形、四边形是正方形， ，， ， 点Q、B、F三点共线， ， 、都是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ，， ， ， 设， 则， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， 在中， ， 在中， ， ， ， ． 故选：B． 二、填空题 8．（2024·浙江杭州·二模）勾股定理的证明方法多样．如图正方形是由小正方形和四个全等的直角三角形无缝密铺组成．延长交以为直径的圆于点（点在的上侧），连接，．分别以，为边向外作正方形，．已知的面积为2，正方形的面积为1，则正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作交的延长线于，证明得出，，结合的面积为2，得出，从而得出，，由等面积法得出，再由勾股定理得出，求出的长，即可得解． 【详解】解：∵方形的面积为1， ∴，， ∴， 如图：作交的延长线于， ， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形是由小正方形和四个全等的直角三角形无缝密铺组成， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：． 9．（2024·浙江台州·二模）在矩形中， 别是边 上的点．把和分别沿对折，使分别落在对角线上的处，连结、．若点重合（如图①），则 °；若（如图②），则 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．图①中，先证四边形是平行四边形，再结，得四边形是菱形，则，得即可；图②中，设，先证四边形是平行四边形，得，再证得，最后在中，由勾股定理得，即，化简可得即可． 【详解】解：图①中，点重合 点在同一直线上 四边形是矩形 由折叠的性质知， 即 又矩形中， 四边形是平行四边形 四边形是菱形 ； 图②中，设, 四边形是矩形 由折叠的性质知， 即 又矩形中， 四边形是平行四边形 由折叠的性质知， 在和中 是等腰的中线 在中，由勾股定理得 化简得 ． 故答案为：． 10．（2024·浙江温州·二模）如图，点P 是正方形的中心，过点P 的线段和将正方形分割成4个相同的四边形，这4个四边形拼成正方形． 连接， 记和的面积分别为，设 ； （1）若A，B，Q 三点共线，则 （2）正方形和的面积之比为 ． （用含k 的代数式表示） 【答案】 【分析】（1）如图1，连接，，则，，证明，则，，，是等腰直角三角形，同理可得，，证明四边形是正方形，则，，设，，，由题意知，，，由这4个四边形拼成正方形，可得，则，由A，B，Q 三点共线，可得，则，即，可求，由勾股定理得，，即，可求，由勾股定理得，，，则，可求，根据，求解即可； （2）由（1）可知，，，则，即，由题意知，正方形的边长为，的边长为，根据正方形和的面积之比为，求解作答即可． 【详解】（1）解：如图1，连接，， ∵和将正方形分割成4个相同的四边形， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 同理可得，， ∴四边形是正方形， ∴，， 设，，， 由题意知，，， ∵这4个四边形拼成正方形， ∴， ∴， ∵A，B，Q 三点共线， ∴， ∴，即， 解得，， 由勾股定理得，，即， ∴， 由勾股定理得，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，，， ∴，即， 由题意知，正方形的边长为，的边长为， ∴正方形和的面积之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正切，勾股定理是解题的关键． 11．（2024·浙江湖州·二模）如图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形．连结并延长，交于点，若，正方形和正方形的面积分别记为，则的值为 ；的值为 ．    【答案】 13 / 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解全等三角形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理求线段的长的方法是解题的关键． 设，则，，由全等三角形的性质可知，，由勾股定理可知结合正方形的性质可知，，根据可求得结果，延长交于，则，得，，利用相似三角形和勾股定理求得，，，，，进而可求得的值． 【详解】解：设，则，， 由全等三角形的性质可知，， 由勾股定理可知，， 由正方形的性质可知，， 则， 延长交于，则， ∴， 则，则，， ∴，，    ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 故答案为：13；． 12．（2024·浙江·二模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形都是正方形．连接并延长交于点M，交于点N，连接．当时， ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形的性质，求一个角的正切值，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．过点M作于点P，于点Q，证明四边形为矩形，得出，，证明为等腰直角三角形，设，证明，得出，求出，根据正切函数的定义求出． 【详解】解：过点M作于点P，于点Q，如图所示： 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13．（2024·浙江杭州·二模）如图1，是的直径，E是的中点，，过点E作交于C、D两点． （1）的度数为 ； （2）如图2，P点为劣弧上一个动点（不与B、C重合），连接，点Q在上，若时，平分，则x的值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查了圆的性质，垂径定理，含的直角三角形的性质，解题关键是熟记“垂直于弦的直径平分这条弦”． （1）由E是的中点，，可得，，可得，，即可得的度数； （2）由于直径，根据垂径定理，可以得到所以，又平分，所以，可以证明，所以，由（1）可得，，所以； 【详解】解：E是的中点，， ，， 在中：， ， ， 的度数为∶． 故答案为：． （2）连接如图 直径， 平分， 由（1）得， ， 故答案为：． 三、解答题 14．（2024·浙江杭州·二模）（1）如图1，是的直径，直线是的切线，为切点．，是直线上两点（不与点重合，且在直径的两侧），连结，分别交于点，点．连结．求证：． （2）将图1中的直线沿着方向平移，与交于点，如图2．结论否仍成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由． （3）在（1）的条件下，连结，得如图3，当，时，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）仍然成立，见解析；（3） 【分析】本题考查了圆的综合应用，掌握切线的性质、图形的相似和全等的应用以及勾股定理的应用 是解题的关键． （1）证明，再利用同弧所对圆周角相等得到，即可证明结论； （2）平移前后的始终垂直于，证明，再利用同弧所对圆周角相等得到，即可证明结论； （3）作于，延长、交于点，设为单位1，证明，，利用三角函数表示出，证明．在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）因为是直径，所以． 因为直线切于点，所以，． 所以． 又因为， 所以， 又因为， 所以． （2）结论仍然成立． 设交于点．因为直线向左平移时始终垂直于，是直径， 所以，又， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以． （3）如图，作于，延长、交于点， ， ， 设为单位1， ，， 由（1）可知， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ． ， ， 为直径， ， ， ． ． ， ， ， ． 在中， ． ． 15．（2024·浙江杭州·二模）如图1，已知内接于，且，是的中点，连接交直径于点，连接． (1)求证：． (2)若，求的长． (3)如图，连接并延长交于点，连接．求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（）根据圆的性质可知，再利用角平分线的定义及等腰三角形的性质即可解答； （）根据垂径定理及等腰三角形的性质可知，再根据锐角三角函数及勾股定理即可解答； （3）根据等腰三角形的性质可知，最后利用相似三角形的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴是是角平分线， ∵， ∴是等腰三角形， ∴； （2）解：令交于点，连接，， ∵是的直径， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰三角形，， ∴是角平分线， ∴， ∴在中，， ∴； （3）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∵，经过圆心， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16．（2024·浙江杭州·二模）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点B作射线，垂足为B，点P在上． (1)【动手操作】如图②，若点P在线段上，画出射线，并将射线绕点P逆时针旋转与交于点E，根据题意在图中画出图形，图中的度数为 度； (2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图③，若点P在射线上移动，将射线绕点P逆时针旋转与交于点E，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)135 (2)，理由见详解 (3)当在线段上时，；当在线段的延长线上时， 【分析】（1）根据题意画出图形，由，，得，而，即得； （2）过作交于，证明是等腰直角三角形，得，，即可证，故； （3）当在线段上时，过作交于，结合（2）可得；当在线段的延长线上时，过作交于，证明是等腰直角三角形，可得，，，，即可证，，根据，即得． 【详解】（1）解：依题意，画出图形如下： ，， ， ， ， ； 故答案为：135； （2）解：，理由如下： 过作交于，如图： ， 是等腰直角三角形， ，， ，即，， ， ， ， ； （3）解：当在线段上时，；当在线段的延长线上时，，理由如下： 当在线段上时，过作交于，如图： 由（2）可知，，， ， ， ， ； 当在线段的延长线上时，过作交于，如图： ，， ， 是等腰直角三角形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，当在线段上时，；当在线段的延长线上时，． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形，旋转变换，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 17．（2024·浙江台州·二模）如图，内接于， 连接并延长交弦 于点E， 交于点D， 且，连接，． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，求 (用含k 的式子表示)． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或． 【分析】（1）根据圆周角定理得，，再根据直径所对的圆周角是直径得，继而得到，最后由三角形内角和定理得即可； （2）证明及，由相似三角形的性质即可得证； （3）设，根据圆周角定理得，继而得到，由勾股定理得，继而得到，再由（2）知得 ，再分点E在上，两种情况求出，最后根据可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）证明：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∵圆周角和所对的弧是，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由（2）知：， ∴， 当点与点重合时，则，得，即， 此时不存在，不符合题意， ∴， 如图所示，当点E在上时， ∴， ∵的底和的底共线，且高相等， ∴，即． 如图所示，当点E在上时， ∴， ∵的底和的底共线，且高相等， ∴，即， 综上所述，或． 【点睛】本题考查圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，直角三角形两锐角互余，三角形的面积及等积变换等知识点．掌握圆的基本性质及正切的定义是解题的关键． 18．（2024·浙江台州·二模）如图，内接于，是的直径，点为的中点，连接并延长点，连接，直线切于点．作于点，连接，分别交，于点，． (1)若，，求的长． (2)求证：． (3)连接，记的面积为，四边形的面积为，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂径定理可知，在根据切线的性质得出，由勾股定理求出的长，再根据等积变换求出的长，从而得到的长，最后根据和相似求出的长； （2）根据平行线的判定得到和平行、和平行，在根据平行线分线段成比例求证即可； （3）根据平行线分线段成比例得出和的关系，然后根据三角形的面积公式以及图形的割补求解即可． 【详解】（1）解：设和相交于，如图： 是中点， ，， 是圆的切线，是直径， ， 在中，，， ， ， ， ， 又，， ， 又，， ， ， ； （2）证明：延长和交于点，如图： 为直径， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，合理运用切线的性质、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例等知识点是本题解题的关键． 19．（2024·浙江金华·二模）根据以下操作，完成任务． 如何折出正多边形？ 操 作 1 如图①，先对折正方形，得到的垂直平分线，再摊开、铺平，把点D，C折到的垂直平分线上．折叠后的点D，点C重合，记为点O．得到 ． 操 作 2 将操作1中折出的 剪下，如图②，将 对折，记折痕为，再摊开、铺平，把点A，B折到上．折叠后的点A，点B重合，记为点G…… 问题解决 任 务 1 判断 的形状，并说明理由 任 务 2 某数学学科小组在操作2的基础上继续折叠，提供了以下三种方案： 方案①：将纸片沿向上折叠，使得点H落在点P处． 方案②：将对折，使得角两边与重合，折痕交于点P． 方案③：将纸片向左上方折叠，使得点E与点H重合，折叠后的点F落在点P处． 以上方案中折出的四边形为正方形的是 ．(填写序号) 任 务3 求操作1中的正方形与操作2中所折出的正方形的面积之比． 【答案】任务1：等边三角形；任务2： ①②③；任务3：． 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，等腰三角形的性质与判定，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 任务1：根据折叠的性质得出是等边三角形； 任务2：由折叠的方法和对称性质可得：，，再由方案①②③的折叠方法可证明四边形是正方形； 任务3：关键30°直角三角形性质和等腰直角三角形性质求出正方形的边长与正方形边长之比的平方，即可解答． 【详解】任务1：根据折叠的方法可知：， 所以是等边三角形， 任务2：连接，因为是等边三角形，所在直线是的一条对称轴，由折叠方法可知： ，，、是关于的对称， ∴，，即是的垂直平分线，， 方案①，将纸片沿向上折叠，使得点落在点处， ∴， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形； 方案②，将∠对折，使得角两边与重合，折痕交于点． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是是正方形； 方案③：将纸片向左上方折叠，使得点E与点H重合，折叠后的点F落在点P处．如图： 由折叠方法可知：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是正方形； 综上所述：方案中折出的四边形为正方形的是①②③； 任务3：过点E作，垂足为M，如图： ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴正方形与正方形的面积之比为： 20．（2024·浙江嘉兴·二模）【操作思考】 如图1，将正方形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形的内部，点A的对应点为点G，折痕为，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使与重合，折痕为． （1）求的度数． 【探究应用】 将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结，作的中垂线分别交于点P，H，连结．        （2）求证：． （3）若，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据折叠性质得，再根据，即可求出． （2）根据中垂线性质得出，，从而得出，根据勾股定理即可得出，再根据，运用勾股定理得出，即可证明； （3）如图2，过点P作的平行线分别交于点M，N，则， 证明，得出，再证明四边形是平行四边形，，证明，得出，，证明，根据相似三角形的性质即可得出，即可求解； 【详解】（1）由题意得， 在正方形中，， ， ， ， 即． （2）是的中垂线， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）如图，过点P作的平行线分别交于点M，N， 则， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在正方形中，， ∴四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，正方形的性质，矩形的性质和判定，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 21．（2024·浙江杭州·二模）综合与实践 如图，在矩形中，点E是边AD上的一点（点E不与点A，点D重合），连结BE．过点C作交AD的延长线于点F，过点B作交FC的延长线于点G，过点F作交BE的延长线于点H．点P是线段CF上的一点，且． 探究发现：（1）点点发现结论：．请判断点点发现的结论是否正确，并说明理由． 深入探究：（2）老师请学生经过思考，提出新的问题，请你来解答． ①“运河小组”提出问题：如图1，若点P，点D，点H在同一条直线上，，，求的长． ②“武林小组”提出问题：如图2，连结和，若，，，求的值．    【答案】（1）点点发现的结论正确，理由见解析；（2）①；② 【分析】（1）由矩形得到，，证得四边形是平行四边形，故，，利用，得到，结合，即可证得． （2）①在中根据直角三角形的性质得到，证得，由得到，推出，得到，过点H作，求出，，明，得到，求出，，由，，得，证得，求出，易证四边形是矩形，即可得到． ②连结，由得到，结合得到，又因为，证得，得到，求出，，勾股定理求出，证，所以，，即可求出． 【详解】证明：（1）因为矩形，所以，， 因为，所以四边形是平行四边形，所以，， 因为，所以， 因为，所以，所以， 因为，，所以， 所以． 所以点点发现的结论正确．    （2）①在中，因为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以，所以， 因为四边形是平行四边形，所以， 因为，所以，所以， 过点H作，因为，所以，，    因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以，所以， 因为，，所以， 因为，所以，所以， 因为，, 所以， 所以四边形是矩形，所以． ②连结，在中，因为，所以，所以，    因为，所以， 因为，所以， 所以，所以，， 因为，，所以， 因为， 所以，所以，， 所以． 【点睛】此题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求锐角三角函数值，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 22．（2024·浙江绍兴·二模）如图，已知，在一边长固定的正方形中，点为中点，为线段上一动点，连接，作于点，为中点，作于点，交于点，作于点，交于点． (1)求证：； (2)若点从点移动到点，随着长度的增大，的长度将如何变化？判断并说明理由； (3)若，四边形的面积为，的面积为，求的值（用的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)为定值，始终不变，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）根据，得出，从而推出； （2）作于，设的延长线交于，可证得，从而得出，进一步得出结果； （3）作于，连接，根据得出，从而得出，根据得出，进而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）证明： ，， ， ； （2）解：如图1，的长度不变，理由如下， 作于，设的延长线交于， 四边形是正方形， ， 由（1）得，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，，， ， 是的中点， ， ， ， 正方形的边长固定， 的长度不变； （3）解：如图2，作于，连接， 由（2）知：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 23．（2024·浙江湖州·二模）如图，已知在等腰三角形中，，过点作射线，点是延长线上的一个动点，连结，交于点．    (1)求证：； (2)如图2，过点作，分别交于点和点，连结，交于点，连结．已知． ①若与相切，求的长； ②是否存在点，使得四边形是平行四边形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②存在，使得四边形是平行四边形 【分析】（1）由等边对等角可知，根据，结合，即可证明结论； （2）①连接交于，连接，则，可知垂直平分，，得，由与相切，结合互余可得，即，得，则，再证，得，可知，，则，进而即可求解； ②连接交于，连接，由①可知，垂直平分，，先证，得，即垂直平分，可知，当四边形是平行四边形时，，，即，再证得，设，根据，则，设的半径为，得，，可知，由三角形中位线定理可知，在中，，即：，解得：或，当时，即，则，此时，不符合题意舍去；当时，即，则，，再证，得，进而可求得的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①连接交于，连接，则， ∵， ∴垂直平分，则， ∴， 又∵， ∴， ∴，    ∵与相切， ∴，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，则， 又∵，， ∴， ∴， ∴，， 则， ∴； ②存在，使得四边形是平行四边形，理由如下： 连接交于，连接， 由①可知，垂直平分，， ∴，， ∵， ∴，，，则 ∴， ∴，即垂直平分， ∴， 当四边形是平行四边形时，，，即， ∴， ∴， ∴， 由①可知，，，，设， ∴，则， 设的半径为，则， 又∵， ∴，即：， ∵，分别为，的中点， ∴， 在中，，即：， 解得：或，    当时，即，则，此时，不符合题意舍去； 当时，即，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即： 解得：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定及性质等知识，熟练掌握相关图形的性质，添加辅助线构造直角三角形是解决问题的关键． 24．（2024·浙江·二模） 探究不同裁剪方式的面积大小问题 素材1 图1是一张直角三角形纸板，两直角边分别为，，小华、小明、小富同学分别用这样的纸板裁剪出不一样的矩形，并使矩形的四个顶点都在三角形的边上．    素材2 小华同学按图2的方式裁剪出一个正方形；小明同学按图3的方式裁剪，且．    素材3 小富同学对纸板的裁剪按如下步骤：如图4， 步骤1：在直角纸板上裁下一个矩形，矩形的四个顶点都在的边上； 步骤2：取剩下的纸板裁下一个正方形，正方形的四个顶点都在边上；且满足矩形的边长是正方形边长的两倍小．    问题解决 任务1 请比较小华、小明同学裁处的两种矩形的面积大小，通过计算说明． 任务2 请求出小富同学裁下的矩形各边长． 【答案】任务一：，见解析；任务二：矩形的各边长为，，， 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质， 任务1：小华：设正方形的边长为x，，由题意得：，再利用相似三角形的性质求得x，小明：由题意得：，再由及求得，然后比较大小即可； 任务2：由题意得：，可设，，，再由可得，求得，，由列出比例式，求得得：，从而得出．最后求解即可； 【详解】解：任务一：小华：设正方形的边长为x， 由题意得： ，得： 小明：由题意得： ∵ ，得． ∵ ，得： ∵   ． 任务二：由题意得： 设：，， 同理： ，得 ∵ ，得： ． 矩形的边长为：；． 25．（2024·浙江·二模）如图1，内接于⊙，，点D为上的动点，连结交于点E，连结并延长交于点F，连结．    (1)当时，求的度数； (2)如图2，当，，时，求的长； (3)如图3，当为⊙的直径，，时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连结，，先证明，可得，再进一步可得答案； （2）连结，证明，可得，再证明，可得，再进一步求解即可． （3）先表示，，．延长交于点H，证明，可得，证明，利用．设，，半径：，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：连结，    ∵，， ∵ ； （2）解：连结    ∵，由（1）得：， ∵ ∵ ∵，， ． （3）解：∵， ，，． 延长交于点H，    由（1）可得：， ∵是直径 ∵， ∴是的中位线． ∵ ． 设，，半径： 则，在中 得 即：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 26．（2024·浙江金华·二模）【基础巩固】 （1）如图1，在中，点是上的一点，且，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，过点作，交于点．若，，求的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在中，点是的中点，连结，交于点，且．若，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，得出，可得出结论； （2）设，则，，由相似三角形的性质得出答案； （3）证明，设，则，得出，证明，得出，设，则，，过点作于，则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， 设，则，， ∵， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴； （3）∵在中，点是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， 过点作于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，三角形外角的定义及性质，平行线的性质等知识点，掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义是解题的关键． 27．（2024·浙江杭州·二模）在矩形中，，，点是上的一个动点，点与点关于对称，连接，延长交射线于点，延长交或于点，如图1，图2． (1)如图1，若，求； (2)如图2，当时，求的长； (3)当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为或 【分析】（1）根据补角的定义求出的度数，再根据翻折的性质求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出的度数即可； （2）证明得出和的关系，根据折叠的性质得出，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）分两种情况：当在线段上时；当在延长线上时，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ； （2）解：由折叠的性质可得：，， ， ， ， 设，， ， 在中，，即， 解得：或（舍去）， ； （3）解：如图，当在线段上时，如图，作交于， ，， ，， 为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ， ，为等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， 设，则， 为等腰直角三角形，， ， ，即， 解得：， ， ， ； 如图，当在延长线上时，作交于， ， ， ，， ， ，， 四边形为平行四边形， ，， ； 综上所述，的值为或． 【点睛】相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、翻折的性质以及锐角三角函数的定义是本题解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$