专题09 二次函数及其应用（九大题型）-【好题汇编】2024年中考数学二模试题分类汇编（浙江专用）

专题09 二次函数及二次函数的应用 题型1 二次函数的图像 1．（2024·浙江温州·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（    ）． A． B．的解为， C． D．点在第三象限 题型2 二次函数的顶点 3．（2024·浙江绍兴·二模）已知关于的函数的顶点为，坐标原点为，则长度不可能是（    ） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 题型3 二次函数图像的平移 4．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 题型4 二次函数的最值 5．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数， 当时，函数最大值为M，最小值为N．若，则的值为 （  ） A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 6．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（　　） A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值 7．（2024·浙江杭州·二模）已知，是函数与图象两个交点的横坐标，点在函数的图象上，则以下结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（2024·浙江杭州·二模）若点在抛物线上过y轴上点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D，且M，N分别是线段的中点，面积的最小值为 ． 题型5 抛物线与坐标轴的交点问题 9．（2024·浙江杭州·二模）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·浙江台州·二模）已知点，是二次函数函数图象上的两个点，若关于的一元二次方程有两根，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 11．（2024·浙江·二模）已知二次函数的图象与x轴的负半轴上交于两点为和，则直线一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．（2024·浙江杭州·二模）如图所示，二次函数的图象与轴负半轴相交于A、两点，是二次函数图象上一点，且为等边三角形，则的值为（    ） A． B． C．－1 D． 题型6 二次函数的图像性质 13．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数图象上两点，且．下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．（2024·浙江杭州·二模）二次函数（a，b为实数，）的图象对称轴为直线，且经过点．若二次函数的图象经过点，则关于x的方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 15．（2024·浙江杭州·二模）二次函数的图象经过两点，若，则h的值可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 16．（2024·浙江金华·二模）若是抛物线图象上两个不同的点，则为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 17．（2024·浙江台州·二模）已知二次函数（为常数，）的最小值分别为，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 18．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 19．（2024·浙江绍兴·二模）已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 20．（2024·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点D、点E，过该函数顶点A与x轴平行的直线交抛物线于点B、点C，若，那么和需满足关系（    ） A． B． C． D． 21．（2024·浙江杭州·二模）如图，抛物线交y轴于点，对称轴为直线，若，则x的取值范围是 ． 22．（2024·浙江台州·二模）已知二次函数（为常数），当时，，若，且，则的最大值等于 ． 23．（2024·浙江金华·二模）如图，抛物线的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且． （1） ． （2）已知点P为该抛物线上一点且设其横坐标为，记该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）这部分图象的最高点和最低点到x轴的距离分别为．若，则t的取值范围为 ． 题型7 二次函数的应用 24．（2024·浙江杭州·二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 米．    题型8 二次函数的应用综合解答题 25．（2024·浙江宁波·二模）根据以下素材，探索完成任务． 校内小型植物园规划设计 素材1 学校拟在围墙边的一块空地上修建一个小型的矩形植物园，墙长18米，植物园一边靠墙，另三边用40米的栅栏围成．如图，矩形中，为米，矩形面积为平方米．    素材2 如图，拟在矩形植物园的中心位置（点为对角线交点）安装一个自动喷灌设备，喷出的水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，喷水口的高度可升降，升降前后喷出的水流抛物线形状不变，经测量喷水口的高度为米时，喷出的水流最高点离地面距离为1米，离喷水口的水平距离为4米．    问题解决 任务1 确定矩形植物园修建方案 （1）求与的函数关系式，并直接写出的取值范围； （2）若矩形植物园面积为192平方米，则与各为多长？ 任务2 确定自动喷灌设备调整方案 （3）在（2）的条件下，将喷水口的高度至少升高多少米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到？ 26．（2024·浙江台州·二模）有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为，此时，粘在玩具上的标边线签距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为．如图2，建立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离．              图1                                                     图2 (1)求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式． (2)这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．求这个不倒翁的总高度． (3)当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由． 27．（2024·浙江杭州·二模）制作简易水流装置 设计 方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点、、、、在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 28．（2024·浙江金华·二模）随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键．已知某型号汽车刹车时速度为米秒，设刹车后行驶的时间为秒，刹车后速度为米秒，刹车后行驶的距离为米．已测得刹车后的运动速度与运动时间之间满足关系式：．刹车后行驶的距离与的函数图像如下图所示，该图像是抛物线 ，为常数，的一部分． (1)当该汽车刹车后速度为米秒时，求刹车后行驶的时间． (2)求、的值，以及该汽车刹车后行驶的最大距离． (3)一司机驾驶该型号汽车，在以米秒的速度行驶中，突然发现导航提示前面米处路面变窄，于是立即刹车．为确保安全通过窄路，需要将车速降低到米秒以下．请通过计算说明该司机能否在到达窄路时将车速降低到米秒以下？ 29．（2024·浙江杭州·二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 12 10 8 6 4 2 … 运动距离 0 22 40 54 64 70 … (1)根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式． (2)①求黑球在水平木板上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由． 30．（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．    (1)当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； (2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 31．（2024·浙江杭州·二模）如图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段，线段，曲线，曲线围成的封闭图形，且，在x轴上，曲线与曲线关于y轴对称．已知曲线是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：(p为常数，)，现用三段塑料管，，围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区(如图3)，E，F分别在曲线，曲线上，G，H在x轴上． (1)当时， ①求曲线的函数解析式． ②当米时，求三段塑料管的长度之和． (2)当与的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值． 题型9 二次函数的图像与性质综合解答题 32．（2024·浙江·二模）已知二次函数的部分图象如图所示， (1)求该二次函数图象的对称轴，并利用图象直接写出一元二次方程的解． (2)向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 33．（2024·浙江台州·二模）已知二次函数， (1)若二次函数过点， ①求二次函数的表达式； ②当随的增大而减小时，求的取值范围； (2)若点 和点在该二次函数图象上，求的值． 34．（2024·浙江台州·二模）已知，关于x 的二次函数． (1)若函数经过点，求抛物线的对称轴； (2)若点均在抛物线上，则p q（填“”，“”或“”）. (3)记，当时，始终成立，求t 的取值范围． 35．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数（a为实数，）． (1)求该二次函数的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）． (2)设二次函数在时的最大值为p，最小值为q，，求a的值． 36．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，是常数，． (1)当二次函数的图象过点时，求该抛物线的对称轴． (2)若，点，在该二次函数图象上，求证：． 37．（2024·浙江金华·二模）设二次函数 （是常数）． (1)若时，求二次函数的顶点坐标．（用含的代数式表示） (2)若时，求二次函数 的最大值．（用含的代数式表示） (3)若时，如图，直线与此函数图象交于两点，点不在二次函数图象上，线段分别交二次函数图象于点，且，求点的纵坐标的取值范围． 38．（2024·浙江嘉兴·二模）已知二次函数（a为常数）． (1)若该二次函数的图象经过点； ①求a的值． ②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ (2)若点均在该二次函数的图象上，求证：． 39．（2024·浙江·二模）已知二次函数的图象经过点． (1)求a和b的关系式； (2)当时，函数y有最小值，求a的值； (3)若时，将函数图象向下平移个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（点A在y轴的左侧）．当时，求m的值． 40．（2024·浙江杭州·二模）设二次函数（a为实数，且）． (1)若该函数图象经过点，求二次函数表达式． (2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含a的代数式表示）． (3)若该函数图象经过点，且满足，求a的值． 41．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数． (1)若函数图象经过点． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，求的值． (2)设点，是该函数图象上的两点，若，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 二次函数及二次函数的应用 题型1 二次函数的图像 1．（2024·浙江温州·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．点，，在同一个函数图象上，可得P、Q关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴得P、Q关于y轴对称， ∴选项A、C错误， ∵，在同一个函数图象上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴选项B错误，选项D正确． 故选：D． 2．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（    ）． A． B．的解为， C． D．点在第三象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数图象的性质成为解题的关键． 根据二次函数图象的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由图象可得：对称轴，即，即A选项正确，不符合题意； B、由函数图象可知：的解为，另一个解为：，即B选项正确，不符合题意； C、由函数图象可知：且，则有；又当时，，即，即，即C选项正确，不符合题意； D、由意义可知：，则，又，则，可得点在第二象限，故D选项错误，符合题意． 故选D． 题型2 二次函数的顶点 3．（2024·浙江绍兴·二模）已知关于的函数的顶点为，坐标原点为，则长度不可能是（    ） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，已知两点求距离，平方数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先求出顶点为，则，由平方数非负求解即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∴， ∵，， ∴， 而， 故选：D． 题型3 二次函数图像的平移 4．（2024·浙江嘉兴·二模）已知直线与抛物线对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的平移，二次函数与一次函数的交点问题，解题的关键在于数形结合的思想的运用． 当直线与抛物线相切时符合题意，则有，根据，求出m的值；当抛物线过，且对称轴在y轴右侧时符合题意，代入，求出此时的m的值，以及抛物线继续向左平移，仍符合题意． 【详解】解：由题意，当直线与抛物线相切时符合题意，如图： ∴，即． ∴． ∴． 令，则， ∴， 记直线与y轴交于点， 又当抛物线过，且对称轴在y轴右侧， ∴． ∴，此时刚好在对称轴左侧有一个交点，如图： 又继续向左平移符合题意，符合题意，如图： ∴． 综上，或． 故选：D． 题型4 二次函数的最值 5．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数， 当时，函数最大值为M，最小值为N．若，则的值为 （  ） A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．①当时，时，取最大值2，时，取最小值，代入，无解；②当时，时，取最大值2，时，取最小值1，不满足；③当时，时，取最小值，最小值为1，时，取最大值，最大值为2，不满足；④当时，时，取最小值1，时，取最大值，代入，求出值． 【详解】 对称轴为，顶点坐标为， 将代入，，所以该二次函数过 将代入，，所以该二次函数过 画出的图象，，开口向上，如图所示 ①当时，时，取最大值，最大值为2，时，取最小值，最小值为 ， 该方程无解； ②当时，时，取最大值，最大值为2，时，取最小值，最小值为1 ， 不满足 ③当时，时，取最小值，最小值为1，时，取最大值，最大值为2 ， 不满足 ④当时，时，取最小值，最小值为1，时，取最大值，最大值为 ， 解得， 舍去 故选：C． 6．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（　　） A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图像上点的坐标特征，求得抛物线开口向下，对称轴为轴是解题的关键． 由题意可知对称轴为轴，则函数为，利用待定系数法求得，由当时，该函数有最大值和最小值，即可得出，，进一步求的， 得到的最小值为，无最大值． 【详解】二次函数的图象经过点，，， 对称轴为直线， ，， ， 把，代入得， 解得：． 当时，该函数有最大值和最小值， 时，取最大值， 时，取最小值， ， 又 ， 的最小值为，无最大值． 故选B． 7．（2024·浙江杭州·二模）已知，是函数与图象两个交点的横坐标，点在函数的图象上，则以下结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，得到当时，在对称轴的两侧，二次函数的函数值的范围为：，判断即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， ∵，是函数与图象两个交点的横坐标， ∴两个交点为，， 当时，随着的增大而增大，在对称轴的两侧， ∴， ∴当时，二次函数的函数值的范围为：， ∴当时，； 当时，可能大于，等于或小于； 故选D． 8．（2024·浙江杭州·二模）若点在抛物线上过y轴上点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D，且M，N分别是线段的中点，面积的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数最值，熟练掌握化简二次根式是解答本题的关键．根据题意设E坐标为，直线的解析式为直线的解析式为联立方程组得到坐标，由中点坐标公式得到再根据两点间的距离公式得到的代数式，由面积公式得到，利用均值不等式得到最小值即可． 【详解】解：由，且两直线均与抛物线有两个交点，所以直线k值都存在， 设E坐标为，直线的解析式为直线的解析式为 直线与抛物线联立方程组为： ，消去y得 设 由根与系数的关系得： ∵为线段的中点， ∴ ∴ 同理得 ∴ ∵ ∴ 根据均值不等式，当时， 即时，的面积最小值为4． 故答案为：4． 题型5 抛物线与坐标轴的交点问题 9．（2024·浙江杭州·二模）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“倍值点”的定义得到方程，则方程的，可得，利用对于任意的实数总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出的取值范围． 【详解】解：由“倍值点”的定义可得：， 整理得， ∵关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点， ∴ ∵对于任意实数总成立， ∴ 整理得， ∴ ∴， ∴，或 当时，解得， 当时，此不等式组无解， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键． 10．（2024·浙江台州·二模）已知点，是二次函数函数图象上的两个点，若关于的一元二次方程有两根，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征和求表达式等．依据题意，由点，是二次函数函数图象上的两个点，结合，则点在其第一象限的图象上，则，，点在其第二象限的图象上，则，且，即，则，进而求解． 【详解】解：点，是二次函数函数图象上的两个点， 又， 点在其第一象限的图象上，点在其第二象限的图象上． ，，，，， ． 、异号，， 设，即， 即，则， 故， ，， ． 由得，，． 故选：C． 11．（2024·浙江·二模）已知二次函数的图象与x轴的负半轴上交于两点为和，则直线一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与各项系数的关系，一次函数的性质等知识，由题意可知m，n为一元二次方程的两个实数根，且，根据根与系数的关系可知，，即 ，，再进行对和分类讨论得出，即可根据一次函数的性质求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的负半轴上交于两点为和 ∴m，n为一元二次方程的两个实数根，且， ∴，， ∵， ∴，， 即 ，， ∴， 当时，则，，则，则， 当时，则，，则，则， ∴当时，总有，， ∴直线一定经过一、二、三象限，一定不经过第四象限， 故选：D． 12．（2024·浙江杭州·二模）如图所示，二次函数的图象与轴负半轴相交于A、两点，是二次函数图象上一点，且为等边三角形，则的值为（    ） A． B． C．－1 D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形、二次函数的最值和二次函数根于系数的关系，先根据等边三角形的性质求出的值，并确定Q为二次函数的顶点，再根据二次函数的顶点公式和二次函数根于系数的关系建立等式，化简即可求出a的值． 【详解】解：过点Q作，垂足为D， ∵为等边三角形， ∴，， ∴Q为二次函数的顶点， ∵， ∴，对称轴， ∴， 根据二次函数的性质得：， 设点B和点A的横坐标分别为和， 得,，， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型6 二次函数的图像性质 13．（2024·浙江杭州·二模）已知二次函数图象上两点，且．下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知对称轴为直线，当时，图象开口向下，点离对称轴越远，函数值越小，即若，则，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，图象开口向下，点离对称轴越远，函数值越小， ∴当时，， ∴若，则， 故选：D． 14．（2024·浙江杭州·二模）二次函数（a，b为实数，）的图象对称轴为直线，且经过点．若二次函数的图象经过点，则关于x的方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解一元二次方程，先根据题意得出，即，根据二次函数的图象经过点，二次函数（a，b为实数，）的图象经过点，得出，求出，代入求出，代入，求出结果即可． 【详解】解：∵二次函数（a，b为实数，）的图象对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴， ∵二次函数的图象经过点， ∴， 即， ∵二次函数（a，b为实数，）的图象经过点， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴或， 解得：，， 故选：D． 15．（2024·浙江杭州·二模）二次函数的图象经过两点，若，则h的值可能为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线，由于抛物线过两点．若，则点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，所以，然后解不等式后进行判断． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线过两点， ， 解得． 故选：A． 16．（2024·浙江金华·二模）若是抛物线图象上两个不同的点，则为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式可得，抛物开口向上，对称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越大，即可推出与同号或都等于0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，抛物开口向上，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当，，当，， ∴与同号或都等于0， ∴ 故选：D． 17．（2024·浙江台州·二模）已知二次函数（为常数，）的最小值分别为，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴及二次函数最大（小值的求法．根据对称轴公式求出和的对称轴，再依据二次函数的图象和性质得出，存在最小值，进而得出，，结合条件，列出方程求解逐一判断即可． 【详解】解：由两函数表达式可知， 函数的对称轴 为， 函数的对称轴为，且两函数图象均开口向上， 即，否则不存在最小值，两函数均在对称轴上取到最小值， 则有，， A、若，则有，即， 解得：或（舍去）， 当时，则， ，故符合题意； B、若，则有，即， 解得：或， 当时，则， ， 当时，则， ，但不一定为0，故不符合题意； C、若，则有， 当时，才有，才有，故不符合题意； D、若，则有， 当且仅当时，才有， 此时，则，与题干矛盾，故不符合题意； 故选：A． 18．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，当时，或．若，是抛物线上的两点，且，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，由时，或，从而可得抛物线开口向上，且对称轴是直线，故当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小，再结合，是抛物线上的两点，且，可得，最后计算可以得解． 【详解】解：由题意，当时，或， 抛物线开口向上，且对称轴是直线． 当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小． ， 又，是抛物线上的两点，且， ． ． ． ． 故选：A． 19．（2024·浙江绍兴·二模）已知点都在抛物线上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】画出二次函数的图象，利用数形结合的思想即可求解． 【详解】解：当时，画出图象如图所示， 根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项C错误，选项D正确； 当时，画出图象如图所示， 根据二次函数的对称性和增减性可得，故选项A、B都错误； 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，借助图象，利用数形结合的思想解题的解决问题的关键． 20．（2024·浙江杭州·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点D、点E，过该函数顶点A与x轴平行的直线交抛物线于点B、点C，若，那么和需满足关系（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线与x轴的交点横坐标得出，再求出，根据求出 【详解】解：对于，令，则， 整理得，， 解得，， ， ∵点是抛物线的顶点， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为， 对于，令，则， 整理得，， 解得， ， ，整理得，， 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线与x轴交点问题以及二次函数图像上点的坐标特征，平行于x轴上的两点之间的距离，熟练掌握二次函数图像与性质是解答本题的关键． 21．（2024·浙江杭州·二模）如图，抛物线交y轴于点，对称轴为直线，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，先根据抛物线的对称轴可得抛物线过，再结合图象可得答案． 【详解】解：∵抛物线交y轴于点，对称轴为直线， ∴图象过点， ∵图象开口向下， ∴当时，x的取值范围是． 故答案为：． 22．（2024·浙江台州·二模）已知二次函数（为常数），当时，，若，且，则的最大值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由二次函数开口向上得当时，随的增大而增大，结合得，故，则最小，即，然后求出即可． 【详解】解：二次函数开口向上 当时，随的增大而增大 要使最大 最小 ，则 或（舍去） ． 故答案为：． 23．（2024·浙江金华·二模）如图，抛物线的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且． （1） ． （2）已知点P为该抛物线上一点且设其横坐标为，记该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）这部分图象的最高点和最低点到x轴的距离分别为．若，则t的取值范围为 ． 【答案】 2 或或 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，待定系数法求解析式，公式法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把点A坐标为代入，进行计算，即可作答． （2）根据“点P在抛物线的段上”进行分类讨论，然后根据部分图象的最低点和最高点到x轴的距离分别为，．若”，列方程计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵抛物线的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且． ∴， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）如图，由（1）得：，设， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时， ∴， 解得：，， ∴，， 当时，，即， 当时，最高点为，最低点为顶点， ∴， 即， 解得：，（舍去），，（舍去）， 当时，最高点为，最低点为顶点， ∴，即， 解得：（舍去），（舍去）， 当，最高点为，最低点为顶点， ∴， 当时，最高点为，最低点为点， ∴，即， 解得：（舍去），（舍去），（舍去）， 综上：t的取值范围为：或或． 故答案为：或或． 题型7 二次函数的应用 24．（2024·浙江杭州·二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 米．    【答案】2.2 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得，令，则，求出，从而得出，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 令，则， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴水池宽至少是米， 故答案为：． 题型8 二次函数的应用综合解答题 25．（2024·浙江宁波·二模）根据以下素材，探索完成任务． 校内小型植物园规划设计 素材1 学校拟在围墙边的一块空地上修建一个小型的矩形植物园，墙长18米，植物园一边靠墙，另三边用40米的栅栏围成．如图，矩形中，为米，矩形面积为平方米．    素材2 如图，拟在矩形植物园的中心位置（点为对角线交点）安装一个自动喷灌设备，喷出的水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，喷水口的高度可升降，升降前后喷出的水流抛物线形状不变，经测量喷水口的高度为米时，喷出的水流最高点离地面距离为1米，离喷水口的水平距离为4米．    问题解决 任务1 确定矩形植物园修建方案 （1）求与的函数关系式，并直接写出的取值范围； （2）若矩形植物园面积为192平方米，则与各为多长？ 任务2 确定自动喷灌设备调整方案 （3）在（2）的条件下，将喷水口的高度至少升高多少米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到？ 【答案】（1），；（2）米，米；（3）至少升高米 【分析】该题主要考查了二次函数应用以及矩形的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意． （1）由题意得，为米，则为米，再根据矩形面积公式即可求解； （2）根据面积为192平方米，令，解答即可； （3）根据勾股定理得求出，再根据矩形性质求出则．如图建立平面直角坐标系，由题意设，将代入，即可求出解析式，设将喷水口的高度至少升高米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到，则抛物线过点，求出即可解答； 【详解】解：（1）由题意得，为米，则为米， 矩形面积， 即． 墙长18米，则． （2）面积为192平方米，则， 解得：， 由，则取，此时米，米． （3）矩形中，， 由勾股定理得，． 点为对角线交点，则． 如图建立平面直角坐标系， 由题意设， 将代入，得， 则． 设将喷水口的高度至少升高米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到， 则抛物线过点，得， 答：将喷水口的高度至少升高米，才能保证该矩形植物园的每个角落都能浇灌到． 26．（2024·浙江台州·二模）有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为，此时，粘在玩具上的标边线签距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为．如图2，建立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离．              图1                                                     图2 (1)求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式． (2)这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．求这个不倒翁的总高度． (3)当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题时要能读懂题意，灵并能活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意知，底座抛物线的顶点坐标为，从而可设该二次函数解析式为，又过点，进而求出，可得解析式； （2）依据题意，由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、，故可设该二次函数解析式为，代入得建立方程组进而计算可以得解析式，再令从而可以得解； （3）依据题意，令，从而可得或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意知，底座抛物线的顶点坐标为， 故可设该二次函数解析式为， 又过点， ． ． ． （2）解：由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、， 故可设该二次函数解析式为，代入得 ， ，，． ． 当时，． 答：这个不倒翁的总高度为． （3）解：由题意，令， 或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方． 当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，有一部分会偏离边线． 27．（2024·浙江杭州·二模）制作简易水流装置 设计 方案 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线型．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 示意图 已知 轴，，，点为水流抛物线的顶点，点、、、、在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） 任务三 还是任务二的水杯，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出长的取值范围． 请根据活动过程完成任务一、任务二和任务三． 【答案】任务一：；任务二：不能，见解析；任务三： 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，理解题意，正确求出二次函数解析式是解此题的关键． 任务一：由题意得出抛物线的对称轴为：．得出，把点代入抛物线结合求出，，即可得解； 任务二：根据题意得出圆柱形水杯最左端到点O的距离是，把代入抛物线解析式求出的值，进行比较即可得出答案； 任务三：求出当时的的值，再根据圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，即可得出答案． 【详解】解：任务一、轴，，点为水流抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为：． ， ， 把点代入抛物线得：， 把代入得：． 解得：， ， ∴水流抛物线的函数表达式为：； 任务二、不能， 圆柱形水杯最左端到点O的距离是， 当时，． ， ∴水流不能流到圆柱形水杯内． 任务三、 当时，， 解得：或（不符合题意，舍去）， 圆柱形水杯的底面半径为，水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内， ， 即． 28．（2024·浙江金华·二模）随着家用小轿车的普及，交通安全已经成为千家万户关注的焦点，保持安全车距是预防交通事故的关键．已知某型号汽车刹车时速度为米秒，设刹车后行驶的时间为秒，刹车后速度为米秒，刹车后行驶的距离为米．已测得刹车后的运动速度与运动时间之间满足关系式：．刹车后行驶的距离与的函数图像如下图所示，该图像是抛物线 ，为常数，的一部分． (1)当该汽车刹车后速度为米秒时，求刹车后行驶的时间． (2)求、的值，以及该汽车刹车后行驶的最大距离． (3)一司机驾驶该型号汽车，在以米秒的速度行驶中，突然发现导航提示前面米处路面变窄，于是立即刹车．为确保安全通过窄路，需要将车速降低到米秒以下．请通过计算说明该司机能否在到达窄路时将车速降低到米秒以下？ 【答案】(1)秒 (2)，，米 (3)能 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的应用； （1）把代入，即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）把代入得，，当时，求得，即可求解． 【详解】（1）把代入， 得，解得 （2）把，代入得 解得 因为 当时，最大，最大值为 即，，刹车后行驶的最大距离为米． （3）由题意：把代入得， 一，解得 当时， 所以，该司机到达窄路时可将车速降低到米秒以下． 29．（2024·浙江杭州·二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 12 10 8 6 4 2 … 运动距离 0 22 40 54 64 70 … (1)根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式． (2)①求黑球在水平木板上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由． 【答案】(1)图像见解析；；； (2)①；②能相遇，相遇点到点． 【分析】（1）根据表中数据画出图像即可，由图像可知是的一次函数，设，表中取点代入，即可解得函数表达式；由图像可知是的二次函数，且过原点，设，表中取点代入，即可解得函数表达式； （2）①由，可知，结合，开口向下，对称轴，即可求得的最大值；②根据题意，可得白球滑行距离的表达式，再令，解出，代入即可得到相遇点离点距离． 【详解】（1） 由图像猜测是的一次函数， 设，表中取点，代入得： 解得：， 即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立， 与的函数表达式为； 由图像猜测是的二次函数，且过原点， 设，表中取点，代入得： 解得：，， 即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立， 与的函数表达式为； （2）①由（1）可知，， ，即， 又的对称轴为，且开口向下， 当时，取最大值为：， 黑球在水平木板上滚动的最大距离为； ②由题意可知，时，白球从处出发， 当时，设表示白球在木板上滑行的距离， 则， ， 令，即， 得：， 解得：，（不合题意，舍去） 将代入， 相遇点到点的距离为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，待定系数法求二次函数表达式，二次函数最值，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 30．（2024·浙江台州·二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．    (1)当时， ①求b的值； ②求点A，B之间的距离； (2)已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是求出解析式； （1）①由得到，代入即可求解；②抛物线的对称轴为直线，得到点关于直线对称的点为，从而即可解答； （2）设点，由落点A和落点C重合，得到，设段抛物线的解析式为，则抛物线的最高点横坐标为，代入得到纵坐标为2，即，解得，因此段抛物线的解析式为，令，得，即，即可解答． 【详解】（1）解：①当时，则． 代入， 得， 解得； ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于直线对称的点为． ∴ ∴点A，B之间的距离为； （2）解：设点， ∵落点A和落点C重合， ∴． 根据题意，设段抛物线的解析式为， 抛物线在线段的中点时有最高点，此时该中点的横坐标为． ∴， 即，解得， ∴此时段抛物线的解析式为， 令，得，即． ∴当时，落点C恰好与落点A重合． 31．（2024·浙江杭州·二模）如图1是即将建造的“碗形”景观池的模拟图，设计师将它的外轮廓设计成如图2所示的图形．它是由线段，线段，曲线，曲线围成的封闭图形，且，在x轴上，曲线与曲线关于y轴对称．已知曲线是以C为顶点的抛物线的一部分，其函数解析式为：(p为常数，)，现用三段塑料管，，围成一个一边靠岸的矩形荷花种植区(如图3)，E，F分别在曲线，曲线上，G，H在x轴上． (1)当时， ①求曲线的函数解析式． ②当米时，求三段塑料管的长度之和． (2)当与的差为多少时，三段塑料管总长度最大？请你求出三段塑料管总长度的最大值． 【答案】(1)①；100 (2)当与的差为时，三段塑料管总长度最大，最大值为 【分析】本题考查了二次函数解析式和二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出点C的坐标，根据对称性求出点A的坐标，即可求出抛物线的解析式； 求出点F的横坐标，代入抛物线得解析式求出点E和F的纵坐标，从而得解； （2）设，三段塑料管总长度为L，根据题意得出化简即可得出答案． 【详解】（1）解：依题意可知：点C的坐标是， 点C关于y轴的对称点是：， 又∵曲线与曲线关于y轴对称， ∴点A是曲线的顶点，曲线的解析式是， 当时，C坐标为，点A坐标为， 曲线的解析式为：； ∵米，由题意可知关于y轴对称， ∴点F的横坐标是， 将代入得：， ∴，即米， ∴三段塑料管的长度之和为：(米)， 答：三段塑料管的长度之和为100米； （2）解：设，三段塑料管总长度为L， 根据题意可得：， ， 化简得：， 当时，L有最大值110，                        当与的差为时，三段塑料管总长度最大，最大值为． 题型9 二次函数的图像与性质综合解答题 32．（2024·浙江·二模）已知二次函数的部分图象如图所示， (1)求该二次函数图象的对称轴，并利用图象直接写出一元二次方程的解． (2)向上平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）由对称轴为直线可得对称轴为直线，由抛物线经过及抛物线的对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标，进而求解； （2）由抛物线经过原点可得二次函数解析式中常数项为0，进而求解． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵抛物线经过， ∴抛物线过点， ∴的解为； （2）解：∵抛物线经过原点， ∴抛物线解析式为． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系． 33．（2024·浙江台州·二模）已知二次函数， (1)若二次函数过点， ①求二次函数的表达式； ②当随的增大而减小时，求的取值范围； (2)若点 和点在该二次函数图象上，求的值． 【答案】(1)①；② (2)8 【分析】本题考查二次函数的图象与性质． （1）①直接用待定系数法将点代入求出即可；②将二次函数解析式化为顶点式即可判断出当随的增大而减小时，的取值范围； （2）先求出抛物线的对称轴为，再根据点 和点关于对称轴对称，得，求出，把点代入，用含的式子表示出，最后代入中即可． 【详解】（1）解：①二次函数过点 二次函数的表达式为； ② 时，随的增大而减小 即当随的增大而减小时，的取值范围为； （2）二次函数 抛物线的对称轴为 点 和点关于对称轴对称 把点代入得 解得 . 34．（2024·浙江台州·二模）已知，关于x 的二次函数． (1)若函数经过点，求抛物线的对称轴； (2)若点均在抛物线上，则p q（填“”，“”或“”）. (3)记，当时，始终成立，求t 的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由经过点，可得，再由对称轴是，进而可以判断得解； （2）依据题意，抛物线的对称轴是直线，结合的开口向上，从而抛物线上点离对称轴越近函数值就越小，又，故可判断得解； （3）依据题意，令，又当时，始终成立，即当时，恒成立，再结合抛物线的对称轴为直线，进行分类讨论即可判断得解． 【详解】（1）解： 经过点， ． ． 抛物线的对称轴是直线． （2）解：由题意，抛物线的对称轴是直线． 的开口向上， 抛物线上点离对称轴越近函数值就越小． ， ． 故答案为：． （3）解：由题意，令， 又当时，始终成立， 当时，恒成立． 又抛物线的对称轴为直线， 可分以下情形讨论． ①当时，即． ， 当时，随的增大而减小． 当时，． ． 此时无解． ②当时，即． ， ． ． ． 此时． ③当时，即． ， 当时，随的增大而增大． 当时，． ． 故此时无解． 综上，． 35．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数（a为实数，）． (1)求该二次函数的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）． (2)设二次函数在时的最大值为p，最小值为q，，求a的值． 【答案】(1)对称轴直线，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）将两点式转化为一般式，再转化为顶点式，即可得出结果； （2）根据二次函数的对称性和增减性，求出的值，进一步求出的值即可． 【详解】（1）解：∵ ∴对称轴直线，顶点坐标为． （2）令，则：， ∴点关于对称轴对称， ∴和在对称轴的两侧， ∴关于对称轴的对称点为， ∵，抛物线开口向上， ∴当时，函数取得最大值． 当时，函数取得最小值． ∵， ∴． 解得：（不合题意，舍去） ∴． 36．（2024·浙江金华·二模）已知二次函数，是常数，． (1)当二次函数的图象过点时，求该抛物线的对称轴． (2)若，点，在该二次函数图象上，求证：． 【答案】(1)直线 (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质， （1）依据题意，由二次函数的图象过点，从而，进而可得，故可得解； （2）依据题意，由点，在该二次函数图象上，从而可得，又，从而，进而可得，最后可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，二次函数的图象过点， ． ． ． 抛物线的对称轴是直线． （2）证明：由题意，点，在该二次函数图象上， ①． 又， ②． ①②得，． ． 37．（2024·浙江金华·二模）设二次函数 （是常数）． (1)若时，求二次函数的顶点坐标．（用含的代数式表示） (2)若时，求二次函数 的最大值．（用含的代数式表示） (3)若时，如图，直线与此函数图象交于两点，点不在二次函数图象上，线段分别交二次函数图象于点，且，求点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，最大值为，当时，最大值为； (3)． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的交点问题，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． （1）把代入函数解析式，利用配方法即可求得顶点坐标； （2）把代入函数解析式，求得函数的对称轴，然后根据对称轴的位置以及函数的增减性即可求得最大值； （3）当时，二次函数的表达式为，联立方程组求得点A、B坐标，设过点P的直线表达式为，分别求出直线和与抛物线有且只有一个交点时的函数表达式，进而联立方程组求得点P坐标为，根据得到点P在直线运动，求出点C与D重合时的点P坐标为，结合图象即可求得点P的纵坐标的取值范围． 【详解】（1）解：， ， 顶点坐标为：； （2）解：二次函数的对称轴为直线， ∵，， ∴当即时，时，y取最大值； 当即时，时，y取最大值； （3）解：当时，二次函数的表达式为， 联立方程组，解得或， ∴，， 设过点P的直线表达式为， 联立方程组，得， 当直线与抛物线有且只有一个交点A时， 根据一元二次方程根与系数关系得， 解得， ∴直线的函数表达式为； 同理可得当直线与抛物线有且只有一个交点时的函数表达式为， 联立方程组，解得， 此时与重合，点P坐标为； ∵， ∴点P在直线运动， ∴当点C与D重合时，点P和点C、D重合，即点P在抛物线上，此时点P坐标为， ∵， ∴由图可知，点P的纵坐标的取值范围为． 38．（2024·浙江嘉兴·二模）已知二次函数（a为常数）． (1)若该二次函数的图象经过点； ①求a的值． ②自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ (2)若点均在该二次函数的图象上，求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入，计算求解即可；②由题意知，，则图象开口向上，对称轴为直线，进而可得当时，y随x的增大而增大； （2）由点在二次函数的图象上，可得，将点代入得，进而可得． 【详解】（1）①解：将代入得，， 解得，， ∴a的值为； ②解：由题意知，， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大； （2）证明：∵点在二次函数的图象上， ∴， 将点代入得， ∴． 39．（2024·浙江·二模）已知二次函数的图象经过点． (1)求a和b的关系式； (2)当时，函数y有最小值，求a的值； (3)若时，将函数图象向下平移个单位长度，图象与x轴相交于点A，B（点A在y轴的左侧）．当时，求m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)5 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键． （1）将点代入，即可求得a和b的关系式； （2）根据第（1）问得到的结果，二次函数即为，对称轴为直线，分别讨论当时，对称轴直线在范围内，当时，函数取得最小值，代入即可求出；当时，在范围内，当时，函数取得最小值，代入即可求出； （3）若时，则二次函数为，平移后的解析式为，设，则，则，可求出、坐标，代入即可求出m． 【详解】（1）∵ 的图象经过点． ， ； （2）∵ 对称轴为直线， ①当时，对称轴直线在范围内， 当时，函数取得最小值，即， ， ②当时，在范围内， 当时，函数取得最小值，即， ， 或 （3）若时，则二次函数为，将函数图象向下平移个单位长度， 平移后的函数解析式为， 设，则． ， ， ，， 将或代入，得， 解得． 40．（2024·浙江杭州·二模）设二次函数（a为实数，且）． (1)若该函数图象经过点，求二次函数表达式． (2)写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含a的代数式表示）． (3)若该函数图象经过点，且满足，求a的值． 【答案】(1) (2)该函数图象的对称轴：直线，最小值 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）把已知点的坐标代入中求出的值，从而得到二次函数解析式； （2）把化为顶点式即可． （3）把代入解析式得，且满足，即可求出a的值. 【详解】（1）解：因为函数图象经过点，所以可得：， 解得：，， 因为，所以， 所以． （2） ， 该函数图象的对称轴：直线，最小值． （3）∵函数图象经过点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 41．（2024·浙江温州·二模）已知二次函数． (1)若函数图象经过点． ①求该二次函数的表达式． ②若将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，求的值． (2)设点，是该函数图象上的两点，若，求证：． 【答案】(1)①；②12 (2)见解析 【分析】本题主要考查了待定系数法、二次函数图像的性质、配方法的应用等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． （1）①直接将代入求得a即可解得；②先根据平移表示出B、C两点的坐标，然后根据二次函数图像的对称性和二次函数的性质即可解答； （2）由可得，则有，，再用表示出可得，然后运用配方法解答即可． 【详解】（1）解：（1）①将代入可得，解得：， ∴该二次函数的表达式为； ②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为：， ∴，解得：， ∴， ∴． （2）解：∵设点，是该函数图象上的两点， ∴ ∴，， ∴ ， ∵， ∴，即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$