6.4.3 第4课时 余弦定理、正弦定理的综合应用 同步练习-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第4课时　余弦定理、正弦定理的综合应用 一、基础巩固 1.在△ABC中,若,则C的值为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 2.在△ABC中,已知b+c=+1,C=45°,B=30°,则(　　) A.b=1,c= B.b=,c=1 C.b=,c=1+ D.b=1+,c= 3.在△ABC中,已知a=3,b=5,sin A=,则sin B=(　　) A. B. C. D.1 4.在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=bsin A,则sin B=(　　) A. B. C. D.- 5.在△ABC中,已知A=60°,a=,则等于(　　) A. B. C. D.2 6.下列判断三角形解的情况中,正确的是　　　　　(填序号).  ①a=8,b=16,A=30°,有两解; ②b=18,c=20,B=60°,有一解; ③a=15,b=2,A=90°,无解; ④a=40,b=30,A=120°,有一解. 7.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于　　　　　.  8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,b=,A=60°,则角B=　　　　,△ABC的面积是　　　　.  9.在△ABC中,已知c=10,,求a,b及△ABC的内切圆半径. 10.如图所示,在四边形ABCD中,D=2B,且AD=1,CD=3,cos B=. (1)求△ACD的面积; (2)若BC=2,求AB的长. 二、能力提升 11.(多选题)在△ABC中,已知A=,BC=3,则下列选项中,可能是△ABC的两边AC+AB的取值的是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 12.在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(,-1),n=(cos A,sin A),若m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则角A,B的大小分别为(　　) A. B. C. D. 13.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acos C=4csin A,已知△ABC的面积等于10,b=4,则a的值为(　　) A. B. C. D. 14.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,=1,=4,则△ABC的面积S△ABC为(　　) A. B.2 C.2 D.4 15.在△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,则cos C=　　　　,sin B=　　　　. 16.在Rt△ABC中,已知C=,且A,B,C所对的边a,b,c满足a+b=cx,则实数x的取值范围是　　　　　. 17.在△ABC中,已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,acos C+ccos A=bsin B,b=2c. (1)求角C的大小; (2)若点D与点B在AC两侧,且满足AD=2,AB=1,求平面四边形ABCD面积的最大值. 三、拓展创新 18.在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求: (1)a的值; (2)sin C和△ABC的面积. 条件①:c=7,cos A=-; 条件②:cos A=,cos B=. 注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分. 参考答案 一、基础巩固 1.答案:B 解析:由正弦定理得, 则cos C=sin C,即C=45°. 2.答案:A 解析:∵=2,∴b=1,c=. 3.答案:B 解析:在△ABC中,由正弦定理,得sin B=. 4.答案:B 解析:因为a=2Rsin A,b=2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径), 又a=bsin A, 所以sin A=sin Bsin A,故sin B=. 5.答案:B 解析:由a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R为△ABC外接圆的半径), 得=2R=. 6.答案:④ 解析:①中a=bsin A,有一解;②中csin B<b<c,有两解;③中A=90°且a>b,有一解;④中a>b且A=120°,有一解.综上,④正确. 7.答案:2 解析:在△ABC中,根据正弦定理,得,所以,解得sin B=1. 因为0°<B<120°,所以B=90°,所以C=30°, 所以△ABC的面积S△ABC=·AC·BC·sin C=2. 8.答案:45°　 解析:由正弦定理,得sin B=. ∵b<a,∴B<A,∴B=45°. ∴C=180°-A-B=75°, ∴S△ABC=absin C=. 9.解:由正弦定理知,∴. 即sin Acos A=sin Bcos B, ∴sin 2A=sin 2B. 又a≠b且A,B∈(0,π), ∴2A=π-2B,即A+B=. ∴△ABC是直角三角形,且C=, 由得a=6,b=8. ∴内切圆的半径r==2. 10.解:(1)因为D=2B,cos B=, 所以cos D=cos 2B=2cos2B-1=-. 又D∈(0,π),所以sin D=. 因为AD=1,CD=3, 所以△ACD的面积S=AD·CD·sin D=×1×3×. (2)在△ACD中,因为AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos D=12,所以AC=2. 又BC=2,所以∠B=∠CAB. 由正弦定理,得, 即,所以AB=4. 二、能力提升 11.答案:BCD 解析:∵A=,∴B+C=. ∴AC+AB=(sin B+sin C)=[sin B+sin] =2=6sin, ∵B∈,∴B+, ∴sin,∴AC+AB∈(3,6]. 12.答案:C 解析:∵m⊥n,∴cos A-sin A=0, ∴tan A=,又A∈(0,π),∴A=. 由正弦定理及已知条件,得sin Acos B+sin Bcos A=sin2C, ∴sin(A+B)=sin2C, 即sin C=1,∴C=,B=. 13.答案:D 解析:∵3acos C=4csin A, ∴由正弦定理可得3sin Acos C=4sin Csin A, ∵sin A≠0,∴3cos C=4sin C,即cos C=sin C, ∴sin2C+cos2C=sin2C+sin2C=sin2C=1, 解得sin C=或sin C=-(舍去). ∵b=4,△ABC的面积S=10=absin C=×a×4×,∴a=. 14.答案:C 解析:由已知及正弦定理,得=1,化简得b2+c2-a2=bc,∴cos A=, ∵0°<A<180°,∴A=60°, ∴=bccos 60°=4,∴bc=8, ∴S△ABC=bcsin A=×8×=2. 15.答案: 解析:由正弦定理,得, 即sin C=. 由题意可知C为锐角,∴cos C=. ∴sin B=sin(180°-120°-C)=sin(60°-C)=sin 60°·cos C-cos 60°sin C=. 16.答案:(1,] 解析:∵a+b=cx,C=,∴x==sin A+cos A=sin. ∵A∈,∴A+, ∴sin,∴x∈(1,]. 17.解:(1)因为acos C+ccos A=bsin B, 所以由正弦定理,知sin Acos C+sin Ccos A=sin2B, 即sin(A+C)=sin2B. 又A+B+C=π,所以sin B=1,所以B=. 因为b=2c,所以sin B=2sin C,得sin C=, 又C∈,所以C=. (2)因为AB=1,∠BCA=,B=,所以AC=2,BC=. 设∠DAC=α,则四边形ABCD的面积S=×1××2×2×sin α=+2sin α≤2+, 当sin α=1,即α=时,取到最大值, 故四边形ABCD面积的最大值为2+. 三、拓展创新 18.解:选条件①. (1)由已知及余弦定理,得a2=(11-a)2+49-2(11-a)×7×(-),∴a=8. (2)∵cos A=-,A∈(0,π),∴sin A=. 由正弦定理,得sin C=, 由(1)知b=11-a=3, ∴S△ABC=absin C=×8×3×=6. 选条件②. (1)∵cos A=,∴A∈(0,),sin A=. ∵cos B=,∴B∈(0,),sin B=. 由正弦定理,得, ∴a=6. (2)sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=. ∵a+b=11,a=6,∴b=5. ∴S△ABC=absin C=×6×5×. 学科网（北京）股份有限公司 $$