2.3 一元二次方程的应用（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

2.3 一元二次方程的应用 【考点1一元二次方程应用-变化率问题】 【考点2一元二次方程应用传染问题】 【考点3一元二次方程应用枝干问题】 【考点4一元二次方程应用双循环问题】 【考点5一元二次方程应用单循环问题】 【考点6 一元二次方程应用-销售利润问题】 【考点7 一元二次方程应用-每每问题】 【考点8 一元二次方程应用-几何面积问题】 【考点9 一元二次方程应用-动点与几何问题】 考点1： 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 【考点1一元二次方程应用-变化率问题】 【典例1】（2023秋•罗定市期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【变式1-1】（2024•岳阳县二模）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ 【变式1-2】（2023秋•官渡区期末）2023年10月《奔跑吧•生态篇》节目组在昆明小渔村进行录制，优美的湖滨生态风光，极具特色的农村文旅产业备受大众青睐．某民宿10月的营业额为3万元，随着大批游客的到来，营业额稳步提升，12月的营业额达到4.32万元． （1）求该民宿11月、12月营业额的月平均增长率； （2）求该民宿第四季度营业总额． 【变式1-3】（2023秋•民权县期末）我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快递总件数的月增长率； （2）若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？ 考点2： 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 【考点2一元二次方程应用传染问题】 【典例2】（2023秋•太和县期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ （2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【变式2-1】（2023秋•伊金霍洛旗期末）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（　　） A．x+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64 C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝64 【变式2-2】（2023秋•山亭区期中）每年的6月6日是全国爱眼日，每个人都要注意用眼卫生．假设有一人患了红眼病，经过两轮传染后，共有144人患病，那每轮传染中平均一个人传染的人数为多少人？（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式2-3】（2023秋•惠城区期末）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【考点3一元二次方程应用枝干问题】 【典例3】（2023秋•临沭县校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，求这种植物每个枝干长出的小分支个数． 【变式3-1】（2023秋•北林区校级期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是31个，则x等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3-2】（2023•富锦市校级二模）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是57个，则x等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-3】（2023•大连模拟）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 考点3： 握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 【考点4一元二次方程应用双循环问题】 【典例4】（2023春•北碚区校级月考）新春佳节，某班同学两两之间全部互发祝福短信，共发2450条，设全班共有x名学生，可列方程（　　） A．x（x﹣1）＝2450 B．x（x﹣1）＝2450 C．2x（x﹣1）＝2450 D．x（x+1）＝2450 【变式4-1】（2023秋•大安市期末）元旦快到了，已知九年级五班同学们要互赠贺卡共420张，设该班共有x名同学，则可列方程为（　　） A．x（x+1）＝420 B．（1+x）2＝420 C．x（x﹣1）＝420 D．（1+2x）＝420 【变式4-2】（2024•越秀区校级开学）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程 　 　． 【变式4-3】（2023秋•长治月考）长治市近期在漳泽湖畔开展一次绿色有机农产品交易会，会上每两家公司都签订了一份合同（一式两份），交易会结束后，经统计共签订了1560份合同．如果共有x个公司参加交易会，根据题意可列方程为 　 　． 【考点5一元二次方程应用单循环问题】 【典例5】（2023秋•萍乡期末）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯．如果一共碰杯36次，则参加酒会的人数为 　　人． 【变式5-1】（2024•黑龙江一模）毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有（　　） A．38人 B．40人 C．41人 D．42人 【变式5-2】（2023秋•郑州期末）“感受绿茵魅力，传播足球文化”，2023河南省校园足球文化节隆重举行．本次采用单循环赛制（每两队之间赛一场），若计划安排36场比赛，则需要邀请 　　个球队参加． 【变式5-3】（2023秋•仙居县期末）在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛10场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．x（x+1）＝10 C．x（x﹣1）＝10 D．x（x+1）＝10 考点4： 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量为 【考点6 一元二次方程应用-销售利润问题】 【典例6】（2024•乌鲁木齐一模）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 【变式6-1】（2024•荔湾区一模）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜48）存在一次函数关系，部分数据如表所示： 销售价格x（元/千克） 35 45 日销售量y（千克） 250 150 （1）试求出y关于x的函数表达式． （2）如果不考虑其他因素，该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润是2000元时，请求出销售价格． 【变式6-2】（2024•零陵区校级开学）第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为x元（x＞40）． （1）请你写出销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式． （2）若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为多少元？ 【变式6-3】（2023秋•金牛区期末）某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜40）之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【考点7 一元二次方程应用-每每问题】 【典例7】（2024春•慈溪市期中）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）若商场日盈利达到2000元，则每件商品应降价多少元？ 【变式7-1】（2024春•浙江期中）2023年10月26日，神舟十七号发射升空，与空间站构成三船三舱构型．某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型每件成本40元，当商品售价为70元时，十月售出256件，十一月、十二月销量持续走高，十二月售出400件． （1）求十一、十二这两个月的月平均增长率． （2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售，若模型单价每降低1元，可多售出5件，要使商店仍能获利9000元，每件模型应降价多少元？ 【变式7-2】（2024•凉州区一模）某果农计划在一片向阳的坡地上种植100棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，但他发现多种20棵桃树，则每亩地多种4棵． （1）求果农原计划每亩地种多少棵桃树？ （2）果农经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是1000个桃子，若多种1棵桃树，每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子，而且多种的桃树不能超过100棵．如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？ 【变式7-3】（2023秋•太康县期末）某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． （1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？ （2）若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？ 考点5： 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 【考点8 一元二次方程应用-几何面积问题】 【典例8】（2023秋•双辽市期末）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？ （2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由． 【变式8-1】（2023秋•昭通期末）学校有一个面积为182平方米的长方形的活动场地，场地一边靠墙（墙长25米），另三面用长40米的合金栏网围成．请你计算一下活动场地的长和宽． 【变式8-2】（2023•灞桥区校级模拟）2023亚洲花卉产业博览会于2023年5月10至12日，在中国进出口交易会展馆举办，为了迎接盛会的到来，组委会想利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52m，宽为28m，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640m2．求通道的宽是多少米？ 【变式8-3】（2022秋•环江县期末）某公园准备在一块长为42m，宽为30m的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的6倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为x m． （1）用含x的代数式表示花园内温室花房的面积和小路面积； （2）若草坪面积为1164m2时，求这时道路宽度． 【答案】（1）温室花房的面积为36x2 m2，小路的面积为（72x﹣12x2）m2； 考点6： 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 【考点9 一元二次方程应用-动点与几何问题】 【典例9】（2024春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点 也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发． ①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2； ②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由． 【变式9-1】（2023秋•贵阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s． （1）运动几秒时，点P，Q相距6cm？ （2）△PCQ的面积能等于10cm2吗？为什么？ 【变式9-2】（2023秋•绵阳期末）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于4cm？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积1：2的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【变式9-3】（2024春•安庆期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？ （2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 一．选择题（共7小题） 1．（2023秋•新抚区期末）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18 C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18 2．（2023秋•鞍山期中）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 B．32x+2×20x＝32×20﹣570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．32x+2×20x﹣2x2＝570 3．（2022秋•普兰店区期末）第二十二届世界杯足球赛于2022年11月20日在卡塔尔举办开幕赛，为了迎接世界杯，某市举行了足球邀请赛，规定参赛的每两支球队之间比赛一场，共安排了45场比赛．设比赛组织者邀请了x个队参赛，则下列方程正确的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝45 C．x（x+1）＝45 D． 4．（2022秋•于洪区期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 5．（2023•大连二模）某药品经过连续两次降价后，每瓶零售价由100元调至81元，则这种药品平均每次降价的百分率为（　　） A．10% B．19% C．40% D．81% 6．（2023秋•和平区期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是91个，根据题意可列出方程正确的为（　　） A．x2＝91 B．1+x+x2＝91 C．（x+1）2＝91 D．1+x+1+（x+1）2＝91 7．（2023秋•望花区期中）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2 C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2 二．填空题（共2小题） 8．（2023秋•营口期中）一个两位数，个位与十位上的数字之和为8，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，得到一个新的两位数，所得的新两位数与原数的乘积为1855，则原两位数是 　 　． 9．（2023秋•铁西区期中）如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，则所截去小正方形的边长是 　 　cm． 三．解答题（共5小题） 10．（2023春•皇姑区校级期中）如图所示，花都区某学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽． 11．（2023秋•绥中县期中）为学习贯彻党的“二十大精神”，全国各地积极开展“弘扬红色文化”主题教育学习活动，某市文史研究馆成为了本次学习的重要基地2023年1月份，该文史馆接待参观人员10万人，3月份接待参观人员增加到12.1万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计4月份的参观人员有多少万人？ 12．（2022秋•大连期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 13．（2023春•和平区校级期中）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． （1）AP＝　 　，BP＝　 　，CQ＝　 　，DQ＝　 　（用含t的代数式表示）； （2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2； （3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm． 14．（2022秋•七星关区期末）某超市以每箱25元的进价购进一批水果，当该水果售价为40元/箱时，六月销售256箱，七、八月该水果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，八月的销量达到400箱． （1）求七，八两月的月平均增长率； （2）九月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在八月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市九月获利4250元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3 一元二次方程的应用 【考点1一元二次方程应用-变化率问题】 【考点2一元二次方程应用传染问题】 【考点3一元二次方程应用枝干问题】 【考点4一元二次方程应用双循环问题】 【考点5一元二次方程应用单循环问题】 【考点6 一元二次方程应用-销售利润问题】 【考点7 一元二次方程应用-每每问题】 【考点8 一元二次方程应用-几何面积问题】 【考点9 一元二次方程应用-动点与几何问题】 考点1： 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 【考点1一元二次方程应用-变化率问题】 【典例1】（2023秋•罗定市期末）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得2250（1+x）2＝3240， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%； （2）设增加y条生产线，则 （900﹣30y）（y+1）＝3900． 解得y1＝4，y2＝25（不符合题意，舍去） 答：在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线． 【变式1-1】（2024•岳阳县二模）建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x， 依题意得：1000（1+x）2＝1440， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%； （2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区， 依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%）， 解得：y≤， 又∵y为整数， ∴y的最大值为18． 答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区． 【变式1-2】（2023秋•官渡区期末）2023年10月《奔跑吧•生态篇》节目组在昆明小渔村进行录制，优美的湖滨生态风光，极具特色的农村文旅产业备受大众青睐．某民宿10月的营业额为3万元，随着大批游客的到来，营业额稳步提升，12月的营业额达到4.32万元． （1）求该民宿11月、12月营业额的月平均增长率； （2）求该民宿第四季度营业总额． 【答案】（1）该民宿11月、12月营业额的月平均增长率为20%． （2）该民宿第四季度营业总额为10.92万元． 【解答】解：（1）设该民宿11月、12月营业额的月平均增长率为x， 根据题意得：3（1+x）2＝4.32， 解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）， 答：该民宿11月、12月营业额的月平均增长率为20%． （2）∵该民宿10月的营业额为3万元，设该民宿11月、12月营业额的月平均增长率为20%， ∴该民宿11月的营业额为3（1+20%）＝3.6（万元）， ∴该民宿第四季度营业总额为3+3.6+4.32＝10.92（万元）． 答：该民宿第四季度营业总额为10.92万元． 【变式1-3】（2023秋•民权县期末）我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同． （1）求该公司投递快递总件数的月增长率； （2）若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设该公司投递快递总件数的月增长率为x， 依题意得：20（1+x）2＝33.8， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）． 答：该公司投递快递总件数的月增长率为30%． （2）33.8×（1+30%）＝43.94（万件）， ∵43.91＜45， ∴若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数不能达到45万件． 考点2： 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 【考点2一元二次方程应用传染问题】 【典例2】（2023秋•太和县期末）冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有一人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有64人患流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ （2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）第三轮感染后，患流感的共有512人． 【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人， 由题意得：1+x+（1+x）x＝64， 解得：x＝7，x＝﹣9（不合题意舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）第三轮感染的人数＝64×7＝448（人）， ∴第三轮感染后，患流感的总人数为：448+64＝512（人）， 答：第三轮感染后，患流感的共有512人． 【变式2-1】（2023秋•伊金霍洛旗期末）新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有64人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列列式正确的是（　　） A．x+x（1+x）＝64 B．1+x+x2＝64 C．（1+x）2＝64 D．x（1+x）＝64 【答案】C 【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染． 依题意得：1+x+x（1+x）＝64，即（1+x）2＝64， 故选：C． 【变式2-2】（2023秋•山亭区期中）每年的6月6日是全国爱眼日，每个人都要注意用眼卫生．假设有一人患了红眼病，经过两轮传染后，共有144人患病，那每轮传染中平均一个人传染的人数为多少人？（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，则第一轮中有x人被传染，第二轮中有x（1+x）人被传染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝144， 即（1+x）2＝144， 解得：x1＝11，x2＝﹣13（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为11人． 故选：B． 【变式2-3】（2023秋•惠城区期末）今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【答案】6人． 【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染， 根据题意得：1+x+x（1+x）＝49， 解得：x1＝6，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了6个人． 【考点3一元二次方程应用枝干问题】 【典例3】（2023秋•临沭县校级月考）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是43，求这种植物每个枝干长出的小分支个数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设这种植物每个枝干长出的小分支个数是x， 依题意得：1+x+x2＝43， 整理得：x2+x﹣42＝0， 解得：x1＝﹣7（不合题意，舍去），x2＝6． 答：这种植物每个枝干长出的小分支个数为6． 【变式3-1】（2023秋•北林区校级期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是31个，则x等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解答】解：依题意，得：1+x+x2＝31， 整理，得：x2+x﹣30＝0， 解得：x1＝5，x2＝﹣6（不合题意，舍去）． 故选：B． 【变式3-2】（2023•富锦市校级二模）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是57个，则x等于（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解答】解：依题意得：1+x+x2＝57， 整理，得：x2+x﹣56＝0， 解得：x1＝7，x2＝﹣8（不合题意，舍去）． 故选：C． 【变式3-3】（2023•大连模拟）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是43个，则x等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解答】解：依题意，得：1+x+x2＝43， 整理，得：x2+x﹣42＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣7（不合题意，舍去）． 故选：C． 考点3： 握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 【考点4一元二次方程应用双循环问题】 【典例4】（2023春•北碚区校级月考）新春佳节，某班同学两两之间全部互发祝福短信，共发2450条，设全班共有x名学生，可列方程（　　） A．x（x﹣1）＝2450 B．x（x﹣1）＝2450 C．2x（x﹣1）＝2450 D．x（x+1）＝2450 【答案】B 【解答】解：∵全班共有x名学生， ∴每名学生需发送（x﹣1）条祝福短信． 根据题意得：x（x﹣1）＝2450． 故选：B． 【变式4-1】（2023秋•大安市期末）元旦快到了，已知九年级五班同学们要互赠贺卡共420张，设该班共有x名同学，则可列方程为（　　） A．x（x+1）＝420 B．（1+x）2＝420 C．x（x﹣1）＝420 D．（1+2x）＝420 【答案】C 【解答】解：∵该班共有x名同学， ∴每名同学需送出（x﹣1）张贺卡． 根据题意得：x（x﹣1）＝420． 故选：C． 【变式4-2】（2024•越秀区校级开学）一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息756条，则可列方程 　x（x﹣1）＝756　． 【答案】x（x﹣1）＝756． 【解答】解：∵一个微信群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息， ∴每个好友需发（x﹣1）条信息． 根据题意得：x（x﹣1）＝756． 故答案为：x（x﹣1）＝756． 【变式4-3】（2023秋•长治月考）长治市近期在漳泽湖畔开展一次绿色有机农产品交易会，会上每两家公司都签订了一份合同（一式两份），交易会结束后，经统计共签订了1560份合同．如果共有x个公司参加交易会，根据题意可列方程为 　x（x﹣1）＝1560　． 【答案】x（x﹣1）＝1560． 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝1560． 故答案为：x（x﹣1）＝1560． 【考点5一元二次方程应用单循环问题】 【典例5】（2023秋•萍乡期末）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯．如果一共碰杯36次，则参加酒会的人数为 　9　人． 【答案】9． 【解答】解：设参加酒会的人数为x人， 根据题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）， ∴参加酒会的人数为9人． 故答案为：9． 【变式5-1】（2024•黑龙江一模）毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有（　　） A．38人 B．40人 C．41人 D．42人 【答案】B 【解答】解：设这次参加聚会的同学有x人， 根据题意得：x（x﹣1）＝780， 整理得：x2﹣x﹣1560＝0， 解得：x1＝40，x2＝﹣39（不符合题意，舍去）， ∴这次参加聚会的同学有40人． 故选：B 【变式5-2】（2023秋•郑州期末）“感受绿茵魅力，传播足球文化”，2023河南省校园足球文化节隆重举行．本次采用单循环赛制（每两队之间赛一场），若计划安排36场比赛，则需要邀请 　9　个球队参加． 【答案】9． 【解答】解：设需要邀请x个球队参加， 根据题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8， ∴需要邀请9个球队参加． 故答案为：9． 【变式5-3】（2023秋•仙居县期末）在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛10场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．x（x+1）＝10 C．x（x﹣1）＝10 D．x（x+1）＝10 【答案】C 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝10． 故选：C． 考点4： 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量为 【考点6 一元二次方程应用-销售利润问题】 【典例6】（2024•乌鲁木齐一模）某商场以每件20元的价格购进一种商品，经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价且不高于38元，商品要想获得600元的利润，每件商品的售价应定为多少元？ 【答案】（1）y＝﹣2x+120； （2）w＝﹣2x2+160x﹣2400； （3）30元． 【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 由所给函数图象可知：， 解得， 故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120； （2）∵y＝﹣2x+120， ∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2x2+160x﹣2400， 即w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x2+160x﹣2400； （3）根据题意得：600＝﹣2x2+160x﹣2400， ∴x1＝30，x2＝50（舍）， ∵20≤x≤38， ∴x＝30． 答：每件商品的售价应定为30元． 【变式6-1】（2024•荔湾区一模）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）（30≤x＜48）存在一次函数关系，部分数据如表所示： 销售价格x（元/千克） 35 45 日销售量y（千克） 250 150 （1）试求出y关于x的函数表达式． （2）如果不考虑其他因素，该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润是2000元时，请求出销售价格． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）． 将x＝35，y＝250和x＝45，y＝15（0分）别代入，得：， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：y＝﹣10x+600（30≤x＜48）． （2）由题意得：（x﹣30）（﹣10x+600）＝2000． 解得x＝40或50（舍去）． 答：销售价格为每千克40元． 【变式6-2】（2024•零陵区校级开学）第十九届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行．某网络经销商购进了一批以杭州亚运会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价每件30元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是45元时，每日销售量是550件；销售单价每涨1元，每日文化衫就会少售出10件．设该批文化衫的销售单价为x元（x＞40）． （1）请你写出销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式． （2）若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为多少元？ 【答案】（1）y＝1000﹣10x（x＞40）； （2）若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为50元或80元． 【解答】解：（1）由题意得：y＝550﹣10（x﹣45）＝1000﹣10x（x＞40）； （2）由题意得：（x﹣30）（1000﹣10x）＝10000， 整理得：x2﹣130x+4000＝0， 解得x＝50或x＝80， 答：若经销商获得了10000元销售利润，则该文化衫单价x应为50元或80元． 【变式6-3】（2023秋•金牛区期末）某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜40）之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】（1）为y＝10x+100； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元． 【解答】解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b 当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100； （2）根据题意得，（100﹣60﹣x）（10x+100）＝5250， 整理得x2﹣30x+125＝0， 解得：x1＝5，x2＝25， 答：商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元． 【考点7 一元二次方程应用-每每问题】 【典例7】（2024春•慈溪市期中）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？ （2）若商场日盈利达到2000元，则每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）1692元； （2）10元或25元． 【解答】解：（1）（50﹣3）×（30+2×3） ＝47×36 ＝1692（元）． 答：当天可获利1692元． （2）设每件商品降价x元，则每件的销售利润为（50﹣x）元，平均每天的销售量为（30+2x）件， 依题意得：（50﹣x）（30+2x）＝2000， 整理得：x2﹣35x+250＝0， 解得：x1＝10，x2＝25． 答：每件商品应降价10元或25元． 【变式7-1】（2024春•浙江期中）2023年10月26日，神舟十七号发射升空，与空间站构成三船三舱构型．某纪念品商店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型每件成本40元，当商品售价为70元时，十月售出256件，十一月、十二月销量持续走高，十二月售出400件． （1）求十一、十二这两个月的月平均增长率． （2）为了让利于爱好者，商店决定在每月售出400件的基础上降价销售，若模型单价每降低1元，可多售出5件，要使商店仍能获利9000元，每件模型应降价多少元？ 【答案】当商品降价10元时，商场获利9000元． 【解答】解：（1）设十一、十二这两个月的月平均增长率为x，根据题意可得： 256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为25%； （2）设当商品降价m元时，商品获利9000元，根据题意可得： （70﹣40﹣m）（400+5m）＝9000， 解得：m1＝10，m2＝﹣70（不合题意舍去）． 答：当商品降价10元时，商场获利9000元． 【变式7-2】（2024•凉州区一模）某果农计划在一片向阳的坡地上种植100棵桃树，果农想通过增加种植桃树的数量来增加产量，但他发现多种20棵桃树，则每亩地多种4棵． （1）求果农原计划每亩地种多少棵桃树？ （2）果农经过咨询专业技术人员，发现按原计划种树，每棵桃树在生产周期内的平均产量是1000个桃子，若多种1棵桃树，每棵桃树在生产周期内的平均产量就会减少2个桃子，而且多种的桃树不能超过100棵．如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树？ 【答案】（1）20棵桃树； （2）应多种20棵桃树． 【解答】解：（1）100÷（20÷4）＝20（棵）． 答：果农原计划每亩地种20棵桃树； （2）设多种x棵树，则（100+x）（1000﹣2x）＝100×1000×（1+15.2%）（0＜x＜100）， 整理，得：x2﹣400x+7600＝0，（x﹣20）（x﹣380）＝0， 解得x1＝20，x2＝380． ∵果园有100棵桃树，380＞100， ∴x2＝380不合题意，故舍去． 答：应多种20棵桃树． 【变式7-3】（2023秋•太康县期末）某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用． （1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？ （2）若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？ 【答案】（1）7770元； （2）房价定为300元或320元． 【解答】解：（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为： （元）； （2）设每个房间的定价为a元， 根据题意，得：， 解得：a＝300或a＝320． 答：若宾馆某一天获利8400元，则房价定为300元或320元． 考点5： 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 【考点8 一元二次方程应用-几何面积问题】 【典例8】（2023秋•双辽市期末）如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？ （2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得： x（33﹣2x+2）＝150， 解得：x1＝10，x2＝7.5， 当x1＝10时，33﹣2x+2＝15＜18， 当x2＝7.5时33﹣2x+2＝20＞18，（舍去）， 则养鸡场的宽是10m，长为15m． （2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得： x（33﹣2x+2）＝200， 整理得：2x2﹣35x+200＝0， Δ＝（﹣35）2﹣4×2×200＝1225﹣1600＝﹣375＜0， 因为方程没有实数根， 所以围成养鸡场的面积不能达到200m2． 【变式8-1】（2023秋•昭通期末）学校有一个面积为182平方米的长方形的活动场地，场地一边靠墙（墙长25米），另三面用长40米的合金栏网围成．请你计算一下活动场地的长和宽． 【答案】活动场地的长为14米，宽为13米． 【解答】解：设活动场地垂直于墙的边长为x米，则另一边长为（40﹣2x）米， 依题意，得：x（40﹣2x）＝182， 整理，得：x2﹣20x+91＝0， 解得：x1＝7，x2＝13． 当x＝7时，40﹣2x＝26＞25，不合题意，舍去； 当x＝13，40﹣2x＝14＜25，符合题意． 答：活动场地的长为14米，宽为13米． 【变式8-2】（2023•灞桥区校级模拟）2023亚洲花卉产业博览会于2023年5月10至12日，在中国进出口交易会展馆举办，为了迎接盛会的到来，组委会想利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示，已知停车场的长为52m，宽为28m，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640m2．求通道的宽是多少米？ 【答案】6米． 【解答】解：设通道的宽是x米，则停车位部分可合成长为（52﹣2x）米，宽为（28﹣2x）米的长方形， 根据题意得：（52﹣2x）（28﹣2x）＝640， 整理得：x2﹣40x+204＝0， 解得：x1＝6，x2＝34（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是6米． 【变式8-3】（2022秋•环江县期末）某公园准备在一块长为42m，宽为30m的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的6倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为x m． （1）用含x的代数式表示花园内温室花房的面积和小路面积； （2）若草坪面积为1164m2时，求这时道路宽度． 【答案】（1）温室花房的面积为36x2 m2，小路的面积为（72x﹣12x2）m2； （2）1m． 【解答】解：（1）∵温室花房边长是小路宽度的6倍，小路宽度为x m， ∴温室花房边长为6x m， ∴温室花房的面积为6x•6x＝36x2（m2），小路的面积为（42﹣6x+30﹣6x）•x＝（72x﹣12x2）（m2）． 答：温室花房的面积为36x2 m2，小路的面积为（72x﹣12x2）m2． （2）依题意得：42×30﹣36x2﹣（72x﹣12x2）＝1164， 整理得：x2+3x﹣4＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣4（不符合题意，舍去）． 答：当草坪面积为1164m2时，道路的宽度为1m． 考点6： 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. 【考点9 一元二次方程应用-动点与几何问题】 【典例9】（2024春•西湖区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另一个点 也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发． ①经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2； ②△PBQ的面积能否等于5cm2，并说明理由． 【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2． 【解答】解：如图， 过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°． ∵∠ABC＝30°， ∴2QE＝QB． ∴S△PQB＝•PB•QE． 设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2， 则PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）． 根据题意，•（6﹣t）•t＝4． t2﹣6t+8＝0． t1＝2，t2＝4． 当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2． 答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2． 【变式9-1】（2023秋•贵阳期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P，Q的运动速度均为1cm/s． （1）运动几秒时，点P，Q相距6cm？ （2）△PCQ的面积能等于10cm2吗？为什么？ 【答案】（1）（4﹣）秒或（4+）秒； （2）△PCQ的面积不能等于10cm2，理由见解答． 【解答】解：（1）6÷1＝6（秒）． 当运动时间为t（0≤t≤6）秒时，CP＝t cm，CQ＝（8﹣t）cm， 根据题意得：t2+（8﹣t）2＝62， 整理得：t2﹣8t+14＝0， 解得：t1＝4﹣，t2＝4+． 答：运动（4﹣）秒或（4+）秒时，点P，Q相距6cm； （2）△PCQ的面积不能等于10cm2，理由如下： 假设△PCQ的面积能等于10cm2，当运动时间为t（0≤t≤6）秒时，CP＝t cm，CQ＝（8﹣t）cm， 根据题意得：t（8﹣t）＝10， 整理得：t2﹣8t+20＝0， ∵Δ＝（﹣8）2﹣4×1×20＝﹣16＜0， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立， 即△PCQ的面积不能等于10cm2． 【变式9-2】（2023秋•绵阳期末）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于4cm？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积1：2的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． 【答案】（1）当 t2＝2 时，PQ的长度等于 ．（2）经过2秒或4秒时，线段PQ能将△ABC分成面积1：2的两部分． 【解答】解：（1）当 时， 在Rt△PBQ 中， ∵BP2+BQ2＝PQ2 ∴， 5t2﹣12t+4＝0，（5t﹣2）（t﹣2）＝0， ∴当 t2＝2 时，PQ的长度等于 ． （2）线段PQ能将△ABC分成面积1：2的两部分，理由如下： 设运动时间为x s（0≤x≤4），则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2x cm， 依题意得：×2x（6﹣x）＝××6×8， 整理得：x2﹣6x+8＝0． 解得x1＝2，x2＝4， 即线段PQ能将△ABC分成面积1：2的两部分，运动时间为2或4． 【变式9-3】（2024春•安庆期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？ （2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵S△PCQ＝t（8﹣2t），S△ABC＝×4×8＝16， ∴t（8﹣2t）＝16×， 整理得t2﹣4t+4＝0， 解得t＝2． 答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的； （2）当S△PCQ＝S△ABC时， t（8﹣2t）＝16×， 整理得t2﹣4t+8＝0， Δ＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0， ∴此方程没有实数根， ∴△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半． 一．选择题（共7小题） 1．（2023秋•新抚区期末）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18 C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18 【答案】D 【解答】解：设平均每天票房的增长率为x， 根据题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝18． 故选：D． 2．（2023秋•鞍山期中）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 B．32x+2×20x＝32×20﹣570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．32x+2×20x﹣2x2＝570 【答案】C 【解答】解：∵道路的宽为x m， ∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形． 根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570． 故选：C． 3．（2022秋•普兰店区期末）第二十二届世界杯足球赛于2022年11月20日在卡塔尔举办开幕赛，为了迎接世界杯，某市举行了足球邀请赛，规定参赛的每两支球队之间比赛一场，共安排了45场比赛．设比赛组织者邀请了x个队参赛，则下列方程正确的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝45 C．x（x+1）＝45 D． 【答案】D 【解答】解：设比赛组织者邀请了x个队参赛， 根据题意得：， 故D正确． 故选：D． 4．（2022秋•于洪区期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【解答】解：设参加会议有x人，依题意得， x（x﹣1）＝66， 整理，得x2﹣x﹣132＝0 解得x1＝12，x2＝﹣11，（舍去） 则参加这次会议的有12人． 故选：C． 5．（2023•大连二模）某药品经过连续两次降价后，每瓶零售价由100元调至81元，则这种药品平均每次降价的百分率为（　　） A．10% B．19% C．40% D．81% 【答案】A 【解答】解：设这种药品平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：100（1﹣x）2＝81， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）， ∴这种药品平均每次降价的百分率为10%． 故选：A． 6．（2023秋•和平区期中）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干上再长出x个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是91个，根据题意可列出方程正确的为（　　） A．x2＝91 B．1+x+x2＝91 C．（x+1）2＝91 D．1+x+1+（x+1）2＝91 【答案】B 【解答】解：依题意得：1+x+x2＝91， 故选：B． 7．（2023秋•望花区期中）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（　　） A．x2+102＝（x+1）2 B．（x+1）2+102＝x2 C．x2+102＝（x﹣4）2 D．（x﹣4）2+102＝x2 【答案】D 【解答】解：设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可列方程为：x2＝102+（ x﹣4）2． 故选：D． 二．填空题（共2小题） 8．（2023秋•营口期中）一个两位数，个位与十位上的数字之和为8，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，得到一个新的两位数，所得的新两位数与原数的乘积为1855，则原两位数是 　35或53　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为（8﹣x），依题意得： （10x+8﹣x）[10（8﹣x）+x]＝1855， 解这个方程得x1＝3，x2＝5， 当x＝3时，8﹣x＝5， 当x＝5时，8﹣x＝3， ∴原来的两位数是35或53． 故答案为：35或53． 9．（2023秋•铁西区期中）如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，则所截去小正方形的边长是 　2　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设小正方形的边长为xcm，由题意得 10×8﹣4x2＝80%×10×8， 80﹣4x2＝64， 4x2＝16， x2＝4． 解得：x1＝2，x2＝﹣2， 经检验x1＝2符合题意，x2＝﹣2不符合题意，舍去； 所以x＝2． 故答案为2． 三．解答题（共5小题） 10．（2023春•皇姑区校级期中）如图所示，花都区某学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设AB＝x，则BC＝38﹣2x； 根据题意列方程的， x（38﹣2x）＝180， 解得x1＝10，x2＝9； 当x＝10，38﹣2x＝18（米）， 当x＝9，38﹣2x＝20（米），而墙长19m，不合题意舍去． 答：若围成的面积为180m2，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米． 11．（2023秋•绥中县期中）为学习贯彻党的“二十大精神”，全国各地积极开展“弘扬红色文化”主题教育学习活动，某市文史研究馆成为了本次学习的重要基地2023年1月份，该文史馆接待参观人员10万人，3月份接待参观人员增加到12.1万人． （1）求这两个月参观人数的月平均增长率； （2）按照这个增长率，预计4月份的参观人员有多少万人？ 【答案】（1）10%； （2）13.31万人． 【解答】解：（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为x， 根据题意得：10（1+x）2＝12.1， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）． 答：这两个月参观人数的月平均增长率为10%； （2）根据题意得：12.1×（1+10%）＝13.31（万人）． 答：预计4月份的参观人员有13.31万人． 12．（2022秋•大连期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：1+x+x（x+1）＝81， 整理，得：x2+2x﹣80＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2）81+81×8＝729（人）． 答：经过三轮传染后共有729人会患流感． 13．（2023春•和平区校级期中）如图A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动，当点P到达B点时点Q随之停止运动． （1）AP＝　3t cm　，BP＝　（16﹣3t）cm　，CQ＝　2t cm　，DQ＝　（16﹣2t）cm　（用含t的代数式表示）； （2）t为多少时，四边形PBCQ的面积为33cm2； （3）t为多少时，点P和点Q的距离为10cm． 【答案】（1）3t cm，（16﹣3t）cm，2t cm，（16﹣2t）cm； （2）t＝5； （3）t＝或． 【解答】解：（1）当运动时间为t s时，AP＝3t cm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2t cm，DQ＝（16﹣2t）cm． 故答案为：3t cm；（16﹣3t）cm；2t cm；（16﹣2t）cm． （2）依题意得：[（16﹣3t）+2t]×6＝33， 整理得：16﹣t＝11， 解得：t＝5. 答：当t为5时，四边形PBCQ的面积为33cm2． （3）过点Q作QE⊥AB于点E，则PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如图所示． 依题意得：|16﹣5t|2+62＝102， 即（16﹣5t）2＝82， 解得：t1＝，t2＝． 答：当t为或时，点P和点Q的距离为10cm． 14．（2022秋•七星关区期末）某超市以每箱25元的进价购进一批水果，当该水果售价为40元/箱时，六月销售256箱，七、八月该水果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，八月的销量达到400箱． （1）求七，八两月的月平均增长率； （2）九月该超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该水果每箱降价1元，月销量在八月销量的基础上增加5箱，当该水果每箱降价多少元时，超市九月获利4250元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设七，八两月的月平均增长率为x， 依题意得：256（1+x）2＝400， 解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）． 答：七，八两月的月平均增长率为25%． （2）设该水果每箱降价y元，则每箱盈利（40﹣y﹣25）元，月销售量为（400+5y）箱， 依题意得：（40﹣y﹣25）（400+5y）＝4250， 整理得：y2+65y﹣350＝0， 解得：y1＝5，y2＝﹣70（不符合题意，舍去）． 答：当该水果每箱降价5元时，超市九月获利4250元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$