2.2 解一元二次方程（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

2.2 解一元二次方程 【考点1 解一元二次方程-直接平方】 【考点2 解一元二次方程-配方法】 【考点3 解一元二次方程-公式法】 【考点4 解一元二次方程-因式分解法】 【考点5 根的判别式】 【考点6 根与系数的关系】 考点1： 解一元二次方程-直接开方 注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 【考点1 解一元二次方程-直接平方】 【典例1】（2024春•新兴县期中）解方程：（x+1）2﹣81＝0． 【变式1-1】（2024春•中山市期中）解方程4（x﹣1）2＝9 【变式1-2】（2023秋•萍乡期末）解方程：（3x﹣1）2＝4（2x+3）2． 【变式1-3】（2023秋•扬州期中）解方程： （1）x2﹣49＝0； （2）2（x+1）2﹣49＝1． 考点2：解一元二次方程-配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 【考点2 解一元二次方程-配方法】 【典例2】（2023秋•未央区期末）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0． 【变式2-1】（2023秋•济阳区期末）用配方法解方程：x2+4x﹣5＝0． 【变式2-2】（2023秋•闵行区期末）用配方法解方程：3x2+6x﹣1＝0． 【变式2-3】（2023秋•松江区期末）用配方法解3x2﹣2x﹣1＝0． 考点3： 解一元二次方程-公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 【考点3 解一元二次方程-公式法】 【典例3】（2024•鞍山模拟）解下列一元二次方程 （1）x2+3x﹣4＝0（公式法） （2）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法） 【变式3-1】（2023春•合浦县期中）用公式法解方程：x2﹣x﹣7＝0． 【变式3-2】（2023秋•朝阳区校级月考）解方程：．（用公式法） 【答案】x1＝x2＝． 【变式3-3】用公式法解下列各方程： （1）5x2+2x﹣1＝0 （2）6y2+13y+6＝0 （3）3•x2+6x+9＝7． 考点4：解一元二次方程-因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 【考点4 解一元二次方程-因式分解法】 【典例4】（2024春•瑶海区期中）已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2﹣7x+12＝0，则三角形的周长为（　　） A．10 B．11 C．10或11 D．以上都不对 【变式4-1】（2023秋•定州市期末）方程x2＝3x的解是（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝0 【变式4-2】（2024•新疆模拟）一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（　　） A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝2，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣2，x2＝﹣3 【变式4-3】（2023秋•孟津区校级期末）方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝0的根是（　　） A．x＝ B．x＝3 C．，x2＝3 D．，x2＝3 考点5： 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 【考点5 根的判别式】 【典例5】（2024春•瑶海区期中）已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2﹣7x+12＝0，则三角形的周长为（　　） A．10 B．11 C．10或11 D．以上都不对 【变式5-1】（2023秋•定州市期末）方程x2＝3x的解是（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝0 【变式5-2】（2024•新疆模拟）一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（　　） A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝2，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣2，x2＝﹣3 【变式5-3】（2023秋•孟津区校级期末）方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝0的根是（　　） A．x＝ B．x＝3 C．，x2＝3 D．，x2＝3 考点6：一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 【考点6 根与系数的关系】 【典例6】（2024•江西模拟）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则x1+x2﹣4x1x2的值为（　　） A．4 B．﹣3 C．0 D．7 【变式6-1】（2024•北流市一模）已知方程x2﹣3x+2＝0的两根是x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-2】（2024•西青区一模）已知方程x2﹣2x﹣4＝0的两根分别为x1，x2，则式子（x1+1）（x2+1）的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．3 D．7 【变式6-3】（2024•张店区一模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•新宾县期中）方程x2﹣4＝0的两个根是（　　） A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝x2＝2 D．x1＝2，x2＝0 2．（2023秋•辽宁月考）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（　　） A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝10 D．（x﹣2）2＝10 3．（2023秋•铁西区月考）方程中x（x﹣1）＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝1 4．（2022秋•盘山县期末）若方程x2﹣6x+8＝0的两个根分别是等腰三角形的底边和腰长，则该等腰三角形的周长为（　　） A．10或8 B．10或12 C．10 D．8 5．（2023秋•西丰县校级月考）观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A．1.5＜x＜1.6 B．1.6＜x＜1.7 C．1.7＜x＜1.8 D．1.8＜x＜1.9 二．填空题（共1小题） 6．（2023秋•振兴区校级月考）以方程x2﹣4x+3＝0的两根分别为腰和底的等腰三角形的周长为 　 　． 三．解答题（共6小题） 7．（2023秋•普兰店区期末）解下列方程： （1）x2+3x﹣4＝0； （2）2x2﹣4x﹣1＝0． 8．（2023秋•新民市期中）解方程： （1）x（x+1）﹣2（x+1）＝0； （2）x2+4x﹣1＝0． 9．（2023秋•中山区校级月考）解方程： （1）3（x﹣1）2＝12； （2）2x2﹣4x＝﹣1． 10．（2023秋•清原县期末）解方程： （1）x2+4x﹣4＝0； （2）2x2﹣2x﹣1＝0． 11．（2023秋•甘井子区期中）用适当的方法解方程． （1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）3x2﹣2x﹣3＝0． 12．（2023春•建平县期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0， ∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0， ∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0， ∴n＝2，m＝2． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，则x＝　 　，y＝　 　； （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，求△ABC的周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 解一元二次方程 【考点1 解一元二次方程-直接平方】 【考点2 解一元二次方程-配方法】 【考点3 解一元二次方程-公式法】 【考点4 解一元二次方程-因式分解法】 【考点5 根的判别式】 【考点6 根与系数的关系】 考点1： 解一元二次方程-直接开方 注意： （1）等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数 （2）降次的实质是有一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 （3）方法是根据平方根的意义开平方 【考点1 解一元二次方程-直接平方】 【典例1】（2024春•新兴县期中）解方程：（x+1）2﹣81＝0． 【答案】x1＝8，x2＝﹣10． 【解答】解：（x+1）2﹣81＝0， 移项，得（x+1）2＝81， 开方，得x+1＝±9， 解得：x1＝8，x2＝﹣10． 【变式1-1】（2024春•中山市期中）解方程4（x﹣1）2＝9 【答案】见试题解答内容 【解答】解：把系数化为1，得 （x﹣1）2＝ 开方得x﹣1＝ 解得x1＝，x2＝﹣． 【变式1-2】（2023秋•萍乡期末）解方程：（3x﹣1）2＝4（2x+3）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由原方程，得 3x﹣1＝±2|2x+3|， 则3x﹣1＝4x+6或3x﹣1＝﹣4x﹣6， 整理，得 x＝﹣7或7x＝﹣5， 解得 x1＝﹣7，x2＝﹣． 【变式1-3】（2023秋•扬州期中）解方程： （1）x2﹣49＝0； （2）2（x+1）2﹣49＝1． 【答案】（1）x1＝7，x2＝﹣7； （2）x1＝4，x2＝﹣6． 【解答】解：（1）x2﹣49＝0， x2＝49， ∴x＝±7， ∴x1＝7，x2＝﹣7； （2）2（x+1）2﹣49＝1， （x+1）2＝25， ∴x+1＝±5， ∴x1＝4，x2＝﹣6． 考点2：解一元二次方程-配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 【考点2 解一元二次方程-配方法】 【典例2】（2023秋•未央区期末）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x＝﹣2， 配方得：x2﹣4x+4＝﹣2+4， （x﹣2）2＝2， 开方得：x﹣2＝±， x1＝2+，x2＝2﹣． 【变式2-1】（2023秋•济阳区期末）用配方法解方程：x2+4x﹣5＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由原方程移项，得 x2+4x＝5， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4＝5+4， 配方得（x+2）2＝9． 开方，得 x+2＝±3， 解得x1＝1，x2＝﹣5． 【变式2-2】（2023秋•闵行区期末）用配方法解方程：3x2+6x﹣1＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：把方程x2+2x﹣＝0的常数项移到等号的右边，得 x2+2x＝， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得 x2+2x+1＝+1 配方得（x+1）2＝， 开方得x+1＝±， 解得x＝±﹣1． 【变式2-3】（2023秋•松江区期末）用配方法解3x2﹣2x﹣1＝0． 【答案】． 【解答】解：3x2﹣2x﹣1＝0， 移项得3x2﹣2x＝1， 二次项系数化成1得， 配方得，即 ∴， 解得，． 考点3： 解一元二次方程-公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 【考点3 解一元二次方程-公式法】 【典例3】（2024•鞍山模拟）解下列一元二次方程 （1）x2+3x﹣4＝0（公式法） （2）2x2﹣4x﹣1＝0（公式法） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）a＝1，b＝3，c＝﹣4， Δ＝9+4×1×4＝25＞0， ∴x＝＝， ∴x1＝﹣4，x2＝1． （2）a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1， Δ＝16+4×2＝24＞0， ∴x＝＝1±， ∴x1＝1+，x2＝1﹣． 【变式3-1】（2023春•合浦县期中）用公式法解方程：x2﹣x﹣7＝0． 【答案】x1＝，x2＝． 【解答】解：这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣7， ∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣7） ＝1+28 ＝29＞0， ∴x＝， 解得：x1＝，x2＝． 【变式3-2】（2023秋•朝阳区校级月考）解方程：．（用公式法） 【答案】x1＝x2＝． 【解答】解：， 这里a＝2，b＝﹣2，c＝1， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×2×1＝0， ∴x＝， ∴x1＝x2＝． 【变式3-3】用公式法解下列各方程： （1）5x2+2x﹣1＝0 （2）6y2+13y+6＝0 （3）3•x2+6x+9＝7． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a＝5，b＝2，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝4+4×5×1＝24＞0 ∴x＝ ∴x1＝． （2）∵a＝6，b＝13，c＝6， ∴Δ＝b2﹣4ac＝169﹣4×6×6＝25＞0 ∴x＝ ∴x1＝﹣，x2＝﹣． （3）整理，得：x2+6x+2＝0 ∴a＝1，b＝6，c＝2 ∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4×1×2＝28＞0 ∴x＝＝﹣3± ∴x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣． 考点4：解一元二次方程-因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 【考点4 解一元二次方程-因式分解法】 【典例4】（2024春•瑶海区期中）已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2﹣7x+12＝0，则三角形的周长为（　　） A．10 B．11 C．10或11 D．以上都不对 【答案】B 【解答】解：方程x2﹣7x+12＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， 当x＝3时，2+3＝5，不能构成三角形； 当x＝4时，三角形周长为2+4+5＝11． 故选：B． 【变式4-1】（2023秋•定州市期末）方程x2＝3x的解是（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝0 【答案】C 【解答】解：x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， x＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝0，x2＝3． 故选：C． 【变式4-2】（2024•新疆模拟）一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（　　） A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝2，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣2，x2＝﹣3 【答案】A 【解答】解：x2﹣6x+5＝0 （x﹣1）（x﹣5）＝0， x﹣1＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝1，x2＝5， 故选：A． 【变式4-3】（2023秋•孟津区校级期末）方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝0的根是（　　） A．x＝ B．x＝3 C．，x2＝3 D．，x2＝3 【答案】C 【解答】解：因式分解，得 （x﹣3）（2x﹣5）＝0 于是，得 2x﹣5＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝，x2＝3， 故选：C． 考点5： 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 【考点5 根的判别式】 【典例5】（2024春•瑶海区期中）已知三角形的两边长为2和5，第三边满足方程x2﹣7x+12＝0，则三角形的周长为（　　） A．10 B．11 C．10或11 D．以上都不对 【答案】B 【解答】解：方程x2﹣7x+12＝0， 分解因式得：（x﹣3）（x﹣4）＝0， 解得：x1＝3，x2＝4， 当x＝3时，2+3＝5，不能构成三角形； 当x＝4时，三角形周长为2+4+5＝11． 故选：B． 【变式5-1】（2023秋•定州市期末）方程x2＝3x的解是（　　） A．x＝3 B．x＝0 C．x1＝3，x2＝0 D．x1＝﹣3，x2＝0 【答案】C 【解答】解：x2﹣3x＝0， x（x﹣3）＝0， x＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝0，x2＝3． 故选：C． 【变式5-2】（2024•新疆模拟）一元二次方程x2﹣6x+5＝0的解为（　　） A．x1＝1，x2＝5 B．x1＝2，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝﹣5 D．x1＝﹣2，x2＝﹣3 【答案】A 【解答】解：x2﹣6x+5＝0 （x﹣1）（x﹣5）＝0， x﹣1＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝1，x2＝5， 故选：A． 【变式5-3】（2023秋•孟津区校级期末）方程2x（x﹣3）+5（3﹣x）＝0的根是（　　） A．x＝ B．x＝3 C．，x2＝3 D．，x2＝3 【答案】C 【解答】解：因式分解，得 （x﹣3）（2x﹣5）＝0 于是，得 2x﹣5＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝，x2＝3， 故选：C 考点6：一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 【考点6 根与系数的关系】 【典例6】（2024•江西模拟）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则x1+x2﹣4x1x2的值为（　　） A．4 B．﹣3 C．0 D．7 【答案】D 【解答】解：因为x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根， 所以， 所以x1+x2﹣4x1x2＝﹣1﹣4×（﹣2）＝7． 故选：D． 【变式6-1】（2024•北流市一模）已知方程x2﹣3x+2＝0的两根是x1，x2，则x1+x2﹣x1•x2的值是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解答】解：由题意可得，x1+x2＝3，x1•x2＝2， ∴x1+x2﹣x1•x2＝3﹣2＝1． 故选：A． 【变式6-2】（2024•西青区一模）已知方程x2﹣2x﹣4＝0的两根分别为x1，x2，则式子（x1+1）（x2+1）的值等于（　　） A．﹣1 B．0 C．3 D．7 【答案】A 【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣4＝0的两根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣4， ∴（x1+1）（x2+1）＝x1x2+（x1+x2）+1＝﹣4+2+1＝﹣1． 故选：A． 【变式6-3】（2024•张店区一模）已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 【答案】D 【解答】解：根据根与系数的关系得a+b＝﹣4，ab＝3， 所以+＝＝﹣． 故选：D． 一．选择题（共5小题） 1．（2023秋•新宾县期中）方程x2﹣4＝0的两个根是（　　） A．x1＝2，x2＝﹣2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝x2＝2 D．x1＝2，x2＝0 【答案】A 【解答】解：x2﹣4＝0， x2＝4， ∴x＝±2， ∴x1＝2，x2＝﹣2． 故选：A． 2．（2023秋•辽宁月考）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0时，配方后的方程是（　　） A．（x+2）2＝2 B．（x﹣2）2＝2 C．（x+2）2＝10 D．（x﹣2）2＝10 【答案】D 【解答】解：x2﹣4x﹣6＝0， x2﹣4x＝6， x2﹣4x+4＝6+4， （x﹣2）2＝10， 故选：D． 3．（2023秋•铁西区月考）方程中x（x﹣1）＝0的根是（　　） A．x1＝0，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝1 C．x1＝x2＝0 D．x1＝x2＝1 【答案】B 【解答】解：方程x（x﹣1）＝0， 所以x＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝0，x2＝1． 故选：B． 4．（2022秋•盘山县期末）若方程x2﹣6x+8＝0的两个根分别是等腰三角形的底边和腰长，则该等腰三角形的周长为（　　） A．10或8 B．10或12 C．10 D．8 【答案】C 【解答】解：∵x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0， 解得x＝2或x＝4， 当腰长为2，底边长为4时，则三角形三边为2，2，4，不能组成三角形，不符合题意； 当腰长为4，底边长为2时，则三角形三边为4，4，2，能组成三角形，符合题意， ∴三角形的周长为4+4+2＝10， 故选：C． 5．（2023秋•西丰县校级月考）观察下列表格，一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是（　　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x2﹣x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71 A．1.5＜x＜1.6 B．1.6＜x＜1.7 C．1.7＜x＜1.8 D．1.8＜x＜1.9 【答案】B 【解答】解：x2﹣x＝1.1， x2﹣x﹣1.1＝0， Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1.1）＝5.4， x＝， x1＝，x2＝， ∵2.2＜＜2.4， ∴3.2＜1+＜3.4， ∴1.6＜＜1.7， 即一元二次方程x2﹣x＝1.1的一个解x所在的范围是1.6＜x＜1.7． 故选：B． 二．填空题（共1小题） 6．（2023秋•振兴区校级月考）以方程x2﹣4x+3＝0的两根分别为腰和底的等腰三角形的周长为 　7　． 【答案】7． 【解答】解：解方程x2﹣4x+3＝0，得x1＝1，x2＝3， 当1为腰，3为底时，不能构成等腰三角形； 当3为腰，1为底时，能构成等腰三角形，周长为3+3+1＝7． 故周长为7． 故答案为：7． 三．解答题（共6小题） 7．（2023秋•普兰店区期末）解下列方程： （1）x2+3x﹣4＝0； （2）2x2﹣4x﹣1＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）x2+3x﹣4＝0， 则（x﹣1）（x+4）＝0， 则x﹣1＝0或x+4＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣4； （2）2x2﹣4x﹣1＝0， x2﹣2x＝， ∴x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝， ∴x﹣1＝±， ∴x＝1±， ∴x1＝1+，x2＝1﹣． 8．（2023秋•新民市期中）解方程： （1）x（x+1）﹣2（x+1）＝0； （2）x2+4x﹣1＝0． 【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝2； （2）x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣． 【解答】解：（1）x（x+1）﹣2（x+1）＝0， （x+1）（x﹣2）＝0， x+1＝0或x﹣2＝0， x1＝﹣1，x2＝2； （2）x2+4x﹣1＝0， x2+4x＝1， x2+4x+4＝1+4， （x+2）2＝5， x+2＝±， x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣． 9．（2023秋•中山区校级月考）解方程： （1）3（x﹣1）2＝12； （2）2x2﹣4x＝﹣1． 【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣1； （2）x1＝1+，x2＝1﹣． 【解答】解：（1）3（x﹣1）2＝12， （x﹣1）2＝4， x﹣1＝±2， ∴x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2， 解得x1＝3，x2＝﹣1； （2）2x2﹣4x＝﹣1， x2﹣2x＝﹣， （x﹣1）2＝， x﹣1＝±， ∴x1＝1+，x2＝1﹣． 10．（2023秋•清原县期末）解方程： （1）x2+4x﹣4＝0； （2）2x2﹣2x﹣1＝0． 【答案】（1），； （2）． 【解答】解：（1）解：x2+4x﹣4＝0， ∴x2+4x＝4， 则 x2+4x+22＝4+22， 即 （x+2）2＝8， ∴， ∴，； （2）由题意可得，a＝2，b＝﹣2，c＝﹣1， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×2×（﹣1）＝12． x＝， ． 11．（2023秋•甘井子区期中）用适当的方法解方程． （1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）3x2﹣2x﹣3＝0． 【答案】（1）x1＝1+，x2＝1﹣； （2）x1＝，x2＝． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣4＝0， x2﹣2x＝4， x2﹣2x+1＝4+1， （x﹣1）2＝5， x﹣1＝±， x1＝1+，x2＝1﹣； （2）3x2﹣2x﹣3＝0， ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣3）＝4+36＝40＞0， ∴x＝＝＝， ∴x1＝，x2＝． 12．（2023春•建平县期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0， ∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0， ∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0， ∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0， ∴n＝2，m＝2． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，则x＝　﹣4　，y＝　﹣4　； （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，求△ABC的周长． 【答案】（1）﹣4，﹣4； （2）△ABC的周长为9． 【解答】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0， ∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+8y+16）＝0， ∴（x﹣y）2+（y+4）2＝0， ∴x﹣y＝0，y+4＝0， ∴x＝y，y＝﹣4， ∴x＝y＝﹣4， 故答案为：﹣4，﹣4； （2）∵2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0， ∴2a2﹣4a+2+b2﹣8b+16＝0， ∴2（a2﹣2a+1）+（b2﹣8b+16）＝0， ∴2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣4＝0， ∴a＝1，b＝4， ∵△ABC的三边长a、b、c都是正整数， ∴3＜c＜5， ∴c＝4， ∴△ABC的周长为a+b+c＝1+4+4＝9． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$