2.1 认识一元二次方程（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

2.1 认识一元二次方程 【考点1一元二次方程的概念】 【考点2 根据一元二次方程的概念求参数】 【考点3 一元二次方程的一般形式】 【考点4 已知一元二次方程的解求参数】 【考点5 已知一元二次方程的解整体带入求值】 考点1： 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 【考点1一元二次方程的概念】 【典例1】（2024春•长沙期中）下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A． B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣3x＝0 【变式1-1】（2024春•苍南县期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B．x2+xy﹣3＝0 C．x2+3x＝4 D．x+3（x﹣2）＝5x 【变式1-2】（2024春•乐清市期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．10x2＝9 B．2（x﹣1）＝3x C． D．x2﹣y2＝6 【变式1-3】（2024春•镇海区校级期中）若方程□﹣2＝x是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（　　） A．﹣2x B．22 C．2x2 D．2y2 【考点2根据一元二次方程的概念求参数】 【典例2】（2024•张北县校级开学）关于x的方程ax2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a＝1 【变式2-1】（2023秋•邹平市期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3 【变式2-2】（2023秋•江津区期末）如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．3 【变式2-3】（2023秋•昆明期末）若关于x的方程（m+2）x2﹣3x+1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m＞﹣2 C．m≠﹣2 D．m＞0 考点2： 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 【考点3 一元二次方程的一般形式】 【典例3】（2023秋•宿迁期末）一元二次方程3x2﹣2x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，1，﹣2 B．3，2，1 C．3，﹣2，﹣1 D．3，2，﹣1 【变式3-1】（2023秋•永善县期末）把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0 【变式3-2】（2024•沧州一模）方程x2＝﹣2x+8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．1，﹣2，8 B．﹣1，2，8 C．1，2，﹣8 D．1，2，8 【变式3-3】（2023秋•关岭县期末）把方程化成一般式x2+3x＝5，则a、b、c的值分别是（　　） A．1，﹣3，5 B．1，3，﹣5 C．1，3，5 D．0，3，﹣5 考点3：一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 考点4： 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【考点4 已知一元二次方程的解求参数】 【典例4】（2024•大丰区模拟）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 【变式4-1】（2024春•杭州期中）已知一元二次方程3x2﹣mx﹣m＝0的一个根是2，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式4-2】（2024•东莞市校级模拟）若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则下列式子成立的是（　　） A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．a+b﹣c＝0 D．﹣a+b+c＝0 【变式4-3】（2023秋•澄海区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+x+a2﹣9＝0的一个根是0，则a的值（　　） A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．0 【考点5 已知一元二次方程的解整体带入求值】 【典例5】（2024•南山区校级模拟）若x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，则m2+m+2020的值为（　　） A．2024 B．2022 C．2020 D．2016 【变式5-1】（2023秋•阳谷县期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0的一个根是x＝1，则代数式2027﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2023 B．2023 C．﹣2024 D．2024 【变式5-2】（2023秋•平舆县校级期末）若x＝a是方程x2﹣x﹣2016＝0的根，则代数式2a2﹣2a﹣2016的值为（　　） A．1 B．2016 C．﹣1 D．﹣2016 【变式5-3】（2023秋•高阳县期末）如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 一．选择题（共6小题） 1．（2024春•甘井子区月考）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．y＝2x2+4 B． C．x2﹣1＝0 D．x2+y2＝1 2．（2024•鞍山模拟）方程3x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣1，4 B．3，4，﹣1 C．3，﹣4，﹣1 D．3，﹣1，﹣4 3．（2023秋•兴城市期末）已知m＝1是关于m的方程m2+m+2a＝0的一个根，则a的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 4．（2023秋•凤城市期中）如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0有一个解是0，那么m的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0或﹣3 5．（2023秋•普兰店区期末）已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．4 6．（2023秋•双台子区校级月考）若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4＝0的一个根是x＝2，则2023+2a﹣b的值是（　　） A．2017 B．2019 C．2021 D．2023 二．填空题（共4小题） 7．（2023秋•辽中区期末）一元二次方程x2+3x（x﹣1）＝5的一般形式是 　 　． 8．（2024春•和平区校级月考）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 　 　． 9．（2023秋•抚顺月考）若x＝1是一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个根，则m＝　 　． 10．（2023秋•大石桥市期中）关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是 　 　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 认识一元二次方程 【考点1一元二次方程的概念】 【考点2 根据一元二次方程的概念求参数】 【考点3 一元二次方程的一般形式】 【考点4 已知一元二次方程的解求参数】 【考点5 已知一元二次方程的解整体带入求值】 考点1： 一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程） （2）只含有一个未知数； （3）未知数项的最高次数是2。 【考点1一元二次方程的概念】 【典例1】（2024春•长沙期中）下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A． B．5x2﹣6y﹣3＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣3x＝0 【答案】D 【解答】解：A．该方程是分式方程，故本选项不合题意； B．该方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意； C．当a＝0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不合题意； D．该方程是一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（2024春•苍南县期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B．x2+xy﹣3＝0 C．x2+3x＝4 D．x+3（x﹣2）＝5x 【答案】C 【解答】解：A．，是分式方程，故本选项不符合题意； B．x2+xy﹣3＝0，是二元二次方程，故本选项不符合题意； C．x2+3x＝4，是一元二次方程，故本选项符合题意； D．x+3（x﹣2）＝5x，是一元一次方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式1-2】（2024春•乐清市期中）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．10x2＝9 B．2（x﹣1）＝3x C． D．x2﹣y2＝6 【答案】A 【解答】解：A．10x2＝9，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； B．2（x﹣1）＝3x，是一元一次方程，故本选项不符合题意； C．该方程是分式方程，故本选项不符合题意； D．x2﹣y2＝6，含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式1-3】（2024春•镇海区校级期中）若方程□﹣2＝x是关于x的一元二次方程，则“□”可以是（　　） A．﹣2x B．22 C．2x2 D．2y2 【答案】C 【解答】解：A．﹣2x﹣2＝x，是一元一次方程，此选项不符合题意； B．22﹣2＝x，是一元一次方程，此选项不符合题意； C．2x2﹣2＝x，是一元二次方程，此选项符合题意； D．2y2﹣2＝x，是二元二次方程，此选项不符合题意； 故选：C． 【考点2根据一元二次方程的概念求参数】 【典例2】（2024•张北县校级开学）关于x的方程ax2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a≠0 D．a＝1 【答案】C 【解答】解：∵关于x的方程ax2﹣3x+2＝0是一元二次方程， ∴a≠0． 故选：C． 【变式2-1】（2023秋•邹平市期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（　　） A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3 【答案】A 【解答】解：∵关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程， ∴a﹣3≠0且|a﹣1|＝2， 解得：a＝﹣1， 故选：A． 【变式2-2】（2023秋•江津区期末）如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．±2 D．3 【答案】B 【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴p2﹣2＝2且p﹣2≠0， ∴p＝±2且p≠2， 即p＝﹣2． 故选：B． 【变式2-3】（2023秋•昆明期末）若关于x的方程（m+2）x2﹣3x+1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　） A．m≠0 B．m＞﹣2 C．m≠﹣2 D．m＞0 【答案】C 【解答】解：∵关于x的方程（m+2）x2﹣3x+1＝0是一元二次方程， ∴m+2≠0， 解得：m≠﹣2． 故选：C． 考点2： 一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 注意：（1）ax²+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 【考点3 一元二次方程的一般形式】 【典例3】（2023秋•宿迁期末）一元二次方程3x2﹣2x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，1，﹣2 B．3，2，1 C．3，﹣2，﹣1 D．3，2，﹣1 【答案】C 【解答】解：3x2﹣2x＝1变形为：3x2﹣2x﹣1＝0， 3x2﹣2x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，﹣2，﹣1， 故选：C． 【变式3-1】（2023秋•永善县期末）把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0 【答案】A 【解答】解：将一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式之后，变为x2﹣2x﹣2＝0， 故选：A． 【变式3-2】（2024•沧州一模）方程x2＝﹣2x+8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．1，﹣2，8 B．﹣1，2，8 C．1，2，﹣8 D．1，2，8 【答案】C 【解答】解：x2＝﹣2x+8 x2+2x﹣8＝0， 故二次项系数、一次项系数、常数项分别是1、2、﹣8， 故选：C． 【变式3-3】（2023秋•关岭县期末）把方程化成一般式x2+3x＝5，则a、b、c的值分别是（　　） A．1，﹣3，5 B．1，3，﹣5 C．1，3，5 D．0，3，﹣5 【答案】B 【解答】解：将原方程化为一般形式得x2+3x﹣5＝0， ∴a＝1，b＝3，c＝﹣5． 故选：B． 考点3：一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 考点4： 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 【考点4 已知一元二次方程的解求参数】 【典例4】（2024•大丰区模拟）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 【答案】C 【解答】解：将x＝2代入方程x2+mx﹣2＝0 得：4+2m﹣2＝0，解得：m＝﹣1． 故选：C． 【变式4-1】（2024春•杭州期中）已知一元二次方程3x2﹣mx﹣m＝0的一个根是2，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解答】解：把x＝2代入方程3x2﹣mx﹣m＝0得： 12﹣2m﹣m＝0， 12﹣3m＝0， 3m＝12， m＝4， 故选：C． 【变式4-2】（2024•东莞市校级模拟）若x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则下列式子成立的是（　　） A．a+b+c＝0 B．a﹣b+c＝0 C．a+b﹣c＝0 D．﹣a+b+c＝0 【答案】B 【解答】解：∵x＝﹣1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， ∴a﹣b+c＝0， 故选：B． 【变式4-3】（2023秋•澄海区期末）已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2+x+a2﹣9＝0的一个根是0，则a的值（　　） A．﹣3 B．3 C．3或﹣3 D．0 【答案】A 【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（a﹣3）x2+x+a2﹣9＝0得a2﹣9＝0， 解得a1＝3，a2＝﹣3， 而a﹣3≠0， 所以a＝﹣3． 故选：A． 【考点5 已知一元二次方程的解整体带入求值】 【典例5】（2024•南山区校级模拟）若x＝m是方程x2+x﹣4＝0的根，则m2+m+2020的值为（　　） A．2024 B．2022 C．2020 D．2016 【答案】A 【解答】解：由题意得：把x＝m代入方程x2+x﹣4＝0中得：m2+m﹣4＝0， ∴m2+m＝4， ∴m2+m+2020＝4+2020＝2024， 故选：A． 【变式5-1】（2023秋•阳谷县期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0的一个根是x＝1，则代数式2027﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2023 B．2023 C．﹣2024 D．2024 【答案】D 【解答】解：将x＝1代入原方程得：a+b﹣3＝0， ∴a+b＝3， ∴2027﹣a﹣b＝2027﹣（a+b）＝2027﹣3＝2024． 故选：D． 【变式5-2】（2023秋•平舆县校级期末）若x＝a是方程x2﹣x﹣2016＝0的根，则代数式2a2﹣2a﹣2016的值为（　　） A．1 B．2016 C．﹣1 D．﹣2016 【答案】B 【解答】解：由题意得：把x＝a代入方程x2﹣x﹣2016＝0中得： a2﹣a﹣2016＝0， ∴a2﹣a＝2016， ∴2a2﹣2a﹣2016＝2（a2﹣a）﹣2016 ＝2×2016﹣2016 ＝4032﹣2016 ＝2016， 故选：B． 【变式5-3】（2023秋•高阳县期末）如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【解答】解：∵a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根， ∴2a2＝6a﹣4， ∴2a2﹣6a＝﹣4， ∴a2﹣3a＝﹣2， ∴a2﹣3a+2024＝﹣2+2024＝2022， 故选：B． ：18907713一．选择题（共6小题） 1．（2024春•甘井子区月考）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．y＝2x2+4 B． C．x2﹣1＝0 D．x2+y2＝1 【答案】C 【解答】解：A．方程y＝2x2+4中含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．方程是x2﹣1＝0一元二次方程，故本选项符合题意． D．方程x2+y2＝1中含有两个未知数，且未知数的最高次数为2，不是一元二次方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（2024•鞍山模拟）方程3x2﹣4x﹣1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣1，4 B．3，4，﹣1 C．3，﹣4，﹣1 D．3，﹣1，﹣4 【答案】C 【解答】解：∵3x2﹣4x﹣1＝0， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是3，﹣4，﹣1， 故选：C． 3．（2023秋•兴城市期末）已知m＝1是关于m的方程m2+m+2a＝0的一个根，则a的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：把m＝1代入方程m2+m+2a＝0得1+1+2a＝0， 解得a＝﹣1． 故选：A． 4．（2023秋•凤城市期中）如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0有一个解是0，那么m的值是（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0或﹣3 【答案】B 【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0中，得 m2﹣9＝0， 解得m＝﹣3或3， 当m＝3时，原方程二次项系数m﹣3＝0，舍去， 故选：B． 5．（2023秋•普兰店区期末）已知m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣6m的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．4 【答案】B 【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根， ∴m2﹣3m﹣1＝0， ∴m2﹣3m＝1， ∴2m2﹣6m＝2（m2﹣3m）＝2×1＝2， 故选：B． 6．（2023秋•双台子区校级月考）若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4＝0的一个根是x＝2，则2023+2a﹣b的值是（　　） A．2017 B．2019 C．2021 D．2023 【答案】C 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣bx+4＝0的一个根是x＝2， ∴4a﹣2b+4＝0， ∴4a﹣2b＝﹣4， ∴2a﹣b＝﹣2． ∴2023+2a﹣b ＝2023﹣2 ＝2021， 故选：C． 二．填空题（共4小题） 7．（2023秋•辽中区期末）一元二次方程x2+3x（x﹣1）＝5的一般形式是 　4x2﹣3x﹣5＝0　． 【答案】4x2﹣3x﹣5＝0． 【解答】解：x2+3x（x﹣1）＝5， x2+3x2﹣3x﹣5＝0， 4x2﹣3x﹣5＝0． 故答案为：4x2﹣3x﹣5＝0． 8．（2024春•和平区校级月考）若a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2a2+4a的值是 　6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的一个根， ∴a2+2a﹣3＝0， ∴a2+2a＝3， ∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×3＝6， 故答案为：6． 9．（2023秋•抚顺月考）若x＝1是一元二次方程x2﹣mx+3＝0的一个根，则m＝　4　． 【答案】4． 【解答】解：依题意得：12﹣m×1+3＝0， 解得m＝4． 故答案为：4． 10．（2023秋•大石桥市期中）关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是 　﹣1　． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程， ∴a﹣3≠0，|a﹣1|＝2， 解得，a＝﹣1， 故答案为：﹣1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$