专题2.3 一元二次方程的应用（7个考点2个易错点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

专题2.3 一元二次方程的应用（7个考点2个易错点） 【考点1一元二次方程应用-变化率问题】 【考点2一元二次方程应用传染、枝干问题】 【考点3 一元二次方程应用握手、比赛问题】 【考点4 一元二次方程应用-销售利润问题】 【考点5 一元二次方程应用-每每问题】 【考点6 一元二次方程应用-几何面积问题】 【考点7 一元二次方程应用-动点与几何问题】 【易错点1 由实际问题抽象出一元二次方程】 【易错点2 一元二次方程的应用】 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】 1．（2023秋•于洪区期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A．23（1﹣x）2＝18.63 B．18.63（1+x）2＝23 C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63 2．（2023秋•长海县期末）某水产品公司今年10月的营业额为25万元，按计划12月的营业额要达到36万元，设该公司11，12两月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　） A．25（1+2x）＝36 B．25（1+2x）2＝36 C．25（1+x）2＝36 D．25（1+x2）＝36 3．（2023秋•抚顺月考）在“双减政策”的推动下，某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为100min，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为64min．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为（　　） A．100（1+x）2＝64 B．100（1﹣x）2＝64 C．64（1+x）2＝100 D．64（1﹣x）2＝100 4．（2024•鞍山模拟）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（　　） A．18.63（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝18.63 C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63 5．（2023秋•东港市期末）某服装原价为200元，连续两次涨价后，售价为338元，则平均每次的上涨率为（　　） A．15% B．20% C．25% D．30% 【题型2一元二次方程应用传染、枝干问题】 6．（2023秋•湛江期末）新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（　　） A．x（1+x）＝256 B．x+（1+x）2＝256 C．x+x（1+x）＝256 D．1+x+x（1+x）＝256 7．（2023秋•麦积区期末）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有121个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 8．（2023春•台江区校级期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是43个，设每个枝干长出x小分支，列方程为 　 ． 9．（2023秋•怀集县期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【题型3 一元二次方程应用握手、比赛问题】 10．（2023秋•仙居县期末）在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛10场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．x（x+1）＝10 C．x（x﹣1）＝10 D．x（x+1）＝10 11．（2022秋•耿马县期末）某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（　　） A．8 B．10 C．7 D．9 12．（2023秋•绥棱县期末）在某班初三学生毕业20年的联谊会上，每两名学生握手一次，统计共握手630次．若设参加此会的学生为x名，根据题意可列方程为（　　） A．x（x+1）＝630 B．x（x﹣1）＝630 C．2x（x﹣1）＝630 D．x（x﹣1）＝630×2 13．（2022秋•威县期末）为防控疫情，我们应该做到有“礼”有“距”，于是用“碰肘礼”代替“握手”的问候方式逐渐流行．某次会议上，每两个参会者都相互行了一次“碰肘礼”，经统计共碰肘28次，若设有x人参加这次会议，则可列方程为 　 　． 14．（2023秋•林芝市期末）某校九年级班级之间进行篮球循环赛，班与班之间都要进行1场比赛，循环赛打完共进行了15场比赛，该校九年级共有多少个班？ 【题型4 一元二次方程应用-销售利润问题】 15．（2023秋•楚雄州期末）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售猕猴桃．已知该猕猴桃的成本为5元/kg，销售价格不高于14元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付1元的相关费用．该果园经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数解析式． （2）当猕猴桃的销售价格定为多少元/kg时，销售这种猕猴桃的日利润恰好为900元？ 16．（2023秋•电白区期末）从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件8元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）该商家每天想获得2200元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？ 17．（2023秋•虹口区校级期末）为提高农民收入，某区一水果公园引进一种新型蟠桃，蟠桃进价为每公斤40元．上市后通过一段时间的试营销发现：当蟠桃销售单价在每公斤40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（公斤）与销售单价x（元/公斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示． （1）求y与x的函数解析式，并写出定义域； （2）如果想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元． 18．（2023秋•青羊区校级期末）某商店欲购进A、B两种足球，若购进5个A种足球，3个B种足球，共需450元．若购进10个A种足球，8个B种足球，共需1000元． （1）购进A、B两种足球每个各需多少元？ （2）该商店购进足够多的两种足球，在销售中发现，A种足球售价为每件80元，每天可销售100个，现在决定对A种足球在每个80元的基础上降价销售，每个每降价1元，多售出20个，该商店对A种足球降价销售后每天销售量超过200个；B种足球销售状况良好，每天可获利7000元．为使销售A、B两种足球每天总获利为10000元，A种足球每个降价多少元？ 19．（2023秋•金牛区期末）某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜40）之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【题型5 一元二次方程应用-每每问题】 20．（2023秋•龙港区期中）某商场经销A玩具，购进时的单价是60元．按照要求，销售时单件利润率不得超过40%．根据市场调查，销售单价定为80元时，每天可以卖出200件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出20件．求销售单价定为多少时，该商场每天销售A玩具可以获利2500元． 21．（2023秋•沈阳月考）2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？ 22．（2023春•海州区校级月考）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2，3两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？ 23．（2023秋•阜新期中）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． （1）当销售单价为90元时，每月的销售量为 　100　件． （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ 25．（2023秋•大东区期末）近年来，辽宁加快建设文化旅游强省，取得了显著成效．某景区的门票价格为每人80元，每天最多能接待2500名游客，在旅游旺季平均每天能售出1000张门票．为了吸引更多的游客，提高景区知名度，景区决定适当降低门票价格．经过调查发现，当票价每降低2元时，在旅游旺季每天可以多卖出100张票． （1）当每张门票降低5元时，每天能卖出 　1250　张门票； （2）若景区想每天获得12万元的门票收入，则每张门票应降低多少元？ 26．（2023秋•文圣区月考）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 27．在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【题型6 一元二次方程应用-几何面积问题】 26．（2023秋•阳城县期末）学校课外实践小组有一块长32cm，宽20cm的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向开劈二横一纵的三条等宽的小道，要使种植面积为540cm2，小道的宽是多少？若设小道的宽为x cm，根据题意，列方程（　　） A．32×20﹣20x﹣32x+2x2＝540 B．32×20﹣2x⋅32﹣20x＝540 C．（32﹣x）（20﹣2x）＝540 D．（32﹣2x）（20﹣x）＝540 27．（2023秋•李沧区期末）如图，在一个长为80m，宽为50m的矩形停车场中有四块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为2520m2，四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，如果设行车通道的宽度为x m，那么列出的方程为（　　） A．（80﹣x）（50﹣x）＝2520 B．（80﹣4x）（50﹣x）＝2520 C．（80﹣4x）（50﹣2x）＝2520 D．（80﹣5x）（50﹣2x）＝2520 28．（2023秋•永修县期末）如图所示，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为 　　米． 29．（2023秋•新兴县期末）如图，一农户要建一个矩形菜地，为了节省材料，菜地的一边利用长为10米的墙，另外三边用长为19米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，当所围成的矩形菜地的长、宽分别是多少时，菜地面积为48平方米？ 30．（2022秋•环江县期末）某公园准备在一块长为42m，宽为30m的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的6倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为x m． （1）用含x的代数式表示花园内温室花房的面积和小路面积； （2）若草坪面积为1164m2时，求这时道路宽度． 【题型7 一元二次方程应用-动点与几何问题】 31．（2023秋•仁寿县期末）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 32．（2023秋•佛山期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）当运动时间为t（s）时，CP＝　　cm，CQ＝　cm；（用含t的代数式表示） （2）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值． 33．（2023秋•阿荣旗期末）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动 （1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？ （2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？ 34．（2023秋•青白江区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问： （1）经过多长时间，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【易错点1 由实际问题抽象出一元二次方程】 1．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 2．元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝90 B．x（x﹣1）＝2×90 C．x（x﹣1）＝90÷2 D．x（x+1）＝90 3．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝10 4．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x各队参赛，可列出的方程为　 　． 【易错点2 一元二次方程的应用】 5．有一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm2，为了有效利用材料，则截去的小正方形的边长是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，动点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿边AC向点C运动，同时动点Q从点C开始，以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A的折线在CB、BA边上向点A运动，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ．在运动过程中（Q点在C、B、A三点除外），线段PQ将△ABC分成一个三角形和一个四边形，若四边形的面积为三角形面积的2倍，则运动的时间为　　秒． 7．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 8．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？ 9．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝6m，AC＝8m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，已知点P移动的速度是20cm/s，点Q移动的速度是10cm/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的？ 10．某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元． （1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？ （2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？ 11．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降1元，每月能售出 　800　个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能售出 　 　个台灯． （2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价． （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 12．甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 13．某电子商店在销售某型号电话手表时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号电话手表8块与将标价直降100元销售7块获利相同． （1）求该型号电话手表每块进价和标价分别是多少元？ （2）若该型号电话手表的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51块；若每块电话手表每降价20元，每月可多售出3块．若希望尽量减少库存，每月获利要想达到26400元，则该型号电话手表每块应降价多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 一元二次方程的应用（7个考点2个易错点） 【考点1一元二次方程应用-变化率问题】 【考点2一元二次方程应用传染、枝干问题】 【考点3 一元二次方程应用握手、比赛问题】 【考点4 一元二次方程应用-销售利润问题】 【考点5 一元二次方程应用-每每问题】 【考点6 一元二次方程应用-几何面积问题】 【考点7 一元二次方程应用-动点与几何问题】 【易错点1 由实际问题抽象出一元二次方程】 【易错点2 一元二次方程的应用】 【题型1一元二次方程应用-变化率问题】 1．（2023秋•于洪区期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是（　　） A．23（1﹣x）2＝18.63 B．18.63（1+x）2＝23 C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63 【答案】A 【解答】解：根据题意得：23（1﹣x）2＝18.63． 故选：A． 2．（2023秋•长海县期末）某水产品公司今年10月的营业额为25万元，按计划12月的营业额要达到36万元，设该公司11，12两月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　） A．25（1+2x）＝36 B．25（1+2x）2＝36 C．25（1+x）2＝36 D．25（1+x2）＝36 【答案】C 【解答】解：根据题意得：25（1+x）2＝36． 故选：C． 3．（2023秋•抚顺月考）在“双减政策”的推动下，某中学学生每天书面作业时长明显减少．2022年上学期每天书面作业平均时长为100min，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为64min．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x，则可列方程为（　　） A．100（1+x）2＝64 B．100（1﹣x）2＝64 C．64（1+x）2＝100 D．64（1﹣x）2＝100 【答案】B 【解答】解：设根据题意得：100（1﹣x）2＝64． 故选：B． 4．（2024•鞍山模拟）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（　　） A．18.63（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝18.63 C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63 【答案】B 【解答】解：根据题意得：23（1﹣x）2＝18.63． 故选：B． 5．（2023秋•东港市期末）某服装原价为200元，连续两次涨价后，售价为338元，则平均每次的上涨率为（　　） A．15% B．20% C．25% D．30% 【答案】D 【解答】解：设平均每次的上涨率为x， 根据题意得：200（1+x）2＝338， 解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）， ∴平均每次的上涨率为30%． 故选：D． 【题型2一元二次方程应用传染、枝干问题】 6．（2023秋•湛江期末）新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则根据题意可列出方程（　　） A．x（1+x）＝256 B．x+（1+x）2＝256 C．x+x（1+x）＝256 D．1+x+x（1+x）＝256 【答案】D 【解答】解：每轮传染中平均每个人传染了x人，根据题意可列出方程，1+x+x（1+x）＝256， 故选：D． 7．（2023秋•麦积区期末）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快，已知有1个人患了新冠，经过两轮传染后共有121个人患了新冠，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【解答】解：由题意，（1+m）2＝121， 解得m＝10或m＝﹣12（不符题意，舍去）， 故选：B． 8．（2023春•台江区校级期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样多数目的小分支，主干、支干、小分支一共是43个，设每个枝干长出x小分支，列方程为 　x2+x+1＝43　． 【答案】x2+x+1＝43． 【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个， 根据题意列方程得：x2+x+1＝43， 故答案为：x2+x+1＝43． 9．（2023秋•怀集县期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：1+x+x（x+1）＝81， 整理，得：x2+2x﹣80＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2）81+81×8＝729（人）． 答：经过三轮传染后共有729人会患流感． 【题型3 一元二次方程应用握手、比赛问题】 10．（2023秋•仙居县期末）在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛10场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．x（x+1）＝10 C．x（x﹣1）＝10 D．x（x+1）＝10 【答案】C 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝10． 故选：C． 11．（2022秋•耿马县期末）某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（　　） A．8 B．10 C．7 D．9 【答案】A 【解答】解：设有x支队伍． 由题意得：x（x﹣1）＝56． 解得：x1＝8，x2＝﹣7（舍）． 故选：A． 12．（2023秋•绥棱县期末）在某班初三学生毕业20年的联谊会上，每两名学生握手一次，统计共握手630次．若设参加此会的学生为x名，根据题意可列方程为（　　） A．x（x+1）＝630 B．x（x﹣1）＝630 C．2x（x﹣1）＝630 D．x（x﹣1）＝630×2 【答案】D 【解答】解：设参加此会的学生为x名，则每名学生需握手的次数为：（x﹣1）次；因此一共要握手：x（x﹣1）次； 因为两名学生握手一次，所以根据题意所列的方程为：x（x﹣1）＝630，即x（x﹣1）＝630×2． 故选：D． 13．（2022秋•威县期末）为防控疫情，我们应该做到有“礼”有“距”，于是用“碰肘礼”代替“握手”的问候方式逐渐流行．某次会议上，每两个参会者都相互行了一次“碰肘礼”，经统计共碰肘28次，若设有x人参加这次会议，则可列方程为 　x（x﹣1）＝28　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：依题意得x（x﹣1）＝28， 故答案为：x（x﹣1）＝28． 14．（2023秋•林芝市期末）某校九年级班级之间进行篮球循环赛，班与班之间都要进行1场比赛，循环赛打完共进行了15场比赛，该校九年级共有多少个班？ 【答案】该校九年级共有6个班． 【解答】解：设该校九年级共有x个班， 根据题意得：x（x﹣1）＝15， 整理得：x2﹣x﹣30＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣5（不符合题意，舍去）． 答：该校九年级共有6个班． 【题型4 一元二次方程应用-销售利润问题】 15．（2023秋•楚雄州期末）网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售猕猴桃．已知该猕猴桃的成本为5元/kg，销售价格不高于14元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付1元的相关费用．该果园经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求y与x的函数解析式． （2）当猕猴桃的销售价格定为多少元/kg时，销售这种猕猴桃的日利润恰好为900元？ 【答案】（1）y＝﹣50x+850； （2）8元/kg． 【解答】解：（1）设y与x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将（7，500），（12，250）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y与x的函数解析式为y＝﹣50x+850； （2）根据题意得：（x﹣5﹣1）（﹣50x+850）＝900， 整理得：x2﹣23x+120＝0， 解得：x1＝8，x2＝15， 又∵销售价格不高于14元/kg， ∴x＝8． 答：当销售单价定为8元/kg时，销售这种狱猴桃的日利润恰好为900元． 16．（2023秋•电白区期末）从2020年开始，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件8元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足y＝﹣10x+400，设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）该商家每天想获得2200元的利润，又要减少库存，应将销售单价定为多少元？ 【答案】（1）W＝﹣10x2+480x﹣3200； （2）为了减少库存，将销售单价应定为18元． 【解答】解：（1）根据题意得：W＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣10x+400）， 化简得：W＝﹣10x2+480x﹣3200， 即函数关系为：W＝﹣10x2+480x﹣3200； （2）令W＝2200得：﹣10x2+500x﹣4000＝2200， 解得：x1＝18或x2＝30， 当x＝18时，销量：y＝﹣10x+400＝220（件）； 当x＝30时，销量：y＝﹣10x+400＝100（件）； ∵销量越高，越有利于减少库存， ∴为了减少库存，将销售单价应定为18元． 17．（2023秋•虹口区校级期末）为提高农民收入，某区一水果公园引进一种新型蟠桃，蟠桃进价为每公斤40元．上市后通过一段时间的试营销发现：当蟠桃销售单价在每公斤40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（公斤）与销售单价x（元/公斤）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示． （1）求y与x的函数解析式，并写出定义域； （2）如果想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为每公斤多少元． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意列方程组， 解得：． 则y与x的函数解析式是y＝﹣4x+360（40≤x≤90）． （2）由题意，得（x﹣40）y＝2400． 代入，得（x﹣40）（﹣4x+360）＝2400． 解得x1＝60，x2＝70． 答：销售单价应定为每公斤60元或70元． 18．（2023秋•青羊区校级期末）某商店欲购进A、B两种足球，若购进5个A种足球，3个B种足球，共需450元．若购进10个A种足球，8个B种足球，共需1000元． （1）购进A、B两种足球每个各需多少元？ （2）该商店购进足够多的两种足球，在销售中发现，A种足球售价为每件80元，每天可销售100个，现在决定对A种足球在每个80元的基础上降价销售，每个每降价1元，多售出20个，该商店对A种足球降价销售后每天销售量超过200个；B种足球销售状况良好，每天可获利7000元．为使销售A、B两种足球每天总获利为10000元，A种足球每个降价多少元？ 【答案】（1）购进A商品每件需60元，B商品每件需50元； （2）A种足球每件降价10元． 【解答】解：（1）设购进A足球每个需x元，B足球每个需y元， 则由题意得：， 解得：， 答：购进A商品每个需60元，B商品每个需50元． （2）设A种足球每个降价m元， 则由题意得：， 化简得：， ∴m＝10， ∴A种足球每个降价10元． 19．（2023秋•金牛区期末）某商贸公司以每千克60元的价格购进一种干果，原计划以每千克100元的价格销售，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜40）之间的关系如图所示： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】（1）为y＝10x+100； （2）商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元． 【解答】解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b 当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140， ∴， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100； （2）根据题意得，（100﹣60﹣x）（10x+100）＝5250， 整理得x2﹣30x+125＝0， 解得：x1＝5，x2＝25， 答：商贸公司要想获利5250元，则这种干果每千克应降价5元或25元． 【题型5 一元二次方程应用-每每问题】 20．（2023秋•龙港区期中）某商场经销A玩具，购进时的单价是60元．按照要求，销售时单件利润率不得超过40%．根据市场调查，销售单价定为80元时，每天可以卖出200件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出20件．求销售单价定为多少时，该商场每天销售A玩具可以获利2500元． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设销售单价定为x元，则每件的销售利润为（x﹣60）元，每天可以卖出200+20（80﹣x）＝（1800﹣20x）件， 根据题意得：（x﹣60）（1800﹣20x）＝2500， 整理得：x2﹣150x+5525＝0， 解得：x1＝65，x2＝85， ∵销售时利润不超过40%， ∴x≤60×（1+40%）＝84， ∴x＝85不符合题意，舍去． ∴x＝65． 答：单价定为65元时，该商场每天销售A玩具可以获利2500元． 21．（2023秋•沈阳月考）2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的销量逐月攀升，已知4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月平均增长率； （2）若此头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个，为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元/个？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：150（1+x）2＝216， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为20%； （2）设该品牌头盔的售价定为y元/个，则每个头盔的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为300﹣10（y﹣40）＝（700﹣10y）个， 根据题意得：（y﹣30）（700﹣10y）＝3960， 整理得：y2﹣100y+2496＝0， 解得：y1＝48，y2＝52， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴y＝48． 答：该品牌头盔的售价应定为48元/个． 22．（2023春•海州区校级月考）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月销售400个，2，3月这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月的销售量达到576个，设2，3两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2，3两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月起，在3月销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．这种台灯售价定为多少时，商场4月销售这种台灯获利4800元？ 【答案】（1）20%； （2）38元． 【解答】解：（1）设2，3两个月的销售量月平均增长率为x， 依题意，得：400（1+x）2＝576， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：2，3两个月的销售量月平均增长率为20%． （2）解法一：设这种台灯每个降价y元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元， 依题意，得：（40﹣y﹣30）（576+12y）＝4800， 整理，得：y2+38y﹣80＝0， 解得y1＝2，y2＝﹣40（不符合题意，舍去）， 当y＝2时，40﹣y＝38． 答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元． 解法二：设这种台灯售价定为y元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元， 依题意，得：（y﹣30）[576+12（40﹣y）]＝4800， 整理，得y2﹣118y+3040＝0， 解得y1＝38，y2＝80（不符合题意，舍去）． 答：该种台灯售价定为38元时，商场四月份销售这种台灯获利4800元． 23．（2023秋•阜新期中）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本． （1）当销售单价为90元时，每月的销售量为 　100　件． （2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可得， 当销售单价为90元时， 销售量为：（件）， 故答案为：100； （2）设售价为x元，由题意可， ， 解得：x1＝70，x2＝90， ∵使顾客获得更多的实惠， ∴x＝70， 答：销售单价应定为70元； 25．（2023秋•大东区期末）近年来，辽宁加快建设文化旅游强省，取得了显著成效．某景区的门票价格为每人80元，每天最多能接待2500名游客，在旅游旺季平均每天能售出1000张门票．为了吸引更多的游客，提高景区知名度，景区决定适当降低门票价格．经过调查发现，当票价每降低2元时，在旅游旺季每天可以多卖出100张票． （1）当每张门票降低5元时，每天能卖出 　1250　张门票； （2）若景区想每天获得12万元的门票收入，则每张门票应降低多少元？ 【答案】（1）1250；（2）20元． 【解答】解：（1）设每张门票降低5元，则每天可售出门票：＝1250（张）； 故答案为：1250． （2）设每张门票应降低x元， 由题意得：（80﹣x）（1000+50x）＝120000， 整理得：x2﹣60x+800＝0， 解得：x＝20或40， 当x＝20时，1000+50x＝1000+50×20＝2000＜2500，符合题意； 当x＝40时，1000+50x＝1000+50×40＝3000＞2500，不符合题意，舍去． 答：每张门票应降低20元． 26．（2023秋•文圣区月考）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设每件售价应定为x元，则每件的销售利润为（x﹣40）元，日销售量为20+×10＝（140﹣2x）件， 依题意得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20， 整理得：x2﹣110x+3000＝0， 解得：x1＝50，x2＝60（不合题意，舍去）． 答：每件售价应定为50元． 27．在国家积极政策的鼓励下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐年上升． （1）某汽车企业2020年到2022年这两年新能源汽车的销售总量增长了96%．求该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率； （2）某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价． 【答案】（1）40%； （2）21万元． 【解答】解：（1）设该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，该汽车企业2020年新能源汽车销售总量为a辆，则该汽车企业2022年新能源汽车销售总量为（1+96%）a辆， 根据题意得：a（1+x）2＝（1+96%）a， 解得：x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不符合题意，舍去）． 答：该汽车企业这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40%； （2）设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销售利润为（y﹣15）万元，平均每周可售出8+×1＝（58﹣2y）辆， 根据题意得：（y﹣15）（58﹣2y）＝96， 整理得：y2﹣44y+483＝0， 解得：y1＝21，y2＝23， 又∵要尽量让利于顾客， ∴y＝21． 答：下调后每辆汽车的售价为21万元． 【题型6 一元二次方程应用-几何面积问题】 26．（2023秋•阳城县期末）学校课外实践小组有一块长32cm，宽20cm的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向开劈二横一纵的三条等宽的小道，要使种植面积为540cm2，小道的宽是多少？若设小道的宽为x cm，根据题意，列方程（　　） A．32×20﹣20x﹣32x+2x2＝540 B．32×20﹣2x⋅32﹣20x＝540 C．（32﹣x）（20﹣2x）＝540 D．（32﹣2x）（20﹣x）＝540 【答案】C 【解答】解：设小道的宽为x cm， 则种植部分的长为（32﹣x）cm，宽为（20﹣2x）cm 由题意得：（32﹣x）（20﹣2x）＝540． 故选：C． 27．（2023秋•李沧区期末）如图，在一个长为80m，宽为50m的矩形停车场中有四块相同的矩形停车区域，它们的面积之和为2520m2，四块停车区域之间以及周边留有宽度相同的行车通道，如果设行车通道的宽度为x m，那么列出的方程为（　　） A．（80﹣x）（50﹣x）＝2520 B．（80﹣4x）（50﹣x）＝2520 C．（80﹣4x）（50﹣2x）＝2520 D．（80﹣5x）（50﹣2x）＝2520 【答案】D 【解答】解：根据题意，可得（80﹣5x）（50﹣2x）＝2520， 故选：D． 28．（2023秋•永修县期末）如图所示，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为 　2　米． 【答案】2． 【解答】解：∵道路的宽为x米， ∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形． 依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540， 解得：x1＝2，x2＝50（舍去）． 故答案为：2． 29．（2023秋•新兴县期末）如图，一农户要建一个矩形菜地，为了节省材料，菜地的一边利用长为10米的墙，另外三边用长为19米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门，当所围成的矩形菜地的长、宽分别是多少时，菜地面积为48平方米？ 【答案】长为8米，宽为6米． 【解答】解：设BC的长为x米，则AB的长为米， 根据题意得：x•＝48， 整理得：x2﹣20x+96＝0， 解得：x1＝8，x2＝12， ∵墙长10米， ∴x＝8， ∴＝＝6（米）． 答：当矩形菜地的长为8米，宽为6米时，菜地面积为48平方米． 30．（2022秋•环江县期末）某公园准备在一块长为42m，宽为30m的长方形花园内修建一个底部为正方形的温室花房（如图所示），在温室花房四周修四条宽度相同，且与温室花房各边垂直的小路，温室花房边长是小路宽度的6倍，花园内其他的空白地方铺草坪，设小路宽度为x m． （1）用含x的代数式表示花园内温室花房的面积和小路面积； （2）若草坪面积为1164m2时，求这时道路宽度． 【答案】（1）温室花房的面积为36x2 m2，小路的面积为（72x﹣12x2）m2； （2）1m． 【解答】解：（1）∵温室花房边长是小路宽度的6倍，小路宽度为x m， ∴温室花房边长为6x m， ∴温室花房的面积为6x•6x＝36x2（m2），小路的面积为（42﹣6x+30﹣6x）•x＝（72x﹣12x2）（m2）． 答：温室花房的面积为36x2 m2，小路的面积为（72x﹣12x2）m2． （2）依题意得：42×30﹣36x2﹣（72x﹣12x2）＝1164， 整理得：x2+3x﹣4＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣4（不符合题意，舍去）． 答：当草坪面积为1164m2时，道路的宽度为1m． 【题型7 一元二次方程应用-动点与几何问题】 31．（2023秋•仁寿县期末）如图，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，△PCQ的面积等于4． A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】A 【解答】解：设t秒后，△PCQ的面积等于4， 由题意得：BP＝t，CQ＝2t，则CP＝5﹣t， ∵S△PCQ＝CQ•CP， ∴4＝×2t×（5﹣t）， 整理得：t2﹣5t+4＝0， 解得：t1＝1，t2＝4（不合题意，舍去）， 即1秒后，△PCQ的面积等于4， 故选：A． 32．（2023秋•佛山期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）． （1）当运动时间为t（s）时，CP＝　2t　cm，CQ＝　（16﹣4t）　cm；（用含t的代数式表示） （2）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值． 【答案】（1）2t，（16﹣4t）； （2）t的值为2． 【解答】解：（1）当运动时间为t（s）时，CP＝2t cm，AQ＝4t cm， ∴CQ＝AC﹣AQ＝（16﹣4t）cm． 故答案为：2t，（16﹣4t）； （2）根据题意得：CP•CQ＝×BC•AC， 即×2t•（16﹣4t）＝××8×16， 整理得：t2﹣4t+4＝0， 解得：t1＝t2＝2． 答：t的值为2． 33．（2023秋•阿荣旗期末）如图所示，A、B、C、D是矩形的四个顶点，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动 （1）P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？ （2）P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当运动时间为t秒时，PB＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm． （1）依题意，得：×（16﹣3t+2t）×6＝33， 解得：t＝5． 答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2． （2）过点Q作QM⊥AB于点M，如图所示． ∵PM＝PB﹣CQ＝|16﹣5t|cm，QM＝6cm， ∴PQ2＝PM2+QM2，即102＝（16﹣5t）2+62， 解得：t1＝，t2＝（不合题意，舍去）． 答：P，Q两点从出发开始到秒时，点P和点Q的距离第一次是10cm． 34．（2023秋•青白江区期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问： （1）经过多长时间，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】（1）经过2s或4s时，△PBQ的面积等于8cm2； （2）不会，理由见详解． 【解答】解：（1）点P的速度是1cm/s，点Q的速度是2cm/s，点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴点P从点A到点B的时间为6÷1＝6秒，点Q从点B到点C的时间为8÷2＝4秒，设点P，Q运动的时间为t（0＜t≤4）， ∴AP＝t，BQ＝2t，则BP＝6﹣t， ∴，即t2﹣6t+8＝0，解方程得，t1＝2，t2＝4， ∴经过2s或4s时，△PBQ的面积等于8cm2． （2）在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴， 设运动时间为a秒，根据题意得，， ∴a2﹣6a+12＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×12＝36﹣48＝﹣12＜0，关于a的一元二次方程无解， ∴不存在△PBQ的面积会等于△ABC面积的一半． 【易错点1 由实际问题抽象出一元二次方程】 1．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）2＝182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182 C．50（1+2x）＝182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）＝182 【答案】B 【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2， ∴50+50（1+x）+50（1+x）2＝182． 故选：B． 2．元旦节班上数学兴趣小组的同学，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝90 B．x（x﹣1）＝2×90 C．x（x﹣1）＝90÷2 D．x（x+1）＝90 【答案】A 【解答】解：设数学兴趣小组人数为x人， 每名学生送了（x﹣1）张， 共有x人， 根据“共互送了90张贺年卡”， 可得出方程为x（x﹣1）＝90． 故选：A． 3．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝10 【答案】B 【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）； 依题意，可列方程为：＝10； 故选：B． 4．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x各队参赛，可列出的方程为　x（x﹣1）＝28　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：x（x﹣1）＝28． 故答案为：x（x﹣1）＝28． 【易错点2 一元二次方程的应用】 5．有一块长28cm、宽20cm的长方形纸片，要在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为180cm2，为了有效利用材料，则截去的小正方形的边长是（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【答案】C 【解答】解：设截去的小正方形的边长是xcm，由题意得 （28﹣2x）（20﹣2x）＝180， 解得：x1＝5，x2＝19， ∵20﹣2x＞0， ∴x＜10． ∴x2＝19，不符合题意，应舍去． ∴x＝5． ∴截去的小正方形的边长是5cm． 故选：C． 6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，动点P从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿边AC向点C运动，同时动点Q从点C开始，以每秒2个单位长度的速度沿C→B→A的折线在CB、BA边上向点A运动，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ．在运动过程中（Q点在C、B、A三点除外），线段PQ将△ABC分成一个三角形和一个四边形，若四边形的面积为三角形面积的2倍，则运动的时间为　4﹣或4+2　秒． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC＝10 设运动的时间为t，则AP＝t，点Q所走的路程为2t， 1）当点Q在BC线段上运动时，0＜t＜5， 如图所示，过点Q作QG⊥AC，交AC于点G， 则sinC＝＝ ∴QG＝×2t＝ ∵S△ABC＝6×8÷2＝24 若四边形的面积为三角形面积的2倍，则S△PQC＝24×＝8 ∴（8﹣t）×÷2＝8 化简得3t2﹣24t+40＝0 解得t1＝4﹣，t2＝4+（舍） 2）当点Q在BA线段上运动时，5＜t＜8， 如图所示， S△APQ＝AP•AQ＝t（10+6﹣2t）＝8 化简得：t2﹣8t+8＝0 解得t3＝4﹣2（舍），t4＝4+2． 故答案为：4﹣或4+2． 7．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得： 128+128（1+x）+128（1+x）2＝608 化简得：4x2+12x﹣7＝0 ∴（2x﹣1）（2x+7）＝0， ∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍） 答：进馆人次的月平均增长率为50%． （2）∵进馆人次的月平均增长率为50%， ∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜500 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 8．如图，利用一面墙（墙EF最长可利用28米），围成一个矩形花园ABCD．与墙平行的一边BC上要预留2米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料，当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；能否围成480平方米的矩形花园，为什么？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得： （60﹣x+2）x＝300， x2﹣62x+600＝0， 解这个方程得：x1＝12，x2＝50， ∵28＜50， ∴x2＝50（不合题意，舍去）， ∴x＝12． （60﹣x+2）x＝480， x2﹣62x+960＝0， 解这个方程得：x1＝32，x2＝30， ∵墙EF最长可利用28米， 而28＜30＜32， ∴x1＝32，x2＝30均不合题意，舍去， 答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；不能围成480平方米的矩形花园． 9．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，BC＝6m，AC＝8m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，已知点P移动的速度是20cm/s，点Q移动的速度是10cm/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设运动时间为t秒，则PC＝8﹣0.2t，QC＝6﹣0.1t， 由题意得，（8﹣0.2t）（6﹣0.1t）＝××6×8， 整理得，t2﹣100t+900＝0， 解得t1＝10，t2＝90（舍去）， 答：10秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的． 10．某租赁公司拥有汽车100辆．据统计，每辆车的月租金为4000元时，可全部租出，每辆车的月租金每增加100元，未租出的车将增加1辆，租出的车每辆每月的维护费为500元，未租出的车辆每月只需维护费100元． （1）当每辆车的月租金为4800元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）是多少万元？ （2）规定每辆车月租金不能超过7200元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到40.4万元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）100﹣＝92（辆）， （4800﹣500）×92﹣100×（100﹣92）＝394800（元）， 394800元＝39.48万元． 答：当每辆车的月租金为4800元时，能租出92辆，此时租赁公司的月收益是39.48万元． （2）40.4万元＝404000元 设上涨x个100元，由题意得： （4000+100x﹣500）（100﹣x）﹣100x＝404000 整理得：x2﹣64x+540＝0 解得：x1＝54，x2＝10 ∵规定每辆车月租金不能超过7200元， ∴取x＝10，则4000+10×100＝5000（元） 答：每辆车的月租金定为5000元时，租赁公司的月收益可达到40.4万元 11．某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． （1）若售价下降1元，每月能售出 　800　个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能售出 　（600+200x）　个台灯． （2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价． （3）月获利能否达到9600元，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）若售价下降1元，每月能售出：600+200＝800（个）， 若售价下降x元（x＞0），每月能售出（600+200x）个． 故答案为800，（600+200x） （2）（40﹣30﹣x）（600+200x）＝8400 整理，得 x2﹣7x+12＝0 解得x1＝3，x2＝4， 因为库存1210个，降价3元或4元获利恰好为8400元， 但是实际销量要够卖，需小于等于1210个， 当x＝4时，1400＞1210（舍去） 当x＝3时，1200＜1210，可取， 所以售价为37元 答：每个台灯的售价为37元． （3）月获利不能达到9600元，理由如下： （40﹣30﹣x）（600+200x）＝9600 整理，得 x2﹣7x+18＝0 ∵Δ＝49﹣72＝﹣23＜0 方程无实数根． 答：月获利不能达到9600元． 12．甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有81人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设每天平均一个人传染了x人，由题意，得 x（x+1）+x+1＝81， 解得：x1＝8，x2＝﹣10（舍去）， 81+81×8 ＝81+648 ＝729（人）． 故每天平均一个人传染了8人，在经过3天的传染后，这个地区一共将会有729人患甲型流感． 13．某电子商店在销售某型号电话手表时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号电话手表8块与将标价直降100元销售7块获利相同． （1）求该型号电话手表每块进价和标价分别是多少元？ （2）若该型号电话手表的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51块；若每块电话手表每降价20元，每月可多售出3块．若希望尽量减少库存，每月获利要想达到26400元，则该型号电话手表每块应降价多少元？ 【答案】（1）型号手表的进价为1000元，标价为1500元． （2）尽量减少库存，每月获利要想达到26400元，则该型号电话手表每块应降价100元． 【解答】解：（1）设该型号手表的进价为x元，则标价为（1+50%）x元， 依题意，得：8×[0.9×（1+50%）x﹣x]＝7×[（1+50%）x﹣100﹣x]， 解得：x＝1000， ∴（1+50%）x＝1500． 答：该型号手表的进价为1000元，标价为1500元． （2）设该型号手表降价y元，则平均每月可售出（51+y）块， 依题意，得：（1500﹣1000﹣y）（51+y）＝26400， 整理，得：y2﹣160y+6000＝0， 解得：y1＝100，y2＝60． 答：尽量减少库存，每月获利要想达到26400元，则该型号电话手表每块应降价100元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$