专题2.2 解一元二次方程（6个考点8个易错点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

专题2.2 解一元二次方程（6个考点8个易错点） 【考点1 解一元二次方程-直接平方】 【考点2 解一元二次方程-配方法】 【考点3 解一元二次方程-公式法】 【考点4 解一元二次方程-因式分解法】 【考点5 根的判别式】 【考点6 根与系数的关系】 【易错点1 解一元二次方程-直接开平方法】 【易错点2 解一元二次方程-配方法】 【易错点3 解一元二次方程-公式法】 【易错点4 解一元二次方程-因式分解法】 【易错点5 换元法解一元二次方程】 【易错点6 根的判别式】 【易错点7根与系数的关系】 【易错点8 配方法的应用】 【题型1解一元二次方程-直接平方】 1．一元二次方程x2﹣1＝0的解是（　　） A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣1 2．方程x2﹣8＝0的解为（　　） A．x1＝4，x2＝﹣4 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝0，x2＝2 D．x＝2 3．方程48﹣3（x﹣2）2＝0的解为 　 ． 4．一元二次方程（x+1）2＝4的解为 　 　． 5．对于实数p，q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如max{2，3}＝3，若max{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　 　． 6．用适当方法解方程：2（x﹣1）2﹣16＝0 7．（x+1）2﹣16＝0． 【题型2解一元二次方程-配方法】 8．用配方法解方程x2+10x+9＝0，配方正确的是（　　） A．（x+5）2＝16 B．（x+5）2＝34 C．（x﹣5）2＝16 D．（x+5）2＝25 9．用配方法解方程x2﹣4x＝6时，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝2 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣2）2＝2 D．（x﹣2）2＝10 10．一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方为（x﹣4）2＝k；则k的值为（　　） A．14 B．15 C．18 D．20 11．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（　　） A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣1）2＝9 12．用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0，配方后方程转化为（x+m）2＝n的形式，则m，n的值分别是（　　） A．﹣2，6 B．2，﹣6 C．6，﹣2 D．﹣6，2 13．用配方法将方程3x2﹣4x﹣2＝0写成形如a（x+m）2+n＝0的形式，则m，n的值分别是（　　） A．m＝，n＝ B．m＝﹣，n＝﹣ C．m＝2，n＝6 D．m＝2，n＝﹣2 14．用配方法解方程时，下列配方错误的是（　　） A．x2+6x﹣7＝0化为（x+3）2＝0 B．x2﹣5x﹣4＝0化为 C．x2+2x﹣99＝0化为（x+1）2＝100 D．3x2﹣4x﹣2＝0化为 15.（2023秋•闵行区期末）用配方法解方程：3x2+6x﹣1＝0． 16．（2023秋•信丰县期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0． 17．（2023秋•未央区期末）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0． 18．（2023秋•松江区期末）用配方法解3x2﹣2x﹣1＝0． 19．（2023秋•嘉定区期末）用配方法解方程：2x2﹣4x﹣1＝0． 【题型3 解一元二次方程-公式法】 20．（2023秋•绥阳县期末）若x＝是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 21．（2023秋•武昌区期末）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A．b2﹣4ac≥0 B．b2﹣4ac≤0 C．b2﹣4ac＞0 D．b2﹣4ac＜0 22．（2023秋•容县期中）用公式法解方程x2﹣2＝﹣3x时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，﹣2，﹣3 B．1，3，﹣2 C．1，﹣3，﹣2 D．1，﹣2，﹣3 22．（2023秋•漳州期中）用公式法解方程2x2+5x﹣1＝0，所得解正确的是（　　） A． B． C． D． 23．（2023秋•珠海校级期中）用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二项式系数，一次项系数，常数项分别为（　　） A．6，5，1 B．3，5，﹣1 C．3，5，1 D．3，﹣5，1 24．（2023秋•阿荣旗期末）用公式法解方程：x2﹣3x+1＝0． 25．（2023秋•富县期中）用公式法解方程：4x2+2x﹣1＝0． 【题型4 解一元二次方程-因式分解法】 26．（2023秋•丰满区期末）一元二次方程x（x+2）＝0的解是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝﹣2，x2＝0 27．（2023秋•常德期末）解方程：x2﹣3x＝x﹣4． 28．（2023秋•灵丘县期末）（1）解方程：x（2x﹣1）＝4x﹣2． （2）解方程：x2+4x+3＝0． 29．（2023秋•新市区校级期末）解方程： （1）x2﹣8x+15＝0； （2）x2+4x﹣7＝0． 30．（2023秋•花都区期末）解方程x2﹣2x+1＝16． 31．（2023秋•东莞市期末）解方程：x2﹣7x﹣8＝0． 32．（2023秋•武侯区期末）解方程： （1）x2+2x＝1； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 33．（2023秋•秦淮区期末）解下列方程： （1）x2+2x﹣4＝0； （2）x（x﹣3）＝3﹣x． 【考点5 根的判别式】 34．（2023秋•郑州期末）方程﹣2x2+4x﹣3＝0解的情况为（　　） A．没有实数根 B．有两个相同的实数根 C．有两个不同的实数根 D．只有一个实数根 35．（2023秋•榆阳区校级期末）关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣3＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定根的情况 36．（2023秋•金山区期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0无实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1 37．（2023秋•静安区校级期末）如果方程mx2﹣6x+1＝0有实数根，那么m的取值范围是（　　） A．m＜9且m≠0 B．m≤9且m≠0 C．m＜9 D．m≤9 38．（2023秋•西青区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，则此方程的根是（　　） A．x1＝x2＝5 B．x1＝x2＝2 C．x1＝x2＝1 D．x1＝x2＝0 【考点6 根与系数的关系】 39．（2023秋•泗水县期末）若x＝﹣2是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 40．（2023秋•德宏州期末）已知x1，x2是一元二次方程x2+2023x﹣2024＝0的两个根，则x1x2的值为（　　） A．﹣2023 B．2023 C．﹣2024 D．2024 41．（2023秋•衡山县期末）设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2024 B．2021 C．2023 D．2022 42．（2023秋•洪山区期末）若一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个不相等的实数根为x1，x2，则的值是（　　） A． B． C． D． 【易错点1 解一元二次方程-直接开平方法】 1．若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（　　） A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4 2．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（　　） A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8 3．对于实数a，b，新定义一种运算“※”，a※b＝．若x※2＝5，则x的值为 　　． 【易错点2 解一元二次方程-配方法】 4．将一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0配方后所得的方程是（　　） A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣2）2＝2 5．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 6．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max（a，b）表示a，b中的较大值，如：max（3，5）＝5，因此，max（﹣3，﹣5）＝﹣3：按照这个规定，若max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5，则x的值是（　　） A．5 B．5或 C．﹣1或 D．5或 7．选择适当方法解一元二次方程： （1）（x﹣5）2﹣36＝0； （2）2x2+4x﹣5＝0． 【易错点3 解一元二次方程-公式法】 8．x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0 9．解方程： （1）x2﹣x﹣＝0； （2）x（x﹣4）＝8﹣2x． 【易错点4 解一元二次方程-因式分解法】 10．若菱形ABCD的一条对角线长为12，边CD的长是方程x2﹣12x+35＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　） A．20 B．24 C．28 D．20或28 【易错点5 换元法解一元二次方程】 11．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 【易错点6 根的判别式】 12．关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数 C．只有一个实数根 D．没有实数根 13．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥且k≠1 14．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2⋅i＝（﹣1）⋅i＝﹣i，i4＝i2•i2＝（﹣1）×（﹣1）＝1，则i6＝　 　． 15．已知关于x的方程（m﹣2）x2﹣3x+2＝0． （1）当m＝3时，求原方程的解． （2）若原方程有两个相等的实数根，求m的值． 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 【易错点7根与系数的关系】 17．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（t+1）x+t2+5＝0的两个实数根，若+＝36，则t的值是（　　） A．﹣7或3 B．﹣7 C．3 D．﹣3或7 18．一元二次方程2x2﹣kx+40＝0的一个根是x＝5，这个方程的两个根分别是菱形的两条对角线，则该菱形的面积是（　　） A．22 B．20 C．16 D．10 【易错点8 配方法的应用】 19．已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，则a+b﹣c的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 20．已知代数式x2+2x+3可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+2，根据这种变形方法，代数式y2﹣6y+10的最小值是 　　． 21．已知x、y为实数，且满足x2﹣xy+y2＝2，记W＝x2+xy+y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝　　． 22．先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴m＝﹣3，n＝3． （1）若x2+2xy+5y2﹣4y+1＝0，求x﹣y的值； （2）已知a，b，c是等腰△ABC的三条边长，且a，b满足a2+b2+58＝14a+6b，求△ABC的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 解一元二次方程（6个考点8个易错点） 【考点1 解一元二次方程-直接平方】 【考点2 解一元二次方程-配方法】 【考点3 解一元二次方程-公式法】 【考点4 解一元二次方程-因式分解法】 【考点5 根的判别式】 【考点6 根与系数的关系】 【易错点1 解一元二次方程-直接开平方法】 【易错点2 解一元二次方程-配方法】 【易错点3 解一元二次方程-公式法】 【易错点4 解一元二次方程-因式分解法】 【易错点5 换元法解一元二次方程】 【易错点6 根的判别式】 【易错点7根与系数的关系】 【易错点8 配方法的应用】 【题型1解一元二次方程-直接平方】 1．一元二次方程x2﹣1＝0的解是（　　） A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣1 【答案】D 【解答】解：∵x2＝1， x＝±1， 即x1＝﹣1，x2＝1， 故选：D． 2．方程x2﹣8＝0的解为（　　） A．x1＝4，x2＝﹣4 B．x1＝2，x2＝﹣2 C．x1＝0，x2＝2 D．x＝2 【答案】B 【解答】解：先移项得x2＝8， 两边开方得x＝±2， 即x1＝2，x2＝﹣2． 故选：B． 3．方程48﹣3（x﹣2）2＝0的解为 　x1＝6，x2＝﹣2　． 【答案】x1＝6，x2＝﹣2． 【解答】解：∵48﹣3（x﹣2）2＝0， ∴（x﹣2）2＝16， ∴x﹣2＝±4， ∴x1＝6，x2＝﹣2． 故答案为：x1＝6，x2＝﹣2． 4．一元二次方程（x+1）2＝4的解为 　x1＝1，x2＝﹣3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（x+1）2＝4 x+1＝±2 x＝±2﹣1 x1＝1，x2＝﹣3， 故答案为：x1＝1，x2＝﹣3． 5．对于实数p，q，我们用符号max{p，q}表示p，q两数中较大的数，如max{2，3}＝3，若max{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝　0或1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：当（x﹣1）2＜x2，即x＞时，方程为x2＝1， 开方得：x＝1或x＝﹣1（舍去）； 当（x﹣1）2＞x2，即x＜时，方程为（x﹣1）2＝1， 开方得：x﹣1＝1或x﹣1＝﹣1（舍去）， 综上，x＝0或2（舍去）， 故答案为：0或1． 6．用适当方法解方程：2（x﹣1）2﹣16＝0 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵2（x﹣1）2﹣16＝0， ∴（x﹣1）2＝8， ∴x＝1±2； 7．（x+1）2﹣16＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵（x+1）2﹣16＝0， ∴（x+1）2＝16， 则x+1＝4或x+1＝﹣4， 解得：x＝3或x＝﹣5． 【题型2解一元二次方程-配方法】 8．用配方法解方程x2+10x+9＝0，配方正确的是（　　） A．（x+5）2＝16 B．（x+5）2＝34 C．（x﹣5）2＝16 D．（x+5）2＝25 【答案】A 【解答】解：x2+10x+9＝0， x2+10x＝﹣9， x2+10x+52＝﹣9+52， （x+5）2＝16． 故选：A． 9．用配方法解方程x2﹣4x＝6时，配方后正确的是（　　） A．（x+2）2＝2 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣2）2＝2 D．（x﹣2）2＝10 【答案】D 【解答】解：x2﹣4x＝6， x2﹣4x+4＝10， （x﹣2）2＝10， 故选：D． 10．一元二次方程x2﹣8x﹣2＝0，配方为（x﹣4）2＝k；则k的值为（　　） A．14 B．15 C．18 D．20 【答案】C 【解答】解：x2﹣8x﹣2＝0， x2﹣8x+42＝2+42， （x﹣4）2＝18， ∴k＝18， 故选：C． 11．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（　　） A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣1）2＝9 【答案】B 【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0， x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝5+1， ∴（x﹣1）2＝6． 故选：B． 12．用配方法解方程x2﹣4x﹣2＝0，配方后方程转化为（x+m）2＝n的形式，则m，n的值分别是（　　） A．﹣2，6 B．2，﹣6 C．6，﹣2 D．﹣6，2 【答案】A 【解答】解：x2﹣4x﹣2＝0， x2﹣4x＝2， x2﹣4x+4＝2+4， （x﹣2）2＝6， ∴m＝﹣2，n＝6， 故选：A． 13．用配方法将方程3x2﹣4x﹣2＝0写成形如a（x+m）2+n＝0的形式，则m，n的值分别是（　　） A．m＝，n＝ B．m＝﹣，n＝﹣ C．m＝2，n＝6 D．m＝2，n＝﹣2 【答案】B 【解答】解：3x2﹣4x﹣2＝0， 变形得3（x2﹣x）﹣2＝0， 3（x2﹣x+）﹣﹣2＝0， 3（x2﹣x+）﹣﹣2＝0， 3（x﹣）2﹣＝0， ∵原式可写为a（x+m）2+n＝0的形式， ∴m＝﹣，n＝﹣． 故选B． 14．用配方法解方程时，下列配方错误的是（　　） A．x2+6x﹣7＝0化为（x+3）2＝0 B．x2﹣5x﹣4＝0化为 C．x2+2x﹣99＝0化为（x+1）2＝100 D．3x2﹣4x﹣2＝0化为 【答案】A 【解答】解：A、x2+6x﹣7＝0， 移项得：x2+6x＝7， 配方得：x2+6x+9＝16，即（x+3）2＝16，本选项正确； B、x2﹣5x﹣4＝0， 移项得：x2﹣5x＝4， 配方得：x2﹣5x+＝，即（x﹣）2＝，本选项错误； C、x2+2x﹣99＝0， 移项得：x2+2x＝99， 配方得：x2+2x+1＝100，即（x+1）2＝100，本选项错误； D、3x2﹣4x﹣2＝0， 方程化简得：x2﹣x＝， 配方得：x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝，本选项错误， 故选：A． 15.（2023秋•闵行区期末）用配方法解方程：3x2+6x﹣1＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：把方程x2+2x﹣＝0的常数项移到等号的右边，得 x2+2x＝， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得 x2+2x+1＝+1 配方得（x+1）2＝， 开方得x+1＝±， 解得x＝±﹣1． 16．（2023秋•信丰县期末）用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方程变形得：x2﹣4x＝5，即x2﹣4x+4＝9， 变形得：（x﹣2）2＝9， 开方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3， 解得：x1＝5，x2＝﹣1． 17．（2023秋•未央区期末）用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x＝﹣2， 配方得：x2﹣4x+4＝﹣2+4， （x﹣2）2＝2， 开方得：x﹣2＝±， x1＝2+，x2＝2﹣． 18．（2023秋•松江区期末）用配方法解3x2﹣2x﹣1＝0． 【答案】． 【解答】解：3x2﹣2x﹣1＝0， 移项得3x2﹣2x＝1， 二次项系数化成1得， 配方得，即 ∴， 解得，． 19．（2023秋•嘉定区期末）用配方法解方程：2x2﹣4x﹣1＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：2x2﹣4x﹣1＝0， 2x2﹣4x＝1， x2﹣2x＝， 配方得：x2﹣2x+1＝+1， （x﹣1）2＝， 开方得：x﹣1＝， 解得：x1＝，x2＝． 【题型3 解一元二次方程-公式法】 20．（2023秋•绥阳县期末）若x＝是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A．3x2+2x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．3x2﹣2x﹣1＝0 【答案】D 【解答】解：∵x＝是某个一元二次方程的根， ∴此一元二次方程二次项系数a＝3，一次项系数b＝﹣2，常数项c＝﹣1， ∴这个一元二次方程可以是3x2﹣2x﹣1＝0， 故选：D． 21．（2023秋•武昌区期末）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A．b2﹣4ac≥0 B．b2﹣4ac≤0 C．b2﹣4ac＞0 D．b2﹣4ac＜0 【答案】A 【解答】解：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）能用公式法求解，则b2﹣4ac≥0；故选：A． 22．（2023秋•容县期中）用公式法解方程x2﹣2＝﹣3x时，a，b，c的值依次是（　　） A．0，﹣2，﹣3 B．1，3，﹣2 C．1，﹣3，﹣2 D．1，﹣2，﹣3 【答案】B 【解答】解：整理得：x2+3x﹣2＝0， 这里a＝1，b＝3，c＝﹣2． 故选：B． 22．（2023秋•漳州期中）用公式法解方程2x2+5x﹣1＝0，所得解正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：2x2+5x﹣1＝0 ∴a＝2，b＝5，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝25+8＝33＞0， ∴； 故选：A． 23．（2023秋•珠海校级期中）用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二项式系数，一次项系数，常数项分别为（　　） A．6，5，1 B．3，5，﹣1 C．3，5，1 D．3，﹣5，1 【答案】C 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的求根公式为：，一元二次方程的根为， ∴2a＝6，﹣b＝﹣5，b2﹣4ac＝13， ∴a＝3，b＝5，52﹣4×3c＝13， ∴c＝1， ∴此方程的二项式系数，一次项系数，常数项分别为：3，5，1， 故选：C． 24．（2023秋•阿荣旗期末）用公式法解方程：x2﹣3x+1＝0． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：x2﹣3x+1＝0， 这里a＝1，b＝﹣3，c＝1， ∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0， ∴x＝＝， 则x1＝，x2＝． 25．（2023秋•富县期中）用公式法解方程：4x2+2x﹣1＝0． 【答案】． 【解答】解：∵4x2+2x﹣1＝0， ∴a＝4，b＝2，c＝﹣1， ∴Δ＝22﹣4×4×（﹣1）＝4+16＝20＞0， ∴， 解得． 【题型4 解一元二次方程-因式分解法】 26．（2023秋•丰满区期末）一元二次方程x（x+2）＝0的解是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝2，x2＝0 D．x1＝﹣2，x2＝0 【答案】D 【解答】解：x（x+2）＝0， x＝0或x+2＝0， 所以x1＝0，x2＝﹣2． 故选：D． 27．（2023秋•常德期末）解方程：x2﹣3x＝x﹣4． 【答案】x1＝x2＝2． 【解答】解：x2﹣3x＝x﹣4， x2﹣3x﹣x+4＝0， x2﹣4x+4＝0， （x﹣2）2＝0， ∴x1＝x2＝2． 28．（2023秋•灵丘县期末）（1）解方程：x（2x﹣1）＝4x﹣2． （2）解方程：x2+4x+3＝0． 【答案】（1）x1＝，x2＝2； （2）x1＝﹣3，x2＝﹣1． 【解答】解：（1）x（2x﹣1）＝4x﹣2， x（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）＝0， （2x﹣1）（x﹣2）＝0， 2x﹣1＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝，x2＝2； （2）x2+4x+3＝0， （x+3）（x+1）＝0， x+3＝0或x+1＝0， 所以x1＝﹣3，x2＝﹣1． 29．（2023秋•新市区校级期末）解方程： （1）x2﹣8x+15＝0； （2）x2+4x﹣7＝0． 【答案】（1）x1＝3，x2＝5； （2）x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣． 【解答】解：（1）x2﹣8x+15＝0， （x﹣3）（x﹣5）＝0， x﹣3＝0或x﹣5＝0， 解得x1＝3，x2＝5； （2）x2+4x﹣7＝0， x2+4x＝7， x2+4x+4＝7+4， （x+2）2＝11， x+2＝±， 解得x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣． 30．（2023秋•花都区期末）解方程x2﹣2x+1＝16． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵x2﹣2x﹣15＝0， ∴（x﹣5）（x+3）＝0， ∴x﹣5＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣3． 31．（2023秋•东莞市期末）解方程：x2﹣7x﹣8＝0． 【答案】x1＝﹣1，x2＝8． 【解答】解：∵x2﹣7x﹣8＝0， ∴（x+1）（x﹣8）＝0， 则x+1＝0或x﹣8＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝8． 32．（2023秋•武侯区期末）解方程： （1）x2+2x＝1； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）． 【答案】（1）x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣； （2）x1＝，x2＝﹣0.5． 【解答】解：（1）∵x2+2x＝1， ∴x2+2x+1＝2， ∴（x+1）2＝2， ∴x+1＝或x+1＝， 解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣； （2）4x（2x+1）＝3（2x+1）， 4x（2x+1）﹣3（2x+1）＝0， （4x﹣3）（2x+1）＝0， ∴4x﹣3＝0或2x+1＝0， 解得x1＝，x2＝﹣0.5． 33．（2023秋•秦淮区期末）解下列方程： （1）x2+2x﹣4＝0； （2）x（x﹣3）＝3﹣x． 【答案】（1）x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣； （2）x1＝3，x2＝﹣1． 【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0， x2+2x＝4， x2+2x+1＝5， （x+1）2＝5， x+1＝±， 所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣； （2）x（x﹣3）＝3﹣x， x（x﹣3）+x﹣3＝0， （x﹣3）（x+1）＝0， x﹣3＝0或x+1＝0， 所以x1＝3，x2＝﹣1． 【考点5 根的判别式】 34．（2023秋•郑州期末）方程﹣2x2+4x﹣3＝0解的情况为（　　） A．没有实数根 B．有两个相同的实数根 C．有两个不同的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【解答】解：依题意，得Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×（﹣2）×（﹣3）＝﹣8＜0， 所以方程没有实数根． 故选：A． 35．（2023秋•榆阳区校级期末）关于x的一元二次方程x2+（m﹣2）x﹣3＝0的根的情况为（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定根的情况 【答案】A 【解答】解：∵b2﹣4ac＝（m﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝（m﹣2）2+12＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 36．（2023秋•金山区期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0无实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1 【答案】A 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0无实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4m＝4﹣4m＜0， 解得：m＞1． 故选：A． 37．（2023秋•静安区校级期末）如果方程mx2﹣6x+1＝0有实数根，那么m的取值范围是（　　） A．m＜9且m≠0 B．m≤9且m≠0 C．m＜9 D．m≤9 【答案】D 【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣6x+1＝0有实数根， ∴当方程是一元二次方程时，Δ＝（﹣6）2﹣4m≥0， 解得：m≤9，且m≠0； 当方程是一元一次方程时，则m＝0， 故选：D． 38．（2023秋•西青区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个相等的实数根，则此方程的根是（　　） A．x1＝x2＝5 B．x1＝x2＝2 C．x1＝x2＝1 D．x1＝x2＝0 【答案】B 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（m﹣1）＝0， 解得m＝5， 此时方程化为x2﹣4x+4＝0， （x﹣2）2＝0， x﹣2＝0， 所以x1＝x2＝2． 故选：B． 【考点6 根与系数的关系】 389．（2023秋•泗水县期末）若x＝﹣2是方程x2+x+m＝0的一个根，则此方程的另一个根是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解答】解：设另一个根为x2， 依题意x1＝﹣2，x1+x2＝﹣1， ∴x2＝1， 故选：C． 40．（2023秋•德宏州期末）已知x1，x2是一元二次方程x2+2023x﹣2024＝0的两个根，则x1x2的值为（　　） A．﹣2023 B．2023 C．﹣2024 D．2024 【答案】C 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2023x﹣2024＝0的两个根， ∴x1x2＝﹣2024． 故选：C． 41．（2023秋•衡山县期末）设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　） A．2024 B．2021 C．2023 D．2022 【答案】D 【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2023＝0的实数根， ∴a2+a﹣2023＝0， ∴a2＝﹣a+2023， ∴a2+2a+b＝﹣a+2023+2a+b＝2023+a+b， ∵a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣1， ∴a2+2a+b＝2023+（﹣1）＝2022． 故选：D． 42．（2023秋•洪山区期末）若一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个不相等的实数根为x1，x2，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两个不相等的实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣3， ∴ ＝ ＝﹣． 故选：C． 【易错点1 解一元二次方程-直接开平方法】 1．若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（　　） A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4 【答案】D 【解答】解：∵（x﹣a）2﹣4＝b， ∴（x﹣a）2＝b+4， ∵方程（x﹣a）2＝b+4有实数根， ∴b+4≥0， ∴b≥﹣4， 故选：D． 2．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（　　） A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8 【答案】C 【解答】解：由（a2+b2﹣3）2＝25，得 a2+b2﹣3＝±5， 所以 a2+b2＝3±5， 解得 a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2（不合题意，舍去）． 故选：C． 3．对于实数a，b，新定义一种运算“※”，a※b＝．若x※2＝5，则x的值为 　﹣3　． 【答案】﹣3． 【解答】解：分两种情况： 当x＜2时， ∵x※2＝5， ∴x2﹣2×2＝5， ∴x2＝9， ∴x1＝3（舍去），x2＝﹣3； 当x≥2时， ∵x※2＝5， ∴22﹣2x＝5， 解得：x＝﹣（舍去）； 综上所述：x的值为﹣3， 故答案为：﹣3． 【易错点2 解一元二次方程-配方法】 4．将一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0配方后所得的方程是（　　） A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣2）2＝2 【答案】B 【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0， x2﹣2x＝1， x2﹣2x+1＝1+1， （x﹣1）2＝2， 故选：B． 5．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【解答】解：2x2+4x﹣1＝0， 2x2+4x＝1， x2+2x＝， x2+2x+1＝+1， （x+1）2＝， x+1＝±， x+1＝或x+1＝﹣， x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣， 所以，这位同学是乙， 故选：B． 6．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max（a，b）表示a，b中的较大值，如：max（3，5）＝5，因此，max（﹣3，﹣5）＝﹣3：按照这个规定，若max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5，则x的值是（　　） A．5 B．5或 C．﹣1或 D．5或 【答案】B 【解答】解：分两种情况： 当x＞﹣x时，即x＞0时， ∵max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5， ∴x＝x2﹣3x﹣5， 整理得：x2﹣4x﹣5＝0， （x﹣5）（x+1）＝0， x﹣5＝0或x+1＝0， x1＝5，x2＝﹣1（舍去）； 当x＜﹣x时，即x＜0时， ∵max{x，﹣x}＝x2﹣3x﹣5， ∴﹣x＝x2﹣3x﹣5， 整理得：x2﹣2x﹣5＝0， x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝5+1， （x﹣1）2＝6， x﹣1＝±， x﹣1＝或x﹣1＝﹣， x1＝1+（舍去），x2＝1﹣； 综上所述：x＝5或x＝1﹣， 故选：B． 7．选择适当方法解一元二次方程： （1）（x﹣5）2﹣36＝0； （2）2x2+4x﹣5＝0． 【答案】（1）x1＝﹣1或x2＝11． （2）x1＝或x2＝． 【解答】解：（1）原方程化为：（x﹣5）2＝62． ∴x﹣5＝±＝±6． ∴x1＝﹣1或x2＝11． （2）∵a＝2，b＝4，c＝﹣5． △＝42﹣4×2×（﹣5）＝56． 由求根公式x＝得： x＝． ∴x1＝或x2＝． 【易错点3 解一元二次方程-公式法】 8．x＝是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0 【答案】D 【解答】解：A.3x2+5x+1＝0中，x＝，不合题意； B.3x2﹣5x+1＝0中，x＝，不合题意； C.3x2﹣5x﹣1＝0中，x＝，不合题意； D.3x2+5x﹣1＝0中，x＝，符合题意； 故选：D． 9．解方程： （1）x2﹣x﹣＝0； （2）x（x﹣4）＝8﹣2x． 【答案】（1），， （2）x1＝﹣2，x2＝4． 【解答】解：（1）x2﹣x﹣＝0； a＝1，b＝﹣，c＝﹣， ∴b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4×1×（﹣）＝4＞0， ∴x＝＝＝， ∴该方程的解为：，． （2）x（x﹣4）＝8﹣2x． 方程右边提公因式得x（x﹣4）＝2（4﹣x）， ∴x（x﹣4）＝﹣2（x﹣4） 移项得x（x﹣4）+2（x﹣4）＝0， ∴（x+2）（x﹣4）＝0， x+2＝0或x﹣4＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝4． 【易错点4 解一元二次方程-因式分解法】 10．若菱形ABCD的一条对角线长为12，边CD的长是方程x2﹣12x+35＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　） A．20 B．24 C．28 D．20或28 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵x2﹣12x+35＝0， ∴（x﹣5）（x﹣7）＝0， x﹣5＝0或x﹣7＝0， 解得x＝5或x＝7， 分两种情况： 当AB＝AD＝CD＝BC＝5时， ∵5+5＜12， ∴不能构成三角形； 当AB＝AD＝CD＝BC＝7时， ∵7+7＝14＞12， ∴能构成三角形， 综上所述：该菱形ABCD的边长为7， ∴菱形的周长＝4×7＝28， 故选：C． 【易错点5 换元法解一元二次方程】 11．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（　　） A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3 【答案】A 【解答】解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0， ∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0， ∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0， ∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6． 当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0， ∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0， ∴此方程无实数解． 当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7 故选：A． 【易错点6 根的判别式】 12．关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣k2＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【解答】解：由题意得，Δ＝b2﹣4ac＝1+8k2． ∵对于任意实数k都有k2≥0， ∴8k2≥0． ∴1+8k2≥1． ∴1+8k2＞0，即Δ＞0． ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 13．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2kx+k﹣3＝0有实数根，则k的取值范围为（　　） A．k≥0 B．k≥0且k≠1 C．k≥ D．k≥且k≠1 【答案】D 【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣1）×（k﹣3）≥0， 解得k≥且k≠1． 故选：D． 14．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2⋅i＝（﹣1）⋅i＝﹣i，i4＝i2•i2＝（﹣1）×（﹣1）＝1，则i6＝　﹣1　． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣1•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1……， ∴每4个一循环， ∵6÷4＝1……2， ∴i6＝i2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 15．已知关于x的方程（m﹣2）x2﹣3x+2＝0． （1）当m＝3时，求原方程的解． （2）若原方程有两个相等的实数根，求m的值． 【答案】（1）x1＝1，x2＝2； （2）m的值为． 【解答】解：（1）当m＝3时，得方程为： x2﹣3x+2＝0， ∴（x﹣1）（x﹣2）＝0， 解得x1＝1，x2＝2； （2）根据题意得m﹣2≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4（m﹣2）×2＝0， 解得m＝， 即m的值为． 16．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3m2＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，求m的值． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）m的值为±1． 【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3m2， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1•（﹣3m2） ＝4+12m2＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由题意得： ， 解得：， ∵αβ＝﹣3m2， ∴﹣3m2＝﹣3， ∴m＝±1， ∴m的值为±1． 【易错点7根与系数的关系】 17．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（t+1）x+t2+5＝0的两个实数根，若+＝36，则t的值是（　　） A．﹣7或3 B．﹣7 C．3 D．﹣3或7 【答案】C 【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（t+1）x+t2+5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2（t+1）＝2t+2，x1x2＝t2+5， Δ＝[﹣2（t+1）]2﹣4（t2+5）≥0， 解得：t≥2， ∵+＝36， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝36， （2t+2）2﹣2（t2+5）＝36， 解得：t＝3或t＝﹣7， 故t的值只能为3． 故选：C． 18．一元二次方程2x2﹣kx+40＝0的一个根是x＝5，这个方程的两个根分别是菱形的两条对角线，则该菱形的面积是（　　） A．22 B．20 C．16 D．10 【答案】D 【解答】解：∵一元二次方程2x2﹣kx+40＝0的一个根是x＝5，且两根之积为20， ∴方程的另一个根是4． ∴菱形的面积＝对角线乘积的一半＝4×5÷2＝10． 故选：D． 【易错点8 配方法的应用】 19．已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，则a+b﹣c的值是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解答】解：由题意，∵a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0， ∴a2﹣4a+4+b2﹣2b+1+c2+2c+1＝0． ∴（a﹣2）2+（b﹣1）2+（c+1）2＝0． ∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，c+1＝0． ∴a＝2，b＝1，c＝﹣1． ∴a+b﹣c＝2+1+1＝4． 故选：B． 20．已知代数式x2+2x+3可以利用完全平方公式变形为（x+1）2+2，根据这种变形方法，代数式y2﹣6y+10的最小值是 　1　． 【答案】1． 【解答】解：由题意，∵y2﹣6y+10＝y2﹣6y+9+1＝（y﹣3）2+1， 又对任意的y都有（y﹣3）2≥0， ∴y2﹣6y+10＝（y﹣3）2+1≥1． ∴y2﹣6y+10的最小值是1． 故答案为：1． 21．已知x、y为实数，且满足x2﹣xy+y2＝2，记W＝x2+xy+y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝　6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵x2﹣xy+y2＝2， ∴x2+y2＝xy+2，xy＝x2+y2﹣2， ∴W＝x2+xy+y2＝2xy+2， ∵3xy＝2xy+（x2+y2﹣2）＝（x+y）2﹣2≥﹣2，当且仅当x＝﹣y，即x＝，y＝﹣或x＝﹣，y＝时等号成立． ∴xy的最小值为﹣，W＝x2+xy+y2＝2xy+2的最小值为，即m＝． ∵xy＝2xy﹣（x2+y2﹣2）＝2﹣（x﹣y）2≤2，当且仅当x＝y，即x＝，y＝或x＝﹣，y＝﹣时等号成立． ∴xy的最大值为2，W＝x2+xy+y2＝2xy+2的最大值为6，即M＝6， ∴M+m＝+6＝6． 故答案为：6． 22．先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值． 解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0， ∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0， ∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0， ∴m+n＝0，n﹣3＝0， ∴m＝﹣3，n＝3． （1）若x2+2xy+5y2﹣4y+1＝0，求x﹣y的值； （2）已知a，b，c是等腰△ABC的三条边长，且a，b满足a2+b2+58＝14a+6b，求△ABC的周长． 【答案】（1）﹣1；（2）17． 【解答】解：（1）由题意，∵x2+2xy+5y2﹣4y+1＝0， ∴x2+2xy+y2+4y2﹣4y+1＝0，即（x+y）2+（2y﹣1）2＝0． ∴x+y＝0，且2y﹣1＝0． ∴x＝﹣，y＝． ∴x﹣y＝﹣﹣＝﹣1． （2）由题意，∵a2+b2+58＝14a+6b， ∴a2﹣14a+49+b2﹣6b+9＝0． ∴（a﹣7）2+（b﹣3）2＝0． ∴a﹣7＝0，b﹣3＝0． ∴a＝7，b＝3． 又a，b，c是等腰△ABC的三条边长， ∴a＝c＝7，b＝3．（若a＝7，b＝c＝3，依据两边之和大于第三边，不合题意，舍去．） ∴△ABC的周长为：7+7+3＝17． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$