第2章 一元二次方程过关测试卷-2024-2025学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第2章 一元二次方程过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2+x﹣y＝0 B．ax2+2x﹣3＝0 C．x2+2x+5＝x3 D．x2﹣1＝0 2．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7且，则b的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5 3．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣c＝0的解，则﹣4b+2c＝（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 4．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（　　） A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7 5．将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（　　） A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝8 6．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A．3（x+1）x＝6210 B．3 （x﹣1）＝6210 C．（3x﹣1）x＝6210 D．3（x﹣1）x＝6210 7．某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（　　） A．50（1+x）2＝132 B．（50+x）2＝132 C．50（1+x）+50（1+x）2＝132 D．50（1+x）+50（1+2x）2＝132 8．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023 9．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．x（x﹣1）＝10 C．x（x+1）＝10 D．2x（x﹣1）＝10 10．将一元二次方程3x2＝2+6x化为一般形式后，常数项为﹣2，则一次项系数是（　　） A．﹣6 B．6 C．2 D．﹣2 11．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞0且m≠1 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m≥0 12．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 2、 填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．一元二次方程x2﹣x＝0的解是 　　． 14．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 　　． 15．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两根，则x1+x2＝　　． 16．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是 　　． 17．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，则k的取值范围为 　　． 18．代数式a2﹣2a+5的最小值为 　　． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）解下列一元二次方程． （1）t2+2t﹣1＝0； （2）（5x﹣3）2＝（x+2）2． 20．（8分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为4，当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 21．（8分）某种病毒传播速度非常快，若最初有两个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有288人被感染，设每轮传染中平均一个传染了x人． （1）经过第一轮传染后，共有 　　人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案） （2）在每轮传播中，平均一人传染了几个人？ 22．（8分）如图，借助一面墙EF（最长可利用28m）围成一个矩形花园ABCD，在墙BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示），入口不用砌墙，假设有砌60m长墙的材料且恰好用完，设BC的长为x m． （1）填空：砌AB段墙时，需 　 　m长的砌墙材料（用含x的代数式表示）； （2）当矩形花园的面积为300m2时，墙BC的长为多少米？ 23．（10分）“杭州亚运•三人制篮球”赛将于9月25﹣10月1日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件． （1）若降价5元，求平均每天的销售数量； （2）当每件篮球服降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？ 24．（10分）阅读材料，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则根据求根公式可知，，． 由此可得，， ． 根据上述材料，结合自己所学知识，解决如下问题： （1）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝　　，x1x2＝　　； （2）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2＝　　； （3）若m，n满足m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0，且m≠n．求的值． 25．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ与AC平行？ （2）△PQB面积能否等于10cm2？请说明理由． 26．（10分）某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱． （1）若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是多少？ （2）若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ （3）该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 一元二次方程过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2+x﹣y＝0 B．ax2+2x﹣3＝0 C．x2+2x+5＝x3 D．x2﹣1＝0 【答案】D 【解答】解：A、x2+x﹣y＝0是二元二次方程，不符合题意； B、当a≠0时，ax2+2x﹣3＝0是一元二次方程，不符合题意； C、方程整理得：x2+2x+5＝x3，是三元一次方程，不符合题意； D、x2﹣1＝0是一元二次方程，符合题意． 故选：D． 2．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7且，则b的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣5 D．5 【答案】A 【解答】解：由题意得，x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣4， ∴x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣4+b＝﹣7， ∴b＝﹣3， 故选：A． 3．已知x＝2是一元二次方程x2+bx﹣c＝0的解，则﹣4b+2c＝（　　） A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4 【答案】A 【解答】解：由题意得： 把x＝2代入方程x2+bx﹣c＝0中， 22+2b﹣c＝0， ∴2b﹣c＝﹣4， ∴﹣4b+2c＝﹣2（2b﹣c） ＝﹣2×（﹣4） ＝8， 故选：A． 4．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根，则k的值为（　　） A．﹣5 B．﹣7 C．5 D．7 【答案】C 【解答】解：把x＝1代入关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0得： 1+k﹣6＝0， k＝5， 故选：C． 5．将方程x2﹣6x+1＝0配方后，原方程可变形为（　　） A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝﹣10 C．（x+3）2＝﹣10 D．（x+3）2＝8 【答案】A 【解答】解：∵x2﹣6x+1＝0， ∴x2﹣6x＝﹣1， 则x2﹣6x+9＝﹣1+9，即（x﹣3）2＝8， 故选：A． 6．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　） A．3（x+1）x＝6210 B．3 （x﹣1）＝6210 C．（3x﹣1）x＝6210 D．3（x﹣1）x＝6210 【答案】D 【解答】解：根据题意得： 3（x﹣1）x＝6210． 故选：D． 7．某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（　　） A．50（1+x）2＝132 B．（50+x）2＝132 C．50（1+x）+50（1+x）2＝132 D．50（1+x）+50（1+2x）2＝132 【答案】C 【解答】解：根据题意得：明年生产零件为50（1+x）（万个）；后年生产零件为50（1+x）2（万个）， 则x满足的方程是50（1+x）+50（1+x）2＝146， 故选：C． 8．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0的一个解是x＝1，则代数式2022﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣2022 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】D 【解答】解：把x＝1代入方程ax2+bx+1＝0得a+b+1＝0， 所以a+b＝﹣1， 所以2022﹣a﹣b＝2022﹣（a+b）＝2022+1＝2023． 故选：D． 9．参加一次活动的每个人都和其他人各握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加活动？设有x人参加活动，可列方程为（　　） A．x（x﹣1）＝10 B．x（x﹣1）＝10 C．x（x+1）＝10 D．2x（x﹣1）＝10 【答案】A 【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x﹣1）（次）； 依题意，可列方程为：＝10． 故选：A． 10．将一元二次方程3x2＝2+6x化为一般形式后，常数项为﹣2，则一次项系数是（　　） A．﹣6 B．6 C．2 D．﹣2 【答案】A 【解答】解：∵一元二次方程3x2＝2+6x化为一般形式后，常数项为﹣2， ∴一般形式为3x2﹣6x﹣2＝0， ∴一次项系数是﹣6， 故选：A． 11．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞0且m≠1 B．m＞0 C．m≥0且m≠1 D．m≥0 【答案】A 【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）（﹣1）＞0， 解得m＞0且m≠1． 故选：A． 12．如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【解答】解：∵a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根， ∴2a2＝6a﹣4， ∴2a2﹣6a＝﹣4， ∴a2﹣3a＝﹣2， ∴a2﹣3a+2024＝﹣2+2024＝2022， 故选：B． 2、 填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．一元二次方程x2﹣x＝0的解是 　x1＝0，x2＝1　． 【答案】x1＝0，x2＝1． 【解答】解：x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， ∴x＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝0，x2＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 14．某药品原价每盒25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是 　20%　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x， 由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元， 故25（1﹣x）2＝16， 解得x＝0.2或1.8（不合题意，舍去）， 故该药品平均每次降价的百分率为20%． 15．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两根，则x1+x2＝　6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣6x+2＝0的两根， ∴． 故答案为：6． 16．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则这个三角形的周长是 　13　． 【答案】13． 【解答】解：x2﹣6x+8＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0或x﹣4＝0， 解得x1＝2，x2＝4， 当x＝2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x＝2舍去， 当x＝4时，三角形三边分别为3、6、4，三角形的周长是3+6+4＝13， 故答案为：13． 17．关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根，则k的取值范围为 　k≤4　． 【答案】k≤4． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4k≥0， 解得k≤4， 故答案为：k≤4． 18．代数式a2﹣2a+5的最小值为 　4　． 【答案】4． 【解答】解：a2﹣2a+5 ＝a2﹣2a+1+4 ＝（a﹣1）2+4， 当a﹣1＝0，即a＝1时，代数式取得最小值，最小值为4． 故答案为：4． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）解下列一元二次方程． （1）t2+2t﹣1＝0； （2）（5x﹣3）2＝（x+2）2． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）t2+2t﹣1＝0， t2+2t+1＝2， （t+1）2＝2， ， 解得：； （2）（5x﹣3）2＝（x+2）2， （5x﹣3）2﹣（x+2）2＝0， [（5x﹣3）﹣（x+2）][（5x﹣3）+（x+2）]＝0， （5x﹣3）﹣（x+2）＝0或（5x﹣3）+（x+2）＝0， 即4x＝5或6x＝1， 解得：． 20．（8分）已知一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为4，当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 【答案】（1）见解答； （2）k的值为3或4． 【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+k）＝1＞0， ∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵△＝1＞0， ∴AB≠AC， ∴AB、AC中有一个数为4． 当x＝4时，原方程为：16﹣4（2k+1）+k2+k＝0， 即k2﹣7k+12＝0，解得：k1＝3，k2＝4． 当k＝3时，原方程为x2﹣7x+12＝0， ∴x1＝3，x2＝4． ∵3、4、4能围成等腰三角形， ∴k＝3符合题意； 当k＝4时，原方程为x2﹣9x+20＝0，解得：x1＝4，x2＝5． ∵4、5、5能围成等腰三角形， ∴k＝4符合题意． 综上所述：k的值为3或4． 21．（8分）某种病毒传播速度非常快，若最初有两个人感染这种病毒，经过两轮传染后，一共有288人被感染，设每轮传染中平均一个传染了x人． （1）经过第一轮传染后，共有 　（2+2x）　人感染了病毒；（用含x的式子直接写出答案） （2）在每轮传播中，平均一人传染了几个人？ 【答案】（1）（2+2x）； （2）在每轮传播中，平均一人传染了11个人． 【解答】解：（1）∵每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴经过第一轮传染后，共有（2+2x）人感染了病毒． 故答案为：（2+2x）； （2）设每轮传染中平均一个传染了x人，则第一轮会传染给2x人，第二轮会传染给x（2+2x）人， 依题意得：2+2x+x（2+2x）＝288， 整理得：x2+2x﹣143＝0， 解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合题意，舍去）， 答：在每轮传播中，平均一人传染了11个人． 22．（8分）如图，借助一面墙EF（最长可利用28m）围成一个矩形花园ABCD，在墙BC上要预留2m宽的入口（如图中MN所示），入口不用砌墙，假设有砌60m长墙的材料且恰好用完，设BC的长为x m． （1）填空：砌AB段墙时，需 　　m长的砌墙材料（用含x的代数式表示）； （2）当矩形花园的面积为300m2时，墙BC的长为多少米？ 【答案】（1）； （2）当矩形花园的面积为300m2时，墙BC的长为12米． 【解答】解：（1）由图可得， 砌BC段墙时，需m长的砌墙材料． 故答案为：； （2）依题意得， x•＝300， 整理得：x2﹣62x+600＝0， 解得：x1＝12，x2＝50． 又∵墙EF最长可利用28m， ∴x＝12． 答：当矩形花园的面积为300m2时，墙BC的长为12米． 23．（10分）“杭州亚运•三人制篮球”赛将于9月25﹣10月1日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服．6月份平均每天售出100件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件． （1）若降价5元，求平均每天的销售数量； （2）当每件篮球服降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？ 【答案】（1）150件； （2）10元或20元． 【解答】解：（1）平均每天的销售数量为：100+10×5＝150（件）， 答：平均每天的销售数量150件； （2）设每件商品降价x元， 根据题意，得：（100+10x）（40﹣x）＝6000， 解得：x1＝10，x2＝20， 答：当每件商品降价10元或20元时，该商店每天销售利润为6000元． 24．（10分）阅读材料，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，则根据求根公式可知，，． 由此可得，， ． 根据上述材料，结合自己所学知识，解决如下问题： （1）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝　2　，x1x2＝　﹣3　； （2）一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2＝　2　； （3）若m，n满足m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0，且m≠n．求的值． 【答案】（1）2，﹣3； （2）2； （3）﹣11． 【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根为x1，x2，且方程中的a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3， ∴，， 故答案为：2，﹣3． （2）∵一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两根为x1，x2，且方程中的a＝1，b＝3，c＝﹣1， ∴，， ∴x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣1﹣（﹣3）＝2， 故答案为：2． （3）∵m，n满足m2+3m﹣1＝0，n2+3n﹣1＝0，且m≠n， ∴m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个不相等的根， ∴，， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝﹣11． 25．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝10cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ与AC平行？ （2）△PQB面积能否等于10cm2？请说明理由． 【答案】（1）秒； （2）不能，理由见解析． 【解答】解：（1）设x秒后，PQ与AC平行， 则AP＝x，CQ＝10﹣2x， ∴， ∴， 解得：， ∴当P，Q分别从A，B同时出发，秒后，PQ与AC平行． （2）不能，理由如下： 设P，Q分别从A，B同时出发，运动t秒， 则PB＝6﹣t，BQ＝2t， ∴， 整理得：t2﹣6t+10＝0， Δ＝（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0， ∴方程没有实数根， ∴△PQB的面积不能等于10cm2． 26．（10分）某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱． （1）若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是多少？ （2）若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？ （3）该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由． 【答案】（1）800元； （2）每箱饮料售价应定为55元； （3）该超市不能每月获得880元的利润，理由见解析． 【解答】解：（1）由题意得：（60﹣2﹣48）×（60+2×10）＝800（元）， 答：若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是800元； （2）设每箱饮料降价x元， 由题意得：（60﹣x﹣48）×（60+10x）＝770， 整理得：x2﹣6x+5＝0， 解得：x1＝5，x2＝1（不符合题意，舍去）， ∴60﹣x＝60﹣5＝55， 答：每箱饮料售价应定为55元； （3）该超市不能每月获得880元的利润，理由如下： 设每箱饮料降价y元， 由题意得：（60﹣y﹣48）×（60+10y）＝880， 整理得：y2﹣6y+16＝0， ∵Δ＝（﹣6）2﹣4×1×16＝36﹣64＜0， ∴此方程无解， ∴该超市不能每月获得880元的利润． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$