精品解析：2024年辽宁省阜新市实验中学九年级中考三模数学试题

2024年初三数学限时作业 一、选择题（共10小题每题3分共30分） 1. 截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 D. 在中，若，则是直角三角形 7. 在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ） A. B. C. D. 1 9. 如图，中，，，，，则的长度为（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 4 10. 如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 分解因式：x2y-4y=____． 12. 如图，在中，，于点E，若，则______． 13. 分式方程的解是______． 14. 如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________． 三、解答题（共8小题16题10分，17题8分，18题8分，19题8分，20题8分，21题9分，22题12分，23题12分） 16. （1）计算：． （2）解一元一次不等式组． 17. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买4本甲种书和2本乙种书共需200元；购买6本甲种书和4本乙种书共需330元． （1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元； （2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3103元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 18. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 19. 某超市以每件11元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于17元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 20. （1）请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图，是的外接圆，是的直径， ①若是的切线，的延长线与交于点D，点是的中点，证明： ②若，，的半径． 21. 如图是测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同直线上，枪身与额头保持垂直、量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身． （1）求的度数： （2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．（包括，）．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为．问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，） 22. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为_____； （2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则______． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：； 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求 ①的值； ②连接，若，求的值． 23. 定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． （1）在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是_____；（填序号） （2）设函数与的图象的“平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； （3）若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有个“平衡点”时，求的纵坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年初三数学限时作业 一、选择题（共10小题每题3分共30分） 1. 截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值． 2. 如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从上往下看得到的图形就是俯视图，可得答案． 【详解】解：根据题意得： 这个几何体的俯视图是： ， 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上往下看得到的图形就是俯视图． 3. 某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是，，，，其中最低气温是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的大小比较，即可作出判断． 【详解】解：， 故温度最低的城市是哈尔滨， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较的知识，解答本题的关键是掌握有理数的大小比较法则． 4. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，准确理解相关概念是解题的关键． 【详解】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； D．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据运算法则，对每一个选项进行计算排除即可． 【详解】A、与不是同类项，不可以合并，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算正确，符合题意； C、与不是同类项，不可以合并，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是熟练掌握相应的运算法则及其应用． 6. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 D. 在中，若，则是直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理依次判断即可． 【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，选项是假命题，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项是假命题，不符合题意； C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意； D、设， ∵三角形内角和为， ∴， ∴ ∴，则为锐角三角形， ∴该选项为假命题，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；解决此题的关键是掌握平行四边形的性质及菱形的判定、垂直平分线的性质、三角形内角和定理． 7. 在平面直角坐标系中，将线段AB平移后得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A到A′确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B′的坐标． 【详解】解：∵，， ∴平移规律为横坐标减4，纵坐标减4， ∵， ∴点B′的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键． 8. 今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式，即可解答． 【详解】解：从三首歌曲中选择两首进行排练，有《在希望的田野上》《我和我的祖国》、《在希望的田野上》《十送红军》、《我和我的祖国》《十送红军》共三种选择方式， 故选到前两首的概率是， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，排列出总共可能的情况的数量是解题的关键． 9. 如图，中，，，，，则的长度为（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 运用平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：， , 又，，， ， ， ∴， 故选：B． 10. 如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了函数图象，根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变． 【详解】根据浮力的知识可知，当铁块露出水面之前，， 此过程浮力不变，铁块的重力不变，故拉力不变，即弹簧测力计的读数y不变； 当铁块逐渐露出水面的过程中，， 此过程浮力逐渐减小，铁块重力不变，故拉力逐渐增大，即弹簧测力计的读数y逐渐增大； 当铁块完全露出水面之后，， 此过程拉力等于铁块重力，即弹簧测力计的读数y不变． 综上，弹簧测力计的读数y先不变，再逐渐增大，最后不变． 观察四个选项可知，只有选项A符合题意． 故选：A 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 分解因式：x2y-4y=____． 【答案】y(x+2)(x-2) 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)， 故答案为：y(x+2)(x-2)． 【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解． 12. 如图，在中，，于点E，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，，由，可得，结合，可得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，平行四边形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟记基本几何图形的性质是解本题的关键． 13. 分式方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故答案为： 【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验． 14. 如图，在中，，，，分别为，，的中点．若的长为10，则的长为________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形的性质解答． 【详解】解：∵E、F分别为BC、AC的中点， ∴AB＝2EF＝20， ∵∠ACB＝90°，点D为AB的中点， ∴， 故答案为：10． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】点代入抛物线中求出解析式为，再设CD=2x，进而求得E点坐标为(x,4-2x)，代入中即可求解． 【详解】解：将点代入抛物线中，解得， ∴抛物线解析式为， 设CD、EF分别与轴交于点M和点N， 当四边形CDFE为正方形时，设CD=2x，则CM=x=NE，NO=MO-MN=4-2x， 此时E点坐标为(x,4-2x)，代入抛物线中， 得到：， 解得，(负值舍去)， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图像上点的坐标及正方形边长相等等知识点，属于基础题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． 三、解答题（共8小题16题10分，17题8分，18题8分，19题8分，20题8分，21题9分，22题12分，23题12分） 16. （1）计算：． （2）解一元一次不等式组． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】（1）首先计算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值和二次根式，然后计算加减； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1） ． （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集是． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值和二次根式，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则． 17. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买4本甲种书和2本乙种书共需200元；购买6本甲种书和4本乙种书共需330元． （1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元； （2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3103元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？ 【答案】（1）甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元 （2）该校最多可以购买甲种书20本 【解析】 【分析】（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买4本甲种书和2本乙种书共需200元；购买6本甲种书和4本乙种书共需330元”，可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书本，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3103元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元； 【小问2详解】 设该校购买甲种书m本，则购买乙种书本， 根据题意得：， 解得：，且为整数， m的最大值为20， 答：该校最多可以购买甲种书20本． 18. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 【答案】（1）69，69，70 （2）82分 （3） 结论：小涵能入选，小悦不一定能入选 理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【解析】 【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数． （2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可． （3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【小问1详解】 从小到大排序， 67，68，69，69，71，72， 74， ∴中位数是69， 众数是69， 平均数： 69，69，70 【小问2详解】 解：（分）． 答：小涵的总评成绩为82分． 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数，解题的关键是熟悉相关概念． 19. 某超市以每件11元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于17元．经过市场调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少时，该超市每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）售价定为17元/件时，每天最大利润为960元 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数以及销售问题，二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设与之间的函数关系式为，代入，，解方程组即可； （2）根据，表示出利润的表达式，再结合二次函数的图象与性质，求得最值． 【小问1详解】 设与之间的函数关系式为，代入， 得到， 解得：， 故与的函数关系式为；． 【小问2详解】 设每天销售这种商品所获的利润为， ， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为， 售价定为17元/件时，每天最大利润为960元． 20. （1）请在图中作出的外接圆（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图，是的外接圆，是的直径， ①若是的切线，的延长线与交于点D，点是的中点，证明： ②若，，的半径． 【答案】 （）如图，即为的外接圆； （）①证明：如图，连接， 是的切线， ， ∴， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ∴， ； ②的半径为 【解析】 【分析】（）分别作、的垂直平分线交于点，再以为圆心，的长为半径作即可； （）①证明：如图，连接，由切线的性质得，再证明，得，即可得证；②连接，由圆周角定理得：，从而得，进而求得，再利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）略 （）①略 ②解：如图，连接， 由圆周角定理得：， ， ， 是的直径， ， ， ， ， ， 的半径为． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，圆周角定理，切线的性质以及尺规作垂线，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 21. 如图是测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同直线上，枪身与额头保持垂直、量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身． （1）求的度数： （2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．（包括，）．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为．问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）此时枪身端点与小红额头的距离是在规定范围内， 理由如下： ，， ， ， ， ， ， （）， 此时枪身端点与小红额头的距离是在规定范围内． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，解得出，进而根据平行线的性质，即可求解； （2）先求得，根据求得，进而可得，根据，即可求解． 【小问1详解】 过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ，， （cm）， 在中， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 22. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察与猜想】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，，则的值为_____； （2）如图2，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则______． 【类比探究】 （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：； 【拓展延伸】 （4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求 ①的值； ②连接，若，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：如图，过点C作交的延长线于点H， ， ， 四边形为矩形， ， ∵， ∴， ∵ ， ∵， ， ∴， ， ； （4）①； ② 【解析】 【分析】（1）设与交于点G，根据正方形的性质得到，，根据同角的余角相等得到，从而，得到，即可解答； （2）同（1）思路可得，，从而，根据相似三角形的性质即可解答； （3）过点C作交的延长线于点H，则，因此四边形为矩形，则，由等角的余角相等与对顶角相等得到，从而证得，根据相似三角形的性质即可解答； （4）①如图，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O，与相交于点N，由，，得到，从而，又，因此，有．根据，得到，由，可设， ，在中，根据勾股定理有，代入可求得a的值，从而，，进而根据轴对称的性质得到，根据即可求得，从而； ②根据勾股定理求得，根据得到，即可求得，从而，进而根据勾股定理即可解答． 【详解】解：（1）如图，设与交于点G， 四边形是正方形， ，， ∵， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； 故答案为：1 （2）如图，设与交于点G， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． （3）略 （4）①如图，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O，与相交于点N， ，， ∴，， ， ， ∵， ， ， 在，，， ， ∵在中，， 设，则， ∵在中，， ，解得（负值舍去）， ，． 由翻折可得点A与点C关于对称， ， ， ， ， ； ②，，， ， 由①得， ，即 又，， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等角对等边，勾股定理，锐角三角函数，综合运用相关知识是解题的关键． 23. 定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． （1）在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是_____；（填序号） （2）设函数与的图象的“平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； （3）若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有个“平衡点”时，求的纵坐标． 【答案】（1）①② （2）的值为或或或； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“平衡点”的定义求解即可； （2）先求得；，，从而得，，，然后分类讨论秋季即可； （3）设，由，得抛物线的顶点为，从而得点关于的对称点为，旋转后的抛物线解析式为，再根据新定义列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在中，令得， ∴或， ∴当时，当时，， ∴的图象上存在“平衡点”和， 同理可得，，的图象上不存在“平衡点”，的图象上存在“平衡点”； 故答案为：①②； 【小问2详解】 解：在中，令得， 解得或， ， ； 在中，令得， 解得， 当时，， ，，， 若，则， 解得； 若，则， 解得或； 若，则， 解得或（此时，重合，舍去）； 的值为或或或； 【小问3详解】 解：设， ， 抛物线的顶点为， 点关于的对称点为， 旋转后的抛物线解析式为， 在中，令得： ， ， 旋转后的图象上恰有个“平衡点” 有两个相等实数根， ，即， ， ∴的纵坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，一元二次方程根与系数的关系，反比例函数求自变量的值，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的图像及性质以及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $