4.1 因式分解 教学设计　2023—2024学年浙教版数学七年级下册

4.1 因式分解 教学设计 教学内容分析 本节课的主要内容是因式分解的概念以及因式分解和整式乘法的互逆关系，同时本节课也为后续知识一元二次方程求解方法的学习奠定一定的作用，因此在教材中本节课起着承上启下的过渡作用，而且本节课有着深刻的数形结合思想、类比思想，有利于学生思维的深化。 学习者分析 在此之前，学生已经掌握因数分解，熟悉分配律及逆运算，已经学习了整式乘法的相关知识，这为过渡到本节的学习起了铺垫作用。由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于七年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的因难。 教学目标 1.了解因式分解的概念。 2.了解因式分解与整式乘法的关系。 教学重点 理解因式分解的概念。 教学难点 认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用整式乘法的一系列法则来解决因式分解的各种问题。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：新知导入 教师活动1： 教师出示情境问题。 在小学时我们学过怎样把一个整数转化为几个整数的积；在代数中，我们也常常需要把一个多项式转化为几个整式的积。 学生活动1： 学生认真听教师讲解。 活动意图说明： 通过举回顾之前学习的知识，体会“分解”的具体含义，为后续因式分解的概念教学做好铺垫。 环节二：探究因式分解的意义 教师活动2： 教师讲解： 前面我们学过整式的乘法，例如： 两个整式x和x－y相乘的积是x2－xy， 即x(x－y)= x2－xy； 根据等式的性质，可得x2－xy=x(x－y)； 像这种把多项式x2－xy转化为两个整式x与x－y的积的形式，是一种重要的代数式变形。 思考：观察下列两种代数式变形的例子，它们之间有什么关系? 整式的乘法 多项式转化为几个整式的积 a(a+1)=a2+a a2+a=a(a+1) (a+b)(a－b)=a2－b2 a2－b2=(a+b)(a－b) (a+1)2 = a2+2a+1 a2+2a+1=(a+1)2 归纳：因式分解 一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。有时我们也把这一过程叫做分解因式. 做一做：下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1） （2） （3） （4） 预设：否，是，是，否 学生活动2： 学生认真听老师的讲解 学生认真观察思考，小组讨论交流 在教师的引导下归纳因式分解的概念 学生独立完成，然后小组交流，班内汇报 活动意图说明： 通过观察、归纳、辨析等认知活动，认识到从多项式到整式的积的形式的合理性，初步形成因式分解的概念。通过做一做来巩固概念，结合因式分解的概念，了解因式分解的本质（和差化积），利用因式分解的形式特征，学会判断某种变形是否为因式分解。 环节三： 理解因式分解与整式乘法的关系 教师活动3： 说一说：如何检验因式分解是否正确性？ 预设：因式分解和整式的乘法有互逆关系。 因此，可以用整式的乘法运算来检验因式分解的正确性。 例：检验下列因式分解是否正确。 (1)； (2) (3) 解：(1)∵𝑥𝑦(𝑥−𝑦)=𝑥𝑦•𝑥−𝑥𝑦•𝑦=𝑥2𝑦−𝑥𝑦2, ∴因式分解𝑥2𝑦−𝑥𝑦2=𝑥𝑦(𝑥−𝑦)正确。 (2)∵(2𝑥+1)(2𝑥−1)=4𝑥2−1≠2𝑥2−1, ∴因式分解2𝑥2−1=(2𝑥+1)(2𝑥−1)不正确 (3)∵(𝑥+1)(𝑥+2)=𝑥2+2𝑥+𝑥+2=𝑥2+3𝑥+2, ∴因式分解𝑥2+3𝑥+2=(𝑥+1)(𝑥+2)正确. 学生活动3： 学生讨论交流 三名学生板演，其他学生独立完成，交流后认真听老师的点评 活动意图说明： 体会因式分解和整式的乘法是一种互逆变形，所以可以用整式乘法来检验因式分解是否正确。 板书设计 课题：4.1 因式分解 一、因式分解 二、因式分解与整式乘法的关系 课堂练习 必做题： 1．下列从左边到边的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 答案：D 2．对于① ，②，从左到右的变形，表述正确的（   ） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 答案：C 3．运用因式分解计算：5.762﹣4.242． 解：5.762﹣4.242=（5.76+4.24）×（5.76﹣4.24）=10×1.52=15.2． 4．下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 答案：(1)不是因式分解 (2)不是因式分解 (3)是因式分解 (4)不是因式分解 (5)不是因式分解 选做题： 5．若多项式可分解为，则a的值为（    ） A． B．2 C． D． 答案：B 6．完成下面各题 (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______；______； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 解：（1）， ， 解得：； 故答案为：； （2）， ， ； 故答案为：9，5； （3）设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，的值为12． 作业布置 必做题 1．下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 答案：B 2．如果二次三项式可分解为， 那么的值为（   ） A． B． C．1 D．2 答案：B 3．判断下列各式从等号左边到右边的变形，哪些是整式乘法，哪些是因式分解． (1)a2－9b2＝(a＋3b)(a－3b)； (2)3y(x＋2y)＝3xy＋6y2； (3)(3a－1)2＝9a2－6a＋1； (4)4y2＋12y＋9＝(2y＋3)2； (5)x2＋x＝x2(1+)； (6)x2－y2＋4y－4＝(x－y)(x＋y)＋4(y－1)． 解：(1)(4)的变形是把多项式化为整式乘积的形式，是因式分解；(2)(3)是整式乘法；(5)虽然是把多项式化为积的形式，但(1＋)不是整式，不是因式分解；(6)运用乘法公式，结果不是整式乘积的形式，故既不是整式乘法，也不是因式分解． 4．用因式分解进行简便运算： (1) (2) 解：（1） （2） 选做题： 5．对于下列两个自左向右的变形：甲：，乙：其中说法正确的是（    ） A．甲、乙均为因式分解 B．甲、乙均不是因式分解 C．甲是因式分解，乙是整式乘法 D．甲是整式乘法，乙是因式分解 答案：B 6．在分解因式时，小明看错了b，分解结果为；小张看错了a，分解结果为，求a，b的值． 解：∵小明看错了b， ∴a正确， ∵（x+2）（x+4）=x2+6x+8， ∴a=6， ∵小张看错了a， ∴b正确， ∵（x-1）（x-9）=x2-10x+9， ∴b=9． 课堂总结 本节课你学到了哪些知识？ 一、因式分解 一般地，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。有时我们也把这一过程叫做分解因式. 注意事项：左边必须是一个多项式，右边必须是几个整式的乘积。 二、因式分解与整式乘法的关系 因式分解和整式的乘法是互逆关系。 教学反思 本节课是第四章《因式分解》第一节，是在学生学习了整式乘法的基础上学习的，因式分解是整式乘法的的逆运算，因此，因式分解与整式乘法运算有密切的联系，是代数式的一种重要恒等变形。在教学中，以整式乘法的知识为基础，体会“分解”的具体含义和“互逆”形态的存在，使学生更好地了解因式分解的概念及因式分解和整式乘法的互逆关系，很好地完成了本课的教学内容。因式分解对于化归能力、逆向思维的能力的培养都起到一定的作用，在代数运算、逆向思维品质培养形成也有着较重要作用。 学科网（北京）股份有限公司 $$