暑假作业07 二元一次方程组的应用（知识梳理+12大题型+拓展突破）-【暑假分层作业】2024年七年级数学暑假培优练（苏科版）

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业07 二元一次方程组的应用 知识点01 实际问题与二元一次方程组 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点02 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 题型一 列二元一次方程组 1．在学校组织的篮球比赛中．积分规则：胜场记分，负场记分，且每场比赛都要分出胜负，七年级某队在场比赛中共得到分，若设该队胜场，负场，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？现有一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出10元，则多了6元；如果每人出8元，则少了8元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，请列出方程组 ． 3．某中学九年级毕业生在礼堂就座进行毕业典礼，若一条长椅上坐4人，就有22人没座位；若一条长椅上坐5人，最后一条长椅上空出了3个座位，设有x条长椅，毕业生有y人，试列出方程组． 题型二 方案问题 4．今冬徐州市出现强降雪天气．甲、乙两队共同负责一条大街的扫雪工作，若由甲、乙两队合作3小时可完成扫雪工作；若甲队先单独扫雪4小时，再由乙队单独扫雪1小时可完成扫雪工作．若甲队先单独扫雪2小时，再由乙队单独扫雪，完成此项工作两队共需要多少小时？ 5．某医药超市销售两种品牌的消毒液，购买瓶品牌和瓶品牌的消毒液共需元；购买瓶品牌和瓶品牌的消毒液共需元． (1)求这两种品牌消毒液的单价； (2)某学校为了给教室进行充分消杀，准备花元购进两种品牌的消毒液，且要求品牌的消毒液的数量比品牌多，请你给出有哪几种购买方案？ 6．某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨， 5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨． (1)请问1辆A货车与1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ (2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费400元，每辆B货车一次运货花费350元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少． 题型三 行程问题 7．小明和小亮分别从相距20千米的甲、乙两地相向而行，经过2小时，两人相遇，相遇后小明立即返回甲地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米，请求出两人的速度分别是多少？ 8．A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线需，求飞机无风时的平均速度与风速． 解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为． (1)用含x，y的代数式表示：①顺风速度为____；②逆风速度为____； (2)根据题意，列出方程组解决问题． 9．某校组织学生乘汽车去野营，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了6.5h；返回时先以40km/h的速度下坡，后以50km/h的速度走平路，共用了6h，学校距离野营地有多远？ 题型四 工程问题 10．某工程队共有120人，分别在甲、乙两工地施工．由于工程需要，现从甲工地调18人去乙工地，这时两工地施工的人数刚好相等，求调动前甲、乙两工地各有多少人． 11．通道县政府为把双江镇建设成国家级文明县城,现有一段长为180 m的街道需要整治，甲、乙两个工程队先后接力完成：甲工程队每天整治12 m,乙工程队每天整治8 m,共用时20天.问甲、乙两工程队分别整治了多少米？ 12．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问： (1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ (2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．） 题型五 数字问题 13．有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． 求原来的两位数． 14．一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6，把这个两位数加上18后，比十位数字大56，请问这个两位数是多少？ 15．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 9：00 9：48 11：00 里程碑 上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 也是一个两位数，十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了 是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0 如果设小明9：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，那么： (1)小明9：00时看到的两位数为______； (2)小明9：48时看到的两位数为______，11：00时看到的三位数为______； (3)请你列二元一次方程求小明在9：00时看到里程碑上的两位数． 题型六 年龄问题 16．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 17．根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    18．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 题型七 分配问题 19．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 20．某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天元，两人间每人每天元，一个人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费元，两种客房各租住了多少间？ 21．某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 题型八 销售利润问题 22．社区为了居民做好垃圾分类，准备增加，两种型号的垃圾箱．通过市场调研得知：购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元．该社区需购买个型垃圾箱和个型垃圾箱，共花费多少元？ 23．某校为改善学校多媒体课室教学设施，计划购进一批电脑和电子白板．经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.9万元，购买2台电脑和3台电子白板需要6.6万元．求每台电脑和每台电子白板各是多少万元？ 24．根据下表素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2024年五一劳动节，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品 素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买12杯A型咖啡，8杯B型咖啡需176元． 素材2 小华购买A、B两种款式的咖啡共60杯（两种都要），总费用为524元 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 求小华A、B型的咖啡各买了多少杯？ 题型九 和差倍分问题 25．为创建文明校园，某中学计划在学校公共场所安装垃圾箱和温馨提示牌，已知，安装3个垃圾箱和2个温馨提示牌需340元，安装1个垃圾箱比1个温馨提示牌多30元．求安装1个垃圾箱和1个温馨提示牌各需多少元？ 26．2024年4月13日，以“共享开放机遇、共创美好生活”为主题的第四届中国国际消费品博览会在海南海口开幕，吉祥物“元元”和“宵宵”深受大家的喜欢，某供应商购进一批“元元”和“宵宵”，已知一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍．某供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是多少元？ 27．春节期间，除了贴对联、买年货、看春晚等传统习俗外，抢红包、扫福字等活动逐渐成为新习俗，线上红包为人们创造了新的感情沟通方式，通过参与抢红包等活动增进与亲人朋友的沟通．为了活跃气氛，让春节更有“味道”，铁铁同学在微信群发了一个“友谊地久天长”红包，总金额为15元，所发红包被随机分配给五个群员，所抢的五个红包金额如下图所示，现不知道小安和小溪所抢的金额，但知道小安比小溪多抢元．请算出小安和小溪所抢的红包金额各多少元？ 题型十 几何问题 28．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积． 29．如图所示，在长为11、宽为10的矩形内部，沿平行于矩形各边的方向割出三个完全相同的小矩形，求每个小矩形的面积． 30．如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽．    题型十一 古代问题 31．我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知小鸡买78只，求公鸡、母鸡各买几只． 32．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八、盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？” 译文：“几个人一起凑钱去买某物品，如果每人出8文钱，则多出3文钱；如果每人出7文钱，则缺少4文钱．问共有多少人凑钱买此物品，该物品的价格是多少？” 33．我国古代有一道著名的数学题，原文如下：甲，乙二人隔溪牧羊，甲云得乙羊九只，多乙一倍正当；乙云得甲羊九只，两人羊数一样．甲，乙羊各几何？译文为：甲，乙两人在小河边放羊，甲说：如果你给我9只羊，那么我的羊的数量比你的多1倍；乙说：如果你给我9只羊，我们俩的羊就一样多了，问甲、乙两人各有多少只羊？ 题型十二 其他问题 34．某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图）．（注：图中向上的一面无盖） (1)如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片______张，正方形纸片______张； (2)现将张长方形硬纸片和张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？ 35．某中学组织学生进行安全知识竞赛，共有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．用二元一次方程组的知识解决下列问题． (1)甲同学参加了竞赛，成绩是96分，设甲同学在竞赛中答对了x道题，不答或答错了y道题，求x和y的值； (2)乙同学也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请问乙同学有没有可能拿到100分？请说明理由． 36．列二元一次方程组解应用题： 随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 车费（元） 小明 8 8 12 小刚 10 12 16 (1)求出x，y的值； (2)周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了15公里，用时12分钟，那么小华的打车总费用为多少元？ 1．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．如图，用四个完全相同且长、宽分别为，()的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．已知，，则下列关系式中不正确的是(   ) A． B． C． D． 3．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（　　） A．200元 B．300元 C．400元 D．500元 4．老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 5．用图中的长方形和正方形不锈钢板材可以焊接成图所示的竖式和横式两种无盖的不锈钢盒子，工厂为了防止领取的板材不能配套焊接，规定每次领取的不锈钢板材必须恰好用完（   ）． 下表是车间四次领取不锈钢板材的记录：    日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 第二次 第三次 第四次 若材料管理员在核查时发现其中有一次记录出错了，则记录出错的是（   ） A．第一次 B．第二次 C．第三次 D．第四次 6．“双”促销活动中，小芳的妈妈计划用元在网上购买价格为元和元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有 种 7．东辰中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，已知七年级一班在8场比赛中得到13分，问七年级一班胜了 场． 8．甲、乙两人做同样的零件，如果甲先做1天，乙再开始做，5天后两人做的一样多，如果甲先做个，乙再开始做，4天后乙反比甲多做个．甲，乙两人每天分别做多少个？设甲，每天做x个，乙每天做y个，列出的方程组是 9．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则x= ，y= ． x 6 20 22 y 10．在学完书中例题后，小聪想用现有的硬纸板裁成如图①的长方形和正方形作为侧面与底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．已知一张硬纸板的裁剪方式有两种（均有余料），方式一：裁成3个长方形与一个正方形；方式二：裁成2个长方形与2个正方形．现小聪将m张硬纸板用方式一裁剪，n张硬纸板用方式二裁剪，则 （1）两种方式共裁出长方形 张，正方形 张．（用m、n的代数式表示） （2）当时，所裁得的长方形与正方形纸板恰好用完，做成的两种无盖纸盒一共可能是 个． 11．某校开展了“金山银山，不如绿水青山”为主题的环保知识竞赛，后勤部为学生购买奖品：A类钢笔和B类钢笔一共100支，单价分别为8元和14元，共花去1000元，并公布出费用明细．对此，同学们提出了质疑，觉得后勤部算错了． (1)请用方程的知识帮助后勤部计算一下，为什么他们搞错了； (2)后勤部拿出发票后，发现的确错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能认出单价是小于10的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？ 12．已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物—次可运货10吨；用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨．某物流公司现有货物35吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金130元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 13．为迎接春季运动会，学校先在体育用品商店购买30个足球和60条跳绳用去720元，后又购买10个足球和50条跳绳用去360元． (1)足球、跳绳的单价各是多少元？ (2)该店最近正在开展促销活动，所有商品都按相同的折数打折销售，在该店促销期间购买100个足球和100条跳绳只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？ 14．汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲、乙两种货车的运货情况（每辆车都满载）如下表： 第一次 第二次 甲种货车/辆 2 5 乙种货车/辆 3 6 累计运货/吨 (1)甲、乙两种货车每辆满戟分别可装多少吨货物？ (2)若货主需要租用该公司的甲种货车8辆，乙种货车6辆，刚好运完这批货物（每辆车都满载），若按每吨付运费元，则货主应付运费多少元？ (3)若货主共有吨货，计划租用该公司的货车（每辆车都满载）正好把这批货运完，则该汽车公司共有哪几种运货方案？ 15．某物流公司有360箱货物需要运送，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如表所示： (假设每辆车均满载) 车型 甲 乙 丙 运载量(箱/辆) 20 30 40 运费(元/辆) 300 400 450 (1)全部货物一次性运送可用甲型车6辆， 乙型车4辆， 丙型车 辆： (2)若全部货物仅用甲、 乙两种车型一次性运完， 需运费5100元，求甲、 乙两种车型各需多少辆？ (3)若该公司打算用甲、 乙、丙三种车型同时参与运送， 已知车辆总数为11辆， 且一次性运完所有货物， 请设计出所有的运送方案， 并写出最少运费． 1．（2022·江苏宿迁·中考真题）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·江苏扬州·中考真题）《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常顺捷地解决这个问题，如果设鸡有只，兔有只，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（2021·江苏淮安·中考真题）《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 4．（2021·江苏南通·中考真题）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为 . 6．（2020·江苏扬州·中考真题）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则________，________； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ （3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________． 7．（2022·江苏南京·中考真题）某文印店用2660元购进一批白色复印纸和彩色复印纸，白色复印纸每箱80元，彩色复印纸每箱180元，购买白色复印纸得箱数是彩色复印纸得箱数得5倍少3箱，求购买的白色复印纸得箱数和彩色复印纸得箱数． 8．（2022·江苏徐州·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？ 根据译文，解决下列问题： (1)设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ； (2)求兽、鸟各有多少． 9．（2021·江苏镇江·中考真题）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题． 10．（2021·江苏泰州·中考真题）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？ 11．（2020·江苏徐州·中考真题）本地某快递公司规定：寄件不超过千克的部分按起步价计费；寄件超过千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过千克的部分 （元千克） 上海 北京 实际收费 目的地 质量 费用（元） 上海 北京 求，的值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业07 二元一次方程组的应用 知识点01 实际问题与二元一次方程组 （1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去； （2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称； （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 知识点02 三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： （1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； （2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系； （3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； （4）解这个方程组，求出未知数的值； （5）写出答案(包括单位名称)． 题型一 列二元一次方程组 1．在学校组织的篮球比赛中．积分规则：胜场记分，负场记分，且每场比赛都要分出胜负，七年级某队在场比赛中共得到分，若设该队胜场，负场，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，设该队胜场，负场，根据题意列出方程组即可，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程组． 【详解】设该队胜场，负场，根据题意得： ， 故选：． 2．《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？现有一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出10元，则多了6元；如果每人出8元，则少了8元，问组团人数和物价各是多少？若设x人参与组团，物价为y元，请列出方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，根据题意找到等量关系是解决问题的关键．根据等量关系“每人出10元，则多了6元；每人出8元，则少了8元”列出方程组即可． 【详解】解：设x人参与组团，物价为y元，由题意可得， 故答案为：． 3．某中学九年级毕业生在礼堂就座进行毕业典礼，若一条长椅上坐4人，就有22人没座位；若一条长椅上坐5人，最后一条长椅上空出了3个座位，设有x条长椅，毕业生有y人，试列出方程组． 【答案】 【分析】设有x条长椅，毕业生有y人，根据“一条长椅上坐4人，就有22人没座位”可得；根据“一条长椅上坐5人，最后一条长椅上空出3个座位”列出另一个关于x、y的方程，联立上述方程组成方程组，即可解答此题． 【详解】解：设有x条长椅，毕业生有y人， 根据题意，列方程组得：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题干信息找出等量关系并据此列出方程组是解题的关键． 题型二 方案问题 4．今冬徐州市出现强降雪天气．甲、乙两队共同负责一条大街的扫雪工作，若由甲、乙两队合作3小时可完成扫雪工作；若甲队先单独扫雪4小时，再由乙队单独扫雪1小时可完成扫雪工作．若甲队先单独扫雪2小时，再由乙队单独扫雪，完成此项工作两队共需要多少小时？ 【答案】完成此项工作两队共需要7小时 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用问题，根据工作时间=工作总量÷工作效率，设甲、乙工作效率分别为，，根据题意由甲、乙两队合作3小时可完成扫雪工作；若甲队先单独扫雪4小时，再由乙队单独扫雪1小时可完成扫雪工作．可以列出两个等量关系对应的方程，由此解出甲、乙的工作效率，然后可算出甲单独扫雪2小时后剩余的工作量，剩余工作量除以乙的工作效率即可求出乙需要工作的时间，由此可求出总时间． 【详解】解：设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为y， 根据题意，得   解这个方程，得 . 甲单独扫雪2小时后剩下的工作量为：， 剩余工作乙需要时间为：小时， 完成此项工作两队共需要：小时． 答：完成此项工作两队共需要7小时 5．某医药超市销售两种品牌的消毒液，购买瓶品牌和瓶品牌的消毒液共需元；购买瓶品牌和瓶品牌的消毒液共需元． (1)求这两种品牌消毒液的单价； (2)某学校为了给教室进行充分消杀，准备花元购进两种品牌的消毒液，且要求品牌的消毒液的数量比品牌多，请你给出有哪几种购买方案？ 【答案】(1)品牌消毒液的单价是元，品牌消毒液的单价是元 (2)购买方案有两种，分别是：品牌消毒液瓶，购买品牌消毒液瓶；品牌消毒液瓶，购买品牌消毒液瓶 【分析】（1）购买瓶品牌和瓶品牌共需元；购买瓶品牌和瓶品牌共需元，设品牌的单价是元，品牌的单价是元，根据数量关系列方程，即可求解； （2）由（1）中的单价可知，设购买品牌消毒液瓶，购买品牌消毒液瓶，且，列出方程，通过试值的方法即可求解． 【详解】（1）解：设品牌消毒液的单价是元，品牌消毒液的单价是元， ∴，解方程组得，， ∴品牌消毒液的单价是元，品牌消毒液的单价是元． （2）解：设购买品牌消毒液瓶，购买品牌消毒液瓶，且， ∴，即， 经过计算，当的值取是为分数，不满足条件， ∴当时，，满足条件； 当时，，不满足条件； 当时，，不满足条件； 当时，，不满足条件； … 当时，，满足条件； … 当时，，则，不满足条件； 综上所示，购买方案有两种，分别是品牌消毒液瓶，购买品牌消毒液瓶；品牌消毒液瓶，购买品牌消毒液瓶． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组在实际中的运用，理解题目中的数量关系，列方程组，掌握解方程组，根据实际情况考虑未知数的取值是解题的关键． 6．某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨， 5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨． (1)请问1辆A货车与1辆B货车一次可以分别运货多少吨？ (2)目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费400元，每辆B货车一次运货花费350元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少． 【答案】(1)1辆A货车一次远货20吨，1辆B货车一次运货15吨 (2)共有三种方案：方案一A货车8辆，B货车2辆；方案二A货车5辆，B货车6辆；方案三A货车2辆，B货车10辆．方案运输费用最少 【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨”列方程组求解可得； （2）设货运公司安排A货车m辆，则安排B货车n辆．根据“共有190吨货物”列出二元一次方程组，结合m，n均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费用最小的数据． 【详解】（1）解：设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据题意得： ，解得：， 答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨； （2）解：设安排A型车m辆，B型车n辆，依题意得： 20m+15n=190，即， 又∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种运输方案， 方案1：安排A型车8辆，B型车2辆； 方案2：安排A型车5辆，B型车6辆； 方案3：安排A型车2辆，B型车10辆． 方案1所需费用：4008+3502=3900(元)； 方案2所需费用：4005+3506=4100(元)； 方案3所需费用：4002+35010=4300(元)； ∵3900＜4100＜4300， ∴安排A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为3900元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据据总费用=400×安排A型车的辆数+350×B型车的辆数分别求出三种运输方案的总费用． 题型三 行程问题 7．小明和小亮分别从相距20千米的甲、乙两地相向而行，经过2小时，两人相遇，相遇后小明立即返回甲地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米，请求出两人的速度分别是多少？ 【答案】小明速度为千米／时．小亮速度为千米／时 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设小明速度为千米／时，小亮速度为千米／时．利用“小明和小亮2小时路程和为20千米，相遇后小明立即返回甲地，小亮继续向甲地前进，小明返回到甲地时，小亮离甲地还有2千米”再建立方程组求解即可． 【详解】解：设小明速度为千米／时，小亮速度为千米／时． ， 解得： 答：小明速度为千米／时．小亮速度为千米／时． 8．A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线需，求飞机无风时的平均速度与风速． 解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为． (1)用含x，y的代数式表示：①顺风速度为____；②逆风速度为____； (2)根据题意，列出方程组解决问题． 【答案】(1)①；②； (2)这架飞机无风时的平均速度为，风速为 【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的实际应用． （1）根据顺风速度=飞机速度+风速．逆风速度=飞机速度风速，即可解答； （2）根据路程=速度×时间，列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设这架飞机无风时的平均速度为，风速为， 则风速度为；逆风速度为． 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 解得：． 答：这架飞机无风时的平均速度为，风速为． 9．某校组织学生乘汽车去野营，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了6.5h；返回时先以40km/h的速度下坡，后以50km/h的速度走平路，共用了6h，学校距离野营地有多远？ 【答案】270km 【分析】设平路xkm，坡路ykm，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】设平路xkm，坡路ykm，据题意得 解得： ． 答： 学校距离野营地有270km． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用（行程问题）．方程（组）的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解． 题型四 工程问题 10．某工程队共有120人，分别在甲、乙两工地施工．由于工程需要，现从甲工地调18人去乙工地，这时两工地施工的人数刚好相等，求调动前甲、乙两工地各有多少人． 【答案】调动前甲工地有78人，乙工地有42人 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设调动前甲工地有人，乙工地有人，根据“工程队共有120人，调动之后人数相等”列方程组求解即可． 【详解】解：设调动前甲工地有人，乙工地有人．根据题意，得 ， 解得． 答：调动前甲工地有78人，乙工地有42人． 11．通道县政府为把双江镇建设成国家级文明县城,现有一段长为180 m的街道需要整治，甲、乙两个工程队先后接力完成：甲工程队每天整治12 m,乙工程队每天整治8 m,共用时20天.问甲、乙两工程队分别整治了多少米？ 【答案】 【分析】设甲、乙两工程队分别整治了米和米， 根据总共整治180米，与甲工程队每天整治12 m,乙工程队每天整治8 m,共用时20天，列出关于和的二元一次方程，解出即可． 【详解】解：设甲、乙两工程队分别整治了米和米， 根据题意列方程得 ， 解得， 答：甲工程队整治了60米，乙工程队整治了120米． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 12．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做天可以完成，需付给两组费用共元，问： (1)甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ (2)已知甲组单独完成需要天，乙组单独完成需要天，若装修完后，商店每天可盈利元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工．） 【答案】(1)甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元 (2)由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营，理由见解析 【分析】（1）设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元，依题意得：，进行计算即可得； （2）分别算出甲单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，乙单独完成时需装修的费用和少盈利的钱，甲乙合作完成时需装修的费用和少盈利的钱，进行比较即可得． 【详解】（1）解：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元， 依题意得：， 解得， 答：设甲单独工作一天应付工资元，乙单独工作一天应付工资元． （2）解：甲单独完成：（元） 乙单独完成：（元） 甲、乙两队完成：（元） ， ∴由甲、乙两个装修队同时施工有利于商店经营． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程，正确计算． 题型五 数字问题 13．有一个两位数，设它的十位数字为，个位数字为，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18． 求原来的两位数． 【答案】原两位数是35． 【分析】根据题意的等量关系即可得出方程组，解出方程组即可得出原来的两位数． 【详解】（1）解：原来的两位数为，新的两位数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 故原两位数是35． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是会表示两位数的值：两位数的值=十位数字个位数字． 14．一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6，把这个两位数加上18后，比十位数字大56，请问这个两位数是多少？ 【答案】 【分析】设这个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为；根据题意列二元一次方程组，求解进而得到两位数的值． 【详解】解：设这个两位数的十位上的数字为，个位上的数字为； 由题意可得 消元解得 这个两位数为． 【点睛】本题考查了二元一次方程组．解题的关键与难点是正确的列方程组． 15．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下： 时刻 9：00 9：48 11：00 里程碑 上的数 是一个两位数，它的两个数字之和为6 也是一个两位数，十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了 是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0 如果设小明9：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，那么： (1)小明9：00时看到的两位数为______； (2)小明9：48时看到的两位数为______，11：00时看到的三位数为______； (3)请你列二元一次方程求小明在9：00时看到里程碑上的两位数． 【答案】(1) (2)； (3)小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15 【分析】（1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字即是此两位数； （2）同样用数位的概念进行表达即可，9：48时十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了，则十位数字为y，个位数字为x，11：00时看到的三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y； （3）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程，解出方程即可． 【详解】（1）∵两位数的十位数字为x，个位数字为y， ∴两位数可表示为； 故答案为；． （2）∵9：48时看到的两位数十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴两位数可表示为； ∵11：00看到的数字是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴11：00时的三位数可表示为：； 故答案为；；． （3）根据题意可知行驶速度不变，从9:00到9:48用时48分钟，到11:00用时120分钟，列方程如下： ， 解得：． ∴小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15． 答：小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15． 【点睛】本题考查了数位的概念和二元一次方程组的应用，理解数位的概念和表达方法，找到题中的等量关系列出方程是解题的关键． 题型六 年龄问题 16．某学生想知道李老师的年龄，李老师说：“我像你这么大时，你才2岁，你长到我这么大时，我就35岁了．”请你算一算，今年李老师、该学生各多少岁． 【答案】今年李老师24岁，该学生13岁 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则根据该学生和李老师的年龄差不变，建立方程组求解即可． 【详解】解：设该学生今年x岁，李老师今年y岁，则 相据该学生和李老师的年龄差不变， 可得 解得 答：今年李老师24岁，该学生13岁． 17．根据图中的对话，请聪明的你算出小亮今年的年龄．    【答案】小亮今年的年龄为8岁 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设小亮今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为岁，根据题意列出方程并求解，即可求解． 【详解】解：设小亮今年的年龄为岁，爸爸今年的年龄为岁 由题意可得： 解得： 答：小亮今年的年龄为8岁． 18．5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？ 【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁 【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可． 【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则 解得 答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解． 题型七 分配问题 19．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸板，且长方形的宽与正方形的边长相等．现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个？ 【答案】可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个，根据将300张长方形硬纸片和150张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒列出方程组求解即可． 【详解】解：设可以做成甲乙两种小盒各x个，y个， 由题意得，， 解得， 答：可以做成甲乙两种小盒各30个，60个． 20．某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天元，两人间每人每天元，一个人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费元，两种客房各租住了多少间？ 【答案】三人间客房租了间，二人间客房租了间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设三人间租住了间，两人间租住了间，根据人的旅游团共花费元的住宿费，即可得出关于，的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设三人间客房有间，二人间客房有间，根据题意， 得： 解得：， 答：三人间客房租了间，二人间客房租了间． 21．某服装厂生产一批运动服，6米长的布料可做上衣4件或裤子6条，计划用300米长的布料生产该批次运动服， (1)分别用多少米布料生产上衣和裤子才能恰好配套？ (2)在（1）的条件下，若该布料的价格是25元/米，运动服售价80元/套，则生产该批次运动服能盈利多少元？ 【答案】(1)用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子 (2)2100元 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用以及有理数混合运算的实际应用． （1）设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）先计算出总的运动服套数，再根据利润等于总盈利减去总成本计算即可． 【详解】（1）解：设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子， 由题意可得：， 解得：， 答：用180米布料生产上衣，120米布料生产裤子． （2）由（1）可得300米布料可生产上衣（件），生产裤子（件）， ∴可生产120套运动服， （元）． 答：生产该批次运动服能盈利2100元． 题型八 销售利润问题 22．社区为了居民做好垃圾分类，准备增加，两种型号的垃圾箱．通过市场调研得知：购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元．该社区需购买个型垃圾箱和个型垃圾箱，共花费多少元？ 【答案】元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设型垃圾箱的单价是元，型垃圾箱的单价是元，根据“购买个型垃圾箱和个型垃圾箱共需元，购买个型垃圾箱比购买个型垃圾箱少用元”，可列出关于的二元一次方程组，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设型垃圾箱的单价是元，型垃圾箱的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 元． 答：该社区需购买个型垃圾箱和个型垃圾箱，共花费元． 23．某校为改善学校多媒体课室教学设施，计划购进一批电脑和电子白板．经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.9万元，购买2台电脑和3台电子白板需要6.6万元．求每台电脑和每台电子白板各是多少万元？ 【答案】每台电脑万元，每台电子白板万元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．设每台电脑万元，每台电子白板万元，根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设每台电脑万元，每台电子白板万元，根据题意可得： ，解得，， ∴每台电脑万元，每台电子白板万元． 24．根据下表素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2024年五一劳动节，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品 素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买12杯A型咖啡，8杯B型咖啡需176元． 素材2 小华购买A、B两种款式的咖啡共60杯（两种都要），总费用为524元 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 求小华A、B型的咖啡各买了多少杯？ 【答案】任务1：款咖啡销售单价8元，款咖啡销售单价10元；任务2：小华购买38杯款咖啡，22杯款咖啡． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 任务1：设款咖啡的销售单价是元，款咖啡的销售单价是元，根据“买10杯款咖啡，15杯款咖啡需230元；买12杯型咖啡，8杯型咖啡需176元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务2：设小华购买杯款咖啡，杯款咖啡，利用总价单价数量，结合“小华购买、两种款式的咖啡共60杯（两种都要），总费用为524元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：任务1：设款咖啡的销售单价是元，款咖啡的销售单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：款咖啡的销售单价是8元，款咖啡的销售单价是10元； 任务2：设小华购买杯款咖啡，杯款咖啡， 根据题意得：， 解得：． 答：小华购买38杯款咖啡，22杯款咖啡． 题型九 和差倍分问题 25．为创建文明校园，某中学计划在学校公共场所安装垃圾箱和温馨提示牌，已知，安装3个垃圾箱和2个温馨提示牌需340元，安装1个垃圾箱比1个温馨提示牌多30元．求安装1个垃圾箱和1个温馨提示牌各需多少元？ 【答案】安装1个垃圾箱和1个温馨提示牌分别是80、50元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意、找出题目中的数量关系、列出方程组是解题的关键． 设安装1个垃圾箱需要x元，1个温馨提示牌需要y元，根据“安装3个垃圾箱和2个温馨提示牌需340元，安装1个垃圾箱比1个温馨提示牌多30元”列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设安装1个垃圾箱需要x元，1个温馨提示牌需要y元， 根据题意得：，解得：． 答：安装1个垃圾箱和1个温馨提示牌分别是80、50元． 26．2024年4月13日，以“共享开放机遇、共创美好生活”为主题的第四届中国国际消费品博览会在海南海口开幕，吉祥物“元元”和“宵宵”深受大家的喜欢，某供应商购进一批“元元”和“宵宵”，已知一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍．某供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是多少元？ 【答案】供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是60元，40元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是x元，y元，根据一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍列出方程组求解即可． 【详解】解：设供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是60元，40元． 27．春节期间，除了贴对联、买年货、看春晚等传统习俗外，抢红包、扫福字等活动逐渐成为新习俗，线上红包为人们创造了新的感情沟通方式，通过参与抢红包等活动增进与亲人朋友的沟通．为了活跃气氛，让春节更有“味道”，铁铁同学在微信群发了一个“友谊地久天长”红包，总金额为15元，所发红包被随机分配给五个群员，所抢的五个红包金额如下图所示，现不知道小安和小溪所抢的金额，但知道小安比小溪多抢元．请算出小安和小溪所抢的红包金额各多少元？ 【答案】小安和小溪所抢的红包金额各元，元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设小安和小溪所抢的红包金额各x元，y元，根据红包总额为15元，安比小溪多抢元列出方程组求解即可． 【详解】解：设小安和小溪所抢的红包金额各x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：小安和小溪所抢的红包金额各元，元． 题型十 几何问题 28．在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中，，求图中阴影部分图形的面积． 【答案】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出和的值，即可解决问题．本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得：， 解得：， 每个小长方形的面积为， 阴影部分的面积． 29．如图所示，在长为11、宽为10的矩形内部，沿平行于矩形各边的方向割出三个完全相同的小矩形，求每个小矩形的面积． 【答案】12 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程组求解． 设每个小矩形的长为x，宽为y，根据图形可得一个长+两条宽=10，两条长+一条宽=11，列出方程租求解即可． 【详解】解：设每个小矩形的长为x，宽为y， 根据题意可得：，解得：， ∴每个小矩形的面积． 30．如图，小明在拼图时，发现8个一样的小长方形恰好可以拼成一个边长为22的正方形，但是中间留了个洞，恰好是边长为2的小正方形，求每个小长方形的长和宽．    【答案】每个小长方形的长为10，宽为6 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长和宽，根据1个长加上2个宽等于22，2个宽减去1个长等于2列出方程组，再求出解即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意可得 ， 解得：， ∴每个小长方形的长为10，宽为6． 题型十一 古代问题 31．我国古代数学著作《张丘建算经》中著名的“百鸡问题”叙述如下：“鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一；百钱买百鸡，则翁、母、雏各几何？”意思是公鸡五钱一只，母鸡三钱一只，小鸡一钱三只，要用一百钱买一百只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各多少只？若现已知小鸡买78只，求公鸡、母鸡各买几只． 【答案】公鸡买4只，母鸡买18只 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解答本题的关键．设公鸡买x只，母鸡买y只，根据用一百钱买一百只鸡列方程组求解即可． 【详解】解：设公鸡买x只，母鸡买y只， 依题意，得，                 解得：， 答：公鸡买4只，母鸡买18只． 32．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八、盈三：人出七，不足四，问人数、物价各几何？” 译文：“几个人一起凑钱去买某物品，如果每人出8文钱，则多出3文钱；如果每人出7文钱，则缺少4文钱．问共有多少人凑钱买此物品，该物品的价格是多少？” 【答案】共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元，根据每人出8文钱，则多出3文钱；每人出7文钱，则缺少4文钱，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元，由题意得： ，解得：， 答：共有人凑钱买此物品，该物品的价格是元． 33．我国古代有一道著名的数学题，原文如下：甲，乙二人隔溪牧羊，甲云得乙羊九只，多乙一倍正当；乙云得甲羊九只，两人羊数一样．甲，乙羊各几何？译文为：甲，乙两人在小河边放羊，甲说：如果你给我9只羊，那么我的羊的数量比你的多1倍；乙说：如果你给我9只羊，我们俩的羊就一样多了，问甲、乙两人各有多少只羊？ 【答案】甲有63只羊，乙有45只羊 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组并求解，即可获得答案． 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊， 根据题意，可得， 解得． 答：甲有63只羊，乙有45只羊． 题型十二 其他问题 34．某纸品加工厂利用边角料裁出正方形和长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形的边长相等（如图），再将它们制作成甲乙两种无盖的长方体小盒（如图）．（注：图中向上的一面无盖） (1)如果制作甲、乙两种无盖的长方体小盒各一个，则共需长方形纸片______张，正方形纸片______张； (2)现将张长方形硬纸片和张正方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲乙两种小盒各多少个？ 【答案】(1)， (2)可以做成甲种小盒个，乙种小盒个． 【分析】（）根据甲乙两种长方体纸盒的所需长方形和正方形的的个数即可解答； （）设可以做成甲种盒子个，乙种盒子个，根据题意可得方程组解方程即可． 【详解】（1）解：∵甲是一个无盖的长方体， ∴需要长方形纸片张，需要正方形纸片张， ∵乙是一个无盖的长方体， ∴需要长方形纸片张，需要正方形纸片张， ∴做甲乙两种纸片供需长方形纸片张，正方形纸片张， 故答案为，； （2）解：设可以做成甲种盒子个，乙种盒子个，根据题意可得， ， 解得：， 答：可以做成甲种小盒个，乙种小盒个． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，审清题意找出题目中的数量关系是解题的关键． 35．某中学组织学生进行安全知识竞赛，共有30道题，答对一道题得4分，不答或答错一道题扣2分．用二元一次方程组的知识解决下列问题． (1)甲同学参加了竞赛，成绩是96分，设甲同学在竞赛中答对了x道题，不答或答错了y道题，求x和y的值； (2)乙同学也参加了竞赛，考完后他说：“这次竞赛我一定能拿到100分．”请问乙同学有没有可能拿到100分？请说明理由． 【答案】(1) (2)乙同学没有可能拿到100分，理由见详解 【分析】（1）根据总分答对题目数不答或答错题目数，即可得出关于，的二元一次方程，解之即可得出结论； （2）设乙同学在竞赛中答对了道题，则不答或答错了道题，根据总分答对题目数不答或答错题目数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，由该值不为整数，可得出乙同学没有可能拿到100分． 本题考查了二元一次方程，一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得： 答：甲同学在竞赛中答对了26道题，不答或答错了道题； （2）解：乙同学没有可能拿到100分，理由如下： 设乙同学在竞赛中答对了道题，则不答或答错了道题 根据题意得：， 解得：． 为整数， 舍去， 乙同学没有可能拿到100分． 36．列二元一次方程组解应用题： 随着“互联网”时代的到来，一种新型打车方式受到大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按x元/公里计算，耗时费按y元/分钟计算（总费用不足9元按9元计价），小明、小刚两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与打车时间如表： 里程数（公里） 时间（分钟） 车费（元） 小明 8 8 12 小刚 10 12 16 (1)求出x，y的值； (2)周末小华去图书馆进行阅读也采用该打车方式，打车行驶了15公里，用时12分钟，那么小华的打车总费用为多少元？ 【答案】(1) (2)21元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，代数式求值，解题的关键是根据题意列出方程组． （1）根据表格信息列出方程组，解方程组即可； （2）将代入代数式，求值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：小华的里程数是，时间为， 则总费用是：（元）， 答：总费用是21元． 1．明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设有醇酒瓶，薄酒瓶，根据题意可列方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 【详解】设有醇酒瓶，薄酒瓶， 根据题意得：， 故选：． 2．如图，用四个完全相同且长、宽分别为，()的长方形纸片围成一个大正方形，中间是空的小正方形．已知，，则下列关系式中不正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，观察图形，整个图案正方形的边长，小正方形的边长，从而及，故得到，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得： ∴，则只有D选项不正确，符合题意 故选：D． 3．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花（　　） A．200元 B．300元 C．400元 D．500元 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设打折前每件A商品x元，每件B商品y元，根据“买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元”列出方程组，解方程组后进一步计算即可得到答案． 【详解】解：设打折前每件A商品x元，每件B商品y元， ∵买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元， ∴， 解得， ∴打折前每件A商品16元，每件B商品4元， ∵（元）， ∴买500件A商品和500件B商品比不打折少花400元； 故选：C． 4．老师利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按照图①方式放置，再交换两木块儿的位置，按照图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多 ，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子的高度是，长方体木块截面的长比宽多， 依题意，得， 解得：， 故桌子的高度是． 故选：B． 5．用图中的长方形和正方形不锈钢板材可以焊接成图所示的竖式和横式两种无盖的不锈钢盒子，工厂为了防止领取的板材不能配套焊接，规定每次领取的不锈钢板材必须恰好用完（   ）． 下表是车间四次领取不锈钢板材的记录：    日期 正方形纸板（张） 长方形纸板（张） 第一次 第二次 第三次 第四次 若材料管理员在核查时发现其中有一次记录出错了，则记录出错的是（   ） A．第一次 B．第二次 C．第三次 D．第四次 【答案】D 【分析】设可以做成个竖式无盖纸盒，个横式无盖纸盒，根据四次领取正方形及长方形纸板的数量，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再结合，为正整数，即可得出结论． 【详解】设可以做成个竖式无盖的不锈钢盒子，个横式式无盖的不锈钢盒子， 第一次：，解得：，数据无误； 第二次：，解得：，数据无误； 第三次：，解得：，数据无误； 第四次：，解得：，不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6．“双”促销活动中，小芳的妈妈计划用元在网上购买价格为元和元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有 种 【答案】4 【分析】设购买元的商品数量为，购买元的商品数量为，根据总费用是元列出方程，求得正整数、的值即可． 【详解】解：设购买元的商品数量为，购买元的商品数量为， 依题意得：， 整理，得：． 因为是正整数， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 即有种购买方案． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用．对于此类问题，挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．然后根据未知数的实际意义求其整数解． 7．东辰中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，已知七年级一班在8场比赛中得到13分，问七年级一班胜了 场． 【答案】5 【分析】设七年级一班胜了场，负了场，由每队胜一场得2分，负一场得1分，已知七年级一班在8场比赛中得到13分，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设七年级一班胜了场，负了场， 根据题意可得：， 解得， 即七年级一班胜了5场， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 8．甲、乙两人做同样的零件，如果甲先做1天，乙再开始做，5天后两人做的一样多，如果甲先做个，乙再开始做，4天后乙反比甲多做个．甲，乙两人每天分别做多少个？设甲，每天做x个，乙每天做y个，列出的方程组是 【答案】 【分析】根据甲先做1天，乙再开始做，5天后两人做的一样多，列一个方程，甲先做个，乙再开始做，4天后乙反比甲多做个列第二个方程即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：； 【点睛】本题考查二元一次方程组解实际应用问题，解题的关键是从提议中找到等量关系式． 9．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则x= ，y= ． x 6 20 22 y 【答案】 10 2 【分析】根据定义补全九宫格，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，都是， 补全九宫格如下： x 6 20 22 y 4 18 ∴，解得， 故答案为：10，2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．理解题意，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10．在学完书中例题后，小聪想用现有的硬纸板裁成如图①的长方形和正方形作为侧面与底面，做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．已知一张硬纸板的裁剪方式有两种（均有余料），方式一：裁成3个长方形与一个正方形；方式二：裁成2个长方形与2个正方形．现小聪将m张硬纸板用方式一裁剪，n张硬纸板用方式二裁剪，则 （1）两种方式共裁出长方形 张，正方形 张．（用m、n的代数式表示） （2）当时，所裁得的长方形与正方形纸板恰好用完，做成的两种无盖纸盒一共可能是 个． 【答案】 12 【分析】（1）根据方式一：裁成3个长方形与一个正方形：方式二：裁成2个长方形与2个正方形即可得出结论； （2）先根据两种盒子所需长方形和正方形的数量之比为7：3，求出m＝4n，m，n为正整数，且10＜m＜15，得出m＝12，n＝3，再设做成竖式盒子x个，横式盒子y个，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：（1）依题意得：两种方式共裁出长方形（3m+2n）张，正方形（m+2n）张． 故答案为：（3m+2n）；（m+2n）； （2）由题意得：（3m+2n）：（m+2n）＝7：3， 解得：m＝4n， ∵m，n为正整数，且10＜m＜15， ∴m＝12，n＝3， ∴两种方式共裁出长方形3×12+2×3＝42（张），正方形12+2×3＝18（张）， 设做成竖式盒子x个，横式盒子y个， 根据题意得：， 解得：， ∴做成的两种无盖纸盒一共可能是6+6＝12（个）， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，关键是弄清两种盒子所需正方形和长方形的数量关系． 11．某校开展了“金山银山，不如绿水青山”为主题的环保知识竞赛，后勤部为学生购买奖品：A类钢笔和B类钢笔一共100支，单价分别为8元和14元，共花去1000元，并公布出费用明细．对此，同学们提出了质疑，觉得后勤部算错了． (1)请用方程的知识帮助后勤部计算一下，为什么他们搞错了； (2)后勤部拿出发票后，发现的确错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能认出单价是小于10的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？ 【答案】(1)后勤部搞错了；理由见解析 (2)笔记本的单价为2元或8元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意准确列出方程组是解题关键． （1）设单价为8元的钢笔买了x支，则单价为14元的钢笔买了y支，根据题意列出方程组即可； （2）设笔记本的单价为m元，结合题意，列出方程组根据，且m为整数，分情况求解即可． 【详解】（1）解：设单价为8元的钢笔买了x支，则单价为14元的钢笔买了y支， 根据题意得： ， 解得：， ∵钢笔的数量不可能是小数， ∴后勤部搞错了； （2）解：设笔记本的单价为m元， 根据题意得：  ， 解得：， 因为，且m为整数， ， ∵x取整数， ∴，68， 当时，， 当时，， 综上所述，笔记本的单价为2元或8元． 12．已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物—次可运货10吨；用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨．某物流公司现有货物35吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金130元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运3吨，1辆B型车载满货物一次可运4吨 (2)见解析 (3)租A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为1140元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，理解题意，列方程是解决问题的关键． （1）设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货x吨、y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物—次可运货10吨；用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨” 列出方程求解即可； （2）根据（1）所求可得，求出次方程的整数解即可得到答案； （3）根据（2）所求，分别计算出三种方案的运费即可得到答案． 【详解】（1）解：设每辆A型车、B型车都载满货物一次可以分别运货x吨、y吨， 根据题意，得， 解得，经检验，方程组的解符合题意． 答：1辆A型车载满货物一次可运3吨，1辆B型车载满货物一次可运4吨． （2）由（1），得， ∴，∵a，b都是正整数，∴，或，或， ∴有3种租车方案： 方案一：A型车9辆，B型车2辆； 方案二：A型车5辆，B型车5辆； 方案三：A型车1辆，B型车8辆． （3）∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金130元/次， ∴方案一需租金：（元）； 方案二需租金：（元）； 方案三需租金：（元）． ∵ ∴最省钱的租车方案是方案三 答：租A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为1140元． 13．为迎接春季运动会，学校先在体育用品商店购买30个足球和60条跳绳用去720元，后又购买10个足球和50条跳绳用去360元． (1)足球、跳绳的单价各是多少元？ (2)该店最近正在开展促销活动，所有商品都按相同的折数打折销售，在该店促销期间购买100个足球和100条跳绳只需1800元，该店的商品按原价的几折销售？ 【答案】(1)足球的单价为16元/个，跳绳的单价为4元/条 (2)该店的商品按原价的9折销售 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程（组），是解题的关键． （1）设足球的单价为x元/个，跳绳的单价为y元/条，根据购买30个足球和60条跳绳用去720元，购买10个足球和50条跳绳用去360元，列出方程组进行求解即可； （2）设该店的商品按原价的m折销售，根据促销期间购买100个足球和100条跳绳只需1800元，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设足球的单价为x元/个，跳绳的单价为y元/条，由题意可得： 解得： 答：足球的单价为16元/个，跳绳的单价为4元/条． （2）设该店的商品按原价的m折销售，由题意可得： 解得： 答：该店的商品按原价的9折销售． 14．汽车公司有甲、乙两种货车可供租用，现有一批货物要运往某地，货主准备租用该公司货车，已知甲、乙两种货车的运货情况（每辆车都满载）如下表： 第一次 第二次 甲种货车/辆 2 5 乙种货车/辆 3 6 累计运货/吨 (1)甲、乙两种货车每辆满戟分别可装多少吨货物？ (2)若货主需要租用该公司的甲种货车8辆，乙种货车6辆，刚好运完这批货物（每辆车都满载），若按每吨付运费元，则货主应付运费多少元？ (3)若货主共有吨货，计划租用该公司的货车（每辆车都满载）正好把这批货运完，则该汽车公司共有哪几种运货方案？ 【答案】(1)甲、乙两种货车每辆满载分别可装吨、吨货物 (2)货主应付运费元 (3)详见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是找出题目中的两个关键未知量找出等量关系列出方程组． （1）两个相等关系∶第一次2辆甲种车载重的吨数辆乙种货车载重的吨数；第二次5辆甲种车载重的吨数辆乙种货车载重的吨数，根据以上两个相等关系，列方程组求解即可； （2）结合（1）的结果，求出8辆甲种货车和6辆乙种货车一次刚好运完的吨数，再乘以即得货主应付运费； （3）设租用甲种货车共a辆，乙种货车b辆．根据题意得，此方程的非负整数解共有四个故共有四种方案． 【详解】（1）解：设甲种货车每辆满载可装吨货物，乙种货车每辆满载可装吨货物．根据题意，得， 解得， 答：甲、乙两种货车每辆满载分别可装吨、吨货物； （2）元， 答：货主应付运费元； （3）设租用甲种货车辆，乙种货车辆．根据题意，得，此方程的非负整数解共有组，分别为或或或， 故共有如下表所示的四种方案： 方案一 方案二 方案三 方案四 甲种货车辆 乙种货车辆 15．某物流公司有360箱货物需要运送，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如表所示： (假设每辆车均满载) 车型 甲 乙 丙 运载量(箱/辆) 20 30 40 运费(元/辆) 300 400 450 (1)全部货物一次性运送可用甲型车6辆， 乙型车4辆， 丙型车 辆： (2)若全部货物仅用甲、 乙两种车型一次性运完， 需运费5100元，求甲、 乙两种车型各需多少辆？ (3)若该公司打算用甲、 乙、丙三种车型同时参与运送， 已知车辆总数为11辆， 且一次性运完所有货物， 请设计出所有的运送方案， 并写出最少运费． 【答案】(1)3 (2)甲种车型需9辆，乙种车型需6辆 (3)所有的运送方案为：①甲车 1辆， 乙车6辆， 丙车4辆；②甲车2辆， 乙车4辆， 丙车5辆；③甲车3辆，乙车2辆，丙车6辆．最低运费为4400元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （1）利用所需丙型车的数量（货物的总箱数每辆甲型车的运载量使用用型车的辆数一每辆乙型车的运载量使用乙型车的辆数）每辆丙型车的运载量，即可求出结论； （2）设甲型车需x辆，乙型车需y辆，根据“甲、乙两种车型一次性可运送360箱货物，且需运费5100元”，可列出关于必，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设使用a辆甲型车，b辆乙型车，则使用辆丙型车，根据使用的三种车型一次性可运送360箱货物，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b，均为正整数，可得出各运输方案，再求出各方案所需运费，比较后即可得出结论． 【详解】（1）根据题意得： （辆）； 故答案为：3； （2）设甲种车型需x辆，乙种车型需y辆，根据题意得： 解得 答：甲种车型需9辆，乙种车型需6辆． （3）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有辆， 由题意得 ∵a、 b、均为正整数， ，， ∴所有的运送方案为： ①甲车 1辆， 乙车6辆， 丙车4辆； (元)， ②甲车2辆， 乙车4辆， 丙车5辆； (元)， ③甲车3辆，乙车2辆，丙车6辆． (元)， 最低运费为4400元． 1．（2022·江苏宿迁·中考真题）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该店有客房x间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人； 根据题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键． 2．（2022·江苏扬州·中考真题）《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常顺捷地解决这个问题，如果设鸡有只，兔有只，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一只鸡1个头2个足，一只兔1个头4个足，利用共35头，94足，列方程组即可 【详解】一只鸡1个头2个足，一只兔1个头4个足 设鸡有只，兔有只 由35头，94足，得： 故选：D 【点睛】本题考查方程组的实际应用，注意结合实际情况，即一只鸡1个头2个足，一只兔1个头4个足，去列方程 3．（2021·江苏淮安·中考真题）《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设甲、乙的持钱数分别为x，y，根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组解答即可． 【详解】解：设甲、乙的持钱数分别为x，y， 根据题意可得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程. 4．（2021·江苏南通·中考真题）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题的等量关系是：绳长=木长+4.5；绳长=木长-1，据此可列方程组求解． 【详解】解：设木长x尺，绳长y尺， 依题意得 故选：D． 【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解． 5．（2023·江苏盐城·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱．问人数、物品的价格分别是多少？”该问题中的人数为 . 【答案】7人 【分析】设共有x人，价格为y钱，根据题意列出二元一次方程组即可求解． 【详解】解：设共有x人，价格为y钱，依题意得： ， 解得：， 答：物品价格为53钱，共同购买该物品的人数有7人, 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组即可求解． 6．（2020·江苏扬州·中考真题）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则________，________； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ （3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________． 【答案】（1）-1，5；（2）购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；（3）-11 【分析】（1）已知，利用解题的“整体思想”，①-②即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值； （2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意列出方程组，根据（1）中“整体思想”，即可求解； （3）根据，可得，，，根据“整体思想”，即可求得的值． 【详解】（1） ①-②，得x-y=-1 ①+②，得3x+3y=15 ∴x+y=5 故答案为：-1，5 （2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，则 ①×2，得40x+6y+4z=64③ ③-②，得x+y+z=6 ∴5(x+y+z)=30 ∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元 （3）∵ ∴①，②， ∴②-①，得③ ∴④ ①+②，得⑤ ⑤-④，得 ∴ 故答案为：-11 【点睛】本题考查了利用“整体思想”解二元二次方程组，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，引入了新运算，根据定义结合“整体思想”求代数式的值． 7．（2022·江苏南京·中考真题）某文印店用2660元购进一批白色复印纸和彩色复印纸，白色复印纸每箱80元，彩色复印纸每箱180元，购买白色复印纸得箱数是彩色复印纸得箱数得5倍少3箱，求购买的白色复印纸得箱数和彩色复印纸得箱数． 【答案】购买的白色复印纸22箱，彩色复印纸5箱 【分析】设购买的白色复印纸箱，彩色复印纸箱，根据总价是2660元、购买白色复印纸得箱数是彩色复印纸得箱数得5倍少3箱，列二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设购买的白色复印纸箱，彩色复印纸箱． 由题意得： 解得： 答：购买的白色复印纸22箱，彩色复印纸5箱． 【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程组． 8．（2022·江苏徐州·中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，问禽、兽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头与46只脚．问兽、鸟各有多少？ 根据译文，解决下列问题： (1)设兽有x个，鸟有y只，可列方程组为 ； (2)求兽、鸟各有多少． 【答案】(1) (2)兽有8只，鸟有7只． 【分析】（1）根据“兽与鸟共有76个头与46只脚”，即可得出关于x、y的二元一次方程组； （2）解方程组，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵兽与鸟共有76个头， ∴6x+4y=76； ∵兽与鸟共有46只脚， ∴4x+2y=46． ∴可列方程组为． 故答案为：； （2）解：原方程组可化简为， 由②可得y=23-2x③， 将③代入①得3x+2（23-2x）=38， 解得x=8， ∴y=23-2x=23-2×8=7． 答：兽有8只，鸟有7只． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．（2021·江苏镇江·中考真题）《九章算术》被历代数学家尊为“算经之首”．下面是其卷中记载的关于“盈不足”的一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？这段话的意思是：今有人合伙买金，每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱．合伙人数、金价各是多少？请解决上述问题． 【答案】共33人合伙买金，金价为9800钱 【分析】设共x人合伙买金，金价为y钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱；每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设共x人合伙买金，金价为y钱， 依题意得：， 解得：． 答：共33人合伙买金，金价为9800钱． 【点睛】本题考查了二元-次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 10．（2021·江苏泰州·中考真题）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建多长？ 【答案】甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米 【分析】设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据原计划每月修建和甲提高效率后每月修建列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲工程队原计划每月修建x千米，乙甲工程队原计划每月修建y千米，根据题意得， 解得， 答：甲工程队原计划每月修建2千米，乙甲工程队原计划每月修建3千米 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程． 11．（2020·江苏徐州·中考真题）本地某快递公司规定：寄件不超过千克的部分按起步价计费；寄件超过千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到上海和北京，收费标准及实际收费如下表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过千克的部分 （元千克） 上海 北京 实际收费 目的地 质量 费用（元） 上海 北京 求，的值． 【答案】， 【分析】根据题意“寄件不超过千克的部分按起步价计费；寄件超过千克的部分按千克计费”列出方程组求解即可得到结果． 【详解】根据题意得：， 解得：， ∴，． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$