专题07 导数与函数的单调性（五大题型，重难点突破）-【课后优辅导】2024年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题07 导数与函数的单调性 知识点一：单调性基础问题 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 知识点二：讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 【解题方法总结】 1、求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性． 注：①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数． ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减． 重难点题型一：求单调区间 例1、（21-22高三上·广东珠海·期末）函数的递减区间为（    ） A． B． C． D． 例2、（23-24高二下·江苏·阶段练习）函数的单调增区间为 ． 例3、（22-23高二下·河南省直辖县级单位·期末）的单调增区间为 . 变式训练1、（22-23高二下·河南省直辖县级单位·阶段练习）设，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D．和 变式训练2、（22-23高二下·福建福州·期中）已知函数，则其单调增区间是（    ） A． B． C． D． 变式训练3、（22-23高二下·广东茂名·阶段练习）函数的单调递减区间是 . 重难点题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 例4、（21-22高二下·安徽安庆·阶段练习）设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则的解集是 . 例5、（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例6、（23-24高二上·山西长治·期末）函数的导函数的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 变式训练4、（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 ． 变式训练5、（23-24高三上·辽宁抚顺·开学考试）如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 变式训练6、（22-23高二下·四川乐山·期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 重难点题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围 例7、（17-18高二下·辽宁沈阳·期中）设函数在区间上单调递减，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 例8、（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例9、（22-23高三上·江苏扬州·开学考试）已知，其中e为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 变式训练7、（22-23高二下·广西南宁·期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式训练8、（23-24高三上·上海静安·期中）函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是 . 变式训练10、（2023·辽宁·模拟预测）若，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 重难点题型四：不含参数单调性问题 例10、（21-22高三上·河南·阶段练习）已知函数. (1)若，求的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，求实数的取值范围. 例11、（2021·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为． （1）求的单调区间； （2）讨论函数在上的零点个数 变式训练11、（22-23高三上·北京海淀·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间上的取值范围是，求的取值范围． 变式训练12、（18-19高二·全国·单元测试）已知函数（为自然数对数的底数）. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 重难点题型五：含参数单调性问题 例12、（23-24高三上·江苏淮安·开学考试）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)求证：当时，． 例13、（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，其中是自然对数的底数． (1)讨论函数的单调性； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围． 例14．（21-22高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意的，都有成立，求a的取值范围． 变式训练13、（21-22高三上·河南许昌·阶段练习）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 变式训练14、（20-21高二上·陕西宝鸡·期末）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围． 变式训练15、（2023·全国·模拟预测）已知. (1)讨论函数的单调性. (2)函数在上是否存在两个零点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 1．（19-20高二下·浙江宁波·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2．（2023高三·全国·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·全国·课时练习）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是增函数 5．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为 . 6．（22-23高二下·四川成都·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围. 7．（2022·甘肃天水·一模）设函数 (1)若函数在上递增，在上递减，求实数的值. (2)讨论在上的单调性. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 导数与函数的单调性 知识点一：单调性基础问题 1、函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2、已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 知识点二：讨论单调区间问题 类型一：不含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）； （4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）； （5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）； （6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． （7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）； 类型二：含参数单调性讨论 （1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）； （2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）； （3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根； （4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）； （5）导数图像定区间； 【解题方法总结】 1、求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； （4）确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性． 注：①使的离散点不影响函数的单调性，即当在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的．例如，在上，，当时，；当时，，而显然在上是单调递增函数． ②若函数在区间上单调递增，则（不恒为0），反之不成立．因为，即或，当时，函数在区间上单调递增．当时，在这个区间为常值函数；同理，若函数在区间上单调递减，则（不恒为0），反之不成立．这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件．于是有如下结论： 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减． 重难点题型一：求单调区间 例1、（21-22高三上·广东珠海·期末）函数的递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数与原函数单调性的关系进行求解即可. 【详解】， 由， 所以函数的递减区间为， 故选：C 例2、（23-24高二下·江苏·阶段练习）函数的单调增区间为 ． 【答案】（或） 【分析】 求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得， 所以函数的单调增区间为（或）. 故答案为：（或） 例3、（22-23高二下·河南省直辖县级单位·期末）的单调增区间为 . 【答案】 【分析】 利用导数求解． 【详解】函数定义域是， 由已知，由得， 所以递增区间为. 故答案为：． 变式训练1、（22-23高二下·河南省直辖县级单位·阶段练习）设，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D．和 【答案】D 【分析】利用函数的单调性与导函数的正负之间的关系即可得. 【详解】由，得， 令，得或， ，的变化情况如下表所示. 单调递减 单调递增 单调递减 所以，的单调递减区间是和. 故选：D. 变式训练2、（22-23高二下·福建福州·期中）已知函数，则其单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的定义域和导数，解不等式结合定义域即可求解. 【详解】由，函数定义域为， 求导，令，得或（舍去）, 所以单调增区间是 故选：D. 变式训练3、（22-23高二下·广东茂名·阶段练习）函数的单调递减区间是 . 【答案】 【分析】求导函数并由求自变量范围，即可得单调递减区间. 【详解】由题设，令，解得， 因此，函数的单调递减区间是. 故答案为： 重难点题型二：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像 例4、（21-22高二下·安徽安庆·阶段练习）设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则的解集是 . 【答案】 【分析】根据原函数与导函数的图象关系，分类讨论求解即可得到答案. 【详解】当时，，为减函数，所以，即， 当时，，为增函数，所以，即， 当时，，为减函数，所以，即， 综上的解集为 故答案为： 例5、（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用的图象分析的正负情况，从而分类讨论即可得解. 【详解】由图象可知在上单调递增，在上单调递减， 所以当或时，；当时，； 而等价于①，或②， 由①得或，则， 由②得，则， 综上，. 故选：B. 例6、（23-24高二上·山西长治·期末）函数的导函数的图象如图所示，那么该函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导函数的图像利用导数函数知识从而得到的图像，从而求解. 【详解】由题意知与轴有三个交点，不妨设为， 当，，当，, 当，，当，， 所以在区间，单调递减，故A、C错误； 在区间,单调递增，故B错误，故D正确. 故选：D. 变式训练4、（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】 由函数图象的单调性可得其导数的正负，即可解出该不等式. 【详解】由的图象可得在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，，当x∈时，， 因为，所以或， 即或或，解得或， 所以原不等式的解集为． 故答案为：. 变式训练5、（23-24高三上·辽宁抚顺·开学考试）如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的单调性与导数的关系及符号法则解不等式即可. 【详解】由题可得函数的单调增区间为，，单调减区间为， 所以时，，时，， 由，可得或，所以. 故选：D. 变式训练6、（22-23高二下·四川乐山·期中）已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象判断其导数的正负情况，即可求得答案. 【详解】由函数的图象可知当或时，； 当时，， 等价于或， 故不等式的解集为， 故选：A 重难点题型三：已知含量参函数在区间上单调或不单调或存在单调区间，求参数范围 例7、（17-18高二下·辽宁沈阳·期中）设函数在区间上单调递减，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出原函数的导函数，由导数小于零，求出函数的减区间，由题意得到关于的不等式组，求解得答案． 【详解】由（），得， 由，得， 解得， 所以的减区间为 因为在区间上单调递减， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：D 例8、（23-24高三上·山西晋中·阶段练习）若函数在区间单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性可得在上恒成立，则在上恒成立，结合函数单调性得最值，即可得的取值范围. 【详解】若函数在区间单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立； 又函数在上递减，所以恒成立，则 故的取值范围是. 故选：D. 例9、（22-23高三上·江苏扬州·开学考试）已知，其中e为自然对数的底数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由，得，再由，得，由，得，然后构造函数，利用导数判断其单调性，可比较出的大小，从而可得答案. 【详解】令，则， 当时，，当时，， 所以当时，取得最小值，即， 所以， 所以﹔ 因为，所以， 令（），则， 当时，，当时，， 所以当时，取得最小值，所以， 所以，所以： 设 设 在上，，递减，所以 所以，递增， 所以，即 所以 综上： 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查利用函数的单调性比较大小，解题的关键是根据合理构造函数，通过函数的单调性比较大小，考查数学转化思想，属于较难题. 变式训练7、（22-23高二下·广西南宁·期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】 依题可知，在上恒成立， 显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：D． 变式训练8、（23-24高三上·上海静安·期中）函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导，即或恒成立，分类讨论即可. 【详解】因为函数在区间上是单调函数， 则在上有或恒成立， 当时，即，则， 当时，即，则， 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 变式训练9、（19-20高二下·宁夏·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对函数求导，函数在上单调递增，即在上恒成立，分离参数求出最值，可得实数的取值范围． 【详解】在上恒成立， 即在上恒成立， 在上单调递增， 故答案为： 【点睛】本题考查导数在单调性中的应用，考查学生计算能力，属于基础题． 变式训练10、（2023·辽宁·模拟预测）若，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，，利用导数分析函数在上的单调性，可得出、、，结合函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】设，， 当时，， 令，则， 所以函数在区间上单调递减， 所以， 又，所以， 所以函数在区间上单调递减， 所以， 故. 故选：B. 【点睛】思路点睛：解答比较函数值大小问题，常见的思路有两个： （1）判断各个数值所在的区间； （2）利用函数的单调性直接解答. 数值比较多的比较大小问题也也可以利用两种方法的综合应用. 重难点题型四：不含参数单调性问题 例10、（21-22高三上·河南·阶段练习）已知函数. (1)若，求的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)单增区间为， (2) 【分析】（1）求出导函数，解可得增区间； （2）求出导函数，由在上恒成立可得参数范围． 【详解】（1）由题可知：， 当时，，由得：或， 故的单增区间为，. （2）由（1）可知， 若在区间上单调递增，则对恒成立， 即对恒成立， 结合，从而，即对恒成立，于是. 例11、（2021·陕西榆林·模拟预测）已知函数的定义域为． （1）求的单调区间； （2）讨论函数在上的零点个数 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为，（2）答案见解析 【分析】（1）求出函数导数，令，分析导数在零点分割定义域所得区间上的符号，即可的出函数的单调性； （2）原函数零点可转化为方程根的个数，利用函数的单调性求出函数的极值，即可讨论出答案. 【详解】（1）， 因为，所以的零点为0和1. 令，得；令，得或. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，. （2）由（1）知，在上的极大值为， 极小值为， 因为，，所以. ，由，得. 当或时，的零点个数为0； 当或时，的零点个数为1； 当或时，的零点个数为2； 当时，的零点个数为3. 【点睛】关键点点睛：函数在上的零点个数可转化为在上根的个数，需要结合函数的极值，讨论的范围得出方程根的个数，属于中档题. 变式训练11、（22-23高三上·北京海淀·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若在区间上的取值范围是，求的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，；单调递减区间为 (2) 【分析】（1）求导后，根据的正负即可确定的单调区间； （2）分别令，可求得的临界值，分别在、和的情况下，根据值域确定满足题意的范围. 【详解】（1）由题意知：定义域为，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，；单调递减区间为. （2）由得；， 解得：或； 由得：或；； ①当时，，不合题意； ②当时，，即值域为，满足题意； ③当时，，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 变式训练12、（18-19高二·全国·单元测试）已知函数（为自然数对数的底数）. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)递减区间是和，递增区间是；(2). 【分析】(1)当时，求出函数的导数，再求出导数值大于0及小于0的x取值区间即可得解； (2)求出函数的导数，由给定条件转化成恒成立的不等式即可求解作答. 【详解】(1)当时，，求导得， 解得或，解得， 所以函数的单调递减区间是和，单调递增区间是； (2)依题意，， 因函数在上单调递增，则， 令，，显然在上单调递增，于是得时，，则， 所以的取值范围是. 重难点题型五：含参数单调性问题 例12、（23-24高三上·江苏淮安·开学考试）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)求证：当时，． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间. （2）将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数证得不等式成立. 【详解】（1）因为，所以． ①当时，在单调递减； ②当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）当时，， 要证明，只要证，即证， 设，则，令得，列表得 a 1 0 单调递减 极小值 单调递增 所以，即，所以． 例13、（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，其中是自然对数的底数． (1)讨论函数的单调性； (2)若在区间上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 （1）先求出导数，分，，讨论单调性. (2)根据第（1）问，分，，讨论在的单调性，求 【详解】（1） 当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增. 当时，时，；时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 当时，时，；时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上：时在上单调递增. 时在上单调递增，在上单调递减 时在上单调递增，在上单调递减. （2）若在区间上有解，即求 当时在上单调递增，所以在上的最小值为不成立，故不满足题意. 当时在上单调递增，在上单调递减 当时，所以函数在单调递减， 所以成立，满足题意. 时，函数在单调递减，在上单调递增. 所以不成立，舍去 时在上单调递增，在上单调递减. 所以函数在单调递增，，所以 综上的取值范围为： 例14．（21-22高二下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若对任意的，都有成立，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出，分别讨论不同范围下的正负，分别求单调性； （2）对任意的，都有成立，只需任意的，，然后，结合（1）的单调性求出即可求解 【详解】（1）该函数的定义域为， ， ①当时，恒成立，函数的递增区间为； ②当时，令，解得或， 所以函数的递增区间为，递减区间为， 所以当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为． （2）对任意的，都有成立，只需任意的，， ①当时，在上是增函数，所以只需，而，所以满足题意； ②当时，，在上是增函数， 所以只需，而，所以满足题意； ③当时，，在上是减函数， 在上是增函数，所以只需即可， 而，从而不满足题意； 综上①②③可得：实数a的取值范围为． 变式训练13、（21-22高三上·河南许昌·阶段练习）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】（1）求的导函数，讨论参数判断的符号，进而确定的单调性； （2）由题设可知在上恒成立，构造并利用导数研究单调性，即可求的取值范围. 【详解】（1）∵， 当时，，由得；由得. 当时，令，令得，. 当时，由得；由得. 当，即时，由得；由得. 当，即时，恒成立. 当，即时，由得，由得. 综上，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减. （2）由，故在上恒成立， 即在上恒成立，即在上恒成立， 设，则， 令，则， ，则， 在上单调递减，则， ，则在上单调递减，有， 的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：第二问，问题转化为在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性求值域，进而确定参数范围. 变式训练14、（20-21高二上·陕西宝鸡·期末）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，若恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）． 【解析】（1）求出导函数，分类讨论确定的解得增区间，同时可由得减区间； （2）由（1）得的最小值为，解不等式可得． 【详解】（1）函数定义域为， 由题意， 当时，在时，恒成立，在上单调递增， 当时，的解为，的解为， 在上递增，在上递减． （2）由（1）知时，在上递增，在上递减． 所以，恒成立，则， 即，由于时，，不等式不成立，所以，解得． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，研究不等式恒成立问题．一般地恒成立等价于，恒成立，等价于，然后解不等式可得参数范围．或者用分离参数法转化为（其中不参数），则，若，则． 变式训练15、（2023·全国·模拟预测）已知. (1)讨论函数的单调性. (2)函数在上是否存在两个零点？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）含有参数的单调性讨论问题，先求导，再分解因式，讨论根的大小问题； （2）由单调性讨论零点的存在与大小即可. 【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，且      ①当时，因为，所以，所以. 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. ②当时，由，解得；由0，解得或.所以在上单调递减，在，上单调递增. ③当时，（当且仅当时，取等号）恒成立，所以在上单调递增. ④当时，由，解得；由，解得或. 所以在上单调递减，在，上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，则最多只有一个零点，不符合题意.当时，在上单调递减，在，上单调递增， 所以. 当时，，显然与矛盾，所以当时，最多只有一个零点. 综上，对于，函数在上不存在两个零点. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的零点，考查分类讨论思想，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养. 1．（19-20高二下·浙江宁波·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，令求解. 【详解】解：因为， 所以， 令，得， 所以的单调递减区间为， 故选：B 2．（2023高三·全国·专题练习）若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先计算出,由存在单调递减区间知在 上有解即可得出结果. 【详解】函数的定义域为 ，且其导数为．由存在单调递减区间知在 上有解，即有解．因为函数的定义域为 ，所以．要使有解，只需要的最小值小于，所以，即，所以实数的取值范围是 ． 故选:B． 3．（22-23高二下·全国·课时练习）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是减函数 C．在区间上是增函数 D．在区间上是增函数 【答案】AC 【分析】根据函数的导函数图象，即可逐项判断. 【详解】对A：由导函数的图象知在区间上，，故在区间上单调递减，故A项正确； 对B、D：在区间，上分别有大于零和小于零的部分，故在区间，上不单调，故B、D项错误； 对C：在区间上，，所以函数在区间上单调递增，故D项正确. 故选:AC. 4．（2023·云南·二模）函数的单调递增区间为 ． 【答案】/ 【分析】通过二次求导，证明当时，，即得解. 【详解】由题得函数定义域为， 所以在上单调递增，又， 所以当时，， 故的单调递增区间为（或）． 故答案为： 5．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数，则的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】由题得定义域，解即得函数的单调递减区间. 【详解】由题得的定义域为， 由可得， 令，，得，所以的单调递减区间为. 故答案为： 6．（22-23高二下·四川成都·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）对求导得到，令，，解不等式即可得到单调区间； （2）把在上单调递增转化成在上大于等于零恒成立，再求出最值即可得到的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则. 当或时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）在上单调递增， 则在上恒成立. 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以恒成立. 令，， 当时，有最小值为， 故. 所以实数a的取值范围是. 7．（2022·甘肃天水·一模）设函数 (1)若函数在上递增，在上递减，求实数的值. (2)讨论在上的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求得，由求得. （2）先求得，对进行分类讨论，由此求得在上的单调性. 【详解】（1）的定义域为，， 由，解得， 此时， 则在区间上单调递增； 在区间上单调递减，符合题意. 所以的值为. （2）∵， ∴， ①当时，在上单调递增. ②当，即或时，， ∴在上单调递减. ③当且时， 由 得. 令得；令得. ∴在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上递增； 当或时，在上递减； 当且时，在上递增，在上递减. 【点睛】利用导数研究函数的单调性，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论.分类讨论标准的制定主要是根据导函数的结构来进行，分类讨论要做到不重不漏.部分题目，一次求导无法求得函数的单调区间，则可以考虑利用多次求导来进行研究. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$