专题07 导数与函数的单调性（课时训练）-【课后优辅导】2024年春季高二数学下学期精品讲义（人教A版2019）

专题07 导数与函数的单调性 1．（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·河北沧州·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二下·福建宁德·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2021·河南新乡·一模）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2022高三·全国·专题练习）函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（    ） A．为函数的极大值点 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增 8．（23-24高二上·江苏南京·期末）若定义在 上的函数 的图象如图所示，则函数 的增区间为（    ） A． B． C． D． 9．（2013·广东广州·一模）已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 10．（2023·陕西西安·一模）已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二下·河南平顶山·期末）若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（17-18高二下·四川绵阳·期中）若函数在 上是减函数，则 的取值范围是 A． B． C． D． 13．（22-23高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高三上·北京西城·阶段练习）函数在上的单调递减区间为 . 15．（22-23高二下·湖北武汉·期末）函数的单调减区间为 . 16．（2023高三·全国·专题练习）若函数，则函数的单调递减区间为 . 17．（22-23高二下·全国·课时练习）函数在上的单调递增区间为 . 18．（21-22高二·全国·课时练习）若函数的单调递减区间为，实数 ． 19．（17-18高二下·安徽六安·期末）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 20．（22-23高二下·全国·课时练习）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为 ．    21．（22-23高二下·全国·课后作业）已知函数是区间上的单调函数，则的取值范围是 ． 22．（2023高二·全国·专题练习）若函数存在增区间，则实数的取值范围为 . 23．（2023·云南昆明·一模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 24．（21-22高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)证明：. 25．（23-24高三上·河南南阳·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若过点作直线与函数的图象相切，判断切线的条数. 26．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知函数，其中． (1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求； (2)求函数的单调区间． 27．（2021·山东济南·一模）设，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（2022·河南·一模）已知，则这三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）（多选题）如图所示，的导函数的图象，给出下列四个说法，其中正确的是（    ） A．有三个单调区间 B． C． D．在上单调递增，在上单调递减 30．（2023高三·全国·专题练习）（多选题）已知定义在上的函数，其导函数的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是（    ）    A． B． C． D． 31．（2022·海南省直辖县级单位·模拟预测）（多选题）已知，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 32．（2021·广东汕头·一模）（多选题）函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若有两个不相等的实根，则 D．若均为正数，则 33．（2022·贵州遵义·三模）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若有且仅有两个不相等实根，求实数a的取值范围． 34．（21-22高二下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知函数（）. (1)，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 35．（2023·安徽蚌埠·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有2个极值点，证明：. 37．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知，函数． (1)讨论的单调性； (2)求证：存在，使得直线与函数的图像相切． 38．（23-24高三上·山西临汾·期中）已知函数. (1)若单调递增，求的值； (2)设是方程的两个实数根，求证：. 39．（2023·浙江杭州·模拟预测）设函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个零点，，求满足条件的最小正整数的值. 40．（22-23高二下·广东江门·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调增区间． (2)当时，讨论函数的单调性． 41．（2023·广东茂名·一模）设，，则（    ） A． B． C． D． 42．（22-23高三下·山东济南·开学考试）已知，，，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 43．（22-23高二上·江苏南通·期末）（多选题）已知 ，则（   ） A． B． C． D． 44．（22-23高三上·浙江·开学考试）（多选题）已知函数，若存在，使得成立，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，的最小值为 45．（2023·全国·模拟预测）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是 ． 46．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知关于的不等式恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 导数与函数的单调性 1．（2024·浙江·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求出函数的定义域与导函数，再令，解得即可. 【详解】函数的定义域为， 且， 令，解得， 所以的单调递增区间为. 故选：D 2．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用导数求函数的单调递增区间. 【详解】函数，定义域为， ，，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B 3．（22-23高二下·河北沧州·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据导函数的正负分析单调性即可. 【详解】，定义域为，令，解得，所以在上单调递减. 故选：D. 4．（22-23高二下·福建宁德·期末）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，令，求得，即可得到函数的单调递增区间. 【详解】由函数，可得， 令，即，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 5．（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）设函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数单调递增，可得在上恒成立，孤立参数，再设，确定的单调性求最值，即可得实数的取值范围. 【详解】解：函数在上单调递减，则在上恒成立， 所以，在上恒成立，设函数，则， 所以在上恒成立，所以在上单调递增，所以，所以， 则实数的取值范围是. 故选：D. 6．（2021·河南新乡·一模）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用导数求出函数的单调递增区间为，进而可得出，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为的定义域为，， 由，得，解得，所以的递增区间为． 由于在区间上单调递增，则， 所以，解得. 因此，实数的取值范围是． 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用函数在区间上单调递增求参数，可转化为以下两种类型： （1）区间为函数单调递增区间的子集； （2）对任意的，恒成立. 同时也要注意区间左端点和右端点值的大小关系. 7．（2022高三·全国·专题练习）函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（    ） A．为函数的极大值点 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上单调递减 D．函数在区间上单调递增 【答案】D 【分析】 由导数符号与函数单调性的关系结合导函数图象逐一判断即可. 【详解】对于A，由图可知，当时，，单调递减，时，，单调递增，所以为函数的极小值点，故A错误； 对于B，的符号在区间上是先负后正，意味着函数在区间上先单调递减再单调递增，故B错误； 对于C，的符号在区间上是先正后负，意味着函数在区间上先单调递增再单调递减，故C错误； 对于D，当时，，所以函数在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 8．（23-24高二上·江苏南京·期末）若定义在 上的函数 的图象如图所示，则函数 的增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象可得的正负可判断的单调性从而得到答案. 【详解】由图象可得， 当时，由得，在上单调递增， 当时，由得，在上单调递减， 当时，由得，在上单调递减， 综上，函数 的增区间为. 故选：B. 9．（2013·广东广州·一模）已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据函数的图像、单调性以及导数等知识确定正确答案. 【详解】由图可知，当时，单调递减，，由此排除BD选项. 当时，从左向右，是递增、递减、递增， 对应导数的符号为，由此排除C选项， 所以A选项正确. 故选：A 10．（2023·陕西西安·一模）已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、两种情况求解即可. 【详解】若，则单调递减，图像可知，， 若，则单调递增，由图像可知， 故不等式的解集为． 故选：C 11．（22-23高二下·河南平顶山·期末）若函数在区间上单调递增，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】关键函数在区间上单调递增，由在上恒成立求解. 【详解】解：因为函数， 所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立； 即在上恒成立； 即在上恒成立； 所以， 故选：C 12．（17-18高二下·四川绵阳·期中）若函数在 上是减函数，则 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：在上是减函数等价于在上恒成立，利用分离参数求解即可. 详解：因为在上是减函数， 所以在上恒成立， 即，即， ，故选A. 点睛：本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围. 13．（22-23高三上·陕西渭南·阶段练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为在上不单调，故利用在上必有零点，利用，构造函数，通过的范围，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，故在上有零点，令，令，得，令， 则，由，得，单调递增，又由，得， 故，所以，的取值范围 故选：A 14．（23-24高三上·北京西城·阶段练习）函数在上的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】根据原函数单调递减，则导函数小于零，根据导函数小于零解不等式即可. 【详解】由题意知，. 即，，因为，所以， 所以在中，， 所以在上的单调递减区间为. 故答案为： 15．（22-23高二下·湖北武汉·期末）函数的单调减区间为 . 【答案】 【分析】求导后，令导数小于0，求解即可. 【详解】的定义域为， ， 令，可得，可得， 又，则或， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 16．（2023高三·全国·专题练习）若函数，则函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】求出函数的导函数，令，，利用导数说明的单调性，即可求出的取值情况，从而求出的取值情况，即可得到的单调性. 【详解】因为的定义域为，则， 令，，则， 在上单调递减，且， ∴当时，，即， 当时，，即， ∴在上单调递增，在上单调递减， 即函数的单调递减区间为. 故答案为： 17．（22-23高二下·全国·课时练习）函数在上的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】直接利用导数求递增区间即可. 【详解】由题意得，则，又， 解得，所以函数的单调递增区间为， 故答案为：. 18．（21-22高二·全国·课时练习）若函数的单调递减区间为，实数 ． 【答案】 【分析】求出导函数，先排除，当时求出函数的单调区间，结合函数的单调递减区间为可得答案. 【详解】的定义域为．． 若，，所以的单调增区间为，无单调减区间，不合题意． 若，令，得． 当时，有；当时，有． 所以的单调增区间为，单调减区间为． 又因为函数的单调递减区间为，所以． 故答案为：2. 19．（17-18高二下·安徽六安·期末）已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先对函数求导，之后令导数大于等于零在所给定的区间上恒成立，之后应用参数分离，应用函数的最值得到相应的结果. 【详解】根据函数在上单调递增， 则在上恒成立. 即在上恒成立. 所以在上恒成立. 即在上恒成立，所以. 故实数的取值范围是. 故答案为： 20．（22-23高二下·全国·课时练习）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】根据图象得出函数的单调区间，进而得出以及的解，即可得出答案. 【详解】由图可知，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以，当时，；当时，；当时，；当时，. 当时，由可得，此时； 当时，由可得，此时. 综上所述，解集为. 故答案为：. 21．（22-23高二下·全国·课后作业）已知函数是区间上的单调函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 求导，根据是区间上的单调函数，可得导函数的零点不在区间上，从而可得出答案. 【详解】 ， 令，则或， 因为是区间上的单调函数， 所以或，解得或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 22．（2023高二·全国·专题练习）若函数存在增区间，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意知，存在使得，利用参变量分离法得出，利用基本不等式在时的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】，定义域为，， 由题意可知，存在使得，即. 当时，， 所以，，因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 23．（2023·云南昆明·一模）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)在单调递增，在单调递减 (2) 【分析】（1）对求导，利用导数的几何意义，分析导函数的符号即可； （2）利用导函数研究单调性，结合零点存在性定理求解即可. 【详解】（1）当，，则， 令解得，令解得， 所以在单调递增，在单调递减. （2）由题意可得，， 当时，恒成立，单调递增，故至多有一个零点，不符合题意， 所以，由解得，由解得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以由零点存在性定理可得若有两个零点，则，即， 令，由（1）得在单调递增，在单调递减， 又，所以由解得， 当时， 因为， 所以由得在和之间存在一个零点，又，符合题意； 当时，因为趋近于时，趋近于负无穷，所以函数在上有一个零点，又，符合题意； 所以的取值范围为. 24．（21-22高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数. (1)求的单调区间； (2)证明：. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再导数的正负求出函数的单调区间， （2）由，所以构造函数，只要利用导数求出的最大值小于等于零即可 【详解】（1）函数的定义域为， 由，得， 由，得，解得， 由，得，解得 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， （2）要证， 只需证， 因为， 所以只需证即可， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以，即， 所以 25．（23-24高三上·河南南阳·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)若过点作直线与函数的图象相切，判断切线的条数. 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)三条 【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）设出切点，将切线方程表示为含有参数的直线方程，根据切线过点可得关于参数的方程，判断方程根的个数即可求解. 【详解】（1）因为， 所以. 令，得；令，得. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），则， 设切点为， 则，， 所以切线方程为. 将点代入得， 整理得. 因为方程有两个不相等正根， 所以方程共有三个不相等正根. 故过点可以作出三条直线与曲线相切. 26．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知函数，其中． (1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 （1）借助导数的几何意义及截距的定义计算即可得； （2）借助导数分类讨论即可得. 【详解】（1），则，， 故曲线在处的切线为， 即， 当时，令，有， 令，有，故，即， 此时，无切线，故不符合要求，故舍去； 当时，此时切线为，符合要求，故 （2），， 则当时，在上恒成立， 故在上单调递减； 当时，令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减. 27．（2021·山东济南·一模）设，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据其单调性判断大小关系；再构造，根据其单调性即可判断，的大小关系. 【详解】令，则，令，解得， 故当时，单调递减，故，即， 则. 令，则， 故当时，单调递增，时，单调递减， 则，即. ，故； ，故； 综上所述：. 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，且利用函数单调性比较大小，其中解决问题的关键是构函数，从而用作差法比较大小. 28．（2022·河南·一模）已知，则这三个数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较，在同一坐标系中作出与的图象，结合图象与幂函数的性质可比较，即可求解 【详解】令，则， 由，解得，由，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 因为， 所以，即， 所以，所以， 又递增， 所以，即； ， 在同一坐标系中作出与的图象，如图： 由图象可知在中恒有， 又，所以， 又在上单调递增，且 所以，即； 综上可知：， 故选：A 29．（23-24高二下·湖北黄冈·阶段练习）（多选题）如图所示，的导函数的图象，给出下列四个说法，其中正确的是（    ） A．有三个单调区间 B． C． D．在上单调递增，在上单调递减 【答案】CD 【分析】 根据导数值与0的关系结合原函数的单调性判断各个选项即可． 【详解】 对于A，由图象可以看出，的符号是先负后正，再负再正， 所以函数有四个单调区间，故A错误； 对于B，当时，，函数单调递减， 所以，故B错误； 对于C，当时， ，函数单调递增， 所以，故C正确； 对于D，当时，，函数单调递减，显然D正确． 故选：CD． 30．（2023高三·全国·专题练习）（多选题）已知定义在上的函数，其导函数的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据导数与函数单调性的关系及所给图像可得的单调性，由单调性即可得到答案． 【详解】由题意得，当时，，所以函数在上单调递增， 因为，所以，C选项正确. 当时，，所以函数在上单调递减， 因为，所以，D选项正确. 故选：CD 31．（2022·海南省直辖县级单位·模拟预测）（多选题）已知，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】A选项，构造函数，通过求导研究其单调性得到证明；B选项，构造，通过求导研究其单调性，进行求解；C选项，构造，通过求导研究其单调性，进行求解；D选项，利用中间值比大小. 【详解】令在内单调递增. 时，，即A选项正确； 令在内单调递增， ，即，B选项正确； 令，当时，单调递减，当时，单调递增，与大小不确定，C错误； 当时，，D错误 故选：AB 32．（2021·广东汕头·一模）（多选题）函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若有两个不相等的实根，则 D．若均为正数，则 【答案】BD 【分析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项． 由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A，由函数性质判断BC，设，且均为正数，求得，再由函数性质判断D． 【详解】由得： 令得， 当x变化时，变化如下表： x 0 单调递增 极大值 单调递减 故，在上递增，在上递减，是极大值也是最大值，时，时，，且时，时，，， A． ，故A错 B．，且在单调递增 ，故：B正确 C．有两个不相等的零点 不妨设 要证：，即要证：在单调递增，∴只需证：即：只需证：……① 令，则 当时，在单调递增 ，即：这与①矛盾，故C错 D．设，且均为正数，则 且 ，故D正确． 故选：BD． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值，函数零点等性质，解题关键是由导数确定函数的性质．其中函数值的大小比较需利用单调性，函数的零点问题中有两个变量，关键是进行转化，利用零点的关系转化为一个变量，然后引入新函数进行证明． 33．（2022·贵州遵义·三模）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若有且仅有两个不相等实根，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案详见解析 (2) 【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，由此求得的单调区间. （2）由进行化简，通过分离常数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，恒成立，所以在上递增； 当时，在区间递增；在区间递减. （2）依题意有且仅有两个不相等实根， 即有两个不相等的实根， ，构造函数， ，所以在区间递增；在区间递减. 所以. ，当时，，， ， 所以的取值范围是. 34．（21-22高二下·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知函数（）. (1)，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）代入，求导得切线的斜率，进而求得切线方程； （2）先求导，再分，，和讨论导数的正负，进而求得函数的单调性. 【详解】（1）时，，，切线的斜率，则切线方程为； （2）函数的定义域为，且， ①当时，，由，得；由，得则函数的单调递增区间为，单调递减区间为. ②当，即时，由，得或；由，得. 则函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为. ③当，即时，恒成立，则函数的单调递增区间为. ④当，即时， 由，得或；由，得，则函数的单调递增区间为，，函数的单调递减区间为. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 35．（2023·安徽蚌埠·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有2个极值点，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分类讨论导函数的正负，即可求解函数的单调性， （2）根据有两个极值点可得，有，将其代入要证明的不等式中将问题转化为，构造函数，通过求导即可解决. 【详解】（1）的定义域是， ， 当时，在定义域上恒成立，在单调递增. 当时，令得， 当和时，，当时，， 所以在区间和上单调递增，在区间上单调递减 （2）由（1）知的2个极值点是方程的两根， 故得， 设，有. 因为在区间上单调递减，所以 要证明， 等价于证明 而 注意到，只要证明上式右边， 等价于证明， 令 ，证明即可 设，则在上单调递减，所以， 所以成立 综上所述，有2个极值点时，成立 【点睛】本题主要考查了函数单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数截距函数的单调性以及极值，等价转化法以及构造函数的思想也是解题的关键. 37．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知，函数． (1)讨论的单调性； (2)求证：存在，使得直线与函数的图像相切． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数解析式，明确其定义域并求导，根据二次函数的性质，结合导数与函数单调性的关系，可得答案； （2）根据导数的几何意义，建立方程，将其等价于新函数求零点问题，利用导数研究新函数的单调性以及零点存在性定理，可得答案. 【详解】（1）的定义域是，， 当时，恒成立，在单调递增； 当时，令，则，显然成立， 解得：，， 当时，；当时，， 的增区间是和，减区间是． （2），则，设切点坐标为． 由直线与函数的图象相切，则，解得：． 显然直线过原点，则，所以． 整理得，即：，得：． 设，． 当时，，递减，当时，，递增． 又，．所以存在，使得． 存在，使得直线与函数的图像相切． 38．（23-24高三上·山西临汾·期中）已知函数. (1)若单调递增，求的值； (2)设是方程的两个实数根，求证：. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）由单调递增，转化为恒成立，分离参数法可求； （2）由是方程的两个实数根，化简得，，两式作和与差，消去参数，转化为证明，整体换元，转化变形为的证明，构造函数，利用导数证明即可． 【详解】（1），， 则， 由单调递增，则，即， 则有恒成立， 当时， 对任意都成立； 当时，， 则恒成立， 设，则为减函数，当时，则， 且，所以； 当时，，则恒成立， 由为减函数，当时，则， 且，所以； 综上所述，； （2）方程， 所以，则有， 且，由，得． 要证，只要证明，即证， 记，则，， 因此只要证明，即． 记，， 令，则， 当时，， 所以函数在上递增，则， 即， 则在上单调递增，， 即成立， ． 【点睛】多变量导数题的核心思想是不变的——消元，消元的方法有很多，在双变量问题中可以差值比值代换，主元法，构造函数等等.这些方法同样适用于多变量，在三变量消元时也可以考虑先忽略一个变量，将三变量转化成双变量问题. 39．（2023·浙江杭州·模拟预测）设函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个零点，，求满足条件的最小正整数的值. 【答案】(1)答案详见解析 (2) 【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间. （2）先求得，然后对进行分类讨论，由的极小值为负数以及零点存在性定理确定最小正整数的值. 【详解】（1）的定义域是， ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，， 所以在区间上单调递减； 在区间上单调递增. （2）， ， 依题意，，所以在区间上单调递减； 在区间上，单调递增. 所以在时取得极小值也即是最小值. 要使函数有两个零点，， 则首先要满足， 时，，不符合. 时，，不符合. 时，， ，所以， 此时在上单调递减，在上单调递增， ，， ，满足函数有两个零点， 所以最小正整数的值为. 【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间：，则在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；，则在对应区间上是减函数，对应区间为减区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 40．（22-23高二下·广东江门·期中）已知函数． (1)当时，求函数的单调增区间． (2)当时，讨论函数的单调性． 【答案】(1)单调递增区间有和 (2)答案见解析 【分析】（1）当时，对相应求导（此时不含参），即可研究的单调增区间； （2）直接对求导（此时含参），再结合即可进一步讨论的单调性． 【详解】（1）当时，，对其求导得， 令，注意到的定义域为，由此可以列出以下表格： 因此由以上表格可知：函数的单调增区间为和. （2）对函数求导，得， 令，接下来对分两种情形来讨论： 情形一：当时，有，即在上单调递增. 情形二：当时，有，结合以上分析可列出以下表格： 由以上表格可知：在单调递增，在单调递减，在单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，而第二问的关键是要对进行分类讨论. 41．（2023·广东茂名·一模）设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对，，进行变形，构造，，求导后得到其单调性，从而判断出，，的大小. 【详解】，， 故可构造函数，， 所以在上单调递增，所以，即. 故选:B. 42．（22-23高三下·山东济南·开学考试）已知，，，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 【答案】A 【分析】对两边取对数，得到，，，构造，，求导后再令，研究其单调性，得到在上单调递增，从而得到，结合在上的单调性求出答案. 【详解】，，两边取对数得：，，， 令，， 则， 令，， 则在上恒成立， 所以在上为增函数， 因为当时，恒成立， 所以在上恒成立， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 所以，故， 即， 因为在上单调递增，所以. 故选：A 【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对，，两边取对数得：，，前后两个对数中真数之和为11，从而达到构造出适当函数的目的. 43．（22-23高二上·江苏南通·期末）（多选题）已知 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据条件构造函数，求导，计算出x与y的关系，再根据函数的性质逐项分析. 【详解】因为 ，即 ． 令 ，则有， 则 ，令 ，则 ， 令 ，可得， 当时， ，函数单调递增， 当时， ，函数单调递减， 故， 所以总有 ，故单调递减；所以，即； 对于A，，故A错误； 对于B，设 ，则 ， 故在上单调递增，所以， 所以 ，因为，所以 ，故B正确； 对于C，，即． 设，则， 则 ，所以单调递增． 因为，所以，故C正确； 对于D，，即， 令，则， 因为，所以为偶函数， 所以即为． 则 ，令，则 ，所以单调递增． 又， 所以当时，，，函数单调递减； 当时，，，函数单调递增， 当时，，故D错误； 故选：BC. 44．（22-23高三上·浙江·开学考试）（多选题）已知函数，若存在，使得成立，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，的最小值为 【答案】ACD 【分析】求出，则可得在上单调递增在上单调递减，则可画出的图像，利用同构可知等价于，结合图像则可判断AB选项，当时，则可得，，构造函数即可判断CD选项. 【详解】，， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以的图像如图所示： 又，即， 当时，要使越小，则取，故有，故A正确； 又与均可趋向于，故B错误； 当，且， 记，， 恒成立，即在上单调递增， 所以，即当成立，故C正确； ，令， 在单调递减，在单调递增， ，故D正确， 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛： 本题考查利用导数研究函数的单调性与交点，属于难题；画出的图像，利用同构可知等价于，则可求出判断出AB选项，构造函数，则可判断C选项，构造函数则可判断D选项. 45．（2023·全国·模拟预测）若函数在上存在单调递减区间，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先对求导，将问题转化为在上有解，即在上有解，利用换元法与基本不等式求出的最大值即可得解. 【详解】因为， 所以， 则原问题等价于在上有解，即在上有解，即在上有解， 令，则，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时， 所以，则， 所以，即. 故答案为：. 46．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知关于的不等式恰有3个不同的正整数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】 由题意知，关于x的不等式恰有3个不同的正整数解．设函数，，作出函数图象，由图象观察，可得实数的k取值范围． 【详解】 当时，不等式有无数个正整数解，不满足题意； 当时，当时，不等式恒成立，有无数个不同的正整数解，不满足题意； 当时，不等式等价于， 令，所以， 当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 又，结合单调性可知，当时，恒成立， 而表示经过点的直线， 由图像可知，关于的不等式恰有3个不同的正整数解，故只需满足以下条件： 解得．则实数的取值范围是， 故答案为：．    【点睛】 用数形结合思想解决不等式解的问题一般有以下几类： （1）解含参不等式：在解决含有参数不等式时，由于涉及参数，往往需要讨论，导致演算过程复杂，若利用数形结合的方法，问题将简单化； （2）确定参数范围：在确定不等式参数的范围时，几何图形更能使问题直观； （3）证明不等式：把证明的不等式赋予一定的几何意义，将复杂的证明问题明快解决. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$