专题05：三角形-2024年四升五数学暑假专项提升（人教版）

05 三角形 有的放矢 本专题主要针对正负数相关的内容进行逐层巩固拔高拓展，包括： 1.三角形的特性 2.三角形的分类 3.三角形的内角和 能力巩固提升 1．下面是明明为爷爷的菜地设计围篱笆的方案，（    ）更牢固。 A． B． C． D． 2．图中一共有（    ）个三角形。 A．10 B．14 C．20 D．24 3．把两个完全相同的等腰直角三角形，拼成一个大三角形，这个大三角形是（    ）三角形。 A．锐角 B．钝角 C．直角 D．等腰直角 4．一个三角形中最大的角是锐角，这个三角形是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．如图中的三角形在数学上称为“黄金三角形”，其中所有的三角形都是等腰三角形，∠a＝（    ）。 A．24° B．30° C．36° D．54° 6．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（    ）碎玻璃去。 A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第①块和第②块 7．等腰三角形的一个角为30°，另外两个角分别为（    ）。 A．75°和75° B．30°和120° C．A和B都有可能 D．A和B都不可能 8．三根小棒的长分别是5厘米、6厘米、11厘米，这三根小棒( )围成一个三角形。（填“能”或“不能”） 综合拔高拓展 1．从下面的六根小棒中每次取出三根，你能摆出几种三角形？ 2．用一根铁丝围成一个边长为20厘米的等边三角形，同样用这根铁丝还可以围成一个腰长是16厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的底边是多少厘米？ 3．将一个长方形剪去一个角，得到的图形内角和是多少度？ 4．爸爸给小红做了一个风筝。这个风筝的形状是等腰三角形的，顶角是50°。那么，它的一个底角是多少？ 5．一个等腰三角形的周长是20厘米，其中一条边长8厘米，它的另外两条边分别长多少厘米？ 6．在括号里填出图中未知角的度数，并画出底边上的高。 7．星期天，笑笑从家出发去奶奶家，走哪条路最近？走哪条路最远？最近的路与最远的路相差多少米？ 8．一个等腰三角形，它的顶角的度数是一个底角度数的3倍，这个三角形的顶角和一个底角各是多少度？ 9．数学家具有刻苦踏实和勤奋好学的品质。在平时学习中，我们要像数学家一样善于思考，敢于探究。将一根长12厘米的铁丝，分成三段，再首尾相连成一个三角形。李鑫在3厘米处剪了一刀，再在哪个刻度剪一刀就能围成一个三角形？请你先在图中标出剪的位置，再把想法写下来。（边长为整厘米数） 你的想法是： 10．阅读与解答。 同学们，这个学期我们学习了三角形的内角和是180°，其实三角形不仅有三个内角，也有三个外角哦。 【阅读材料】 外角就是三角形中一条边与另一条边的延长线组成的角。下图三角形中，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的三个内角，∠4、∠5、∠6是它的三个外角。三角形的外角和是多少呢？我们一起来研究一下！ 因为∠1＋∠4＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠6＝180° 所以三角形的内角和＋外角和＝3×180°＝540°， 又因为三角形的内角和＝180° 所以三角形的外角和＝540°－180°＝360°。    【解答应用】 （1）求四边形的外角和 因为四边形的内角和＋外角和＝4×180°＝720°， 又因为四边形的内角和＝360°， 所以四边形的外角和＝_____________。    （2）求五边形的外角和 因为五边形的内角和＋外角和＝_____________， 又因为五边形的内角和＝（    ）°， 所以五边形的外角和＝_____________。    （3）请你根据前面的推导过程，完成六边形外角和的探究过程吧！ （4）你发现多边形的外角和有什么规律吗？ __________________________________________________________________________________ 能力巩固提升参考答案 1．C 【分析】 三角形具有稳定性，而四边形具有易变性，要使设计的篱笆更牢固，则应利用三角形的稳定性设计篱笆。 【详解】因为三角形具有稳定性且三角形越多稳定性越大，所以选项C中的篱笆更牢固。 故答案为：C 2．D 【分析】根据三角形的定义可知，图中单独的三角形有5个。由两个图形组成的三角形有8个。由三个图形组成的三角形有3个。由四个图形组成的三角形有5个。由六个图形组成的三角形有2个。由八个图形组成的三角形有1个。则一共有5＋8＋3＋5＋2＋1个三角形。 【详解】5＋8＋3＋5＋2＋1＝24（个） 则图中一共有24个三角形。 故答案为：D。 【点睛】本题考查三角形的认识，数三角形个数时，要按照顺序数，才能做到不重不漏。 3．D 【分析】等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，它的特点是： （1）两底角等于45°。 （2）两腰相等。 【详解】把两个完全相同的等腰直角三角形，拼成一个大三角形，两个等腰直角三角形的底角拼在一起，组成一个直角，如下图： 所以这个大三角形是直角三角形，也是等腰三角形，所以这个大三角形是等腰直角三角形。 故答案为：D 4．A 【分析】根据锐角三角形的含义：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形。因为一个三角形中，最大的一个角是锐角，则另外的两个角必定也是锐角，且三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，所以这个三角形是锐角三角形。 【详解】根据分析可知，一个三角形中最大的角是锐角，这个三角形是锐角三角形。 故答案为：A 5．C 【分析】根据题意和图可知，下面的是以36°为顶角的等腰三角形，三角形的内角和都是180°，用180°减去顶角的度数，即可求出两个底角的和，再除以2即可求出以36°为顶角的等腰三角形的底角度数，这个底角也是以∠a为顶角大等腰三角形的底角，用180°减去两个这样的底角，即可求出∠a的度数。据此解答即可。 【详解】180°－36°＝144° 144°÷2＝72° 180－72°－72°＝36° 即∠a＝36°。 故答案为：C 6．C 【分析】根据三角形的内角和等于180°，用180°减去三角形的两个内角即可得到另一个角的度数，据此把第③块的两条边延长，相交即可得到一块完整的三角形。 【详解】由分析可知： 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第③块碎玻璃去。 故答案为：C 7．C 【分析】等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等，三角形的内角和为180°；逐项分析每个选项，再进行选择；据此解答。 【详解】根据分析： A．若等腰三角形的三个角分别为：30°、75°和75°，符合两个底角相等，30°＋75°＋75°＝180°，三角形的内角和也为180°，所以这三个角可以拼成等腰三角形； B．若等腰三角形的三个角分别为：30°、30°和120°，符合两个底角相等，30°＋30°＋120°＝180°，三角形的内角和也为180°，所以这三个角可以拼成等腰三角形； C．A和B都有可能，原题说法正确； D．A和B都不可能，原题说法错误； 所以等腰三角形的一个角为30°，另外两个角分别为75°和75°，或者30°和120°。 故答案为：C 8．不能 【分析】三角形的任意两边之和大于第三边；据此解答。 【详解】5＋6＝11（厘米） 11厘米＝11厘米 所以这三根小棒不能围成一个三角形。 综合拔高拓展 1．5种 【分析】根据三角形的三边关系解答，本题的可能性存在很多种，可以按数字从小到大的顺序进行一一解答，先将包含一个3的三个数列出，再将包含两个3的三个数列出，接着列出包含一个5的三个数，包含一个7的三个数，包含两个7的三个数，包含3个7的三个数。再根据三角形任意两边之和大于第三遍，任意两边之差（大边减小边）小于第三边判断哪些能够组成三角形。 【详解】三角形任意两边之和大于第三遍，任意两边之差（大边减小边）小于第三边。 3＋3＞5，5－3＜2（满足） 3＋3＜7，7－3＞3（不满足） 3＋5＞7，7－5＜3（满足） 3＋7＞7，7－3＜7（满足） 5＋7＞7，7－5＜7（满足） 7＋7＞7，7－7＜7（满足） 故可以摆出5种。 【点睛】此题主要考查三角形的三边关系以及细心程度，将数字从小到大挨个排序，理解三角形任意两边之和大于第三遍，任意两边之差（大边减小边）小于第三边是解决本题的关键。 2．28厘米 【分析】等边三角形三条边相等，所以等边三角形的周长＝边长×3。可以先用乘法算出这个等边三角形的周长，也就是这根铁丝的长度。用这根铁丝围成一个腰长是16厘米的等腰三角形，那么这个等腰三角形的周长也等于这根铁丝的长度。等腰三角形两条腰长度相等，所以用这根铁丝的长度减去等腰三角形两条腰之和即可得到等腰三角形的底边长度。 【详解】20×3＝60（厘米） 60－16×2 ＝60－32 ＝28（厘米） 答：这个等腰三角形的底边是28厘米。 3．180°或360°或540° 【分析】根据题意可知把一个是长方形剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形；然后根据多边形的内角和为：（边数－2）乘180°；且边数大于等于3；据此可解此题。 【详解】由分析可知，把一个长方形剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，如图： 三角形的内角和为：180°； 四边形的内角和为：（4－2）×180°＝360°； 五边形的内角和为：（5－2）×180°＝540°； 答：得到的图形内角和可能是180°或360°或540°。 4．65° 【分析】等腰三角形的两个腰相等，两个底角相等。已知等腰三角形的顶角是50°，根据三角形内角和等于180°，用180°－50°＝130°，求出两个底角和是130°，再用130°÷2，即可求出它的一个底角是多少度。 【详解】（180°－50°）÷2 ＝130°÷2 ＝65° 答：它的一个底角是65°。 5．8 cm、4 cm或6 cm、6 cm 【分析】本题未说明8是底边长还是腰长，需分类讨论； （1）当8厘米是等腰三角形的腰长时，用周长20厘米减去两个腰的长度就是另一条边的长度，然后用三角形三边关系进行检验即可； （2）当8厘米是等腰三角形的底边长时，用20厘米减去8厘米再除以2即可得到腰长，然后用三角形三边关系进行检验即可。 【详解】当8厘米是等腰三角形的腰长时： ＝20－16＝4（厘米），由，，所以此种情况存在，另外两条边的长各是8厘米、4厘米。 当8厘米是等腰三角形的底边长时： ＝12÷2＝6（厘米），因为，，所以此种情况存在，另外两条边的长各是6厘米、6厘米。 答：它的另外两条边分别是8厘米、4厘米或6厘米、6厘米。 【点睛】本题考查的是等腰三角形性质的运用，灵活运用等腰三角形的性质是解答本题的关键。 6．见详解 【分析】（1）先求与135°角相邻的角的度数，用平角的度数180°减去135°得45°。再根据三角形内角和是180°，用180°减去105°与45°的和，即可得到未知角的度数。 （2）先求与150°角相邻的角的度数，用平角的度数180°减去150°得30°。再用180°30°加90°所得的和，即为未知角的度数。 （3）从三角形的顶点向它的对边（也就是底）引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高，据此画图。 【详解】（1）180°－（180°－135°＋105°） ＝180°－180°＋135°－105° ＝135°－105° ＝30° （2）180°－150°＋90° ＝30°＋90° ＝120° 在括号里填出图中未知角的度数，并画出底边上的高，如下图所示： 【点睛】解决本题的关键是利用平角是180度以及三角形的内角和是180度，还要掌握三角形高的画法。 7．走直接去奶奶家那条路最近；走经过学校的那条路最远；相差1100米 【分析】根据题意可以发现笑笑从家到奶奶家有3条路，分别是直接去奶奶家；或者先经过商场再去奶奶家以及先经过学校再去奶奶家。可以看出图中3条路分别围成了两个三角形，根据三角形两边之和大于第三边，可知走直接去奶奶家那条路最近；分别计算剩下2条路的距离后，进行比较，得出最远的路；然后用最远的减去最近的即可解此题。 【详解】根据三角形两边之和大于第三边可知走直接去奶奶家那条路最近，1100米。 经过商场去奶奶家：1200＋700＝1900（米） 经过学校去奶奶家：900＋1300＝2200（米） 1900＜2200 所以走直接去奶奶家那条路最近，走经过学校的那条路最远。 2200－1100＝1100（米） 答：所以走直接去奶奶家那条路最近，走经过学校的那条路最远，最近的路与最远的路相差1100米。 8．底角： 36°   顶角： 108° 【详解】底角：180°÷（3＋1＋1）＝36°   顶角：36°×3＝108° 9．7厘米或8厘米处；图见详解 【分析】在3厘米处剪一刀，剩余长度为12－3＝9（厘米）。根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断，当另外两边为4厘米和5厘米的时候能够围成三角形。因此可以在7厘米或者8厘米处剪一刀，就能围成一个三角形。 【详解】 想法是：12厘米减去3厘米后还剩9厘米，9厘米可以分成：1厘米和8厘米，2厘米和7厘米，3厘米和6厘米，4厘米和5厘米，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断，3＋1＜8，不符合；3＋2＜7，不符合；3＋6＝6，不符合；3＋4＞5且5－4＜3，符合，即当三角形三条边分别为3厘米、4厘米和5厘米的时候能够围成三角形。 答：在7厘米或者8厘米处剪一刀，就能围成一个三角形。 10．（1）720－360＝360° （2）5×180°＝900°；540°；900°－540°＝360° （3）六边形的内角和＋外角和＝6×180°＝1080° 又因为六边形的内角和＝720° 所以六边形的外角和＝1080°－720°＝360° （4）多边形的外角和都等于360°。 【分析】（1）由三角形的外角和计算过程可知，四边形的外角和＝四边形的外角和与内角和之和－四边形的内角和。据此解答。 （2）由三角形和四边形的外角和计算过程可知，是几边形，外角和与内角和之和就等于几个180°；五边形的内角和为（5－3）×180°；所以五边形的外角和就是2个180°。 （3）根据三角形、四边形、五边形外角和推导过程，写出六边形外角和推导过程即可。 （4）通过三角形、四边形、五边形、六边形外角和推导过程，可以发现几个图形的外角和都是360°。据此解答。 【详解】（1）由分析可知，四边形的外角和为：720°－360°＝360°。 （2）由分析可知，五边形的外角和＋内角和为：5×180°＝900° 五边形的内角和为： （5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 所以五边形的外角和为：900°－540°＝360° （3）因为六边形的内角和＋外角和＝6×180°＝1080°， 又因为六边形的内角和＝（6－2）×180°＝4×180°＝720°， 所以五边形的外角和＝1080°－720°＝360°。 （4）根据三角形、四边形、五边形、六边形外角和推导过程可知，多边形外角和都为360°。 【点睛】本题主要考查运用多边形内角和与平角的特性求多边形的外角和规律，解答此题时要注意根据已有推导入手。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$