精品解析：2024年安徽省淮北市烈山区中考三模数学试题

数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2024 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数定义，根据题意利用相反数定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵的相反数是2024， 故选：B． 2. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由几何体的三视图还原几何体．根据三视图逐项判定即可． 【详解】解：由题意知，该几何体分上下两层，上层为圆柱，下层为长方体，故选项A，B，D均不符合题意，则该几何体如下；     故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂相乘除，幂的乘方，分别根据合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除的计算法则判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项的运算错误； B、，故本选项的运算正确； C、，故本选项的运算错误； D、，故本选项的运算错误． 故选：B 4. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集．先去括号，然后求解即可． 【详解】解：去括号，得 解得， 在数轴上表示为： 故选：A． 5. 英文单词“Loong”翻译成中文表示“龙”从中任选一个字母，选中字母o的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是概率的计算方法． 【详解】解：∵单词Loong中共有5个字母，字母o一共出现两次， ∴字母o出现的概率是， 故选：B． 6. 下列函数中，当时，随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数，二次函数图象的性质，掌握上述函数图象的增减性是解题的关键． 根据一次函数、反比例函数、二次函数图象的增减性即可求解． 【详解】解：A、中，取全体实数，随的增大而减小，不符合题意； B、，在每个象限中，随的增大而减小，不符合题意； C、的顶点坐标为，开口向上，与轴的交点坐标分别为，当时，随的增大而增大，符合题意； D、的顶点坐标为，开口向下，与轴的交点坐标分别为，当，随的增大而减小，不符合题意；   故选：C ． 7. 如图，在正五边形中，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识的综合，根据正多边形的定义和性质可得正多边形的每个内角相等，边相等，结合等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质即可求解，掌握正多边形的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵五边形是正多边形， ∴，， ∴是等腰三角形， ∴， 如图所示，在线段取点，连接，使得， ∴，则， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴等式两边同时除以得， ∴， 设， ∴， ∴， ∴，即，   故选： D． 8. 如图，在中，，，是边上的中线，，垂足为点E，交于点F，则（　　） A. 12 B. 8 C. 7 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形三线合一的性质、勾股定理等知识点，解题关键是作平行线构造比例线段转化线段比． 由等腰三角形三线合一的性质可得，由勾股定理求出，过点作，交延长线于，得，，从而求得，，进而求解． 【详解】解：过点作，交延长线于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵是边上的中线，即， ∴，即， ∴，即 ∴， 故选B． 9. 无论k取何值，直线与抛物线总有公共点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题和数形结合思想．根据题意得到直线一定过定点，抛物线一定过定点和，再通过图象分别讨论当和时的情况求出a的取值范围． 【详解】解：由题意，直线， 则直线一定过定点， 同理，抛物线， 则抛物线过定点和， 如示意图，当时，直线与抛物线一定有公共点； 当时，为了保证直线与抛物线一定有公共点，则要求当时， 解得 综上，或， 故选：D 10. 如图，线段，点为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以为斜边向上作等腰直角，连接，．利用相似三角形的性质证明，推出点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，根据，可得结论． 【详解】解：以为斜边向上作等腰直角，连接，． ， ， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴ ，同理， ，， ， ， ， ， 点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆， ， ， 故线段长度的最大值为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，点与圆的位置关系，三角形三边关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题（本大题共4题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，求一个数的算术平方根，根据，再计算有理数加减即可． 【详解】原式． 故答案为：3． 12. 据统计，人工智能ChatGPT用户数量已超过17.6亿，其中17.6亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法．科学记数法指把一个数写成(其中，为整数)的形式，根据定义，将原数用科学记数法表示即可． 【详解】解：17.6亿． 故答案为：． 13. 《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何？”意思是：在一座正方形城池的北边、西边正中A，C处各开一道门，从点A往正北方向走30步刚好有一棵树位于点B处．从点C往正西方向走750步到达点D处时，正好看到这棵树（如图所示），则正方形城池的边长为______． 【答案】300步 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，正方形性质，相似三角形的性质和判定，设正方形城池的边长为步，利用正方形性质证明，利用相似三角形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设正方形城池的边长为步， 由题知，步，步， 步，， ， 由正方形性质可知，， ， ， ， 即，解得， 经检验是方程的解， 故答案为：步． 14. 已知抛物线经过点，． （1）该抛物线的对称轴为______． （2）点A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则n的取值范围是______． 【答案】 ①. 直线 ②. 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质即可解答； （2）由题意得，抛物线的对称轴为，开口向上，再分情况讨论：其一点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧；其二点A在对称轴的右侧，点B在对称轴的左侧，解相应的不等式组即可得出答案． 【详解】（1）抛物线的对称轴为：， 故答案为：直线； （2）， 抛物线开口向上， ， 若点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧， 由题意可得： 解得； 若点A在对称轴的右侧，点B在对称轴的左侧， 由题意可得： 不等式组无解， n的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标的特征，能根据题意正确列出不等式组是解决本题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，二次根式的乘法运算．先分别计算零指数幂，负整数指数幂，二次根式的乘法，然后进行加减运算即可． 【详解】解：原式 16. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，点在其对角线上，反比例函数的图像经过C、D两点．已知平行四边形的面积是8． （1）求k的值； （2）求线段所在直线的解析式． 【答案】（1）； （2）线段所在直线的解析式为：． 【解析】 【分析】题目主要考查反比例函数及特殊四边形的性质，全等三角形的判定和性质，结合图形，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）直接将点D代入解析式即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，根据矩形的判定和性质及全等三角形的判定得出，设，则，利用相似三角形的判定和性质得出，然后结合题意得出方程求解确定，再由待定系数法即可确定函数解析式． 【小问1详解】 点在双曲线上， ； 【小问2详解】 过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，四边形为矩形， ∴，， ∵平行四边形， ∴， ∴， 设，则， ∵ ， ， ∵， ∴，代入得： 解得， 平行四边形的面积是8， ∴，即， 解得， 点， 设直线的解析式为：，代入得：， 解得：， 线段所在直线的解析式为：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点O为旋转中心，将绕点O顺时针旋转后得到，画出； （2）以点O为位似中心，在第一象限内把放大2倍后得到，画出． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】本题考查了位似变换、旋转变换，解题的关键是掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、即可； （2）把、、点的坐标都乘以2得到、、的坐标，然后再描点即可． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示，即为所求； 18. 观察下列二次根式的化简过程： ； ； ； … 回答下列问题： （1）______； （2），当无穷大时，最接近的整数是多少？ 【答案】（1） （2）当无穷大时，接近 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究、二次根式化简中的简便运算，分式的混合运算， （1）根据题目中给定的计算方法求出，再进行求解即可； （2）根据（1）中的结论：，求出，再进行求解； 掌握题目中给定的计算方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵为任意的正整数， ∴ ， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 由（1）有： ， ∴当无穷大时，接近． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，是的直径，是的弦，过点C作的切线，交的延长线于点D，过点B作，垂足为点F，的延长线与的延长线交于点E． （1）若，求的大小；（用含的代数式表示） （2）若，求线段的长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，可证明，得，再根据等腰三角形的性质及三角形外角定理即可求解； （2）先由勾股定理求得，设的半径为，证明，则，解得，再由平行线分线段成比例即可求解． 【小问1详解】 解：连接， 是的切线， ， ， ， ． ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， 设的半径为， ， ， ， 即， 解得， ， ， 即， 解得：． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 20. 某村准备对水库一段长100m的堤坝进行改造．改造前，背水坡坡面的坡比，改造后坡面的坡比变为，坝顶加宽1m（），已知原背水坡的长为8m． （1）求改造后背水坡的长； （2）求所需土石方体积．（结果精确到，） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，坡比，勾股定理，对于（1），作，，根据勾股定理及坡比求出，再结合坡比，及勾股定理可得答案； 对于（2），先求出在，再根据体积公式可得答案． 【小问1详解】 如图，分别过点A，E作于点于点． 在中，坡比为， ， 根据勾股定理，得， 解得. 在中，坡比为， ∴， 根据勾股定理，得． 答：的长为； 【小问2详解】 根据题意可知四边形是矩形， ∴． 在中， ，，， 土石方体积． 答：所需土石方约为． 六、（本题满分12分） 21. 4月23日是世界读书日，小敏随机从本校七年级抽取了40名同学，调查这40名同学近半年内每人阅读课外书的数量，她统计的结果如下表所示： 人数 10 10 a 5 阅读的课外书的数量（单位：本） 3 4 6 8 （1）表格中______； （2）据表可知，这40名同学阅读的课外书的数量的中位数是______，众数是______，这40名同学平均阅读的课外书的数量为______本； （3）若将这40名同学阅读的课外书的数量用扇形统计图表示，则阅读数量为6本的人数对应的圆心角为多少度？已知该校七年级学生有800名，估计阅读的课外书的数量为4本的人数是多少？ 【答案】（1）15； （2）5，6，5； （3）读数量为6本的人数对应的圆心角为，已知该校七年级学生有800名，估计阅读的课外书的数量为4本的约有人． 【解析】 【分析】本题求一组数据的平均数、众数和中位数以及用样本频率估计总体等知识． （1）用样本容量分别减去已知的各组人数即可； （2）分别根据中位数、众数和加权平均数的定义进行计算求出以上各数即可； （3）用阅读数量为6本的人数除以40再乘以求出相应圆心角；用阅读的课外书的数量为4本的人数除以40再乘以800即可． 【小问1详解】 解：由题意，人， 故答案为：15； 【小问2详解】 由题意，40名同学阅读的课外书的数量的中位数是第20,21两个数据的平均数， ∴中位数为：； 由题意，众数为6； 这40名同学平均阅读的课外书的数量为： 本； 故答案为：5，6，5； 【小问3详解】 由已知，阅读数量为6本的人数对应的圆心角为： ， 该校七年级学生有800名，估计阅读的课外书的数量为4本的人数是： 人． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在中，，点分别是边的中点．如图2，将绕点顺时针旋转，连接并延长交于点的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求线段的长； （3）求点到的最大距离． 【答案】（1）见解析； （2）或； （3）到的最大距离是 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据点分别是的中点，可证，可得，在和中，根据角度的关系可得，由此即可求证； （2）根据题意可得，根据相似的性质可求出或，分类讨论：①当时；②当时；在中，根据勾股定理即可求解； （3）根据题意可得和都是直角三角形，可证四点共圆，作于点，交于点，长即为最大值，根据题意可证，可得，根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ，点分别是的中点， ， ， ， 又在和中，， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ∴， 解得：或， ①当时，， 在中，， ∵由， ∴； ②当时，， 在中，， ∵， ∴； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：取的中点，连接， ∵和都是直角三角形， ∴， ∴四点共圆， 作于点，交于点，长即为最大值， ∵点是中点，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴点G到的最大距离是2． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，圆的基础知识，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性质，圆的基础知识是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． （1）求点A，B的坐标； （2）求b，c的值； （3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 【答案】（1）， （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别将，代入直线即可求得； （2）设，得到抛物线的顶点式为，将代入可求得，进而可得到抛物线解析式为，即可求得b，c； （3）根据题意，设，，根据平移的性质可得点，点向下平移的距离相同，即列式求得，，然后得到抛物线N解析式为：，将代入可得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴交于点A，y轴交于点B， 当时，代入得：，故， 当时，代入得：，故， 小问2详解】 设， 则可设抛物线的解析式为：， ∵抛物线M经过点B， 将代入得：， ∵， ∴， 即， ∴将代入， 整理得：， 故，； 【小问3详解】 如图： ∵轴，点P在x轴上， ∴设，， ∵点C，B分别平移至点P，D， ∴点，点向下平移的距离相同， ∴， 解得：， 由（2）知， ∴， ∴抛物线N的函数解析式为：， 将代入可得：， ∴抛物线N函数解析式为：或． 【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，求抛物线的解析式，平移的性质，二次函数的图象和性质等，解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试题卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 的相反数是（　　） A. B. 2024 C. D. 2. 某几何体的三视图如图所示，该几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在数轴上表示不等式解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 英文单词“Loong”翻译成中文表示“龙”从中任选一个字母，选中字母o的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数中，当时，随的增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正五边形中，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，是边上的中线，，垂足为点E，交于点F，则（　　） A. 12 B. 8 C. 7 D. 4 9. 无论k取何值，直线与抛物线总有公共点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，线段，点为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最大值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 二、填空题（本大题共4题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：______． 12. 据统计，人工智能ChatGPT用户数量已超过17.6亿，其中17.6亿用科学记数法表示为______． 13. 《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门三十步有木，出西门七百五十步见木，问邑方几何？”意思是：在一座正方形城池的北边、西边正中A，C处各开一道门，从点A往正北方向走30步刚好有一棵树位于点B处．从点C往正西方向走750步到达点D处时，正好看到这棵树（如图所示），则正方形城池的边长为______． 14. 已知抛物线经过点，． （1）该抛物线的对称轴为______． （2）点A，B分别位于抛物线对称轴两侧，且，则n的取值范围是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴的正半轴上，点在其对角线上，反比例函数的图像经过C、D两点．已知平行四边形的面积是8． （1）求k的值； （2）求线段所在直线的解析式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，顶点均为格点（网格线的交点）． （1）以点O旋转中心，将绕点O顺时针旋转后得到，画出； （2）以点O为位似中心，在第一象限内把放大2倍后得到，画出． 18. 观察下列二次根式的化简过程： ； ； ； … 回答下列问题： （1）______； （2），当无穷大时，最接近的整数是多少？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，是的直径，是的弦，过点C作的切线，交的延长线于点D，过点B作，垂足为点F，的延长线与的延长线交于点E． （1）若，求的大小；（用含的代数式表示） （2）若，求线段长． 20. 某村准备对水库一段长100m的堤坝进行改造．改造前，背水坡坡面的坡比，改造后坡面的坡比变为，坝顶加宽1m（），已知原背水坡的长为8m． （1）求改造后背水坡的长； （2）求所需土石方的体积．（结果精确到，） 六、（本题满分12分） 21. 4月23日是世界读书日，小敏随机从本校七年级抽取了40名同学，调查这40名同学近半年内每人阅读课外书的数量，她统计的结果如下表所示： 人数 10 10 a 5 阅读的课外书的数量（单位：本） 3 4 6 8 （1）表格中______； （2）据表可知，这40名同学阅读的课外书的数量的中位数是______，众数是______，这40名同学平均阅读的课外书的数量为______本； （3）若将这40名同学阅读的课外书的数量用扇形统计图表示，则阅读数量为6本的人数对应的圆心角为多少度？已知该校七年级学生有800名，估计阅读的课外书的数量为4本的人数是多少？ 七、（本题满分12分） 22. 如图1，在中，，点分别是边的中点．如图2，将绕点顺时针旋转，连接并延长交于点的延长线交于点． （1）求证：； （2）若，求线段的长； （3）求点到的最大距离． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，y轴交于点B，点C在线段上，以点C为顶点的抛物线M：经过点B． （1）求点A，B的坐标； （2）求b，c的值； （3）平移抛物线M至N，点C，B分别平移至点P，D，联结，且轴，如果点P在x轴上，且新抛物线过点B，求抛物线N的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$