暑假作业04 整式的乘法运算（知识梳理+11大题型+拓展突破）-【暑假分层作业】2024年七年级数学暑假培优练（苏科版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业04 整式的乘法运算 知识点01 整式的乘法 1）单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2）单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即(都是单项式). 3）多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 知识点02 乘法公式 1）平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2）完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 题型一 单项式乘单项式 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计等：． 题型二 单项式乘多项式 1．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（　　） A． B． C． D． 2．已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了；结果得，则 ． 3．先化简，再求值．，其中，． 题型三 多项式乘多项式 1．已知，则m、n的值依次为（    ） A．5，2 B．， C．3， D．， 2．若，则的值是 ． 3．已知，求与的值． 题型四 （x+p）（x+q）型多项式乘法 1．已知，则的值是（    ） A．16 B．4 C．1 D．36 2．若，则 ． 3．先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 题型五 已知多项式乘积不含某项求字母的值 1．若关于的多项式的结果中不含项，则的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 2．若关于的多项式展开后不含有一次项，则实数的值为 ． 3．设是常数，如果多项式的计算结果中不含的二次项，求的值． 题型六 化简求值 1．已知，，则的值为（    ） A． B．3 C． D．1 2．已知，，则的值为 ． 3．先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 题型七 多项式乘多项式与图形面积 1．设有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片，长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 2．如图，有一长方形纸片，长、宽分别为和，现在长、宽上分别剪去宽为的纸条，则剩余部分（阴影部分）的面积 ，其中 是自变量． 3．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论． 例1：如图1，根据等面积法，我们可以得出等式． 例2：如图2，根据等面积法，我们可以得出等式． (1)请你根据上述等面积法，从图3中探究出等式 ． (2)已知，请利用（1）中的结论，求的值． 题型八 多项式乘法中的规律性问题 1．根据，，，的规律，则的个位数字是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 2．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形揭示(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律，此三角形称为“杨辉三角”． … 根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为 ． 3．观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： ①______． ②______． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简； 题型九 整式乘法混合运算 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为 ． 3．计算： (1)； (2)． 题型十 乘法公式 1．若二次三项式是完全平方式，则k的值是（　　） A．6 B． C． D． 2．已知，，则代数式的值为 ． 3．先化简再求值： (1)，其中； (2)，其中． 题型十一 乘法公式与图形面积 1．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 2．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出之间的等量关系 ．    3．如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形． (1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示） (2)在图2中，m与n的等量关系为______； (3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式． 1．若，则M与N的大小关系是(   ) A．由x的取值而定 B． C． D． 2．若多项式不含项和项，则代数式的值为（   ） A．2 B． C． D．3 3．形如的式子称之为二阶行列式，规定它的运算法则为，若，则（　　） A． B． C． D． 4．小羽制作了如图所示的卡片A类，B类，C类各50张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的C类卡片的张数（    ） A．够用，剩余4张 B．够用，剩余5张 C．不够用，还缺4张 D．不够用，还缺5张 5．如果二次三项式可分解为，那么的值为（    ） A． B． C．1 D．0 6．现有一长方形地块，长比宽多米．若将长增加米，宽缩短米，则所得长方形地块与原长方形地块的面积相等，则原长方形地块的长为 米． 7．若，则 ． 8．已知，B是多项式，在计算时，小明把看成，计算结果是，则 ． 9．代数式是完全平方式，则 ． 10．若，则 ． 11．如图，点B在线段上，在线段同侧作正方形及正方形，连接得到．当时，的面积记为；当时，的面积记为；当时，的面积记为；……，则 ． 12．(1)计算； (2)． 13．先化简，再求值：．其中，． 14．观察下列各式的计算规律，解答下列问题． …… (1)根据上面各式的规律可得： ； (2)根据（1）中规律计算的值； (3)求的个位数字． 15．根据完全平方公式，把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做“配方法”．例如把配方如下：．请完成下列问题： (1)填空：配方多项式的结果为 ； (2)当等于多少时，代数式的值最小？ (3)用一根长为米的绳子围成一个长方形，请问长方形的边长为多少时，围成的长方形面积最大？最大面积是多少？ 16．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．       （1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：　　　　；图2：　　　　；图3：　　　　． 其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知，求的值． 类比迁移： （2）若，则　　； （3）如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．    1．（2023·湖北随州·中考真题）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为(    )    A．6 B．7 C．8 D．9 2．（2022·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（    ） A．24 B． C． D． 3．（2020·江苏淮安·中考真题）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（   ） A．205 B．250 C．502 D．520 4．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是 （用含的代数式表示）． 5．（2020·贵州安顺·中考真题）化简的结果是 ． 6．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ． 7．（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为 . 8．（2020·江苏宿迁·中考真题）已知a+b＝3，a2+b2＝5，则ab的值是 ． 9．（2019·江苏南京·中考真题）计算． 10．（2023·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中，. 11．（2022·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业04 整式的乘法运算 知识点01 整式的乘法 1）单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2）单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即(都是单项式). 3）多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 知识点02 乘法公式 1）平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2）完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 题型一 单项式乘单项式 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式，先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C ． 2．计算： ． 【答案】/ 【分析】此题考查了单项式的乘法，先利用积的乘方，再利用单项式的乘法计算即可． 【详解】解： 故答案为： 3．计等：． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式运算，根据积的乘方，单项式乘单项式和合并同类项法则进行计算即可． 【详解】解： ． 题型二 单项式乘多项式 1．某同学在计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是，那么正确的计算结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这个多项式为，根据题意可得，最后利用单项式乘以多项式的运算法则即可解答．本题考查了整式的加减运算法则，单项式乘以多项式的运算法则，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：设这个多项式为， ∵计算一个多项式乘时，因抄错运算符号，算成了加上，得到的结果是， ∴， ∴， ∴正确的结果为， 故选． 2．已知，是多项式，在计算时，小马虎同学把看成了；结果得，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加法，整式的乘除法，准确熟练地进行整式的运算是解题的关键． 根据题意可得，从而求出，然后再计算，即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 故答案为：． 3．先化简，再求值．，其中，． 【答案】，30 【分析】本题考查了整式的乘法混合运算以及化简求值．先去括号，再合并同类项，最后把，代入计算即可． 【详解】原式 把，代入得：原式. 题型三 多项式乘多项式 1．已知，则m、n的值依次为（    ） A．5，2 B．， C．3， D．， 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用多项式乘以多项式的法则，将等式左边展开，根据对应项相等，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴，； 故选：C． 2．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知，求与的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是已知整式乘法运算的结果求解参数，先计算多项式乘以多项式，再建立方程求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴，， 解得，． 题型四 （x+p）（x+q）型多项式乘法 1．已知，则的值是（    ） A．16 B．4 C．1 D．36 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、求代数式的值，利用多项式乘以多项式的法则将等号左边展开，根据等号左右两边对应相等得出的值，代入计算即可得出答案，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ，，， 解得：， ， 故选：A． 2．若，则 ． 【答案】30 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则；先根据多项式乘多项式法则，计算，再根据计算结果和已知条件，求出m和n，然后代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：30； 3．先观察下列各式，再解答后面问题： ； ； ； ． (1)乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？ (2)根据以上各式呈现的规律，用公式表示出来； (3)试用你写的公式，直接写出下列两式的结果． ①_____________； ②_____________． 【答案】(1)两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项 (2) (3)①；② 【分析】本题考查了多项式乘多项式． （1）根据乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项之间的规律作答； （2）根据（1）中呈现的规律，列出公式； （3）根据（2）中的公式代入计算． 【详解】（1）解：乘积式中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系为： 两因式中常数项的和等于乘积中的一次项系数，常数项的积等于乘积中的常数项； （2）解：公式为： （3）解：① ； ② ． 题型五 已知多项式乘积不含某项求字母的值 1．若关于的多项式的结果中不含项，则的值为（   ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵多项式的结果中不含项， ∴， ∴， 故选：D． 2．若关于的多项式展开后不含有一次项，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据展开后不含有一次项，即含一次项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵关于的多项式展开后不含有一次项， ∴， ∴， 故答案为：． 3．设是常数，如果多项式的计算结果中不含的二次项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘以多项式化简，然后令x的二次项的系数为，即可求解． 【详解】解： 由题意 解得 题型六 化简求值 1．已知，，则的值为（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘多项式及求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：A． 2．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式先化简，再整体代入即可得出答案，熟练掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 3．先化简再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了多项式乘多项式的化简求值： （1）先去括号，再合并可化简，再将代入原式即可求解； （2）先去括号，再合并可化简，再将，代入原式即可求解； 熟练掌握多项式乘多项式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， 当时，原式． （2）原式 2， 当，时， 原式． 题型七 多项式乘多项式与图形面积 1．设有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片，长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】用长乘宽，列出算式，根据多项式乘多项式的运算法则展开，然后根据、、类卡片的形状可得答案．本题考查了多项式乘多项式在几何图形问题中的应用，数形结合并明确多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：依题意 ， 若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要类纸片的张数为10张． 故选：B． 2．如图，有一长方形纸片，长、宽分别为和，现在长、宽上分别剪去宽为的纸条，则剩余部分（阴影部分）的面积 ，其中 是自变量． 【答案】 【分析】本题考查了用代数表示式，熟悉掌握长方形的面积公式是解题的关键． 根据长方形面积公式列式即可． 【详解】解：阴影部分， 其中自变量为， 故答案为：；． 3．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，经常利用几何直观和面积法获取结论． 例1：如图1，根据等面积法，我们可以得出等式． 例2：如图2，根据等面积法，我们可以得出等式． (1)请你根据上述等面积法，从图3中探究出等式 ． (2)已知，请利用（1）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查了多项式乘以多项式在几何面积中的应用，面积法，求代数式的值； （1）由整体表示大长方形的面积，分部分表示各个小正方形与长方形的面积，二者相等，即可求解； （2）将值代入（1）中的等式计算即可求解． 【详解】（1）解：由图得； 故答案：； （2）解：由（1）可知： ，， ， 解得：． 题型八 多项式乘法中的规律性问题 1．根据，，，的规律，则的个位数字是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘法相关的规律、数字类规律探索等知识点．由题意可发现规律，再将代入进行计算可得，然后根据的末位数字的规律，即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 把代入得：， ∴， ∵， ∴的末位数字是按1，3，7，5为一个循环的， ∵， ∴的末位数字为1． 故选D． 2．我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形揭示(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律，此三角形称为“杨辉三角”． … 根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了数字的变化规律.根据题意先得出的第三项的系数，观察这些系数的特点，由此进一步归纳总结出的第三项系数为，据此进一步得出答案即可. 【详解】解：由题意得： 的第三项的系数为：, 的第三项的系数为：, 的第三项的系数为：， ∴的第三项的系数为：， ∴的第三项系数为：， 故答案为：45． 3．观察以下等式： (1)按以上等式的规律，填空： ①______． ②______． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简； 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的方法即可求解； （2）运用多项式乘以多项式，再根据整式的运算法则即可求解； （3）根据材料提示，分别计算与的值，再运用整式加减运算即可求解． 【详解】（1）解：根据材料提示， ①． ②． 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 题型九 整式乘法混合运算 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘、除法，幂的乘方，解题的关键是掌握相关的运算法则．根据整式的乘除法、幂的乘方的运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．已知，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查整式的混合运算、代数式求值，熟练掌握运算法则，利用整体代入思想求解是解答的关键．先根据得出，然后利用完全平方公式、单项式乘多项式化简原式，再整体代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键 （1）根据多项式乘以多项式法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 题型十 乘法公式 1．若二次三项式是完全平方式，则k的值是（　　） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方式，先根据所给多项式可以确定两平方项分别为，则一次项为，据此可得答案． 【详解】解：∵，是完全平方式， ∴， 解得． 故选：C． 2．已知，，则代数式的值为 ． 【答案】7 【分析】此题考查了代数式求值，完全平方公式，解题的关键是将变形为．首先将变形为，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：7． 3．先化简再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答； （2）先去括号，再合并同类项，然后把，的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ， 当时，原式 ； （2） ， 当时， 则原式 ． 题型十一 乘法公式与图形面积 1．如图，长方形的周长是，分别以为边向外作正方形和正方形．若长方形的面积是，则正方形和的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用矩形的长和宽分别表示矩形的周长和面积，正方形的面积和，从而运用完全平方公式的变形计算即可． 【详解】设， ∵长方形的周长是，长方形的面积是， ∴，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了图形的面积与完全平方公式，熟练掌握矩形的面积，周长的计算公式，正方形的面积的个数，两数和的完全平方公式是解题的关键． 2．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出之间的等量关系 ．    【答案】 【分析】分别求出图2中大正方形，阴影及小长方形的面积，即可得到等式． 【详解】解：图2中大正方形的面积为，阴影图形的面积为，四个小长方形的面积为， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式与几何图形，正确理解图形的构成及计算每部分的面积是解题的关键． 3．如图所示，图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中的虚线剪成四个完全相同的小长方形，将四个小长方形按图2、图3摆放，分别拼成较大的长方形、正方形． (1)图1的面积为______；（用m与n的代数式表示） (2)在图2中，m与n的等量关系为______； (3)在图3中，若大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24，请直接写出两个关于m，n的等式． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了整式的运算，面积的计算等，审清题意列式是解题的关键. （1）根据面积公式计算即可； （2）根据图形推导长方形的长与三个宽相等求出即可； （3）由图推出大正方形的边长和阴影小正方形的边长，再根据“大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24”列出关系式即可． 【详解】（1）解：由长方形的面积公式可得：. 故答案为：； （2）由图可知：. 故答案为：； （3）由图可知：大正方形的边长为，阴影小正方形的边长为， 又∵大正方形的面积为49，阴影小正方形的面积为24 ∴两个关于m，n的等式为：，． 1．若，则M与N的大小关系是(   ) A．由x的取值而定 B． C． D． 【答案】D 【分析】先将M和N别去括号计算，再根据即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查整式乘法运算，解题的关键是掌握整式乘法运算法则． 2．若多项式不含项和项，则代数式的值为（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】依据多项式乘多项式法则将原式化简，结合不含项和可得，即可求解． 【详解】解： 多项式不含项和项， ， 得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式法则，根据化简情况求代数式的值；理解不含项和即正确运算是解题的关键． 3．形如的式子称之为二阶行列式，规定它的运算法则为，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二阶行列式的运算法则，列出方程，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，整式的加减运算，解一元一次方程．理解并掌握二阶行列式的运算法则，是解题的关键． 4．小羽制作了如图所示的卡片A类，B类，C类各50张，其中A，B两类卡片都是正方形，C类卡片是长方形，现要拼一个长为，宽为的大长方形，那么所准备的C类卡片的张数（    ） A．够用，剩余4张 B．够用，剩余5张 C．不够用，还缺4张 D．不够用，还缺5张 【答案】C 【分析】根据长方形的面积公式求出拼成的大长方形的面积，再对比卡片的面积，即可求解． 【详解】大长方形的面积为， C类卡片的面积是， ∴需要C类卡片的张数是， ∴不够用，还缺4张． 故选：． 【点睛】本题主要考查多项式与多项式的乘法、长方形的面积公式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 5．如果二次三项式可分解为，那么的值为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项的系数相等列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查多项式的乘法运算，熟记运算法则是关键． 6．现有一长方形地块，长比宽多米．若将长增加米，宽缩短米，则所得长方形地块与原长方形地块的面积相等，则原长方形地块的长为 米． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据变化前后长方形的长、宽、面积之间的关系列方程求解即可， 掌握多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． 【详解】解：设原长方形地块的长为米，则宽为，则变化为的长为米，宽为米，由题意得： ， 解得：， 故答案为：． 7．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查多项式乘以多项式的法则，根据对应项系数相等列式是求解的关键， 利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应项的系数相等列式求解即可． 【详解】， ， ，， 解得：，， 故答案为：5 8．已知，B是多项式，在计算时，小明把看成，计算结果是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的乘除以及整式的加减，直接利用整式的乘法运算计算出，进而利用整式的加减得出答案． 【详解】解：，B是多项式，小明把看成，计算结果是， ， 故． 故答案为：． 9．代数式是完全平方式，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：代数式是完全平方式， ， 或， 解得或， 故答案为：或． 10．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式应用，设，，则，，由完全平方公式即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：设，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，点B在线段上，在线段同侧作正方形及正方形，连接得到．当时，的面积记为；当时，的面积记为；当时，的面积记为；……，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式混合运算，三角形面积求法，正确添加辅助线，结合图形得出与的关系是解题关键．连接，则，利用，可得：；，即可得：，再把代入计算即可． 【详解】解：如图，连接， 在线段同侧作正方形及正方形， ∴， 与同底等高， ， 当时，的面积记为； ， 当时，， ． 故答案为：． 12．(1)计算； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，同底数幂的乘法等知识．熟练掌握单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，同底数幂的乘法是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，同底数幂的乘法，然后合并同类项即可； （2）根据多项式乘以多项式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．先化简，再求值：．其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的化简求值．将原式变形为，将看成一个整体，利用同底数幂的乘法计算，再计算加减，最后代入数值计算即可． 【详解】解： ． 当，时，原式． 14．观察下列各式的计算规律，解答下列问题． …… (1)根据上面各式的规律可得： ； (2)根据（1）中规律计算的值； (3)求的个位数字． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题是数字类规律题，考查了整式乘法，认真观察、仔细思考，弄清题中的规律是解决这类问题的方法． （1）直接依据变化规律，即可得到结果； （2）将变形为，依据（1）中的规律即可计算； （3）将变形为，然后运用（1）中的规律得到结果，再进行判断即可． 【详解】（1）解：； （2） ； （3） ， ∵的个位数字以，，，进行四次一个循环， 又∵， ∴的个位数字为， ∵减去之后的个位数字是，再除以之后个位数字就是， ∴的个数数字就是， ∴的个数数字就是． 15．根据完全平方公式，把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做“配方法”．例如把配方如下：．请完成下列问题： (1)填空：配方多项式的结果为 ； (2)当等于多少时，代数式的值最小？ (3)用一根长为米的绳子围成一个长方形，请问长方形的边长为多少时，围成的长方形面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)或或 (2)当时，代数式的值最小 (3)当该长方形的相邻两边长均为米时，围成的长方形面积最大，最大面积是平方米 【分析】本题考查完全平方公式的应用，平方的非负性， （1）根据“配方法”的定义并根据完全平方公式分常数项、一次项、二次项三种不同形式解答即可； （2）先配方，再根据平方的非负数的性质解答即可； （3）设该长方形的一边长为米，则其相邻边长为米，面积为平方米，根据题意得，再根据配方法求解即可； 掌握完全平方公式的特点是解题的关键。 【详解】（1）解：的三种配方分别为： ， ， ， 故答案为：或或； （2）∵， 无论取何值时，都有， ∴当时，取最小值，此时代数式的值最小，最小值为， ∴当时，代数式的值最小． （3）设该长方形的一边长为米，则其相邻边长为米，面积为平方米， 根据题意，得： ， ∴当时，取最大值为， ∴（米）， ∴当该长方形的相邻两边长均为米时，围成的长方形面积最大，最大面积是平方米． 16．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．       （1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：　　　　；图2：　　　　；图3：　　　　． 其中，完全平方公式可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化可以解决很多数学问题． 例如：如图4，已知，求的值． 类比迁移： （2）若，则　　； （3）如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．    【答案】（1），，；7；（2）10；（3）7 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式与几何图形之间的联系，掌握数形结合的思想，灵活运用乘法公式是解题的关键． （1）根据阴影部分面积的不同表示方式，列式后即可得出能解释的数学公式；再根据完全平方公式的变形求出对应的值即可； （2）将和看作是整体，然后利用完全平方公式变形，化简后整体代入求解即可； （3）设，则，根据可得，然后根据列式求出，进而可得答案． 【详解】解：（1）解：图1中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得：； 图2中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得：； 图3中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得：； ∵， ∴； 故答案为：，，；7； （2）∵，， ∴， 故答案为：10； （3）设，则， ∵两正方形的面积和， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴， 故答案为：7． 1．（2023·湖北随州·中考真题）设有边长分别为a和b()的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为(    )    A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张． 【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为： ； 需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要C类卡片的张数． 2．（2022·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（    ） A．24 B． C． D． 【答案】B 【分析】先将所求式子化简为，然后根据及求出，进而可得答案． 【详解】解： ； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，不等式的性质，正确对所求式子化简并求出的取值范围是解题的关键． 3．（2020·江苏淮安·中考真题）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．下列数中为“幸福数”的是（   ） A．205 B．250 C．502 D．520 【答案】D 【分析】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为，先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为，再看四个选项中，能够整除4的即为答案． 【详解】设两个连续奇数中的一个奇数为，则另一个奇数为 由这两个奇数得到的“幸福数”为 观察四个选项可知，只有选项D中的520能够整除4 即 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，理解“幸福数”的定义，正确列出“幸福数”的代数式是解题关键． 4．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为，则它的体积是 （用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】根据圆柱的体积圆柱的底面积圆柱的高，可得 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键． 5．（2020·贵州安顺·中考真题）化简的结果是 ． 【答案】 【分析】直接去括号然后合并同类项即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式运算，涉及了单项式乘以多项式、合并同类项等知识点，熟练掌握运算性质是解题的关键． 6．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式得，再代值计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值，掌握完全平方公式及其变式是解题本题的关键． 7．（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为 . 【答案】 【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ∴， ∴； ，当且仅当时取等号，此时与题意矛盾， ∴ ∴； ，同理， 故答案为：． 【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小． 8．（2020·江苏宿迁·中考真题）已知a+b＝3，a2+b2＝5，则ab的值是 ． 【答案】2 【分析】现将a+b进行平方，然后把a2+b2=5代入，即可求解． 【详解】∵a+b＝3， ∴（a+b）2＝9， 即a2+2ab+b2＝9， ∵a2+b2＝5， ∴ab＝（9﹣5）÷2＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助． 9．（2019·江苏南京·中考真题）计算． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式的法则，可表示为（a＋b）（m＋n）＝am＋an＋bm＋bn，计算即可． 【详解】解： . 【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项． 10．（2023·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中，. 【答案】， 【分析】根据完全平方公式和平方差公式展开后化简，最后代入求值即可． 【详解】 当，时，原式． 【点睛】本题考查整式混合运算的化简求值，解题的关键是根据完全平方公式和平方差公式展开． 11．（2022·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，-9 【分析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式 ． ， ， 原式 【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$