暑假作业05 多项式的因式分解（知识梳理+7大题型+拓展突破）-【暑假分层作业】2024年七年级数学暑假培优练（苏科版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业05 多项式的因式分解 知识点01 因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 题型一 判断是否是因式分解 1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟记因式分解的定义是解题的关键． 根据把多项式写出几个整式积的形式叫做因式分解对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A、是单项式乘以多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、，没有化成整式乘积形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、符合因式分解定义，是因式分解，故此选项符合题意； D、没有化成整式乘积形式，不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 【答案】③④⑥ 【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，判断求解． 【详解】解：①是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； ②右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； ③是因式分解，故符合题意； ④是因式分解，故符合题意； ⑤等号不成立，不是因式分解，故不符合题意； ⑥是因式分解，故符合题意； 故答案为：③④⑥． 【点睛】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 3．下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)不是因式分解 (2)不是因式分解 (3)是因式分解 (4)不是因式分解 (5)不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的意义，注意因式分解是针对多项式而言的，因式分解后，右边是整式积的形式． 根据分解因式的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式 【详解】（1）解：因式分解是针对多项式来说的，故不是因式分解； （2）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （3）解：是因式分解； （4）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解； （5）解：等号右边不是整式积的形式，不是因式分解． 题型二 已知因式分解的结果求参数 1．把因式分解得，则m的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，多项式乘多项式，先求出，然后求出结果即可． 【详解】解：∵ ， 又∵把因式分解得， ∴， 故选：B． 2．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．利用因式分解定义将变为即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．仔细阅读下面例题，然后按要求解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一：设另一个因式为， ∴，则， ，  解得 ， 另一个因式为，的值为． 解法二：∵二次三项式有一个因式是， ∴当，即时，， 把代入，得， ∴， ∴的值为，另一个因式为． 问题：分别仿照以上两种方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (1)解法一： (2)解法二： 【答案】(1)另一个因式为，的值为 (2)另一个因式为，的值为 【分析】（1）根据材料解法一提示设另一个因式为，根据因式分解的方法展开，再根据同类项的知识即可求解； （2）根据材料解法二提示当时，解出的值代入二次三项式求出的值，再进行因式分解即可． 【详解】（1）解：设二次三项式的另一个因式为， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴另一个因式为，的值为． （2）解：∵二次三项式有一个因式是， ∴当时，，即当时，， ∴把代入得，， 解得：， ∴， ∴另一个因式为，的值为． 【点睛】本题主要考查整式的运算，因式分解的计算，掌握以上知识是解题的关键． 题型三 提取公因式 1．对比和 因式分解的结果，共同的整式部分为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是因式分解，把两个多项式分别分解因式找出共同的整式部分即可． 【详解】解：，， 共同的整式部分为， 故选：C． 2．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的方法，解题的关键是掌握提公因式法进行因式分解．直接提公因式，即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 3．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，： （1）提取公因式分解因式即可； （2）提取公因式分解因式即可． 【详解】（1）原式 （2）解：原式 ． 题型四 平方差公式分解因式 1．在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为x的值，当时，，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄15设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．151416 B．151515 C．141514 D．131415 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键．对多项式先进行因式分解，再代值求出每个因式的值，然后对因式的值排列组合即可得出答案． 【详解】解：， 当时，， 故密码为或， 故选：A． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的综合运用，平方差公式，先提取公因数，再根据平方差公式进行二次分解，综合运用提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．【观察】，，，…… 【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除． 【验证】 （1）若这个偶数是10，通过计算说明13和10的平方差能否被3整除； （2）若设这个偶数为，试说明比大3的数与的平方差能否被3整除； 【延伸】 （3）试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，掌握平方差公式法进行因式分解，是解题的关键： （1）根据题意，列式计算即可； （2）根据题意，利用平方差公式法进行因式分解即可； （3）根据题意，利用平方差公式法进行因式分解即可． 【详解】解：（1）． ， 所以能被3整除． （2）， 所以能被3整除； （3）设这个数为n，比n大9的数为． ，所以能被9整除． 题型五 完全平方公式分解因式 1．下列各式中，能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 将各式因式分解后进行判断即可． 【详解】解：①原式，它无法利用公式法因式分解； ②原式，它可以利用平方差公式因式分解； ③无法因式分解； ④，它无法利用公式法因式分解； ⑤原式，它可以利用完全平方公式因式分解； 综上，能用公式法分解因式的有2个， 故选：A． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用公式法进行因式分解．熟练掌握完全平方公式分解因式是解决问题的关键． 根据完全平方公式进行分解即可求得答案．完全平方公式：． 【详解】． 故答案为：． 3．学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题： 例：因式分解：． 解：设，则原式…………第一步 ……………………………………………………第二步 ……………………………………………………… 第三步 …………………………………………………第四步 完成下列任务： (1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号） ①提取公因式；        ②平方差公式； ③两数和的完全平方公式；    ④两数差的完全平方公式． (2)请你模仿以上例题分解因式：． 【答案】(1)④ (2) 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解．解题的关键在于理解题意并熟练掌握完全平方公式． （1）根据两数差的完全平方公式进行作答即可； （2）根据题干中的解题过程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第二步到第三步运用了因式分解的两数差的完全平方公式， 故答案为：④ （2）解：， 设， 原式 ． 题型六 因式分解在有理数简算中的应用 1．计算所得的结果是（    ） A．－2 B．2 C．－ D． 【答案】D 【分析】直接找出公因式进而提取公因式再计算即可． 【详解】解：(-2)2022+(-2)2021 =(-2)2021×(-2+1) ，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确找出公因式、提取公因式是解题关键． 2．利用平方差公式计算：= ． 【答案】8016 【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，先将原式利用平方差公式变形，再进行计算． 【详解】解：， 故答案为：8016． 3．利用因式分解计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1)10000 (2)1 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，因式分解，关键是掌握完全平方式进行因式分解．利用完全平方公式分解因式进行计算． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型七 十字相乘法 1．已知是因式分解的结果，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解与多项式相乘的关系，注意正确计算多项式的乘法，然后系数对应相等．把多项式相乘展开，再根据对应项系数相等求解即可． 【详解】∵， ∴ ∴． 故选：A． 2．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，能熟记是解此题的关键，根据公式得出，，求出、，再求出答案即可． 【详解】解：关于的二次三项式可分解为， ∴，， 即，， ∴． 故答案为：． 3．材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）①利用十字相乘法分解因式即可； ②利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1） ； （2）① ； ② ． 题型八 分组分解法 1．因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分组分解法分解因式即可． 【详解】解：原式 ； 故选B． 【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握分组分解法分解因式． 2．已知则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分解分组法、提公因式以及整体代入思想，由整理，再代入计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为： 2．阅读：我们已经学习将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，对于公式法分解因式中的公式：，数学学习小组的同学通过思考，认为可以这样来证明：……裂项（即把一项分裂成两项）……分组……组内分解因式……整体思想提公因式 由此得到：公式的证明． (1)仿照上面的方法，证明：； (2)分解因式：； (3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的形状是等边三角形，见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，正确进行因式分解． （1）仿照题干信息进行证明即可； （2）利用分组分解法进行分解因式即可； （3）根据，得出，分解因式得出，即可得出，从而可以判断三角形的形状． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：∵， 等式两边同乘以2， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴的形状是等边三角形． 题型九 因式分解的应用 1．一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，则的值总能（    ） A．被3整除 B．被9整除 C．被10整除 D．被11整除 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，因式分解的应用，求出的值，因式分解后，进行判断即可． 【详解】解：由题意， ， ∴的值总能被11整除； 故选D． 2．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值为，，，于是就可以把“117145”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码共有 种． 【答案】6 【分析】本题考查因式分解的应用，将进行因式分解，再进行判断即可． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴可产生的密码为：162210，221610，221016，161022，101622，102216；共6种． 故答案为：6． 3．如图，有型、型、型三种不同类型的纸板，其中型是边长为的正方形，型是长为宽为的长方形，型是边长为的正方形． (1)若想用这些纸板拼成一个长方形，使其面积为，则需要型纸板 张，型纸板 张，型纸板 张； (2)画一个长方形示意图（要求标注长方形的长、宽），使它的面积为，再利用所画图形把多项式分解因式． 【答案】(1)2，3，1 (2)图见解析， 【分析】本题考查利用面积研究多项式的因式分解，培养思维想象能力，要求有较高的拼凑能力，能够很快的发现各边的长度关系． （1）根据多项式乘多项式的法则计算即可作答； （2）要组成长方形，需要型纸板1张，型纸板5张，型纸板6张，由此画出图形，利用图形解决问题． 【详解】（1）解：∵， 故型纸板2张，型纸板3张，型纸板1张； （2）解：如图， 所以． 1．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此判定即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、该式从左边到右边的变形是整式乘法，不是因式分解，不合题意； 、该式左边和右边不相等，左边不能因式分解，变形错误，不合题意； 、该式从左边到右边是因式分解，符合题意； 、该式左边不能因式分解，不合题意； 故选：． 2．如果一个正整数可以表示为两个连线奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，比如，，即8，16均为“和谐数”．在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数“之和为（    ） A．255024 B．253008 C．257048 D．255054 【答案】A 【分析】首先设两个连续的奇数分别为：，，计算，再计算：，从而可得出不超过2023的整数中，最大一个“和谐数”为：，而，据此可计算出在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数“之和． 此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是判断出在不超过2023的正整数中最大的“和谐数”是2016． 【详解】解：设两个连续的奇数分别为：，， ， 任意一个“和谐数”8的倍数， 又， 在不超过2023的整数中，最大一个“和谐数”为：， 在不超过2023的整数中，“和谐数”分别为：8，16，24，32，，2016， 又，，，，，， ． 故选：． 3．已知多项式，当时，该多项式的值为n，当时，该多项式的值为m，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，利用因式分解将等式的左边整理成两个整式的乘积是解题的关键．首先根据题意，将x的值分别代入多项式中，得到两个等式，再将两个等式相减，然后利用因式分解将等式整理得，因为，所以得，即可求得答案． 【详解】解：由题意得，①，②， ①-②得，， ， ， ， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．设二次三项式可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，则满足条件的整数的个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用十字相乘法分解因式，利用十字相乘法，即可确定的值，进一步即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 各因式的系数都是整数， 满足条件的整数的个数为． 故选：B． 5．下列说法中：①三角形三边高线的交点一定在三角形内部；②八边形有20条对角线；③两个连续偶数的平方差一定是8的倍数；④无论x取何值，代数式的值一定是正数．正确的有（    ） A．②④ B．①② C．①③ D．③④ 【答案】A 【分析】根据三角形的高、多边形对角线、因式分解、配方法逐个判断即可 【详解】①三角形三边高所在直线交于同一点，直角三角形交点为三角形直角顶点，故①错误； ②八边形对角线数量为条，②正确； ③，即两个连续偶数的平方差一定是4的倍数，故③错误； ④，即论x取何值，代数式的值一定是正数，故④正确； 综上所述，说法正确的是②④． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的高、多边形对角线、因式分解、配方法，考查的知识点比较多，熟记概念与性质是解题的关键． 6．因式分解： ． 【答案】 【分析】先提公因式，再用完全平方公式分解因式即可． 本题主要考查了因式分解．因式分解时首先观察各项是否有公因式，如果有公因式要先提出公因式，然后再看能否用平方差公式或者完全平方公式分解．熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】 ． 故答案为： 7．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解得应用，代数式求值，利用提公因式法可得，把，代入计算即可求解，正确利用因式分解对原式进行转化是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8．若，那么代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、因式分解的应用，由已知条件得出，，，再将式子化为，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 9．整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．根据3个小正方形的面积加上3个小矩形的面积和等于大的矩形面积即可求解． 【详解】解： 图中3个小正方形的面积加上3个小矩形的面积和为： ， 大矩形的面积为：， 根据面积相等有：． 故答案为：． 10．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且（以上长度单位：cm）．观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ．    【答案】 【分析】由图可知，是长方形纸板的面积，即可得出结论． 【详解】解：由图可知，长方形的两条邻边的长分别为：， ∴长方形纸板的面积为：， 又长方形纸板的面积， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，因式分解的应用．解题的关键是正确的识图，用两种方法表示出长方形纸板的面积． 11．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是：掌握提取公因式法和完全平方公式分解因式； （1）利用分组分解法因式分解即可； （2）原式变形后提取公因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法即可解答． （1）提公因式即可解答． （2）先提公因式，在进行平方差因式分解即可． （3）先用完全平方公式因式分解，再将括号里面的式子进行平方差公式因式分解，最后再进行积的乘方即可． 【详解】（1）原式： ． （2）原式： （3）原式： 13．先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， ， 的最小值是1 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． (3)已知，为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)有最大值，且最大值为12 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先根据完全平方公式变形后，再根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最小值； （2）先根据完全平方公式变形后，再根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最大值； （3）用作差法，结合完全平方公式，比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值是2． （2）解：∵ ， ∵， ∴， ∴， ∴有最大值，且最大值是12． （3）解：，理由如下： ∵ ， 又∵，， ∴， ∴． 14．如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：因为，，，故4，12，20都是神秘数． (1)写出一个除4，12，20之外的“神秘数”：______； (2)小明说：“2024是神秘数．”小亮为了验证，设较小偶数是m，则较大偶数是，列出方程，请用小亮所列方程分析小明的说法是否正确； (3)设两个连续偶数为和（k为非负整数），则由这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除吗？说明理由． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)小明的说法不正确，见解析 (3)能够被4整除，见解析 【分析】（1）根据“神秘数”的定义，任选大于等于的两个连续偶数，即可求解， （2）应用平方差公式解，求出的值，即可判断， （3）化简得能被整除，即可求解， 本题考查了，数字规律探索，解题的关键是：理解题意正确列式． 【详解】（1）解：， 故答案为：（答案不唯一）， （2）解：，即：， ∴，解得：，不是偶数， ∴2024不是神秘数； （3）解：， 能被整除． 15．要把二次三项式分解因式，我们可以在中先加上一项4，使它与成为一个完全平方式，然后再减去4，整个式子的值不变，于是有：．像这种先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，这种方法不只是用于分解因式，还用于其他如求值、方程转化等；请利用“配方法”解决下列问题： (1)分解因式：． (2)当a，b为何值时，有最小值？最小值是多少？ (3)若a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)当时，有最小值，最小值为 (3)时直角三角形 【分析】本题考查配方法，勾股定理的逆定理，解题的关键是正确理解题意给出的方法，解决问题． （1）根据题目中的例子，可以对题目中的式子配方后分解因式； （2）根据题目中的例子，可以对题目中的式子配方后求最值； （3）根据题目中的式子，利用配方法可以求得a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理可以确定三角形的形状； 【详解】（1）解： ； （2）解： ∴当时，有最小值，最小值为； （3）解：， ， 解得：，，， ∵， ∴时直角三角形． 1．（2019·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（   ） A．（4+）（4-） B．4（+）（-） C．（2+）（2-） D．2（+）（-） 【答案】C 【分析】直接根据平方差公式进行分解即可得答案. 【详解】4x2-y2 =(2x)2-y2 =(2x+y)(2x-y)， 故选C. 【点睛】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键. 2．（2023·江苏无锡·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】直接利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式法因式分解，是解题的关键． 3．（2022·江苏镇江·中考真题）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】提公因式，即可求解． 【详解】解：原式＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 4．（2022·江苏常州·中考真题）分解因式： ． 【答案】xy(x+y) 【分析】利用提公因式法即可求解． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用提公因式法分解因式的知识，掌握提公因式法是解答本题的关键． 5．（2022·江苏苏州·中考真题）已知，，则 ． 【答案】24 【分析】根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查因式分解的应用，先根据平方差公式进行因式分解再整体代入求值是解题的关键． 6．（2020·江苏镇江·中考真题）分解因式： ． 【答案】（3x+1）（3x-1） 【分析】符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：（3x+1）（3x-1） 【点睛】本题考查了平方差公式因式分解，熟记平方差公式的特点：两项平方项，符号相反是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业05 多项式的因式分解 知识点01 因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 题型一 判断是否是因式分解 1．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右是因式分解的是 ． ①；      ②； ③；      ④； ⑤；            ⑥． 3．下列从左到右的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型二 已知因式分解的结果求参数 1．把因式分解得，则m的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 3．仔细阅读下面例题，然后按要求解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解法一：设另一个因式为， ∴，则， ，  解得 ， 另一个因式为，的值为． 解法二：∵二次三项式有一个因式是， ∴当，即时，， 把代入，得， ∴， ∴的值为，另一个因式为． 问题：分别仿照以上两种方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． (1)解法一： (2)解法二： 题型三 提取公因式 1．对比和 因式分解的结果，共同的整式部分为（      ） A． B． C． D． 2．因式分解： ． 3．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 题型四 平方差公式分解因式 1．在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为x的值，当时，，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄15设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．151416 B．151515 C．141514 D．131415 2．分解因式： ． 3．【观察】，，，…… 【猜想】比任意一个偶数大3的数与这个偶数的平方差能被3整除． 【验证】 （1）若这个偶数是10，通过计算说明13和10的平方差能否被3整除； （2）若设这个偶数为，试说明比大3的数与的平方差能否被3整除； 【延伸】 （3）试说明比任意一个整数大9的数与这个整数的平方差能否被9整除． 题型五 完全平方公式分解因式 1．下列各式中，能用公式法分解因式的有（    ） ①；②；③；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．分解因式： ． 3．学习对复杂多项式进行因式分解时，老师示范了如下例题： 例：因式分解：． 解：设，则原式…………第一步 ……………………………………………………第二步 ……………………………………………………… 第三步 …………………………………………………第四步 完成下列任务： (1)例题中第二步到第三步运用了因式分解的______（填序号） ①提取公因式；        ②平方差公式； ③两数和的完全平方公式；    ④两数差的完全平方公式． (2)请你模仿以上例题分解因式：． 题型六 因式分解在有理数简算中的应用 1．计算所得的结果是（    ） A．－2 B．2 C．－ D． 2．利用平方差公式计算：= ． 3．利用因式分解计算下列各式： (1)； (2) 题型七 十字相乘法 1．已知是因式分解的结果，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 3．材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． (1)根据材料1，把分解因式； (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 题型八 分组分解法 1．因式分解的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知则的值是 ． 2．阅读：我们已经学习将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，对于公式法分解因式中的公式：，数学学习小组的同学通过思考，认为可以这样来证明：……裂项（即把一项分裂成两项）……分组……组内分解因式……整体思想提公因式 由此得到：公式的证明． (1)仿照上面的方法，证明：； (2)分解因式：； (3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由． 题型九 因式分解的应用 1．一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，则的值总能（    ） A．被3整除 B．被9整除 C．被10整除 D．被11整除 2．在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解法”产生的密码方便记忆，如：对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值为，，，于是就可以把“117145”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码共有 种． 3．如图，有型、型、型三种不同类型的纸板，其中型是边长为的正方形，型是长为宽为的长方形，型是边长为的正方形． (1)若想用这些纸板拼成一个长方形，使其面积为，则需要型纸板 张，型纸板 张，型纸板 张； (2)画一个长方形示意图（要求标注长方形的长、宽），使它的面积为，再利用所画图形把多项式分解因式． 1．下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如果一个正整数可以表示为两个连线奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”，比如，，即8，16均为“和谐数”．在不超过2023的正整数中，所有的“和谐数“之和为（    ） A．255024 B．253008 C．257048 D．255054 3．已知多项式，当时，该多项式的值为n，当时，该多项式的值为m，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D．3 4．设二次三项式可分解为两个一次因式的乘积，且各因式的系数都是整数，则满足条件的整数的个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 5．下列说法中：①三角形三边高线的交点一定在三角形内部；②八边形有20条对角线；③两个连续偶数的平方差一定是8的倍数；④无论x取何值，代数式的值一定是正数．正确的有（    ） A．②④ B．①② C．①③ D．③④ 6．因式分解： ． 7．已知，，则 ． 8．若，那么代数式的值为 ． 9．整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解因式： ． 10．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且（以上长度单位：cm）．观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ．    11．因式分解： (1)； (2)． 12．因式分解： (1)； (2)； (3)． 13．先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， ， 的最小值是1 请利用以上方法，解答下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值． (3)已知，为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． 14．如果一个正整数能够表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．例如：因为，，，故4，12，20都是神秘数． (1)写出一个除4，12，20之外的“神秘数”：______； (2)小明说：“2024是神秘数．”小亮为了验证，设较小偶数是m，则较大偶数是，列出方程，请用小亮所列方程分析小明的说法是否正确； (3)设两个连续偶数为和（k为非负整数），则由这两个连续偶数构造的“神秘数”能够被4整除吗？说明理由． 15．要把二次三项式分解因式，我们可以在中先加上一项4，使它与成为一个完全平方式，然后再减去4，整个式子的值不变，于是有：．像这种先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，这种方法不只是用于分解因式，还用于其他如求值、方程转化等；请利用“配方法”解决下列问题： (1)分解因式：． (2)当a，b为何值时，有最小值？最小值是多少？ (3)若a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 1．（2019·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（   ） A．（4+）（4-） B．4（+）（-） C．（2+）（2-） D．2（+）（-） 2．（2023·江苏无锡·中考真题）分解因式： ． 3．（2022·江苏镇江·中考真题）分解因式： ． 4．（2022·江苏常州·中考真题）分解因式： ． 5．（2022·江苏苏州·中考真题）已知，，则 ． 6．（2020·江苏镇江·中考真题）分解因式： ． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$