暑假作业10 最短路径问题及折叠问题-【暑假分层作业】2024年七年级数学暑假培优练（北师大版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业10最短路径问题及折叠问题 最短路径问题 模型1：已知：如图，定点分布在定直线两侧； 要求：在直线上找一点，使的值最小 解法：连接交直线于点，点即为所求，的最小值即为线段的长度 理由：在上任取异于点的一点，连接， 在中，，即， ∴为直线与直线的交点时，最小 模型2：已知：如图，定点和定点在定直线的同侧 要求：在直线上找一点，使的值最小（或的周长最小） 解法：作点关于直线的对称点，连接交于，点即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线为线段的中垂线， 由中垂线的性质得：，要使最小，则需值最小，从而转化为第1种模型 方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 一、单选题 1．如图，在正方形网格中有E，F两点，在直线l上求一点P，使最短，则点P应选在（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】C 【详解】解：如图，点是点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点，即为点，连接，此时最短， ∵与关于直线l对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最短，即最短， ∵与直线交于点， 点应选点． 故选：C． 2．如图，把一张对边平行的纸条沿折叠，点、的对应点分别为点、，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵把一张对边平行的纸条沿折叠，点、的对应点分别为点、，若， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，交于点，过点作，垂足为点， 平分， ， ， 当点与点重合时，的值最小，等于的值， ，的面积为8， ， ， 的最小值为4， 故选：B． 4．如图，四边形纸片中，，将纸片折叠，使落在边上的处，折痕为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形纸片中，， ∴， ∵将纸片折叠，使落在边上的处， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，已知四边形纸片中，，点，分别在边，上，将纸片沿着折叠，点A落在点处，交于点．若比的4倍多，则的大小是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意可得：， ，， ， ，， ， . 故选B. 二、填空题 6．如图，在等腰中，，，是等边三角形，点P是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】10 【详解】解：如图，连接， ∵点是的角平分线上一动点，则 ， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当，，在同一直线上时，的最小值为线段长， 又∵是等边三角形，， ∴的最小值为10， 故答案为：10． 7．如图，纸片的边缘互相平行，将纸片沿折叠，使得点B，D分别落在点处．若，则的度数是 ． 【答案】/50度 【详解】解：， ， ， 由折叠的性质可知， ， 故答案为：． 8．如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．    【答案】6 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点P到A，B两点的距离相等， 即， 要求最小，即求最小，则A、P、D三点共线， ∴的长度即的最小值， 即的最小值为6， 故答案为：6． 9．如图：等腰的底边长为8，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    【答案】10 【详解】解：连接，，如下图：    ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：10． 10．将一条长方形纸带的一端沿折叠成图1，．    （1）若，则的度数为 ． （2）将图1的另一端先沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】（1）延长至M，    由翻折可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）延长到点N，    由翻折可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．如图，在中，，沿着翻折使得点的对应点落在上，折痕为，，试说明：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵沿着翻折使得点的对应点落在上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．如图，某公路（可视为轴）的同一侧有、、三个村庄，要在公路边（轴上）建一仓库，向、、三个村庄送农用物资，路线是或．请运用所学知识并结合该图，在坐标系中轴上标出使送货路线之和最短的点所在的位置．（要求：完成作图并简要说明作法）． 【答案】见解析 【详解】解：两条路线中，的长度是固定的， ∴送货路线之和最短，则到的路径最短， ∴作点关于轴的对称点，再连接，则与轴的交点即为点， 则点即为所求． 13．如图，将一长方形纸片沿着折叠，交于点，为上一点，连结，． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， ， ， ， ， ， ； （2），， ， ， ， 由折叠得：， ， ， ， 的度数为． 1．如图，图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，则图2中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，将纸带沿折叠成图2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．如图，在中，，，的面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：连接，． ∵，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 故选：C 3．如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：连接，过点作， ，，，， ，， ， 当、、三点共线且时，的最小值为， ， ，即的最小值为， 故答案为：． 4．操作实践：在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点． (1)画出关于y轴对称的（保留作图痕迹），并直接写出点的坐标 ； (2)点E是y轴上的动点，点F是线段上的动点，若为5个单位长度，在图中标出点E和点F的位置，使取得最小值，最小值是 个单位长度． 【答案】(1)见解析， (2) 【详解】（1）如图所示，即为所求， ∵点与点关于y轴对称， ∴， 故答案为：； （2）如图，过点作的垂线交y轴于点E，交于点F， 则点E和点F的位置即为所求，此时取得最小值， 设与y轴交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵的面积，， ∴， ∴最小值是， 故答案为：． 5．如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置，的延长线交于点．    (1)如果，求的度数； (2)如果已知∠，则__________（用含的式子表示） (3)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【详解】（1）解：， ， 由折叠知， ， ； （2）解：， ， 由折叠的性质可得：， ； （3）解：， ， ， ， ． 6．如图，将长方形纸条沿折叠，点，分别落在，处，交于点，设． (1)①若，则______°； ②用含x的代数式表示． (2)如图2，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点A，B分别落在（在上），处． ①若，，求x； ②若 ，用含x的式子表示． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【详解】（1）解：①由折叠的性质得：， ， 四边形是矩形， ， ， 故答案为：80； ②由折叠的性质得：， ， 四边形是矩形， ， ； （2）解：①由折叠的性质得：， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， ， 即， 解得：； ②， ， 由折叠的性质得：， ． 1．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 【答案】D 【详解】解：如图， ∵由折叠的性质可知， ∴AD是的角平分线， 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，理解角平分线的定义是解答本题的关键． 2．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，有一张平行四边形纸片，，，将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，折痕为，若点在边上，则长的最小值等于 ． 【答案】2 【详解】解：∵将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点， ∴， 而, 当点与点重合时，，此时的长最小， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了折叠的性质，理解当点与点重合时的长最小是解题的关键． 3．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．    【答案】 【详解】解：∵将沿折叠，点的对应点为点．点刚好落在边上，在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α． (1)如图，当P与E重合时，求α的度数． (2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系． 【答案】(1)25° (2)①当点P在线段BE上时，2α－β＝50°；②当点P在线段CE上时，2α＋β＝50° 【详解】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝50°， ∵P与E重合，AE平分∠BAC， ∴D在AB边上，AE⊥CD， ∴∠ACD＝65°， ∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°； （2）①如图1，当点P在线段BE上时， ∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD， ∴90°－α＋β＝40°＋α， ∴2α－β＝50°； ②如图2，当点P在线段CE上时， 延长AD交BC于点F， ∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β， ∴90°－α＝40°＋α＋β， ∴2α＋β＝50°． 【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及轴对称变换，三角形外角等于不相邻的两个内角的和的应用，解题的关键是掌握轴对称的性质，能熟练运用三角形外角的性质． 5．（2022·山东威海·中考真题）如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A，B，C都在格点上． (1)的面积为 ； (2)以为边画与全等的三角形，满足条件的三角形可以作出 个 (3)在直线l上确定点P，使的长度最短，则最短距离是 （画出示意图并标明点P的位置） 【答案】(1)3 (2)3 (3) 【详解】（1）解：． 故答案为：3； （2）如图，，，即为所求． 故答案为：3； （3）作关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为点， 由对称可知：，， 则，当点在点时，取等号，即：此时的长度最短， 即：点即为所求， 由勾股定理可得的最短距离为：， 故答案为：． 6．（2022·广东汕头·中考真题）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数是 ． 【答案】 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业10最短路径问题及折叠问题 最短路径问题 模型1：已知：如图，定点分布在定直线两侧； 要求：在直线上找一点，使的值最小 解法：连接交直线于点，点即为所求，的最小值即为线段的长度 理由：在上任取异于点的一点，连接， 在中，，即， ∴为直线与直线的交点时，最小 模型2：已知：如图，定点和定点在定直线的同侧 要求：在直线上找一点，使的值最小（或的周长最小） 解法：作点关于直线的对称点，连接交于，点即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线为线段的中垂线， 由中垂线的性质得：，要使最小，则需值最小，从而转化为第1种模型 方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 一、单选题 1．如图，在正方形网格中有E，F两点，在直线l上求一点P，使最短，则点P应选在（    ） A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 2．如图，把一张对边平行的纸条沿折叠，点、的对应点分别为点、，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，在锐角三角形中，，的面积为8，平分．若、分别是、上的动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，四边形纸片中，，将纸片折叠，使落在边上的处，折痕为，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知四边形纸片中，，点，分别在边，上，将纸片沿着折叠，点A落在点处，交于点．若比的4倍多，则的大小是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，在等腰中，，，是等边三角形，点P是的角平分线上一动点，连接、，则的最小值为 ． 7．如图，纸片的边缘互相平行，将纸片沿折叠，使得点B，D分别落在点处．若，则的度数是 ． 8．如图，中，，，，于点D，垂直平分，交于点F，在上确定一点P，使最小，则这个最小值为 ．    9．如图：等腰的底边长为8，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为 ．    10．将一条长方形纸带的一端沿折叠成图1，．    （1）若，则的度数为 ． （2）将图1的另一端先沿折叠成图2，再沿折叠成图3，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示） 三、解答题 11．如图，在中，，沿着翻折使得点的对应点落在上，折痕为，，试说明：． 12．如图，某公路（可视为轴）的同一侧有、、三个村庄，要在公路边（轴上）建一仓库，向、、三个村庄送农用物资，路线是或．请运用所学知识并结合该图，在坐标系中轴上标出使送货路线之和最短的点所在的位置．（要求：完成作图并简要说明作法）． 13．如图，将一长方形纸片沿着折叠，交于点，为上一点，连结，． (1)请说明的理由； (2)若，求的度数．（用含的代数式表示） 1．如图，图1是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图2，则图2中的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，的面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ． 4．操作实践：在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点． (1)画出关于y轴对称的（保留作图痕迹），并直接写出点的坐标 ； (2)点E是y轴上的动点，点F是线段上的动点，若为5个单位长度，在图中标出点E和点F的位置，使取得最小值，最小值是 个单位长度． 5．如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在、的位置，的延长线交于点．    (1)如果，求的度数； (2)如果已知∠，则__________（用含的式子表示） (3)探究与的数量关系，并说明理由． 6．如图，将长方形纸条沿折叠，点，分别落在，处，交于点，设． (1)①若，则______°； ②用含x的代数式表示． (2)如图2，在图1的基础上将纸条沿继续折叠，点A，B分别落在（在上），处． ①若，，求x； ②若 ，用含x的式子表示． 1．（2022·河北·中考真题）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（    ） A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线 2．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，有一张平行四边形纸片，，，将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，折痕为，若点在边上，则长的最小值等于 ． 3．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．    4．（2022·广东汕头·中考真题）如图，在中，，平分，P为线段上一动点，Q为边上一动点，当的值最小时，的度数是 ． 5．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=40°， ∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E．P是边BC上的动点（不与B，C重合），连结AP，将△APC沿AP翻折得△APD，连结DC，记∠BCD=α． (1)如图，当P与E重合时，求α的度数． (2)当P与E不重合时，记∠BAD=β，探究α与β的数量关系． 6．（2022·山东威海·中考真题）如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A，B，C都在格点上． (1)的面积为 ； (2)以为边画与全等的三角形，满足条件的三角形可以作出 个 (3)在直线l上确定点P，使的长度最短，则最短距离是 （画出示意图并标明点P的位置） ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$