暑假作业09 轴对称图形及其性质-【暑假分层作业】2024年七年级数学暑假培优练（北师大版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业09轴对称图形及其性质 一、轴对称 1.轴对称图形 （1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意：①轴对称图形的对称轴是一条直线；②轴对称图形是1个图形；③有些对称图形的对称轴有无数条。 （2）两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线称为这两个图形的对称轴. （3）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这,条线段的垂直平分线. 2.轴对称性质：①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线；②关于某直线对称的两个图形是全等形. 3.垂直平分线的性质：（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； （2）与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； （3）线段垂直平分线的作图步骤： ①分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点； ②作直线为所求直线 4.关于坐标轴对称的点的坐标性质 （1）关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为. （2）关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为. 5.画轴对称图形 （1）过已知点作对称轴的垂线，垂足为，在垂线上截取，使，则点是点的对称点；（2）同理分别作出其它关键点的对称点；（3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 二、等腰三角形 1.等腰三角形的概念与性质 （1）等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底 ，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． （2）等腰三角形的性质 如图所示，在中，是等腰三角形， 其中为腰，为底边,是顶角，是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合，简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 三、等边三角形 1.等边三角形的概念与性质 （1）等边三角形概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意：①等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ②等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. （2）等边三角形的性质 ①等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴；②三个角都是60° 2.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 3.含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 一、单选题 1．中国“十二生肖”是中国文化的代表之一，被联合国教科文组织列为人类非物质文化遗产．某同学在新年来临之际，通过简笔画描绘其一家四人的生肖属相，分别代表“龙”“猪”“猴”“鸡”，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，是折痕，若，则以下结论正确的是（    ） ①；②；③；④    A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．在中，，、的垂直平分线交于点、，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在正方形网格中，如果将其中1个白色方格涂上阴影，使整个阴影部分成为一个轴对称图形，涂法共有（　　）    A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 二、填空题 5．在“锐角、五角星、等边三角形、圆、正六边形”这五个图形中，是轴对称图形的有 个，按对称轴条数由多到少排列是 ． 6．如图，与关于直线l对称，，垂足是O，，则 ． 7．如图，在中，，，，，是的角平分线，若分别是和边上的动点，则的最小值是 ．    8．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D，E，若，的周长为38，则的周长为 ． 9．如图，在中，是角平分线，于点E，的面积为15，，，则的长是 ．      三、解答题 10．如图，和关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺在图①和图②中，分别作出直线l． 11．如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点______，的对应边是______； (2)若，，求的度数． 12．已知：，，．求作：点P，使，且点P在边AC上． 1．如图，这是由8个边长相同的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有（    ） A．10种 B．9种 C．8种 D．6种 2．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，若的平分线与的外角的平分线相交于点Р连接，若，则等于 度． 4．如图，在中，平分，，延长到点，使得，连接．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 6．如图，，作，垂足为F，相交于点E，求证：    1．（2022·北京·中考真题）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ）        A． B． C． D． 2．（2021·湖北荆州·中考真题）如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，有一张平行四边形纸片，，，将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，折痕为，若点在边上，则长的最小值等于 ． 4．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，直线，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分，则的度数为 °． 5．（2023·青海·中考真题）如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是 .    6．（2023·山东枣庄·中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．    （2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．    7．（2022·湖北武汉·中考真题）已知四边形为矩形．点E是边的中点．请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．    (1)在图1中作出矩形的对称轴m，使； (2)在图2中作出矩形的对称轴n：使． 8．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．    (1)求证：； (2)若平分，直接写出的形状． 9．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为M，且____________，____________，则____________． 给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．    ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业09轴对称图形及其性质 一、轴对称 1.轴对称图形 （1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意：①轴对称图形的对称轴是一条直线；②轴对称图形是1个图形；③有些对称图形的对称轴有无数条。 （2）两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线称为这两个图形的对称轴. （3）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这,条线段的垂直平分线. 2.轴对称性质：①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线；②关于某直线对称的两个图形是全等形. 3.垂直平分线的性质：（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； （2）与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上； （3）线段垂直平分线的作图步骤： ①分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点； ②作直线为所求直线 4.关于坐标轴对称的点的坐标性质 （1）关于轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为. （2）关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为. 5.画轴对称图形 （1）过已知点作对称轴的垂线，垂足为，在垂线上截取，使，则点是点的对称点；（2）同理分别作出其它关键点的对称点；（3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 二、等腰三角形 1.等腰三角形的概念与性质 （1）等腰三角形概念 有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底 ，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． （2）等腰三角形的性质 如图所示，在中，是等腰三角形， 其中为腰，为底边,是顶角，是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合，简称“等腰三角形三线合一”． 2.等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边. 三、等边三角形 1.等边三角形的概念与性质 （1）等边三角形概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意：①等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ②等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. （2）等边三角形的性质 ①等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴；②三个角都是60° 2.等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 3.含有30°角的直角三角形 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 一、单选题 1．中国“十二生肖”是中国文化的代表之一，被联合国教科文组织列为人类非物质文化遗产．某同学在新年来临之际，通过简笔画描绘其一家四人的生肖属相，分别代表“龙”“猪”“猴”“鸡”，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2．按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，是折痕，若，则以下结论正确的是（    ） ①；②；③；④    A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，故①正确； 由折叠的性质可得， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴，故③正确； ∴， ∵， ∴，故④正确； 故选：C． 3．在中，，、的垂直平分线交于点、，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：， ， 、的垂直平分线分别交于点、， ，， ，， ， ． 故选：D． 4．如图，在正方形网格中，如果将其中1个白色方格涂上阴影，使整个阴影部分成为一个轴对称图形，涂法共有（　　）    A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B 【详解】解：如图所示，有5个位置使之成为轴对称图形．    故选：B 二、填空题 5．在“锐角、五角星、等边三角形、圆、正六边形”这五个图形中，是轴对称图形的有 个，按对称轴条数由多到少排列是 ． 【答案】 5 圆、正六边形、五角星、等边三角形、锐角 【详解】解：锐角时轴对称图形，对称轴为1条；五角星是轴对称图形，对称轴有5条；等边三角形是轴对称图形，对称轴有3条；圆是轴对称图形，对称轴有无数条；正六边形是轴对称图形，对称轴有6条， 故答案为：5；圆，正六边形，五角星，等边三角形，锐角． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 6．如图，与关于直线l对称，，垂足是O，，则 ． 【答案】2 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴点关于直线l对称， ∵，垂足是O， ∴ 故答案为：2 7．如图，在中，，，，，是的角平分线，若分别是和边上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【详解】解：如图，在上截取，连接，，   是的平分线， 在与中 点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时， 是动点， 也是动点，当与垂直时，最小，即最小． 此时，由面积法得． 故答案为：． 8．如图，在中，边的垂直平分线分别交、于点D，E，若，的周长为38，则的周长为 ． 【答案】28 【详解】解：是的垂直平分线，且， ，， 又的周长为38， 的周长， 故答案为：28． 9．如图，在中，是角平分线，于点E，的面积为15，，，则的长是 ．      【答案】4 【详解】过点D作于F， 是角平分线，，， ， ， 解得． 故答案为：4． 三、解答题 10．如图，和关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺在图①和图②中，分别作出直线l． 【答案】见解析 【详解】解：图①过、的交点M和与的交点N作直线即为对称轴l；图②中，延长两组对应边得到两个交点M、N，然后过这两点作直线即为对称轴直线l．如图所示： 11．如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点______，的对应边是______； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：由题意可得：图中点的对应点是点，的对应边是， 故答案为：，． （2）解：， ， ， ． 12．已知：，，．求作：点P，使，且点P在边AC上． 【答案】见解析 【详解】解：如图：过B作,垂足为 P， ∵， ∴， ∴,则点P即为所求． 1．如图，这是由8个边长相同的正六边形组成的图形，若在5个白色的正六边形中，选择2个涂黑，使涂黑的2个正六边形和原来3个被涂黑的正六边形恰好组成轴对称图形，则选择的方案最多有（    ） A．10种 B．9种 C．8种 D．6种 【答案】C 【详解】如图， 涂黑的方案有：选择、、、、、、、时，均可得到轴对称图形， 即共计有8种， 故选：C． 2．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，若，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：， ，故①正确 ， 由折叠得：， ， ，故③④正确 ， ， 故②不正确， 所以，上列结论，其中正确的有：①③④，共有3个， 故选：C． 3．如图，若的平分线与的外角的平分线相交于点Р连接，若，则等于 度． 【答案】 【详解】 过点P作于点N，交的延长线于点F，于点M 平分，平分 ， ∵， 平分 故答案为： 【点睛】本题主要考查角平分线的性质及判定，正确作出辅助线是解题的关键． 4．如图，在中，平分，，延长到点，使得，连接．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：平分， ， 在与中， ， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 【答案】有，捷径见解析 【详解】解：如下图， 假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点． 因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线的长度等于的长度， 连接，则， 在中，由三角形三边故选可得：， 所以折线的长， 即折线就是捷径． 【点睛】本题考查了轴对称，三角形三边关系，解题的关键是找到A，B的对称点，，连接，得出 C，D两点． 6．如图，，作，垂足为F，相交于点E，求证：    【答案】见详解 【详解】∵， ∴ ， ∵ ∴， ， ∴， ∵，即， ∴ ； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ . 【点睛】本题考查了角平分线定义、三角形外角的性质以及三角形内角和定理的应用，解题的关键是能够灵活运用相关性质定理进行推理计算. 1．（2022·北京·中考真题）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（    ）        A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解∶如图，      一共有5条对称轴． 故选：D 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 2．（2021·湖北荆州·中考真题）如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据图中尺规作图可知，AC的垂直平分线交AB于D，BP平分∠ABC， ∴，；选项A、B正确； ∵， ∴∠ACD=∠A =40°， ∵，， ∴∠ABC=∠ACB =70°， ∴，选项D错误； ∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP =115°，选项C正确； 故选：D 【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识是解题的关键 3．（2022·江苏镇江·中考真题）如图，有一张平行四边形纸片，，，将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，折痕为，若点在边上，则长的最小值等于 ． 【答案】2 【详解】解：∵将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点， ∴， 而, 当点与点重合时，，此时的长最小， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了折叠的性质，理解当点与点重合时的长最小是解题的关键． 4．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，直线，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分，则的度数为 °． 【答案】60 【详解】一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（2023·青海·中考真题）如图，在中，是的垂直平分线.若，，则的周长是 .    【答案】13 【详解】解：是的垂直平分线． ， ， 的周长， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 6．（2023·山东枣庄·中考真题）（1）观察分析：在一次数学综合实践活动中，老师向同学们展示了图①，图②，图③三幅图形，请你结合自己所学的知识，观察图中阴影部分构成的图案，写出三个图案都具有的两个共同特征：___________，___________．    （2）动手操作：请在图④中设计一个新的图案，使其满足你在（1）中发现的共同特征．    【答案】（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等；（2）见解析 【详解】解：（1）观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等； 故答案为：观察发现四个图形都是轴对称图形，且面积相等； （2）如图：    【点睛】此题主要考查了利用轴对称图形设计图案，关键是掌握利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 7．（2022·湖北武汉·中考真题）已知四边形为矩形．点E是边的中点．请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．    (1)在图1中作出矩形的对称轴m，使； (2)在图2中作出矩形的对称轴n：使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）如图所示，直线m即为所求作    （2）如图所示，直线n即为所求作    【点睛】本题主要考查了求作矩形的对称轴，熟练掌握矩形的性质是解答此题的关键． 8．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．    (1)求证：； (2)若平分，直接写出的形状． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形 【详解】（1）证明：， ∴， ， ． （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质、等边三角形的判定、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 9．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，是五边形的一边，若垂直平分，垂足为M，且____________，____________，则____________． 给出下列信息：①平分；②；③．请从中选择适当信息，将对应的序号填到横线上方，使之构成真命题，补全图形，并加以证明．    【答案】②③，①；证明见详解 【详解】②③，① 证明：根据题意补全图形如图所示：   垂直平分， ，（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ， 即， 平分． 故答案为：②③①． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是本题的解题关键． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$