专题04 绝对值-2024年小升初数学无忧衔接（2024新教材通用版）

专题04 绝对值 1. 从数形两方面理解绝对值的意义（代数意义和几何意义）； 2. 会求已知数的绝对值及已知绝对值求未知数；体会分类讨论思想； 3. 运用绝对值的非负性解决问题； 4. 能利用绝对值的几何意义求最值，体会数形结合思想。 题型探究 题型1、求已知数的绝对值 3 题型2、已知绝对值求数或未知数 4 题型3、绝对值的概念与意义辨析 6 题型4、绝对值的非负性 7 题型5、绝对值的化简求值1 9 题型6、绝对值的化简求值2 10 题型7、绝对值的实际应用 11 题型8、绝对值的几何意义求最值 14 培优精练 A组（能力提升） 18 B组（培优拓展） 23 【思考1】下图中点A与原点之间的距离是多少？点B与原点之间的距离是多少？ 【思考2】一个数的绝对值与这个数有什么关系? 【历史起源】提起绝对值的起源，就需要从“现代分析学之父”的德国大数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）说起，他于1841年提出绝对值的定义，距今不到200年的历史。当然，你可能觉得这个时间已经够久远了吧，但是我可以告诉你，我们所崇拜的欧拉，生于1707年，逝于1783年，就是说，那个把无穷级数玩得贼溜，写出了数学史上最多论文的大神，一辈子都没有接触过绝对值。比照这些年份可以看出来，绝对值算是一个出现得非常晚的数学概念了。 1.绝对值 1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 3.归纳： ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ；②绝对值大于它本身的数是： 负数 ； ③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ；④绝对值最小的有理数是： 0 ； ⑤绝对值最小的正整数是： 1 ；⑥绝对值最小的负整数是： -1 。 引入绝对值这个概念，是为以后的数学转化思想做准备，通过绝对值，将负数转化为正数，这样有理数加法计算问题就可用小学时学的加法进行运算了。 题型1、求已知数的绝对值 【解题技巧】数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，。 例1．（2024·广西钦州·一模）的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 例2．（2024·江苏连云港·二模）2024相反数的绝对值是（    ） A． B． C．2024 D． 例3．（20-21七年级上·浙江杭州·期末）若，则 ． 变式1．（2024·湖北武汉·一模）的相反数是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2024·西藏·一模）的绝对值是（    ） A．3 B． C． D． 题型2、已知绝对值求数或未知数 【解题技巧】若，当时，；当时，。 根据绝对值的意义，去掉绝对值，转化为两个一元一次方程，解方程即可。 例1．（2024·河南郑州·模拟预测）一个数x的相反数的绝对值为3，则这个数是（　　） A．3 B． C． D． 例2．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则 ． 例3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）已知，则x的值为 ． 变式1．（2024·辽宁·模拟预测）绝对值等于的数是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 变式2．（22-23七年级上·云南昆明·阶段练习）如果，则 ． 变式3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知，则 ． 题型3、绝对值的概念与意义辨析 【解题技巧】绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 例1．（2023·福建莆田·七年级统考期末）在数轴上表示任何一个有理数的绝对值的点的位置，只能在数轴上（　　） A．原点两旁 B．任何一点 C．原点右边 D．原点或其右边 例2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）若，则是（  ） A．非负数 B．负数 C．正数 D．非正数 例3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则 ． 变式1．（2023·河北保定·校考模拟预测）下列说法错误的是（     ） A．相反数是它本身的数是 B．绝对值是它本身的数是正数 C．的绝对值是它本身 D．有理数的相反数仍是有理数 变式2．（2022秋·甘肃庆阳·七年级统考期中）下列说法正确的是（    ） A．有理数的绝对值一定比0大 B．有理数的相反数一定比0小 C．如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 变式3．（2022·河南驻马店·七年级校考期末）如果，下列的取值不能使这个式子成立的是（    ） A． B．0 C．1 D．取任何负数 题型4、绝对值的非负性 【解题技巧】（1）根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0．（2）。 例1．（23-24七年级·浙江·期中）若，则 ， ． 例2．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 例1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ． 变式2．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个式子有最 值是 ，此 题型5、绝对值的化简求值1 【解题技巧】绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 例1．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若，互为相反数，则 ； ． 例2．（23-24七年级·上海·期中）若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 变式1．（23-24七年级·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 变式2．（23-24七年级上·山西忻州·期末）数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 变式3．（2023·河南·七年级校考阶段练习）有理数、、在数轴上的位置如图： (1)比较大小（填“”或“”号）．①______；② ______；③______； (2)化简：． 题型6、绝对值的化简求值2 【解题技巧】当a＞0时，则；当a＜0时，则。 例1．（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）若，则的值为 ． 变式1．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 变式2．（22-23七年级上·江西上饶·期中）若，则 ． 题型7、绝对值的实际应用 【解题技巧】常见三种应用： 1）质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2）小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3）数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 例1．（2023·浙江金华·七年级校考期中）小杨同学检测了4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 例2．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）小虫从某地点0出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：厘米） ，问：(1)小虫是否回到原点0？ (2)爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励5粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？ 变式1．（2024·吉林四平·二模）从一批汤圆中挑选4个汤圆编号后进行称重检查，结果如下（超过标准质量的记为正数，不足的克数记为负数，单位：g），其中最接近标准质量的是（    ） 编号 1 2 3 4 检查结果 A．1号汤圆 B．2号汤圆 C．3号汤圆 D．4号汤圆 变式2．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (3)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 题型8、绝对值的几何意义求最值 【解题技巧】几何意义：表示x到点a的距离 （1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。 注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。 例1.（2022·山东济宁·七年级期末）大家知道，，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子在数轴上的意义是______． 例2.（2022·湖南邵阳·七年级期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离记作．当A、B两点中有一点为原点时，不妨设A点在原点．如图所示，则，当A、B两点都不在原点时： （1）如图所示，点A、B都在原点的右边，不妨设点A在点B的左侧.则 （2）如图所示，点A、B都在原点的左边，不妨设点A在点B的右侧.则 （3）如图所示，点A、B分别在原点的两边，不妨设点A在原点的右侧，则 回答下列问题：(1)综上所述，数轴上A、B两点之间的距离_______________． (2)数轴上表示3和的两点A和B之间的距离_______________． (3)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离_________．如果，则x的值为________． (4)若代数式有最小值，则最小值为_______________． 变式1.（2023•广西七年级月考）同学们都知道，|3﹣（﹣1）|表示3与﹣1之差的绝对值，实际上也可理解为3与﹣1两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|3﹣（﹣1）|＝　 　． （2）找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4，这样的整数是　 　． 变式2．（2023·江苏南京·七年级校考阶段练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，则此值为_________. 变式3．（23-24七年级上·贵州黔南·期末）知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般的，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数a的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程．像，，都叫做绝对值方程，对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未知数的值． 例如：（1）表示在数轴上，数a与数0的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是5和． 解：因为，所以，或． （1）表示在数轴上，数a与数3的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是8和． 解：因为，所以，或，解得：或． 知识应用：（1）求出下列未知数的值．；．（2）知识探究：直接写出的最小值． A组（能力提升） 1．（2024·广西南宁·二模）2024的绝对值是（    ） A．2024 B． C． D． 2．（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·上海闵行·阶段练习）如果，那么的取值范围是（    ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 4．（23-24七年级·上海普陀·期中）如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是（    ） A．1 B．0 C．正数 D．非负数 5．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）相反数与绝对值相等的数是（    ） A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数 6．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，将实数表示在数轴上，则下列等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 7．（2023·重庆七年级期中）下列命题正确的是（　　） A．绝对值等于本身的数是正数 B．绝对值等于相反数的数是负数 C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．绝对值相等的两个数互为相反数 8．（2023春·吉林长春·七年级校考阶段练习）若，则a的值可以是（　　） A．5 B．3 C．1 D． 9．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）绝对值小于的所有整数有 个． 10．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 11．（23-24七年级上·山东济宁·期末）实数，在数轴上的位置如图，则 ． 12．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若，则的值为 ． 13．（23-24七年级上·广东佛山·期中）如图，直径为1个单位的圆片上有一点与数轴上的原点重合，是圆片的直径．圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，运动结束后运动的路程共有 ．（保留）    14．（23-24七年级上·广东深圳·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负（单位：千米）． (1)李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)这时间段李师傅开车的平均速度是多少千米每小时？ B组（培优拓展） 1．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）为有理数，若，那么是（    ） A．非正数 B．非负数 C．负数 D．不为0的数 2．（2023秋·云南文山·七年级统考期末）若x是一个有理数，且，则（   ） A． B． C．4 D．-2 3．（2023秋·黑龙江佳木斯·七年级校考期末）若，则和的关系为（    ） A．和相等 B．和互为相反数 C．和相等或互为相反数 D．以上答案都不对 4．（2024·江苏南京·七年级校考阶段练习）若是有理数，则的值（　　） A．是负数 B．是非负数 C．必是正数 D．无法确定 5．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 6．（2024七年级·广东·培优）使成立的条件是（    ）． A．为任意数 B． C． D． 7．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）当 时，的值最小． 8．（23-24七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则 ． 9．（23-24七年级·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空：______0，______0，______0． (2)化简：． 10．（23-24七年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，|x|表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数x1与数x2对应点之间的距离． 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2，所以x的值为或2． 例2：已知，求x的值． 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和，所以x的值为3或． 仿照材料中的解法，求下列各式中x的值．(1)；(2)． 11．（23-24七年级上·新疆·期中）数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，如2与3的距离可表示为，2与的距离可表示为 (1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是 　　；数轴上表示和的两点之间的距离是 　　； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 　　；如果，则x为 　　； (3)数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简． (4)当代数式取最小值时，x的值为 　　． 12．（2023·浙江·七年级专题练习）问题提出：学习了|a|为数轴上表示a的点到原点的距离之后，小凡所在数学兴趣小组对数轴上分别表示数a和数b的两个点A，B之间的距离进行了探究： （1）利用数轴可知5与1两点之间距离是 　 　；一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间距离为 　 　． 问题探究：（2）请求出|x﹣3|+|x﹣5|的最小值． 问题解决：（3）如图在十四运的场地建设中有一条直线主干道L，L旁依次有3处防疫物资放置点A，B，C，已知AB＝800米，BC＝1200米，现在设计在主干道L旁修建防疫物资配发点P，问P建在直线L上的何处时，才能使得配发点P到三处放置点路程之和最短？最短路程是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 第 2 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 绝对值 1. 从数形两方面理解绝对值的意义（代数意义和几何意义）； 2. 会求已知数的绝对值及已知绝对值求未知数；体会分类讨论思想； 3. 运用绝对值的非负性解决问题； 4. 能利用绝对值的几何意义求最值，体会数形结合思想。 题型探究 题型1、求已知数的绝对值 3 题型2、已知绝对值求数或未知数 4 题型3、绝对值的概念与意义辨析 6 题型4、绝对值的非负性 7 题型5、绝对值的化简求值1 9 题型6、绝对值的化简求值2 10 题型7、绝对值的实际应用 11 题型8、绝对值的几何意义求最值 14 培优精练 A组（能力提升） 18 B组（培优拓展） 23 【思考1】下图中点A与原点之间的距离是多少？点B与原点之间的距离是多少？ 【思考2】一个数的绝对值与这个数有什么关系? 【历史起源】提起绝对值的起源，就需要从“现代分析学之父”的德国大数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）说起，他于1841年提出绝对值的定义，距今不到200年的历史。当然，你可能觉得这个时间已经够久远了吧，但是我可以告诉你，我们所崇拜的欧拉，生于1707年，逝于1783年，就是说，那个把无穷级数玩得贼溜，写出了数学史上最多论文的大神，一辈子都没有接触过绝对值。比照这些年份可以看出来，绝对值算是一个出现得非常晚的数学概念了。 1.绝对值 1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作。 2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 3.归纳： ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ；②绝对值大于它本身的数是： 负数 ； ③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ；④绝对值最小的有理数是： 0 ； ⑤绝对值最小的正整数是： 1 ；⑥绝对值最小的负整数是： -1 。 引入绝对值这个概念，是为以后的数学转化思想做准备，通过绝对值，将负数转化为正数，这样有理数加法计算问题就可用小学时学的加法进行运算了。 题型1、求已知数的绝对值 【解题技巧】数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，。 例1．（2024·广西钦州·一模）的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值等于它的相反数，进行作答即可． 【详解】解：的绝对值是，故选：A． 例2．（2024·江苏连云港·二模）2024相反数的绝对值是（    ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数与绝对值，先求出2024的相反数，再求出相反数的绝对值即可，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：2024的相反数为，的绝对值为2024， 2024相反数的绝对值是2024，故选：C． 例3．（20-21七年级上·浙江杭州·期末）若，则 ． 【答案】 【详解】本题考查了不等式的性质与绝对值的意义，解题的关键是熟知：①在不等式的两边同时乘以一个负数，不等号的方向改变；②正数的绝对值是其本身． 根据不等式的性质与绝对值的意义进行变形与化简即可． 解：∵，∴，∴．故答案为：． 变式1．（2024·湖北武汉·一模）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的意义和相反数，根据绝对值的意义化简绝对值，再根据相反数的定义求相反数即可． 【详解】解：，的相反数是2024．故选：B． 变式2．（2024·西藏·一模）的绝对值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查绝对值的定义，掌握一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0成为解题的关键．根据绝对值的定义即可解得． 【详解】解：的绝对值是3．故选A． 题型2、已知绝对值求数或未知数 【解题技巧】若，当时，；当时，。 根据绝对值的意义，去掉绝对值，转化为两个一元一次方程，解方程即可。 例1．（2024·河南郑州·模拟预测）一个数x的相反数的绝对值为3，则这个数是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相反数，绝对值，根据相反数和绝对值的定义即可求解． 【详解】∵一个数x的相反数的绝对值为3，即， ∴，∴．故选：D． 例2．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了绝对值的意义，正确熟练掌握知识点是解题的关键． 直接取绝对值即可． 【详解】解：；； ∴或．故答案为：3或. 例3．（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）已知，则x的值为 ． 【答案】8或2/2或8 【分析】本题考查了绝对值方程，根据绝对值等于一个正数的数有2个求解即可． 【详解】解：∵，∴， ∴或，∴或2．故答案为：8或2． 变式1．（2024·辽宁·模拟预测）绝对值等于的数是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值．熟练掌握绝对值是解题的关键． 根据绝对值的定义求解即可． 【详解】解：由题意知，绝对值等于的数是或，故选：C． 变式2．（22-23七年级上·云南昆明·阶段练习）如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了互为相反数的两个数的绝对值相等．就是简单的运算题，比较简单．根据互为相反数的两个数的绝对值相等，由题意知，得出x的值． 【详解】解：∵，∴，得出，故答案为：． 变式3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知，则 ． 【答案】2或0/0或2 【分析】本题考查绝对值方程，解题的关键是熟记绝对值的意义． 根据绝对值的意义即可求解． 【详解】∵∴或∴或0．故答案为：2或0． 题型3、绝对值的概念与意义辨析 【解题技巧】绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 例1．（2023·福建莆田·七年级统考期末）在数轴上表示任何一个有理数的绝对值的点的位置，只能在数轴上（　　） A．原点两旁 B．任何一点 C．原点右边 D．原点或其右边 【答案】D 【分析】根据数轴的特点及绝对值的定义解答即可． 【详解】解：∵任何非数的绝对值都大于，∴任何非数的绝对值所表示的数总在原点的右侧， ∵的绝对值是0，∴的绝对值表示的数在原点．故选：D． 【点睛】本题考查的是绝对值及数轴的定义，解答此题的关键是熟知以下知识：（1）数轴上原点右边表示的数都大于，原点左边表示的数都小于；（2）一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是． 例2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）若，则是（  ） A．非负数 B．负数 C．正数 D．非正数 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．据此解答即可． 【详解】解：，为非正数，故选：D． 例3．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查绝对值的代数意义，由题意确定的符号，由绝对值的代数意义化简即可得到答案，熟记绝对值的代数意义是解决问题的关键． 【详解】解：，，则， ，故答案为：． 变式1．（2023·河北保定·校考模拟预测）下列说法错误的是（     ） A．相反数是它本身的数是 B．绝对值是它本身的数是正数 C．的绝对值是它本身 D．有理数的相反数仍是有理数 【答案】B 【分析】依次判断各个说法即可进行解答． 【详解】解：绝对值是它本身的数是非负数（0和正数），故B错误．故选：B． 【点睛】本题主要考查了相反数和绝对值的相关知识，解题的关键是熟记相关知识点． 变式2．（2022秋·甘肃庆阳·七年级统考期中）下列说法正确的是（    ） A．有理数的绝对值一定比0大 B．有理数的相反数一定比0小 C．如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等 D．互为相反数的两个数的绝对值相等 【答案】D 【分析】直接利用绝对值的性质以及相反数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：、有理数的绝对值一定大于等于0，故原说法错误，不符合题意； B、正有理数的相反数一定比0小，故原说法错误，不符合题意； C、如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数或相等，故原说法错误，不符合题意； D、互为相反数的两个数的绝对值相等，故此选项正确，符合题意．故选：D． 【点睛】本题主要考查了绝对值和相反数，正确掌握相关定义是解题关键． 变式3．（2022·河南驻马店·七年级校考期末）如果，下列的取值不能使这个式子成立的是（    ） A． B．0 C．1 D．取任何负数 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性判断即可． 【详解】解：，为非负数，为非正数，故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握知识点是解题的关键． 题型4、绝对值的非负性 【解题技巧】（1）根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0．（2）。 例1．（23-24七年级·浙江·期中）若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得，即可求解． 【详解】因为，且，， 所以，所以．故答案为：，． 例2．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知为有理数，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据绝对值的非负性即可解答． 【详解】解：∵，∴， ∴的最小值为4，故答案为：4． 例1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ． 【答案】// 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据，得到, 代入计算即可． 【详解】∵，∴，∴， 故答案为：或或． 变式2．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）如果x为有理数，式子存在最大值，那么这个式子有最 值是 ，此 【答案】 大 2021 3 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握若a为有理数，则有是解答本题的关键．根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵，∴当时，的最小值为0， ∴的最大值为2021，此时．故答案为：大；2021；3． 题型5、绝对值的化简求值1 【解题技巧】绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 例1．（23-24七年级上·四川眉山·阶段练习）若，互为相反数，则 ； ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的性质，化简绝对值；根据相反数的性质可得到，再代入中即可求解；根据，化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵，互为相反数，∴，∴， ∵，∴，故答案为：，． 例2．（23-24七年级·上海·期中）若有理数在数轴上对应的点如图，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简绝对值，由数轴得出，，从而得出，，，再根据绝对值的性质化简绝对值即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由数轴可得：，，，，， ，故答案为：． 变式1．（23-24七年级·湖北孝感·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的化简，先根据题意确定，然后化简绝对值后合并解题即可． 【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：． 变式2．（23-24七年级上·山西忻州·期末）数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了运用数轴上的点表示实数和绝对值化简的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行变形、求解．运用数轴上的点表示实数和绝对值的性质进行化简、计算． 【详解】解：由题意得，，，， ，故选：B 变式3．（2023·河南·七年级校考阶段练习）有理数、、在数轴上的位置如图： (1)比较大小（填“”或“”号）．①______；② ______；③______； (2)化简：． 【答案】(1)；；(2) 【分析】（1）根据数轴上的点表示的数的特点，比较大小． （2）利用绝对值的定义去绝对值，去括号，合并同类项． 【详解】（1）解：由数轴可得：；；； （2）解： ． 【点睛】本题考查了有关实数与数轴的简单应用，做题关键要掌握实数的大小比较，去绝对值． 题型6、绝对值的化简求值2 【解题技巧】当a＞0时，则；当a＜0时，则。 例1．（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了绝对值的化简，根据已知可得x，y同为正数或同为负数，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：因为，所以x，y同为正数或同为负数． 当，时，； 当，时，． 所以原式的值为3或，故答案为：3或． 变式1．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值．根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：，设时，， 或时，，或， 时，， 综上可得：或，故选：B． 变式2．（22-23七年级上·江西上饶·期中）若，则 ． 【答案】或0或2 【分析】 本题主要考查了化简绝对值，有理数的除法计算，讨论a、b的符号，然后化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：当a、b同时为正时，， 当a、b同时为负时，， 当a、b一正一负时，不妨设a为负，， 综上所述，的值为或0或2．故答案为：或0或2． 题型7、绝对值的实际应用 【解题技巧】常见三种应用： 1）质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2）小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3）数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 例1．（2023·浙江金华·七年级校考期中）小杨同学检测了4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】比较各个足球克数的绝对值，绝对值最小的足球最接近标准，从而得出结论． 【详解】解：因为，，，， 由于最小，所以从轻重的角度看，最接近标准工件的是C．故选：C． 【点睛】本题考查了正负数在生活中的应用，理解从轻重的角度看，绝对值最小的物品最接近标准是解决本题的关键． 例2．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）小虫从某地点0出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：厘米） ，问：(1)小虫是否回到原点0？ (2)爬行过程中，如果每爬行1厘米奖励5粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫没有回到原点(2)小虫可得到315粒芝麻 【分析】本题考查了正负数的应用：（1）利用有理数的加法，即可求解； （2）利用加法先求出总距离，再乘以每爬行1厘米奖励5粒芝麻即可求解； 熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 答：小虫没有回到原点． （2） ， （粒）， 答：小虫可得到315粒芝麻． 变式1．（2024·吉林四平·二模）从一批汤圆中挑选4个汤圆编号后进行称重检查，结果如下（超过标准质量的记为正数，不足的克数记为负数，单位：g），其中最接近标准质量的是（    ） 编号 1 2 3 4 检查结果 A．1号汤圆 B．2号汤圆 C．3号汤圆 D．4号汤圆 【答案】B 【分析】本题考查了正数负数、绝对值的意义，根据绝对值越小的数最接近标准质量，进行作答即可． 【详解】解：依题意，， ∵，∴其中最接近标准质量的是2号汤圆，故选：B． 变式2．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？ (3)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)小李在九洲体育馆门口西边处；(2)立方米；(3)元． 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，有理数的乘法运算； （）求出这几个数的和，根据符号、绝对值判断位置； （）求出所有数的绝对值的和，即行驶的总路程，进而求出用气量； （）八名顾客均有起步价，再求出超出的加价即可求出总车费． 【详解】（1）由， ∴小李在九洲体育馆门口西边处； （2）由， ∴共消耗天然气（立方米）， 答：共消耗天然气立方米； （3） ， ， （元）， 答：小李这天上午共得车费元． 题型8、绝对值的几何意义求最值 【解题技巧】几何意义：表示x到点a的距离 （1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。 注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。 例1.（2022·山东济宁·七年级期末）大家知道，，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子在数轴上的意义是______． 【答案】表示a的点与表示-5的点之间的距离 【分析】利用绝对值的意义即可求解． 【详解】解：因为，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，式子，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离， 所以式子在数轴上的意义是表示a的点与表示-5的点之间的距离． 【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键． 例2.（2022·湖南邵阳·七年级期末）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离记作．当A、B两点中有一点为原点时，不妨设A点在原点．如图所示，则，当A、B两点都不在原点时： （1）如图所示，点A、B都在原点的右边，不妨设点A在点B的左侧.则 （2）如图所示，点A、B都在原点的左边，不妨设点A在点B的右侧.则 （3）如图所示，点A、B分别在原点的两边，不妨设点A在原点的右侧，则 回答下列问题：(1)综上所述，数轴上A、B两点之间的距离_______________． (2)数轴上表示3和的两点A和B之间的距离_______________． (3)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离_________．如果，则x的值为________． (4)若代数式有最小值，则最小值为_______________． 【答案】(1)(2)8(3)，(4)7 【分析】（1）根据数轴上A，B两点的位置即可得出答案；（2）按照数轴上的位置进行计算即可； （3）根据数轴进行计算，列方程解绝对值方程即可；（4）根据绝对值的性质进行化简即可． (1)解：综上所述，数轴上两点A和B之间的距离；故答案为：； (2)解：数轴上表示3和的两点A和B之间的距离；故答案为：8； (3)解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离 如果，∴，∴或， 解得或，则的值为-2或-8；故答案为；-2或-8； (4)解若代数式有最小值，的值即为-5与2两点间的距离，此时最小，最小值为|2−（−5）|＝7，则最小值为7．故答案为7． 【点睛】本题考查了实数与数轴，以及绝对值，绝对值方程，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 变式1.（2023•广西七年级月考）同学们都知道，|3﹣（﹣1）|表示3与﹣1之差的绝对值，实际上也可理解为3与﹣1两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|3﹣（﹣1）|＝　 　． （2）找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4，这样的整数是　 　． 【分析】（1）3与﹣1两数在数轴上所对的两点之间的距离为3﹣（﹣1）＝4； （2）利用数轴解决：把|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4理解为：在数轴上，某点到3所对应的点的距离和到﹣1所对应的点的距离之和为4，然后根据数轴可写出满足条件的整数x． 【解答】解：（1）|3﹣（﹣1）|＝4； （2）式子|x﹣3|+|x﹣（﹣1）|＝4可理解为：在数轴上，某点到3所对应的点的距离和到﹣1所对应的点的距离之和为4，所以满足条件的整数x可为﹣1，0，1，2，3． 故答案为4；﹣1，0，1，2，3． 【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．也考查了数轴． 变式2．（2023·江苏南京·七年级校考阶段练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，则此值为_________. 【答案】1 【分析】因为P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，即P的值与x无关，因此化简后不含x项，根据绝对值的意义化简得出答案． 【详解】的值恒为一常数，P的值与x无关， ,且且且且，， ==1．故答案为：1． 【点睛】此题考查绝对值的意义和计算方法，理解并掌握绝对值的意义和计算结果为常数的意义是解此题的关键． 变式3．（23-24七年级上·贵州黔南·期末）知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般的，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数a的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程．像，，都叫做绝对值方程，对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未知数的值． 例如： （1）表示在数轴上，数a与数0的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是5和． 解：因为，所以，或． （1）表示在数轴上，数a与数3的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是8和． 解：因为，所以，或，解得：或． 知识应用： （1）求出下列未知数的值．；． （2）知识探究：直接写出的最小值． 【答案】（1）①或；②或；（2）2． 【分析】本题考查了数轴上的点所表示的数、绝对值的含义、数轴上两点间的距离等基础知识，明确相关概念是解题的关键．（1）表示在数轴上，数与数的距离为个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是和；表示在数轴上，数与数的距离为个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是和．（2）根据表示数与表示数和的点之间的距离之和，当表示数的点处于表示和的点之间时，距离最小，可得答案． 【详解】解：（1）①因为， 所以或，解得：或； 因为，所以或，解得：或； （2）表示数与表示数和的点之间的距离之和， 当a在3和5之间时距离之后最小，最小值为2， 的最小值是． A组（能力提升） 1．（2024·广西南宁·二模）2024的绝对值是（    ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握一个正数的绝对值是它本身是解题的关键． 根据绝对值的意义解答即可； 【详解】解：2024的绝对值是2024，故选：A． 2．（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图所示，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正负数的实际应用以及绝对值的意义，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：依题意，得，，， ∵∴最接近标准质量的是“”，故选：C． 3．（22-23七年级下·上海闵行·阶段练习）如果，那么的取值范围是（    ） A．正数 B．负数 C．非负数 D．非正数 【答案】C 【分析】此题主要考查了绝对值，根据非负数的绝对值等于本身，即可求解． 【详解】解：∵，∴，则a的取值范围是：非负数．故选C． 4．（23-24七年级·上海普陀·期中）如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数是（    ） A．1 B．0 C．正数 D．非负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，熟知正数和0的绝对值都等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键． 【详解】解：根据绝对值的定义可知，正数和0的绝对值都等于它本身，即非负数的绝对值等于它本身， 故选：D． 5．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）相反数与绝对值相等的数是（    ） A．非正数 B．非负数 C．正数 D．负数 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的性质，负数的相反数为正数，负数的绝对值的为正数，据此即可作答． 【详解】解：0的绝对值与相反数相等，负数的相反数与绝对值相等，0和负数统称为非正数，故选：A． 6．（23-24九年级下·江苏南京·阶段练习）如图，将实数表示在数轴上，则下列等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴上点的特点；熟练掌握绝对值的意义和数轴上点的特征是解题的关键． ，，则，，；结合选项即可求解 【详解】解：从图可知，， ∴，，，故、错误； ∴，故正确，错误，故选． 7．（2023·重庆七年级期中）下列命题正确的是（　　） A．绝对值等于本身的数是正数 B．绝对值等于相反数的数是负数 C．互为相反数的两个数的绝对值相等 D．绝对值相等的两个数互为相反数 【答案】C 【分析】根据绝对值和相反数的概念分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【解析】A、绝对值等于本身的数是非负数，原命题是假命题； B、绝对值等于相反数的数是非正数，原命题是假命题； C、互为相反数的两个数的绝对值相等，是真命题； D、绝对值相等的两个数相等或互为相反数，原命题是假命题；故选：C． 【点睛】此题借助绝对值和相反数的概念考查了命题与定理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 8．（2023春·吉林长春·七年级校考阶段练习）若，则a的值可以是（　　） A．5 B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】利用绝对值的意义，即可解答． 【详解】解：，，，的值可以是5，故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 9．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）绝对值小于的所有整数有 个． 【答案】7 【分析】本题考查了绝对值、整数的知识．根据绝对值、相反数、整数、的性质求解，即可得到答案． 【详解】解：绝对值小于的整数是：，共7个． 故答案为：7． 10．（23-24七年级上·山东青岛·阶段练习）a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到a的值，然后根据绝对值的非负性得到b、c的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 11．（23-24七年级上·山东济宁·期末）实数，在数轴上的位置如图，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴进行绝对值的化简计算，数形结合、明确绝对值的化简法则，是解题的关键． 先由数轴可得：，，再根据绝对值的化简法则计算即可． 【详解】解：由数轴可得：，， ．故答案为：． 12．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若，则的值为 ． 【答案】3或． 【分析】本题主要考查的是绝对值，熟知互为相反数的两个数绝对值相等是解题的关键．先去绝对值符号，再求出x的值即可． 【详解】解：∵，∴，∴或．故答案为：3或． 13．（23-24七年级上·广东佛山·期中）如图，直径为1个单位的圆片上有一点与数轴上的原点重合，是圆片的直径．圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，运动结束后运动的路程共有 ．（保留）    【答案】 【分析】计算出这些数的绝对值的和，再乘以周长，即可求出路程．本题主要考查了化简绝对值、绝对值的应用和圆的周长公式的应用，正确审题并计算出绝对值是解题的关键． 【详解】解： 圆的周长为： ，，故答案为： 14．（23-24七年级上·广东深圳·期中）出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负（单位：千米）． (1)李师傅位于第一批乘客出发地的什么方向？距离多少千米？ (2)这时间段李师傅开车的平均速度是多少千米每小时？ 【答案】(1)在出发地东方，距离6千米(2)平均速度为千米/小时 【分析】此题考查了正负数的应用，（1）把记录的数字相加即可得到结果；（2）根据路程÷速度=时间即可求解． 【详解】（1）解：（千米）， 答：李师傅位于第一批乘客出发地的东方，距离6千米； （2）解：（千米/小时）， 答：平均速度为千米/小时． B组（培优拓展） 1．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）为有理数，若，那么是（    ） A．非正数 B．非负数 C．负数 D．不为0的数 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的性质，一个数的绝对值等于他的相反数，这个数为非正数．根据绝对值的性质即可求解． 【详解】解：为有理数，且，那么是负数或者，故选：A． 2．（2023秋·云南文山·七年级统考期末）若x是一个有理数，且，则（   ） A． B． C．4 D．-2 【答案】C 【分析】根据判断在数轴上的位置，从而判断和的正负性，通过绝对值的非负性的解出答案. 【详解】解： 在数轴上 在的左边，的右边 ，为负数，为正数 故答案选： 【点睛】本题考查的是绝对值的非负性，在解题过程中是否能通过已知条件判断绝对值里面数的正负性是解题的关键. 3．（2023秋·黑龙江佳木斯·七年级校考期末）若，则和的关系为（    ） A．和相等 B．和互为相反数 C．和相等或互为相反数 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】由绝对值相等的两个数可能相等也可能互为相反数即可选出答案． 【详解】解：若，则有，即和相等或互为相反数．故选：C． 【点睛】本题主要考查了绝对值的相关性质，牢记两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数是解题关键． 4．（2024·江苏南京·七年级校考阶段练习）若是有理数，则的值（　　） A．是负数 B．是非负数 C．必是正数 D．无法确定 【答案】B 【分析】分，，三种情况求出的值，即可得出答案． 【详解】解：当时，的值是正数， 当时，的值是0，当时，的值是0， 综上分析可知，的值为非负数，故B正确．故选：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数． 5．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的含义，分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或，故选：D． 6．（2024七年级·广东·培优）使成立的条件是（    ）． A．为任意数 B． C． D． 【答案】D 【分析】分，，三种情况，结合绝对值的意义化简绝对值，看等号是否恒成立，从而得出答案． 本题主要考查了含绝对值符号的等式．解决问题的关键是熟练掌握绝对值的化简，分类讨论． 【详解】当时，，，等式化为：，成立； 当时，，，等式化为：，解得：，不符合题意； 当时，，，等式化为：，矛盾． 故使成立的条件是：．故选：D． 7．（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）当 时，的值最小． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，，当取最小值时候，的值最小，据此可求解． 【详解】解：∵∴当时，的值最小， 此时，,故答案是：． 8．（23-24七年级上·四川达州·期中）若a、b、c是整数，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，以及采用分类讨论的思想，根据绝对值的非负性以及题意，可知当时，则，当时，则，分类讨论计算即可． 【详解】解：a、b、c是整数，，是整数， ，又， 时，则或时，则， 当时，则，； 当时，则，； 当时，则， 当时，则，， 综上可得：，故答案为：1． 9．（23-24七年级·北京海淀·期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空：______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，，(2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 10．（23-24七年级上·山东淄博·阶段练习）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，|x|表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数x1与数x2对应点之间的距离． 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2，所以x的值为或2． 例2：已知，求x的值． 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和，所以x的值为3或． 仿照材料中的解法，求下列各式中x的值． (1)；(2)． 【答案】(1)x的值为或3；(2)x的值为6或． 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，及利用两点之间的距离解绝对值方程，理解数轴上两点之间的距离的表示是解题的关键．（1）可表示数轴上表示x的点到原点的距离，据此求解可得； （2）可表示数轴上与2对应的点的距离，据此求解可得． 【详解】（1）解：∵在数轴上与原点距离为3的点表示的数为和3，所以x的值为或3； （2）解：∵在数轴上与2对应的点的距离为4的点表示的数为6和，所以x的值为6或． 11．（23-24七年级上·新疆·期中）数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值，如2与3的距离可表示为，2与的距离可表示为 (1)数轴上表示3和8的两点之间的距离是 　　；数轴上表示和的两点之间的距离是 　　； (2)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 　　；如果，则x为 　　； (3)数a、b、c在数轴上对应的位置如图所示，化简． (4)当代数式取最小值时，x的值为 　　． 【答案】(1)5，6(2)，2或(3)0(4)2 【分析】本题考查数轴与绝对值几何意义与应用． （1）根据题目所举例子进行计算即可；（2）仿照题干所举例子进行解答即可； （3）根据数轴可知，，，然后根据绝对值的性质进行解答即可； （4）根据绝对值的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：，．故答案为：5，6； （2）解：数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是， ，则或，即或．故答案为：，2或； （3）解：由数轴可知，，，， 则|； （4）解：代数式的几何意义是：数轴上表示数x的点到表示，2，3的三点的距离之和，显然只有当时，距离之和才是最小，则取最小值时，x的值为2；故答案为：2． 12．（2023·浙江·七年级专题练习）问题提出：学习了|a|为数轴上表示a的点到原点的距离之后，小凡所在数学兴趣小组对数轴上分别表示数a和数b的两个点A，B之间的距离进行了探究： （1）利用数轴可知5与1两点之间距离是 　 　；一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间距离为 　 　． 问题探究：（2）请求出|x﹣3|+|x﹣5|的最小值． 问题解决：（3）如图在十四运的场地建设中有一条直线主干道L，L旁依次有3处防疫物资放置点A，B，C，已知AB＝800米，BC＝1200米，现在设计在主干道L旁修建防疫物资配发点P，问P建在直线L上的何处时，才能使得配发点P到三处放置点路程之和最短？最短路程是多少？ 【答案】（1）4，；（2）2；（3）B，2000米， 【分析】（1）数轴上表示5和1的两点距离为4，数轴上表示数m和数n的两点之间距离为； （2）|x﹣3|+|x﹣5|表示的点到3和5两点距离和，由到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离即可； （3）到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离． 【详解】解：（1）数轴上表示5和1的两点距离为4，数轴上表示数m和数n的两点之间距离为； 故答案为：4，； （2）∵|x﹣3|表示x的点到3的点的距离，|x﹣5|表示x的点到5的点的距离， 到数轴上两个点距离之和最小的点取在这两点之间，最小距离即是这两个点的距离， ∴|x﹣3|+|x﹣5|的最小值为， （3）∵到数轴上三个点距离之和最小的点即是中间那个点，最小值是左右两边二点之间的距离， ∴当配发点P在点B时，到三处放置点路程之和最短； 即：最小距离和=AB+BC= 800米+1200米=2000米． 【点睛】本题考查绝对值及数轴上点距离，题目难度较大，解题关键是数形结合，理解绝对值的几何意义． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！28 第 28 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$