1.1.1 空间向量及其线性运算（教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

人教A版2019高二数学（选修一）第一章 空间向量与立体几何 1.1.1 空间向量及其线性运算 1 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.理解空间向量的概念．(难点) 2.掌握空间向量的加法、减法、数乘等线性运算．(重点) 3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点) 情景导入 这是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力.显然这些力不在同一个平面内.这就是我们今天要学习的空间向量. 1、定义：平面内既有大小又有方向的量。 几何表示法:用有向线段表示 字母表示法： 用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量：长度相等且方向相同的向量 A B C D 2、表示法： 复习回顾 向量加法的三角形法则 a b 向量加法的平行四边形法则 b a 向量减法的三角形法则 a b a － b a ＋ b a (k>0) k a (k<0) k 向量的数乘 a 首尾相接,首尾连 共起点,对角线 共起点,连终点,指向被减向量 加法交换律： 加法结合律： 数乘分配律： 复习回顾 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量； （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和 为零向量。 复习回顾 已知F1=10N, F2=15N，F3=15N，这三个力两两之间 的夹角都为90度，它们的合力的大小为多少N？ F3 F1 F2 这需要进一步来认识空间中的向量 起点 终点 定义： 既有大小又有方向的量。 表示 几何表示法：有向线段 符号表示法： 长度（模） 平面向量是什么？如何表示平面向量？你能类比平面向量和表示给出空间向量的概念和空间向量的表示吗？ 向量的大小，记作 1. 空间向量的有关概念 新知探究 10 知识要点2 平面向量 空间向量 零向量： 单位向量： 相反向量： 相等向量： 共线向量： 长度为0的向量，记作: 模为1的向量         概念归纳 平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则是 什么？你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算 的定义及运算法则吗？ 思考 空间两条直线可能存在怎样位置关系？ a b a b O A B 任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两向量 (多选题)下列说法正确的是(　　) A.若向量a与b的方向相反,则称向量a与b为相反向量 B.零向量没有方向 C.若a是单位向量,则|a|=1 D.若向量m,n,p满足m=n,n=p,则一定有m=p 解析 单位向量是指模等于1的向量,所以若a是单位向量,则必有|a|=1,即选项C正确;由向量相等的定义,知m与p方向相同,模相等,故一定有m=p,选项D正确. 答案 CD 练一练 　(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算. (2)空间向量加法交换律 a＋b＝______ 空间向量加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) b＋a 2.空间向量的加减运算及运算律 新知探究 (1)实数与向量的积 与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下： ①|λa|＝____. ②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向 ；当λ＝0时，λa＝0. (2)空间向量数乘运算满足以下运算律 ①λ(μa)＝______； ②λ(a＋b)＝________； ③(λ1＋λ2)a＝_________(拓展). 相反 |λ||a| (λμ)a λa＋λb λ1a＋λ2a 空间向量的数乘运算 概念归纳 平面向量 运 算 律 空间向量 交换律： 结合律 分配律           由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算. 概念归纳 O● A B C 推广： O● A B C A B C D A1 B1 C1 D1 G M 探究：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量.(如图) 19 例1 探究：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量.(如图) 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量 A B C D A1 B1 C1 D1 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式， 并在图中标出化简结果的向量. 练一练 问题1　平面向量共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？ 提示　对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在 实数λ，使a＝λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因 此也适用于空间向量. 3.共线向量 新知探究 1.对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 . 2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于 直线l上任意一点P，可知 ＝λa，把与向量a平行的非零 向量称为直线l的 ，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示. a＝λb 方向向量 归纳总结 　平行(共线)向量 平行或重合 a＝λb 方向向量 归纳总结 注意点： (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定. (2)向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同 一条直线上. 典例剖析 解　方法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形 ABCD和ABEF都是平行四边形， 典例剖析 方法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD 和ABEF都是平行四边形， 典例剖析 1.满足下列条件,能说明空间不重合的A,B,C三点共线的是(　　) 答案 C C 练一练 2.对于空间的任意三个向量a,b,2a-b,它们一定是(　　) A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 解析 因为2a-b=2·a+(-1)·b,所以2a-b与a,b共面. 3.判断 (1)若a与b共线,b与c共线,则a与c共线.(　　) (2)若向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面.(　　) (3)若a∥b,则存在唯一的实数λ,使a=λb.(　　) A × × × 练一练 向量共线的判定及应用 (1)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达. (2)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ， 归纳总结 问题2　空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？ 　不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面. 4.共面向量 新知探究 1.向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段 所在的直线OA_______ 或 ，那么称向量a平行于平面α. 2.共面向量 平行于 平面α 定义 平行于同一个 的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在_____ 的有序实数对(x，y)使 __________ 在平面α内 平面 唯一 p＝xa＋yb 归纳总结 问题3　对两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么 向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b 有什么位置关系时，p＝xa＋yb? 提示　向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在唯一的 有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 唯一 p＝xa＋yb 归纳总结 O A B C D E F G H 思路探究：欲证 四点共面，只需证明 共面.而由已知 共面，可以利用向量运算由 共面的表达式推得 共面的表达式. 例：如图，已知平行四边形 ，过平面 外一点 ， 作射线 ，在四条射线上分别取点 ,使 . 求证： 四点共面. 考点：空间中四点共面的判定. 课本例题 O A B C D E F G H 是平行四边形 由向量共面的充要条件可知， 共面,又 过同一 点 ,从而 四点共面. 证明： . 例2.(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到 P，A，B，C四点共面的是（ ） BC 典例剖析 解决向量共面的策略 归纳总结 选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系,是用向量解决立体几何问题的常用方法. 若向量a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则 (　　) A．m，n，p共线 B．m与p共线 C．n与p共线 D．m，n，p共面 【答案】D 练一练 1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 两个向量相等是指两个向量的模相等并且方向相同,因此“两个非零向量的模相等”是“两个向量相等”的必要不充分条件. 答案 B 随堂练 2.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,与向量 相等的向量共有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案 C 随堂练 答案 B 随堂练 4.如图所示,已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且PM∶MC=2∶1,N为PD中点,求满足 随堂练 随堂练 1.举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例. 解：答案不唯一.例如三棱锥V-ABC中，向量VA、向量VB、向量VC表示三个不同在一个平面内的向量. 2.如图，E，F分别是长方体ABCD-A'B'C'D'的棱 AB，CD 的中点.化简下列表达式，并在图中标出化简结果： 课本练习 课本练习 课本练习 3.在图1.1-6中，用，，表示，及. 4，如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点.化简下列表达式，并在图中标出化简结果： (1) + + ; 课本练习 5，如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'，E，F分别是上底面A'C'和侧面CD'的中心.求下列各式中x，y 的值： 课本练习 课本练习 错因分析 错因分析 错因分析 易错警示　空间向量数乘运算 错因分析 错因分析 错因分析 错因分析 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-巩固 9．如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列向量表达式． 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分析： 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂小结 1.空间向量的概念. 2.空间向量的加法、减法、数乘运算. 3.共线向量（平行向量）的概念及空间向量 共线的充要条件及其应用. 4.共面向量的概念及空间向量共面的充要条 件及其应用. 平面向量 空间向量 类比 ＝＋＝a＋b ＝－＝a－b ＝＋＝＋＝a＋b (2)＋＋′. 解　－＝－＝＋＝. 解　＋＋＝(＋)＋＝＋＝.向量、如图所示. (1)′－； ＝＋ta 定义 表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相___________ 充要条件 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在唯一实数λ，使______ 点P在直 线l上的 充要条件 存在实数t满足等式____________ 在直线l上取向量＝a，则＝＋t____ 向量a为直线的________ 例1.如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？ 又∵＝＋＋＋ ＝－＋－－，② ①＋②得2＝， ∴∥，即与共线. ∴＝＋＋ ＝＋＋. ① ＝(－)＝(－)＝. ∴∥，即与共线. ∴＝－＝(＋)－ ＝(＋)－(＋) A. B. C. D.||=|| 解析 当满足条件时,,这时A,B,C三点共线. 使＝λ. 问题4　对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？ x＋y x＋y 定义 平行于同一个平面的向量 三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)使__________ 点P位于平 面ABC内 的充要条件 存在有序实数对(x，y)，使＝___________ 对空间任一点O，有＝＋__________ A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝＋＋ D.＝2－－ 若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或 ＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量， 用待定系数法求出参数. 【解析】由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，即p＝eq \f(1,2)m＋eq \f(1,2)n，又m与n不共线，所以m，n，p共面． 解析 与向量相等的向量是,共3个. 3.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(　　) A.-a+b+c B.a+b+c C.-a-b+c D.a-b+c 解析 a+b+c.故选B. =x+y+z的实数x,y,z的值. 解 如图,在PD上取一点F,使PF∶FD=2∶1,连接MF, 则, 而=), =-. 所以=-, 故x=-,y=-,z=. 易错辨析　错把向量与平面平行认为线面平行 已知AB，CD是异面直线，CD⊂α，AB∥α，M，N分别是AC，BD的中点．证明：MN∥α. 证明：因为CD⊂α，AB∥α，且AB，CD是异面直线，所以在平面α内存在向量a，b使得eq \o(AB,\s\up10(→))＝a，eq \o(CD,\s\up10(→))＝b，且两个向量不共线． 由M，N分别是AC，BD的中点，得eq \o(MN,\s\up10(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(MA,\s\up10(→))＋eq \o(AB,\s\up10(→))＋eq \o(BN,\s\up10(→))＋eq \o(MC,\s\up10(→))＋eq \o(CD,\s\up10(→))＋eq \o(DN,\s\up10(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up10(→))＋eq \o(CD,\s\up10(→)))＝eq \f(1,2)(a＋b)． 所以eq \o(MN,\s\up10(→))，a，b共面， 所以MN∥α或MN⊂α. 若MN⊂α， 则AB，CD必在平面α内， 这与已知AB，CD是异面直线矛盾．故MN∥α. 【易错警示】 易错原因 纠错心得 本题易由eq \o(MN,\s\up10(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)直接得到MN∥α.忽略对MN⊂α这种情况的讨论. 线面平行要求直线必须在平面外，而在利用向量证明线面平行时，需要说明对应的直线和平面之间的位置关系. 　如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC．M，N分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且eq \o(MG,\s\up16(→))＝2eq \o(GN,\s\up16(→))，若eq \o(OG,\s\up16(→))＝xeq \o(OA,\s\up16(→))＋yeq \o(OB,\s\up16(→))＋zeq \o(OC,\s\up16(→))，则x，y，z的值分别为________． 错解：因为eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \o(OM,\s\up16(→))＋eq \o(MG,\s\up16(→))＝eq \o(OM,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(MN,\s\up16(→))＝ eq \o(OM,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(ON,\s\up16(→))－eq \o(OM,\s\up16(→)))＝eq \f(1,3) eq \o(OM,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(ON,\s\up16(→))＝ eq \f(1,3)×eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→)))＝eq \f(1,6) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(OC,\s\up16(→))， 所以x，y，z的值分别为eq \f(1,6)，eq \f(2,3)，eq \f(2,3). 错解分析：分析解题过程，错误的根本原因是空间向量的数乘运算与加法运算的几何意义综合应用不当． 正解：因为eq \o(OG,\s\up16(→))＝eq \o(OM,\s\up16(→))＋eq \o(MG,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(MN,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)(eq \o(ON,\s\up16(→))－eq \o(OM,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3) eq \o(ON,\s\up16(→))－eq \f(2,3) eq \o(OM,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \o(OC,\s\up16(→)))－eq \f(2,3)×eq \f(1,2) eq \o(OA,\s\up16(→))＝eq \f(1,6) eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up16(→))＋eq \f(1,3) eq \o(OC,\s\up16(→))，所以x，y，z的值分别为eq \f(1,6)，eq \f(1,3)，eq \f(1,3). 防范措施：空间向量数乘运算的两个关注点 (1)正确理解向量加法、减法和数乘运算的几何意义，结合图形分析有关向量之间的关系． (2)记住一个重要的模型．若C为线段AB的中点，则对于空间中任意一点O，都有eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up16(→))＋eq \o(OB,\s\up16(→)))． 1．判断正误 (1)若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|. (　　 ) (2)空间向量就是空间中的一条有向线段． (　　 ) (3)若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.(　　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．空间两个向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论不正确的是 (　　 ) A．a＝－b　　　　　　　 B．a＋b＝0 C．a与b方向相反 D．|a|＝3 答案：B 3．已知λ∈R，则下列命题正确的是 (　　 ) A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|＞0 答案：C 5．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________. 答案：3a－2b 4．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，则eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→))＋eq \o(CD,\s\up17(―→))= (　　 ) A．eq \o(AD,\s\up17(―→)) B．eq \o(BD,\s\up17(―→)) C．eq \o(AC,\s\up17(―→)) D．0 答案：A 6．判断正误 (1)若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb. (　　 ) (2)空间中任意三个向量一定是共面向量． (　　 ) 答案：(1)×　(2)× 7．空间的任意三个向量a，b,3a－2b，它们一定是 (　　 ) A．共线向量 B．共面向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量 答案：B 解：因为四边形AA′D′D是平行四边形， 所以eq \o(AD′,\s\up16(→))＝eq \o(AA′,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))，所以eq \o(BD′,\s\up16(→))＝eq \o(AD′,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \o(AA′,\s\up16(→))＋eq \o(AD,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)). 8．如图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，用eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AD,\s\up16(→))，eq \o(AA′,\s\up16(→))表示向量eq \o(BD′,\s\up16(→)). (1)eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1B1,\s\up16(→))； (2)eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1M,\s\up16(→))－eq \o(MB1,\s\up16(→))； (3)eq \o(AA,\s\up16(→))1＋eq \o(A1B1,\s\up16(→))＋eq \o(A1D1,\s\up16(→))； (4)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CC1,\s\up16(→))＋eq \o(C1A1,\s\up16(→))＋eq \o(A1A,\s\up16(→)). 解：(1)eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1B1,\s\up16(→))＝eq \o(AB1,\s\up16(→)). (2)eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1M,\s\up16(→))－eq \o(MB1,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1M,\s\up16(→))＋eq \o(MD1,\s\up16(→))＝eq \o(AD1,\s\up16(→)). (3)eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1B1,\s\up16(→))＋eq \o(A1D1,\s\up16(→))＝eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(A1C1,\s\up16(→))＝eq \o(AC1,\s\up16(→)). (4)eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BC,\s\up16(→))＋eq \o(CC1,\s\up16(→))＋eq \o(C1A1,\s\up16(→))＋eq \o(A1A,\s\up16(→))＝0. 10.如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足eq \o(AM,\s\up16(→))＝keq \o(AC1,\s\up16(→))，eq \o(BN,\s\up16(→))＝keq \o(BC,\s\up16(→))(0≤k≤1)，判断向量eq \o(MN,\s\up16(→))是否与向量eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AA1,\s\up16(→))共面． 解：∵eq \o(AN,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(BN,\s\up16(→))＝eq \o(AB,\s\up16(→))＋k(eq \o(AC,\s\up16(→))－eq \o(AB,\s\up16(→)))＝(1－k)eq \o(AB,\s\up16(→))＋keq \o(AC,\s\up16(→))，eq \o(AM,\s\up16(→))＝keq \o(AC1,\s\up16(→))＝k(eq \o(AA1,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))， ∴eq \o(MN,\s\up16(→))＝eq \o(AN,\s\up16(→))－eq \o(AM,\s\up16(→))＝(1－k)eq \o(AB,\s\up16(→))－keq \o(AA1,\s\up16(→)). ∴由共面向量定理知向量eq \o(MN,\s\up16(→))与向量eq \o(AB,\s\up16(→))，eq \o(AA1,\s\up16(→))共面． 11．在平行六面体ABCD­EFGH中，已知M，N，R分别是AB，AD，AE上的点，且eq \o(AM,\s\up17(―→))＝eq \o(MB,\s\up17(―→))，eq \o(AN,\s\up17(―→))＝eq \f(1,2) eq \o(ND,\s\up17(―→))，eq \o(AR,\s\up17(―→))＝2eq \o(RE,\s\up17(―→))，求平面MNR分体对角线AG所得线段AP与PG的比． 解：如图，设eq \o(AP,\s\up17(―→))＝meq \o(AG,\s\up17(―→))， 因为eq \o(AG,\s\up17(―→))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＋eq \o(AE,\s\up17(―→))＝2eq \o(AM,\s\up17(―→))＋3eq \o(AN,\s\up17(―→))＋eq \f(3,2) eq \o(AR,\s\up17(―→))， 所以eq \o(AP,\s\up17(―→))＝2meq \o(AM,\s\up17(―→))＋3meq \o(AN,\s\up17(―→))＋eq \f(3,2)meq \o(AR,\s\up17(―→)). 由于P，M，R，N四点共面，所以2m＋3m＋eq \f(3,2)m＝1， 从而得m＝eq \f(2,13)，即eq \f(AP,AG)＝eq \f(2,13)，所以eq \f(AP,PG)＝eq \f(2,11). 12．利用空间向量的知识证明平行六面体的体对角线交于一点，并且在交点处互相平分． 证明：如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，设点O是AC′的中点，则eq \o(AO,\s\up17(―→))＝eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up17(―→))′＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＋eq \o(AA′,\s\up17(―→)))． 设P，M，N分别是BD′，CA′，DB′的中点， 则eq \o(AP,\s\up17(―→))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up17(―→))′＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \f(1,2)(eq \o(BA,\s\up17(―→))＋eq \o(BC,\s\up17(―→))＋eq \o(BB′,\s\up17(―→))) ＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \f(1,2)(－eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＋eq \o(AA′,\s\up17(―→))) ＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＋eq \o(AA′,\s\up17(―→)))， 同理可得eq \o(AM,\s\up17(―→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＋eq \o(AA′,\s\up17(―→)))， eq \o(AN,\s\up17(―→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＋eq \o(AA′,\s\up17(―→)))， 由此可知O，P，M，N四点重合，故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分． 13.如图，在平行六面体(底面是平行四边形的四棱 柱)ABCD­A′B′C′D′中，分别标出eq \o(AB,\s\up17(―→))＋ eq \o(AD,\s\up17(―→))＋eq \o(AA′,\s\up17(―→))，eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AA′,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))表示的向 量．从中你能体会向量加法运算的交换律及结合律吗？一般 地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？ 解：在平行四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＝eq \o(AC,\s\up17(―→))，在平行四边形ACC′A′中，eq \o(AC,\s\up17(―→))＋eq \o(AA′,\s\up17(―→))＝eq \o(AC′,\s\up17(―→))； 在平行四边形ABB′A′中，eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AA′,\s\up17(―→))＝eq \o(AB′,\s\up17(―→))， 在平行四边形AB′C′D中，eq \o(AB′,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＝eq \o(AC′,\s\up17(―→)). 故eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))＋eq \o(AA′,\s\up17(―→))＝eq \o(AB,\s\up17(―→))＋eq \o(AA′,\s\up17(―→))＋eq \o(AD,\s\up17(―→))，从而得出向量的加法满足交换律和结合律． 从上面的运算中，我们可以得到下面的结论：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为共顶点的三条棱的平行六面体的体对角线所表示的向量． $$