21.2二次函数y=ax²+k的图象和性质（第2课时）（同步课件）数学沪科版九年级上册

九年级沪科版数学上册 第二十一章二次函数与反比例函数 21.2 二次函数的图象和性质 第二课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.会画二次函数y=ax2+k的图象.（重点） 2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.（难点） 3.理解y=ax²与 y=ax²+k之间的联系.（重点） 这个函数的图象是如何画出来的？ x y 情景导入 1.二次函数 y＝ax2＋k 的图象 画出二次函数 y=2x² , y=2x2+1 ，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性. 问题1 新知探究 x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2 … … y=2x2+1 … … y=2x2-1 … 　 　 　 　 　 … 列表 4.5 0.5 2 0.5 0 2 4.5 5.5 1.5 3 1.5 1 3 5.5 3.5 -0.5 1 -0.5 -1 1 3.5 描点、连线 如图，即得这三个函数的图象. －2 2 2 4 6 4 －4 8 O x y y=2x2+1 y=2x2 y=2x2-1 观察图象，说 说它有哪些 特征? 观察图象，回答问题： (1)抛物线 y＝2x2＋1，y＝2x2－1开口方向_______，对称轴是______，顶点坐标____________________． －2 2 2 4 6 4 －4 8 O x y y=2x2+1 y=2x2 y=2x2-1 (2)抛物线 y＝2x2＋1，y＝2x2－1与 y＝2x2之间有什么关系？ 向上 y轴 (0，1)，(0，－1) 可以发现y＝2x2＋1是由y＝2x2向上平移一个单位长度得到的，而y＝2x2－1是由y＝2x2向下平移1个单位长度得到的． 解：先列表： x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· 在同一直角坐标系中，画出二次函数 与 的图象． 练一练 x y -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 描点、连线，画出这两个函数的图象 抛物线 ， 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？ 二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴 向上 向上 （0,0） （0,1） y轴 y轴 想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a＞0) 的性质是什么？ 想一想 y -2 -2 4 2 2 -4 x 0 在同一坐标系内画出 下列二次函数的图象： 2.二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0) 新知探究 根据图象回答下列问题: (1)图象的形状都是 . (2)三条抛物线的开口方向_______; (3)对称轴都是__________ (4) 从上而下顶点坐标分别是 _____________________ 抛物线 向下 直线x=0 ( 0，0) ( 0，2) ( 0，-2) (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________ (6) 函数的增减性都相同： __________________________ _____________________________ 高 大 y=0 y= -2 y=2 对称轴左侧y随x增大而增大 对称轴右侧y随x增大而减小 二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质 y=ax2+k a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 （0,k） （0,k） 最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大. 概念归纳 抛物线 y＝ax2 沿着y轴上下平移可以得到 y＝ax2＋k，当 k＞0时，y＝ax2向上平移k个单位就可以得到抛物线 y＝ax2＋k；当k＜0时， y＝ax2向下平移k个单位就可以得到抛物线 y＝ax2＋k. 概念归纳 课本练习 1.在同一平面直角坐标系中，画出函数和的图象. （1）填表： -3 -2 -1 0 1 2 3 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 -3.5 -1 0.5 1 0.5 -1 -3.5 （2）描点、连线： 2.观察第 1 题所画的图象，并填空： （1）抛物线的开口方向是 ，顶点坐标是（ ），对称轴是 ，抛物线可由抛物线向 平 移 个单位得到； （2）对于函数，当x>0时，函数y随x的增大而 ；当x<0 时，函数 y 随 x 的增大而 . （3）对于函数，当x = 时，函数取得最 值， = . 对于函数，当x = 时，函数取得最 值， = . 对于函数+1，当x = 时，函数取得最 值， = . 向下 0，-1 y轴 下 1 减小 增大 0 大 大值 0 -1 大值 0 大 大值 0 大 1 3.将抛物线向上平移2个单位后得到新抛物线，其对应的函数表达式是什么？ 解：将抛物线向上平移2个单位后，得到新抛物线的函数的关系式是. 1.抛物线 y＝－x2－2 的图象大至是 (　 　) A B C D B 练一练 2.抛物线 y＝－6x2 可以看作是由抛物线 y＝－6x2＋5 按下列何种变换得到 (　　) A．向上平移5个单位 B．向下平移5个单位 C．向左平移5个单位 D．向右平移5个单位 B 3.抛物线 y＝－ x2－6 可由抛物线 y＝－ x2＋2 向_____平移_____个单位得到． 下 8 练一练 4.二次函数 y＝－4x2＋3 的图象开口向____，顶点坐标为________，对称轴为______，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而______；当 x＜0 时，y 随 x 的增大而______．因为 a＝－4＜0，所以 y 有最____值，当 x＝____时，y 的最____值是____． 下 (0，3) y轴 减小 增大 大 0 大 3 练一练 5.已知y＝ax2＋k的图象上有三点 A(－5，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)，且 y2＜y3＜y1，则a的取值范围是 (　　) A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0 6.写出一个顶点坐标为(0，－4)，开口方向与抛物线 y＝2x2 的方向相反，形状相同的抛物线解析式______________． A y＝－2x2－4 练一练 7.在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋k 和二次函数 y＝ax2＋k 的图象大致为 (　　) 提示：y＝ax2＋k 是由 y＝ax2 平移 | k | 个单位得到． D 练一练 y轴 上 小 k 下 大 k C 分层练习-基础 D 分层练习-基础 ＜0 D 下 y 轴 (0,1) 0 大 1 －2 分层练习-基础 y |k| 上 下 －4 分层练习-基础 分层练习-基础 B 分层练习-巩固 D D 分层练习-巩固 6 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 B 课堂反馈 课堂反馈 二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质 图象 性质 与y=ax2的关系 开口方向由a的符号决定； k决定顶点位置； 对称轴是y轴. 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 平移规律： k正向上； k负向下. 课堂小结 知识点一：二次函数y＝ax2＋k的图象 图象：其对称轴是　 　，顶点坐标是　(0，k)　.当a＞0时，开口向　 　.当x＝0时，y有最　 　值为　 　；当a＜0时，开口向　 　，当x＝0时，y有最　 　值为　 　. 1．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是(　　) A．直线x＝eq \f(1,2)　 B．直线x＝－eq \f(1,2)　 C．y轴　　 D．直线x＝2 2．抛物线y＝x2－1的图象大致是(　　) 知识点二：二次函数y＝ax2＋k的性质 增减性：若a＞0，当x　＜0　时，y随x的增大而减小；若a＜0，当x　　时，y随x的增大而增大． 3．已知二次函数y＝ax2＋1，则下列说法中，正确的是(　　) A．x＞0时，y随x的增大而增大 B．x＜0时，y随x的增大而增大 C．若a＞0，则y随x的增大而增大 D．若a＞0时，y最小值为1 4．抛物线y＝－eq \f(3,2)x2＋1的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x＝ 时，函数y有最 值为 . 5．若二次函数y＝kx2＋k2－3有最大值为1，则k＝　 　. 知识点三：二次函数y＝ax2＋k图象的平移 平移关系：抛物线y＝ax2＋k可由抛物线y＝ax2沿　　轴方向平移　 　个单位得到，当k＞0时，向　 　平移，当k＜0时向　 　平移． 6．函数y＝ax2＋2(a≠0)的图象是由y＝－4x2－2的图象平移得到的，那么a的值是　 　. 7．抛物线y＝eq \f(1,3)x2＋4是由抛物线y＝eq \f(1,3)x2怎样平移得到的？并说明： (1)平移前后顶点坐标、对称轴及y轴随x的变化情况； (2)平移前后函数的最值． 解：抛物线y＝eq \f(1,3)x2＋4是由抛物线y＝eq \f(1,3)x2沿y轴向上平移4个单位得到．(1)平移前顶点为(0,0)，平移后顶点为(0,4)，平移前后对称轴都是y轴．当x＞0时，两者都随x的增大而增大．当x＜0时，两个函数值都随x的增大而减小；　 (2)y＝eq \f(1,3)x2有最小值为0，y＝eq \f(1,3)x2＋4有最小值为4. 8．对于二次函数y＝eq \f(3,2)x2＋2，下列说法错误的是(　　) A．最小值为2 B．图象与y轴没有公共点 C．当x＜0时，y随x的增大而减小 D．其图象关于y轴对称 9．已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y＝x2－1上，下列说法中正确的是(　　) A．若y1＝y2，则x1＝x2 B．若x1＝－x2，则y1＝－y2 C．若0＜x1＜x2，则y1＞y2 D．若x1＜x2＜0，则y1＞y2 10．已知一次函数y＝ax－c的图象如下左图所示，则二次函数y＝ax2＋c的图象大致为右图中的(　　) 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴相交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝eq \f(1,3)x2于点B、C，则BC的长为　　. 12．求符合下列条件的抛物线的关系式： (1)把抛物线y＝ax2＋c向上平移2个单位得到抛物线y＝x2； (2)抛物线y＝ax2＋c与y＝eq \f(1,2)x2＋3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为(0,1)； (3)函数y＝ax2＋k的图象与函数y＝－3x2＋2的图象关于x轴对称． 解：(1)y＝x2－2；　 (2)y＝－eq \f(1,2)x2＋1； (3)y＝3x2－2. 13．二次函数y＝ax2－2与直线y＝2x－1的图象交于点P(1，m)． (1)求a、m的值； (2)写出二次函数的表达式，并指出x取何值时，y随x的增大而增大． 解：(1)∵点P(1，m)在y＝2x－1的图象上，∴m＝2×1－1＝1，又∵P(1,1)在y＝ax2－2的图象上，∴1＝a－2，∴a＝3；　 (2)y＝3x2－2，当x＞0时，y随x的增大而增大． 14．已知抛物线y＝－x2＋4交x轴于A、B两点，顶点是C. (1)求△ABC的面积； (2)若点P在抛物线y＝－x2＋4上，且S△PAB＝eq \f(1,2)S△ABC，求点P的坐标； (3)在抛物线y＝－x2＋4上是否存在点Q，使∠AQB＝90°，若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)令x＝0，则y＝4，即(0,4)．令y＝0，则－x2＋4＝0，解得x1＝2，x2＝－2.∴B(－2,0)，A(2,0)，∴AB＝4，OC＝4.∴S△ABC＝eq \f(1,2)AB·OC＝eq \f(1,2)×4×4＝8；　 (2)设点P(xp，yp)，则S△PAB＝eq \f(1,2)AB·|yp|＝4.∴|yp|＝2.当yp＝2时，x＝±eq \r(2)；当yp＝－2时，x＝±eq \r(6).∴P1(eq \r(2)，2)、P2(－eq \r(2)，2)、P3(eq \r(6)，－2)、P4(－eq \r(6)，－2)；　 (3)存在．理由：设Q(x0，y0)，连接OQ.∵∠AQB＝90°，OA＝OB，∴OQ＝OA＝OB＝2.∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＝22,y0＝－x\o\al(2,0)＋4))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝±\r(3),y0＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝±2,y0＝0舍去，不合题意)). ∴Q1(eq \r(3)，1)、Q2(－eq \r(3)，1)． 函数y＝ax2＋k的图象 1.如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝ax2＋c的图象大致为(　　) 【思路分析】　A中由直线得a＞0，c＞0，由抛物线得a＜0，c＞0，a的符号不一致，故A错；B中由直线得a＜0，c＞0，由抛物线得a＜0，c＞0，故B正确；C中a的符号不一致，D中a、c的符号都不一致，故C、D都错． 【方法归纳】　由于在同一坐标系中，同一字母的取值相同，故此类题应从a、c的符号是否一致入手进行分析，有时也对两图象的交点的位置进行考虑． 函数y＝ax2＋k的性质 2.若二次函数y＝(k－2)x2＋k2－3有最大值为6，试求k值． 【思路分析】　由于函数有最大值，则抛物线开口向下，故k－2＜0；又因为函数的最大值在其顶点处产生且其顶点坐标为(0，k2－3)，故k2－3＝6.联立两式即可求解． 【规范解答】　由题意，得k2－3＝6且k－2＜0，解得k＝－3. 【方法归纳】　二次函数的最值是受其图象的开口方向及顶点纵坐标决定的．解此类问题时，切不可只片面考虑其最值而致错. $$