1.1 一元二次方程（教学课件） -2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版）

九年级苏科版数学上册 第一章 一元二次方程 1.1 一元二次方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解一元二次方程的概念. （重点） 2.掌握一元二次方程的一般形式. （重点） 3.能运用一元二次方程模型解决实际生活中的一些问题 （重点、难点） 情景导入 一个面积为120 m2的矩形苗圃，它的长比宽多 4 m，苗圃的长和宽各是多少？你能用一个式子表示出来吗？ 解：设苗圃的宽为x m，则长为(x＋2)m. 根据题意，得x(x＋2)＝120. 我们所列出的式子是否为一元一次方程？ 没有未知数 1.下列式子是方程吗？ 4+6=10 4x+6 10x+6=22 x+8y=16 x-8＜20 代数式 一元一次方程 二元一次方程 不等式 分式方程 旧知回顾 2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程. 根据以上概念，那什么叫一元二次方程呢？ 旧知回顾 一元二次方程的概念 新知探究 正方形桌面的面积是2m2 ． 问：正方形的边长与面积之间有何数量关系？我们该用什么样的数学语言描述它们之间所存在的联系呢？ 设正方形桌面的边长是xm，可得：x2＝2． 如图，矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19m，花圃的面积是24m2. 　　设花圃的宽是xm，则花圃的长是（19－2x）m，可得：x(19－2x)＝24． 矩形花圃的宽与面积之间有何关系？我们该用什么样的数学语言描述它们之间所存在的联系？ 某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到9.8万册． 图书馆藏书年平均增长的百分率与藏书量之间有何关系？我们该用什么样的数学语言描述它们之间所存在的联系？ 　　设图书馆的藏书平均每年增长的百分率是x，图书馆的藏书一年后为5（1＋x）万册，两年后为5（1＋x）2万册， 可得：5（1＋x）2 ＝9.8． （课本P6）如图，长5m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离比梯子的顶端与地面的距离多1m ． x m 5 m x 2＋（x －1）2 ＝25． 思考与探究 设梯子的底端与墙的距离是xm，怎样用方程来描述其中的数量关系？ (x－1)m （课本P7）观察下列方程 x2＝2 x(19－2x)＝24 5（1 ＋x ）2 ＝9.8 x 2 ＋（x －1 ）2 ＝25 　　像这样只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程． 思考与探究 它们有哪些共同的特征？ 1.只含有一个未知数; 2.未知数的最高次数是2; 3.整式方程． 特点: 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0 (a、b、c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. ax2+bx +c = 0(a 、 b 、 c为常数, a≠0) ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. ★一元二次方程的概念 ★一元二次方程的一般形式是 概念归纳 你知道为什么一定要强调a≠0吗？ 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ， ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， ax2 = 0 我们可以发现只要满足a ≠ 0 ，b 、 c 可以为任意实数. 为什么一般形式中ax2+bx +c = 0要限制,a≠0，那么b、 c可以为0吗？ 思考探究 变成一次方程了 例1.下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ ） C 不是整式方程 含两个未知数 化简整理成 x2-3x+2=0 少了限制条件 a≠0 注意：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 典例剖析 (1) 12x2－6x＝0；　　　 (2) 4x2－5xy＋6y＝0； (3) 4x2－－1＝0; (4) ＝0； (5) x2＋4x－6＝2＋x2. 解：(1)(4)是一元二次方程；(2)不是，它含两个未知数；(3)它不是整式方程；(5)它不含ax2这一项． 1.下列方程哪些是一元二次方程？为什么？ 练一练 2.关于x的方程(k2－1)x2＋2(k－1)x＋2k＋2＝0，当k_______时，是一元二次方程；当k_______时，是一元一次方程． 【方法指导】 当k2－1≠0，即k≠±1时，方程是一元二次方程． 当k2－1＝0时，且2(k－1)≠0时，即k＝－1时是一元一次方程． ≠±1 ＝－1 练一练 一般来说，任意一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax²+bx+c=0 (a≠0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式 . 一元二次方程的一般形式 新知探究 那么我们该如何将一元二次方程化作ax²+bx+c=0 (a≠0)形式呢？ 例2.把方程(1－3x)(x＋3)＝2x2＋1化为一元二次方程的一般形式，并写出二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项． 解：原方程化为一般形式是：5x2＋8x－2＝0， 其中二次项是5x2， 二次项系数是5， 一次项是8x， 一次项系数是8， 常数项是－2. 注意：指出方程各项的系数时千万要记得带上前面的符号！ 典例剖析 【变式】将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3； 一次项是-8x,系数是-8； 常数项是-10. 典例剖析 例3.a为何值时，下列方程为一元二次方程？ (1)ax2－x=2x2； (2)(a－1)x ∣ a ∣ +1 －2x－7=0. 解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a－2)x2－x=0,所以当a－2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a－1 ≠0知，当a=－1时，原方程是一元二次方程. 方法总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值． 典例剖析 将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并 写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． 解： 去括号，得3x2－3x＝5x＋10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2－8x－10＝0. 所以二次项系数为3，一次项系数为－8， 常数项为－10. 练一练 例4.观察下面等式：102 + 112 + 122 = 132 + 142 你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？ 解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为 , , , .　 根据题意，可得方程： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 x+1 x+2 x+3 x+4 x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. 化简，得 x2 - 8x - 20＝0. ② 典例剖析 在做应用题时，列出符合题意的式子后，一定要记住将方程化为一般式后，才算结束 解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端距墙　　m.如果设梯子底端滑动 x m ,那么滑动后梯子底端距墙　　 m . 根据题意，可得方程： 例5.如图，一个长为 10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m,那么梯子的底端滑动多少米？ 6 x+6 72 + (x + 6)2 = 102. 化简，得 x2 + 12 x - 15 = 0. ③ 10m 8m 1m xm 典例剖析 D 1. 若a+b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 . 2. 若a-b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 . 3. 若4a+2b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 . 1 -1 2 练一练 4.有一块矩形铁皮,长19 cm,宽15 cm．在它的四个角分别切去一个正方形,然后将四周突出的部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是81 cm2 ,那么铁皮各角应切去多大的正方形？列出方程，并将其化为一般式. 解：设需要剪去的小正方形边长为 x cm,则纸盒底面的长方形的长为 （19 -2x）cm ,宽为（15 - 2x）cm. 依题意，得 (19 - 2x) (15 - 2x) = 81. x2 - 17x + 51 = 0 (一般式). xcm xcm 练一练 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 5.如图，已知一矩形的长为200 cm,宽150 cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径x cm应满足的方程（其中π 取3）. 解：由于圆的半径为x cm，则它的面积为 3x2 cm2. 整理，得 根据题意有， 200 cm 150 cm 练一练 D B 分层练习-基础 B 2x2－5x－3＝0 2x2 －5x －3 分层练习-基础 -1 分层练习-基础 分层练习-基础 D C 分层练习-基础 A －2 分层练习-基础 x＝－1或x＝2 分层练习-基础 x(x－12)＝864 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 整式 一 2 ax2＋bx＋ c＝0(a≠0) ax2 bx c a b A 课堂反馈 相等 根 －1、2 D 课堂反馈 ① 将实际问题 一元二次方程． ② 一元二次方程的概念． 课堂小结 转化 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2+bx+c=0 (a、b、c为常数, a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程. ax2+bx +c = 0(a 、 b 、 c为常数, a≠0) ax2 称为二次项, a 称为二次项系数. bx 称为一次项, b 称为一次项系数. c 称为常数项. ★一元二次方程的一般形式是 1.一元二次方程3x2－2x－1＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( ) A.3,2,1　　　　　　　 B.3,2，－1 C.3，－2,1 D.3，－2，－1 2.下列数：6，－6,8，－8,12，－12,2，－2中，是方程x2－2x－48＝0的根有( ) A.1个　 　 B.2个　 　 C.3个　 　 D.4个 3.下列方程中，一元二次方程的个数为( ) ①(x－1)(x＋2)＝1；②x2＋2x＝x2－1；③x2－eq \f(1,x)＝4；④x2＝0；⑤x2－eq \f(x,7)＋3＝0 A.2 B.3 C.4 D.5 4.一元二次方程2x2＝5x＋3的一般形式是 ，其中二次项是 ，一次项是 ，常数项是 . 5.(枣庄中考)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝0，则a的值为 . 6.把一元二次方程5x(x＋2)＝3(x＋1)化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项. 解：一般形式是5x2＋7x－3＝0；二次项系数：5，一次项系数：7，常数项：－3. 7.列一元二次方程，并将其化为一般形式： (1)哥哥比弟弟大2岁，且两人的年龄之积正好是爸爸年龄的2倍，已知爸爸40岁，那么弟弟多大？ 解：设弟弟的年龄为x岁.根据题意，列方程得，x(x＋2)＝40×2，化为一般形式为x2＋2x－80＝0. (2)有两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多1 cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍还多4 cm2，求大正方形的边长. 解：设大正方形的边长为x cm，由题意得x2＝2(eq \f(x,2)＋1)2＋4，化为一般形式为x2－4x－12＝0. 8.方程x2－5x＋6＝0的各项系数之和是( ) A.－4　　　　 B.1　　　　 C.12　　　　 D.2 9.下列关于x的方程(k－1)x2＋2kx＋3＝0的说法正确的是( ) A.一定是关于x的一元二次方程 B.当k＝1时，原式不是方程 C.当k≠1时，一定是关于x的一元二次方程 D.不可能是一元一次方程 10.(新疆中考)在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场.设有x个队参赛，根据题意，可列方程为( ) A.eq \f(1,2)x(x－1)＝36 B.eq \f(1,2)x(x＋1)＝36 C.x(x－1)＝36 D.x(x＋1)＝36 11.若关于x的一元二次方程(2a－4)x2＋(a2－4)x＋a－8＝0没有一次项，则a的值为 . 12.下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的解是 . x －2 －1 0 1 2 3 … x2－x 6 2 0 0 2 6 … 13.(大连中考)1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步.若设长为x步，则可列方程为 . 14．已知关于x的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m－1＝0，当m为何值时． (1)它为一元一次方程； (2)它为一元二次方程． 解：(1)当m＝－2时； (2)当m≠±2时． 15.关于x的一元二次方程(x－1)2＝2(x＋m)－3的一个根为－2. (1)求m的值； (2)将方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：(1)把x＝－2代入原方程，得(－2－1)2＝2(－2＋m)－3，解得m＝8；　 (2)一般形式为x2－4x－12＝0，二次项系数为1，一次项系数为－4，常数项为－12. 解：x1＝－1，x2＝3 16．已知关于x的方程(m2－9)x2＋(m＋3)x－5＝0. (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？并求出此时方程的解． (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 解：(1)m＝3，x＝eq \f(5,6)　(2)m≠±3 17．用估算法求一元二次方程的解． (1)x2－3x＋1＝0(精确到0.1) (2)x2－2x－4＝0(取整数) 解：x1≈0.4，x2≈2.6 18．已知eq \r(2)是关于x的方程x2－x＋a＝0的一个根，求a－2－eq \f(a2,a＋2)的值． 解：∵eq \r(2)是方程的根，∴a＋2＝eq \r(2)，∴原式＝－eq \f(4,a＋2)＝－eq \f(4,\r(2))＝－2eq \r(2) 19．若x2a＋b－2xa－b＋3＝0是关于x的一元二次方程，求a、b的值，小明是这样考虑的：满足条件的a、b必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋b＝2,a－b＝2))，你觉得小明的考虑全面吗？若不全面，请你说明满足题意的其他条件，并求出a、b的值． 解：不全面，还有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋b＝2,a－b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋b＝2,a－b＝0)) 或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋b＝1,a－b＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋b＝0,a－b＝2)). 故满足条件的a、b的值还可以为①1,0；②eq \f(2,3)，eq \f(2,3)；③1，－1；④eq \f(2,3)，－eq \f(4,3). 20．根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式． (1)一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送一条消息，这样共有756条消息； (2)一矩形面积为28 cm2，长比宽多3 cm，求这个矩形的长与宽； (3)两个连续奇数的平方和为130，求这两个奇数． 解：(1)x(x－1)＝756，x2－x－756＝0； (2)设宽为x cm，则长为(x＋3) cm，有x(x＋3)＝28，x2＋3x－28＝0； (3)设这两个连续奇数分别为n、n＋2，有n2＋(n＋2)2＝130，n2＋2n－63＝0. 21.某中学数学兴趣小组对关于x的方程(m＋1)xm2＋1＋(m－2)x－1＝0提出了下列问题： (1)是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值及方程的解；若不存在，请说明理由； (2)是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 解：(1)由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋1＝1,2m－1≠0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1＝0,m－2≠0))时，方程为一元一次方程.当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋1＝1,2m－1≠0))时，解得m＝0，此时方程为－x－1＝0，解得x＝－1； 当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋1＝0,m－2≠0))时，解得m＝－1，此时方程为－3x－1＝0，解得x＝－eq \f(1,3)； (2)由题意可知，当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋1＝2,m＋1≠0))时，方程为一元二次方程，解得m＝1. 一元二次方程的定义及一般形式 等号两边都是　 　，只含有　 　个未知数，并且未知数的最高次数是 　 　的方程，叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 是二次项， 是一次项， 为常数项， 为二次项系数， 为一次项系数. 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( ) A.x2－2x－3＝0　　　　　　 B.2x2－y－1＝0　　　　　　 C.x2－x(x＋7)＝0　　　　 D.ax2＋bx＋c＝0 一元二次方程的根 使方程左右两边 的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的 . 2.在－2、－1、0、1、2中，是一元二次方程x2－x－2＝0的根的是 . 易错点 忽视一元二次方程的二次项系数不为零的条件导致错误. 3.若方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则( ) A.m＝±2 B.m≠±2 C.m＝－2 D.m＝2 $$