1.1 菱形的性质（第1课时）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

九年级北师大版数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.1 菱形的性质与判定 第一课时 菱形的性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系. 2.探索并证明菱形的性质定理.（重点） 3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.（难点） 欣赏下面图片，图片中框出的图形是你熟悉的吗？ 情景导入 回忆一下，什么是平行四边形，它有哪些性质？ 定义： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 性质： 边：平行四边形的对边平行且相等. 角：平行四边形的对角相等，邻角互补. 对角线：平行四边形的对角线互相平分. 对称性：平行四边形是中心对称图形. 回忆一下，什么是平行四边形，它有哪些性质？ 如果从边的角度,将平行四边形特殊化,内角大小保持不变仅改变边的长度让它有一组邻边相等,这个特殊的平行四边形叫什么呢? 平行四边形 菱形 邻边相等 菱形的性质 思考 新知探究 概念归纳 定义：有一组邻边相等的平行四边形. 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. 活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？观看下面视频： 问题1 菱形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴. 是，两条对角线所在直线都是它的对称轴. 问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上 有什么关系?菱形的两对角线有什么关系? 猜想1 菱形的四条边都相等. 猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对 角线平分一组对角. 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题: 做一做 已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O. 求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD； ∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）. 又∵AB=AD, ∴AB = BC = CD =AD. A B C O D 证一证 （2）∵AB = AD, ∴△ABD是等腰三角形. 又∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中, ∵OB = OD， ∴AO⊥BD，AO平分∠BAD， 即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC. 同理可证∠DCA=∠BCA， ∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD. A B C O D 菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质. 对称性：是轴对称图形. 边：四条边都相等. 对角线：互相垂直，且每 条对角线平分一组对角. 角：对角相等. 边：对边平行且相等. 对角线：相互平分. 菱形的特殊性质 平行四边形的性质 概念归纳 例1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， AO＝ AC，BO＝ BD. ∵AC＝6cm，BD＝12cm， ∴AO＝3cm，BO＝6cm. 在Rt△ABO中，由勾股定理得 ∴菱形的周长＝4AB＝4×3 ＝12 (cm)． 典例剖析 例2.如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF. 证明：连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 又∵AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF. 归纳总结：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角． 典例剖析 例3.如图，E为菱形ABCD边BC上一点，且AB=AE，AE交BD于O，且∠DAE=2∠BAE，求证：OA=EB. A B C D O E 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC，AD=BA， ∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB ， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AB=AE,∴∠ABC＝∠AEB， ∴∠ABC=∠DAE，  ∵∠DAE＝2∠BAE，∴∠BAE＝∠ADB.  又∵AD＝BA ， ∴△AOD≌△BEA ， ∴AO＝BE . 典例剖析 1.如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝ 5，则△ABD的周长是 (　　) A.10 B.12 C.15 D.20 C 2.如图，菱形ABCD的周长为48cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长为_______. 第1题图 第2题图 6cm 练一练 3.已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=AD, 对角 线 AC 与 BD 相交于点O. 求证: （1）AB=BC=CD=AD;（2）AC⊥BD. 证明:（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=CD,AD=BC（菱形的对边相等）. 又∵AB=AD, ∴AB=BC=CD=AD. 练一练 4.已知：如图，在菱形ABCD 中，AB=AD, 对角 线 AC 与 BD 相交于点O. 求证: （1）AB=BC=CD=AD;（2）AC⊥BD. 又∵四边形ABCD是菱形, （2）∵AB=AD, ∴ △ABD是等腰三角形. ∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形ABD中， ∵OB=OD, ∴ AO⊥BD，即AC⊥BD. 练一练 总结归纳 菱形的四条边都相等. 菱形的对角线互相垂直. 定理 例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD相交于点 O, ∠BAD = 60°，BD = 6，求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长。 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=AD（菱形的四条边相等）， AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， OB=OD= BD= =3（菱形的对角线互相平分）. 课本例题 随堂练习 1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm ，求 BD 的长. 解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 OA2 + OB2 = AB2， ∴BO = ∵四边形ABCD 是菱形， ∴BD=2BO= 2×3=6（菱形的对角线互相平分）. ∴BD 的长为 6 cm. 已知：如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.求证：△ABC是等边三角形. 1. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴BC=AB,BC∥AD.∴∠B+∠BAD=180° （两直线平行，同旁内角互补）. ∵∠BAD=2∠B,∴∠B+2∠B=180°, ∴∠B=60°.∵BC=AB, ∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）. 习题1.1 知识技能 2. 如图，在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，求菱形ABCD的周长. 解：∵四边形ABCD是菱形, BD=6,AC=8, ∴AD=DC=CB=BA,AC⊥BD, AO= AC= ×8=4,DO= BD= ×6=3. ∴在Rt△AOD中,由勾股定理, 得AD= =5. ∴菱形ABCD的周长为4AD=4×5=20. 知识技能 3. 已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.求证：AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AD=AB,AC⊥BD,DO=BO. ∴△ABD是等腰三角形. ∴AO是等腰△ABD底边BD上的高,中线, 也是∠DAB的平分线. 知识技能 ∴AC平分∠BAD. 同理可证AC平分∠BCD, BD平分∠ABC和∠ADC. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形和直角三角形？ 4. 解：有4个等腰三角形和4个直角三角形. 数学理解 邻边 两 C 分层练习-基础 4cm 分层练习-基础 相等 C 24 分层练习-基础 垂直 6 分层练习-基础 5 分层练习-基础 C 分层练习-巩固 A 分层练习-巩固 D 分层练习-巩固 A 分层练习-巩固 28 45°或105° 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 菱形的性质 菱形的性质 有关计算 边 周长=边长的四倍 角 对角线 1.两组对边平行且相等； 2.四条边相等 两组对角分别相等，邻角互补邻角互补 1.两条对角线互相垂直平分； 2.每一条对角线平分一组对角 课堂小结 知识点一：菱形的定义及轴对称性 有一组 相等的平行四边形叫做菱形．菱形是轴对称图形，有 条对称轴． 1．如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AB、CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为( ) A．28°　　　　　 B．52°　　　　 C．62°　　　　 D．72° 2．如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cm，则点P到BC的距离是　 　. 知识点二：菱形的性质定理1 定理：菱形的四条边 ． 3．边长为3cm的菱形的周长是( ) A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm 4．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为 . 知识点三：菱形的性质定理2 菱形的对角线互相 ． 5．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4.则BD的长为 . 能力点：求线段和的最值 利用菱形的轴对称性质，根据两点之间线段最短，可求两条线段和的最小值． 6．如图 ，菱形ABCD的两条对角线的长分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值为 . 7．在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是( ) 8．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于( ) A.eq \f(24,5)　　　 B．eq \f(12,5)　　　 C．5　　　 D．4 9．(陕西中考)如图，在菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点，连接EF、FG、GH和HE，若EH＝2EF，则下列结论正确的是( ) A．AB＝eq \r(2)EF B．AB＝eq \r(3)EF C．AB＝2EF D．AB＝eq \r(5)EF 10．如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A＝∠EDF＝60°，有下列结论：①AE＝BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE＝∠BEF.其中结论正确的个数是( ) A．3个 B．4个 C．1个 D．2个 11．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，BD＝7，则菱形ABCD的周长为 . 12．在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为 . 13．小明设计了一个如图的风筝，其中，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，点C在AF上，点E、G分别在BC、CD上．若∠BAD＝135°，∠EAG＝75°，AE＝100cm，菱形ABCD的边长为　 　cm. 50＋50eq \r(3) 14．如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E、F分别是BC、AD的中点． (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，∠ABC＝∠CDA，又∵E、F分别是BC、AD的中点，∴BE＝EC＝eq \f(1,2)BC，AF＝DF＝eq \f(1,2)AD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝CD,∠B＝∠D,BE＝DF))，∴△ABE≌△CDF. (2)解：∵四边形AECF为菱形，∴AE＝EC，又∵点E是BC的中点，∴BE＝EC，即BE＝AE，又BC＝2AB＝4，∴AB＝eq \f(1,2)BC＝BE＝2，∴△ABE为等边三角形，过A作AG⊥BE于点G，则BG＝EG＝eq \f(1,2)BE＝1.在Rt△ABG中，AG＝eq \r(AB2－BG2)＝eq \r(3)，∴S菱形AECF＝CE·AG＝2eq \r(3). 15．如图，已知四边形ABFC为菱形，点D、A、E在直线l上，∠BDA＝∠BAC＝∠CEA. (1)求证：△ABD≌△CAE； (2)若∠FBA＝60°，连接DF、EF，判断△DEF的形状，并说明理由． 证明：(1)∵四边形ABFC为菱形，∴AB＝AC，∵∠BDA＝∠BAC＝∠CEA，又∵∠DBA＋∠DAB＝180°－∠BDA，∠EAC＋∠DAB＝180°－∠BAC，∴∠DBA＝∠EAC，在△ABD和CAE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠DBA＝∠EAC,∠BDA＝∠CEA,AB＝AC))，∴△ABD≌△CAE(AAS)； (2)连接AF，∵四边形ABFC为菱形，∠FBA＝60°，∴△ABF与△ACF均为等边三角形，∴BF＝AF，∠FBA＝∠FAC＝60°＝∠BFA，∵∠DBA＝∠EAC，∴∠FBA＋∠DBA＝∠FAC＋∠EAC，即∠FBD＝∠FAE，∵△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，在△FBD和△FAE中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(BD＝AE,∠FBD＝∠FAE,BF＝AF))，∴△FBD≌△FAE，∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∵∠BFA＝∠BFD＋∠DFA＝60°，∴∠AFE＋∠DFA＝60°，即∠DFE＝60°，∴△DEF是等边三角形． 菱形的性质在求角中的应用 【例】已知，如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°，求∠CEF的度数． 【思路分析】在求有关菱形的角的问题时，由于菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，因此通常通过连接对角线，把四边形问题转化为特殊三角形(等边三角形)问题来解答．在菱形中如果出现“30°”“60°”“120°”“一边等于最短对角线”这些词语时，往往都指向等边三角形，我们则需用等边三角形的知识来解决． 【规范解答】如图，连接AC.∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠D＝∠B＝60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠ACF＝∠BAC＝60°.∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴AE＝AF.又∵∠EAF＝60°，∴△EAF是等边三角形，∴∠AEF＝60°.又∵∠AEC＝∠B＋∠BAE＝∠AEF＋∠CEF，∴60°＋18°＝60°＋∠CEF，∴∠CEF＝18°. 【方法归纳】紧扣菱形的性质、三角形外角的性质求解． $$