1.1 二次函数（教学课件） -2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

九年级浙教版数学上册 第一章 二次函数 1.1 二次函数 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点） 2.会利用二次函数的概念解决问题. 3.会列二次函数表达式解决实际问题， 体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义. （重点、难点）. 情景导入 你观察过公园的拱桥吗？ 都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系式表示？ 篮球入框 公园里的喷泉 雨后的彩虹 天天果园里共有200棵苹果树,每一棵树平均结600个苹果.现准备多种一些苹果树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结6个苹果. 二次函数的定义 新知探究 (1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ (2)假设果园增种x棵苹果树,那么果园共有 棵苹果树；这时平均每棵树结 个苹果。 (3)如果果园苹果的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式. 变量：苹果树的数量，苹果树之间的距离，苹果树接受阳光的多少，每棵苹果树的结果量，果园苹果的总产量，每个苹果的质量等等。 （200+x） （600-6 x） y与自变量x的关系式为： 化简为： 用适当的函数表达式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系： (1)圆的面积 y (cm2)与圆的半径 x ( cm ) y =πx2 (2)王师傅存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后将本息转存为又一个一年定期.设年利率均为x，两年后王师傅共得本息 y元. y = 20000(1+ x）² 课本P4 合作探究 (3)一个温室连同外围通道的矩形平面图如下图.这个矩形的周长为120m，设一条边长为x（m），种植面积为 y (m2). 课本P4 合作探究 1 1 3 x 1 种植用地 通道 　上述三个问题中的函数表达式具有哪些共同的特征? 它们经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式. (其中a,b,c是常数, ) a≠0 一般地,形如 的函数,叫做二次函数.其中,x是自量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0) (1)等号左边是函数y，右边是关于自变量x的 (3)等式右边的最高次数为 ，可以没有一次项和常数项，但 . 注意: (2) a,b,c为常数，且 (4) 自变量x的取值范围是 任意实数 整式 a≠0. 2 不能没有二次项 概念归纳 例1 如图所示，一张正方形纸板的边长为 2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）.设AE=BF=CG=DH=x（cm），四边形EFGH的面积为y（cm²）. （1）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围. （2）当x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时，求对应的四边形EFGH的面积，并列表表示. 课本例题 解（1）由题意，0<x<2， . 即所求函数表达式为y=2x²-4x+4，x的取值范围为0<x<2. （2）当x=0.25cm时，y=2×0.25²-4×0.25+4=3.125（cm²）. 依次计算可得， 当x=0.5cm时，y=2.5（cm²）；当x=1cm时，y=2（cm²）； 当x=1.5cm时，y=2.5（cm²）；当x=1.75cm时，y=3.125（cm²）. x(cm) 0.25 0.5 1 1.5 1.75 y(cm²) 3.125 2.5 2 2.5 3.125 列表如下： 例2 已知二次函数y=x²+bx+c，当x=1时，函数值是4；当x=2时，函数值是一5.求这个二次函数的表达式. 解:把x=1，y=4；x=2，y=-5分别代入函数式y=x²+bx+c，得方程组 解这个方程组，得 所以所求二次函数的表达式是y=x²-12x+15. 课本例题 1.下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y=x². （2） （3）y=2x²-x-1. （4）y=x（1-x）. （5）y=（x-1）²-（x+1）（x-1）. √ √ √ 课本P5 做一做 2，分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项. （1）y=x²+1.（2）y=-3x²+7x-12.（3）y=2x（1-x）. （1）二次项系数为：1 一次项系数为：0 常数项为：1 （2）二次项系数为：-3 一次项系数为：7 常数项为：-12 （3）二次项系数为：-2 一次项系数为：2 常数项为：0 做一做 课本P5 判断下列函数中，是不是二次函数： ① y=ax2+bx+c ② (x-3 ③y=x2 ④ ⑤y=x²+x³+25 ⑥ y=(2x+3)²4x² 不一定是，缺少a≠0的条件 不是，等号右边是分式 不是，x的最高次数是3 不是，化简后为一次函数 典例剖析 判断一个函数是不是二次函数，要抓住二次函数的结构特征：（1）解析式是关于自变量的整式；（2）自变量的最高次数是2；（3）化简后二次项系数不为0. 除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式,如 等. 概念归纳 若函数 为二次函数，求m的值. 解：因为该函数为二次函数，则 解（1）得m=2或-1 解（2）得 所以m=2 典例剖析 现有一函数 问 （1）m取什么值时，此函数是一次函数？ （2） m取什么值时，此函数是二次函数？ 解： （1）由一次函数的定义可知， 解得 解得m=3. （2）由二次函数的定义可知， 练一练 已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的表达式. 练一练 n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？ 分析：每个球队要与其他 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为 ．   此式表示了比赛的场次数 m 与球队数 n 之间的关系，对于n的每一个值，m 都有唯一的一个对应值，即 m 是 n 的函数．     (n-1) 练一练 天天工厂的某一种产品现在的年产量是2000件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系怎样表示？ 【分析】这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是 件,再经过一年后的产量是 件, 即两年后的产量y=___________. 2000(1+x) 2000(1+x)2 2000(1+x)2 y=2000x2+4000x+2000； 两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系，对于x的每一个值，y都有唯一的一个对应值，即y是x的函数. 练一练 D D 随堂练 A C 随堂练 a≠2 a＝2且b≠－2 0＜x＜10 随堂练 随堂练 C D 分层练习-基础 A 分层练习-基础 分层练习-基础 C 分层练习-基础 B 分层练习-基础 二次 二次 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 x 全体实数 有意义 课堂反馈 B 课堂反馈 等量关系 列出方程或等式 二次函数的一般式 D 课堂反馈 二次函数 定 义 y=ax2+bx+c(a ≠0，a,b,c是常数） 一般形式 右边是整式； 自变量的指数是2； 二次项系数a ≠0. 特殊形式 y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c(a ≠0，a,b,c是常数）. 课堂小结 1．下列函数中，不是二次函数的是(　 　) A．y＝1－eq \r(2)x2 B．y＝2(x＋1)2－4 C．y＝eq \f(1,2)(x－1)(x＋4) D．y＝(x－2)2－x2＋1 2．函数y＝(m2＋m)x2＋x(m为常数)是二次函数，则m满足(　 　) A．m≠0 B．m≠－1 C．m≠0或m≠－1 D．m≠0且m≠－1 3．已知一个直角三角形两直角边的和为10，设其中一条直角边为x，则直角三角形的面积y与x之间的函数关系式是(　 　) A．y＝－eq \f(1,2)x2＋5x B．y＝－x2＋10x C．y＝eq \f(1,2)x2＋5x D．y＝x2＋10x 4．一台机器原价40万元，每次降价的百分率为x，那么连续两次降价后的价格y(万元)与x之间的函数关系式为(　 　) A．y＝40(1－x) B．y＝40(1－x2) C．y＝40(1－x)2 D．y＝40(1＋x)2 5．已知两个变量x、y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当　 　时，x、y之间是二次函数关系； (2)当　 　时，x、y之间是一次函数关系． 6．一个长方形的周长是20 cm，一边长是x cm，则这个长方形的面积y(cm2)与x的函数关系式是　 　 ，自变量x的取值范围是 　 　. y＝－x2＋10x 7．写出下列函数关系式： (1)在边长为6的正方形中间挖去一个边长为x(0＜x＜6)的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，写出y关于x的函数关系式； (2)某印刷厂一月份印书50万册，如果从二月份起，每月印书量的增长率都为x，写出三月份的印书量y(万册)与x的函数关系式； (3)如图，在一幅长80 cm，宽50 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂面，设整个挂画总面积为y cm2，金色纸边的宽为x cm，写出y关于x的函数关系式． 解：(1)y＝－x2＋36(0＜x＜6)；　(2)y＝50(1＋x)2或y＝50x2＋100x＋50；　(3)y＝4x2＋260x＋4000. 7．下列函数：①y＝1－x2；②y＝2(x－1)2＋4；③y＝(x－1)(x＋4)；④y＝3x2＋x(1－3x)．其中二次函数的个数为( ) A．1个　　 B．2个　　 C．3个　　 D．4个 8．(黄冈中考)若函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2x≤2，,2xx＞2，))则当函数值y＝8时，自变量x的值是( ) A．±eq \r(6) B．4 C．±eq \r(6)或4 D．4或－eq \r(6) 9．将进货单价为35元的商品按40元出售时，能卖200个，已知该商品每涨价2元，其销量就要减少10个，设这种商品售价为x元时，获得的利润为y元，则下列关系式正确的是( ) A．y＝(x－35)(400－5x) B．y＝(x－35)(600－10x) C．y＝(x＋5)(200－5x) D．y＝(x＋5)(200－10x) 10．如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20厘米，AC与MN在同一直线上，开始时，点A与点N重合，若△ABC以每秒2厘米的速度向左运动，最终点A与点M重合，则重叠部分面积y(厘米2)与时间x(秒)之间的函数关系式为　 　. y＝eq \f(1,2)(20－2x)2(0≤x≤10) 8．下列函数关系式：①y＝eq \f(1,3)x2－5x＋6eq \f(1,2)；②y＝eq \f(3,x2＋1)；③y＝eq \f(1,x2)＋eq \f(1,x)＋1；④y＝－2x－eq \f(1,3)x2；⑤y＝eq \f(1,3)x＋32；⑥y＝eq \f(1,2)－eq \f(1,2)m＋m2，其中是二次函数的是(　 　) A．①②③ B．①②④ C．①④⑥ D．②③④⑥ 9．如图，Rt△ABO中，AB⊥OB，设AB＝OB＝3，用直线x＝t截此三角形，所得的阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系式为(　 　) A．S＝t B．S＝eq \f(1,2)t2 C．S＝t2 D．S＝eq \f(1,2)t2－1 10．如图所示，设长方体底面是边长为x cm的正方形，高为20 cm. (1)这个长方体的表面积S＝　 　，它是x的　 　函数； (2)这个长方体的体积V＝　 　，它是x的　 　函数． 11．如图，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y(单位：米2)与x(单位：米)的函数关系式为　 　(不要求写出自变量x的取值范围)． 2x2＋80x 20x2 y＝－eq \f(1,2)x2＋15x 12．已知函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)(m是常数)，当m为何值时： (1)函数是一次函数； (2)函数是二次函数． 解：(1)m＝1时，函数是一次函数；　 (2)m≠0，且m≠1时，函数是二次函数． 13．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少4件． (1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式； (2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1080元，求该产品的质量档次． 解：(1)y＝[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝－8x2＋128x＋640；　 (2)由－8x2＋128x＋640＝1080，解得x1＝5，x2＝11(舍去)，产品质量为第5档次． 11．已知二次函数y＝ax2＋bx－5.当x＝－1时，y＝－6；当x＝1时，y＝－2. (1)求a、b的值； (2)求当x＝2时，y的值． 解：(1)将x＝－1时，y＝－6；x＝1时，y＝－2代入二次函数解析式中得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－6＝a－b－5,－2＝a＋b－5))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝2))； (2)将x＝2代入y＝x2＋2x－5中，得y＝22＋2×2－5＝3. 12．已知函数y＝(m2－m)x2＋(m－1)x＋m＋1. (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？ 解：(1)依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－m＝0,m－1≠0))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝0或m＝1,m≠1))，∴m＝0；　(2)依题意得m2－m≠0，∴m≠0且m≠1. 14．如图，在△ABC中，AB＝4，点D在AB边上移动(不与A、B重合)，DE∥BC，交AC于点E，设S△ABC＝S，S△DEC＝S1，若AD＝x，eq \f(S1,S)＝y. (1)试探求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围； (2)当x＝1,2,3时，分别求出相应的y值． 解：(1)设S△ADE＝S2，则eq \f(S2,S)＝(eq \f(AD,AB))2＝(eq \f(x,4))2，而eq \f(S1,S2)＝eq \f(EC,AE)＝eq \f(BD,AD)＝eq \f(4－x,x)，两式相乘，得eq \f(S1,S)＝y＝(eq \f(x,4))2·eq \f(4－x,x)＝eq \f(－x2＋4x,16)＝－eq \f(x2,16)＋eq \f(x,4)(0＜x＜4)；　 (2)当x＝1,2,3时，y相对应的值是eq \f(3,16)，eq \f(1,4)，eq \f(3,16). 13．如图，为了绿化小区，某物业公司要在形如五边形ABCDE的草坪上建一个矩形花坛PKDH.已知：PH∥AE，PK∥BC，DE＝100米，EA＝60米，BC＝70米，CD＝80米．以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，坐标原点为O. (1)求直线AB的解析式； (2)若设点P的横坐标为x，矩形PKDH的面积为S，求S关于x的函数关系式． 解：(1)如图所示，∵OE＝80米，OC＝ED＝100米，AE＝60米，BC＝70米，∴OA＝20米，OB＝30米，即A、B的坐标为(0,20)、(30,0)．设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(30k＋b＝0,b＝20))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－\f(2,3),b＝20))，则直线AB的解析式为y＝－ eq \f(2,3)x＋20；　(2)设点P的坐标为P(x，y)．∵点P在直线AB上，所以点P的坐标可以表示为(x，－eq \f(2,3)x＋20)，∴PK＝100－x，PH＝80－(－eq \f(2,3)x＋20)＝60＋eq \f(2,3)x，∴S＝(100－x)(60＋ eq \f(2,3)x)． 二次函数定义 1．一般地，形如　 　的函数叫二次函数，其中　 　是自变量． 2．二次函数自变量的取值范围一般都是　 　，但是实际问题中自变量的取值范围应使实际问题　 　. y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0) 1.下列函数一定是二次函数的是(　 　) A．y＝x2＋eq \f(1,x)　　　　　 B．y＝x2　　　　　　　 C．y＝ax2＋bx＋c　　　 D．y＝eq \r(x2＋5) 易错点：解题时，忽略二次函数定义中a≠0这一条件． 2.y＝(m－3)xm2－3m＋2＋mx＋1是二次函数，求m的值． 解：由题意得：m2－3m＋2＝2，m－3≠0，∴m＝0. 列二次函数关系式 列二次函数关系式要着眼于三个方面：(1)找准实际问题中的　 　；(2)根据等量关系　 　；(3)将方程或等式整理成　 　. 自我诊断3. 在半径为5cm的圆面上，挖去一个半径为xcm的圆面，剩下的圆环的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为( ) A．y＝πx2－5 B．y＝π(5－x)2 C．y＝－(x2＋5) D．y＝－πx2＋25π $$