精品解析：江苏省南菁高级中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

2023-2024学年第二学期5月阶段性检测高一数学 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用纯虚数的定义求出a，即可判断作答. 【详解】因为复数为纯虚数，则，解得， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 2. 已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的公式，画出复原图即可求解. 【详解】因为，，取的中点为坐标原点，以为建立坐标系如左图， 因为斜二测直观图为矩形，，, 则， 可得原图中（右图），, , 四边形的面积为. 故选：D. 3. 已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. （ 【答案】C 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求解，再根据投影向量的公式进行求解即可. 【详解】由，，，得， 解得．所以，， 所以，， 所以在上的投影向量为 故选：C． 4. 已知中，，，若满足上述条件的三角形有两个，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出示意图，点C在射线上移动，从点B向射线引垂线BD，则点C应该在点D的两侧，进而得到答案. 【详解】如图，点C在射线上移动，从点B向射线引垂线，垂足为D，由题意可知， 若三角形有两个，则点C应在点D的两侧（如：），而AB=2，所以BC的范围是. 故选：B. 5. 已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题，其中真命题是（ ） A. 若，，则． B. 若，，，，则． C. 若，，，则． D. ，，，，，则． 【答案】B 【解析】 【分析】由线线垂直的性质可知A错误；由线面平行的性质定理可得B选项正确；由面面垂直的性质以及线面的位置关系可得C错误；由线面平行的性质和线面垂直的性质可得D错误. 【详解】对于A，若，，则或，即可能在平面内，所以A错误； 对于B，根据条件可知，，，，所以，又，， 由线面平行的性质定理可得，即B选项正确； 对于C，若，，，则与可能平行、相交或异面，即C错误； 对于D，当，，，，时，与可能平行或相交，即D错误. 故选：B 6. 已知球O为棱长为1的正四面体的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出正四面体外接球半径，再分析出最大值即可外接球直径. 【详解】首先求出正四面体外接球的半径： 由正四面体的对称性与球的对称性可知球心在正四面体的高上： 设外接球半径为，如图(为外接球球心，为的重心）， ， ，， 中，， 即，得， 因为点P是正四面体的表面上的一点，Q为球O表面上的一点， 则的最大值相当于外接球的直径，则最大值为. 故选：D. 7. 在中，有，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，即可求出的最大值． 【详解】因为， 所以， 又，， 所以 又，，， 所以， 即， ， 当且仅当即时取等号， 显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，此时， 所以，即的最大值是． 故选：D． 8. 如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设的中点为，即可证明，从而得到，再将平面与平面展开并摊平，在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值，利用余弦定理计算可得. 【详解】 设的中点为，连接（不与点重合），，，， 所以，所以，把平面与平面展开并摊平，如图， 在平面图形中连接，交于点，交于点，此时的周长取得最小值， 在中利用余弦定理可得， 所以的周长的最小值为． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. B. z的虚部为-1 C. 为纯虚数 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由的幂运算的周期性可求得；根据复数模长、虚部定义、乘方运算和共轭复数定义依次判断各个选项即可. 【详解】， 对于A，，A正确； 对于B，由虚部定义知：的虚部为，B正确； 对于C，为纯虚数，C正确； 对于D，由共轭复数定义知：，D错误. 故选：ABC. 10. 如图，的角所对的边分别为，，且，若点在外，，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 四边形面积的最大值为 D. 四边形面积的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，即为等边三角形，可判定A、B正确；设，利用余弦定理得，结合三角形的面积公式，得到四边形的面积为，进而求得最大值，可判定C正确，D错误. 【详解】因为，由正弦定理得， 即， 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以，所以为等边三角形， 可得，，所以A、B正确； 设， 在中，由余弦定理得， 且， 可得， 所以四边形的面积为， 当时，四边形的面积最大，最大值为，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 11. 如图，在棱长为的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 若，，，四点共面，则 C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为 D. 若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体为和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由面面平行的性质可得；对于B，延展平面可得平面过的中点，可得；对于C，先找到的轨迹，再由几何关系算出长度；对于D，若，由平面分割该正方体所成的两个全等的空间几何体为和，且为正六棱锥，由等体积法算出球的半径，则可得球的表面积最大值. 【详解】 对于A，在正方体中平面平面，平面，故平面，故A选项正确； 对于B，如图，延展平面，易知平面过的中点，所以，故B选项错误； 对于C，如图，若，取的三等分点靠近，的中点， 则， 平面，平面， 故平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面，当点在线段上时，平面， 则满足平面，所以即为的轨迹， 由，得，故C选项正确； 对于D，如图所示， 易知，该球是以为顶点，底面为正六边形的正六棱锥相切的球， ，则该六棱锥的高为：， 正六边形的面积为：， 的面积为：， 设内切球的半径为，由等体积法可得：， 则该球的半径为， 所以该球的表面积最大为，故D选项错误． 故选AC． 【点睛】关键点点睛：本题AC选项的关键是利用面面平行的性质定理判断，D选项关键是利用等体积法求出内切球的半径，从而得到表面积最值. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，为非零不共线向量，向量与共线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，可以作为平面内的一组基，则，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，为非零不共线向量,所以，可以作为平面内的一组基底, 又向量与共线，所以，即， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知cos(＋α)＝，，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先化简目标式为，根据已知条件求出、，即可求值 【详解】 由知：，又 ∴， ，，故 ∴综上，有 故答案为： 【点睛】本题考查了利用三角恒等变换求函数值，注意正弦二倍角公式、和角公式化简目标式的应用，根据象限角判断相关角的函数值，进而求目标三角函数的值 14. 在三棱锥中，，，两两垂直，，，为棱上一点，于点，则当的面积取最大值时，三棱锥的外接球表面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设，求得，结合，求得，进而求得和，根据，求得面积的最大值，再根据正方体的性质求得三棱锥的外接球的半径为，进而求得外接球的表面积. 【详解】设，且， 因为两两垂直，所以， 所以，可得， 因为且，平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以， 因为且，平面，所以平面， 又因为平面，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 设三棱锥的外接球的半径为， 则， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，是边的中点，且，设与交于点，记. （1）用表示向量； （2）若，且，求的余弦值. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算结合平面向量基本定理即可求解； （2）由得，结合及数量积的定义即可求解. 【小问1详解】 ， 所以， . 【小问2详解】 因为，所以，即， 所以， 所以，即的余弦值为. 16. 如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点． （1）求证：平面． （2）在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由． 【答案】（1） 因为，分别为线段的中点所以A. 因为，所以B. 又因为平面，平面， 所以平面． （2） 取的中点，连接，因为为的中点所以． 因为平面，平面，所以平面， 同理可得，平面，又因为，，平面，所以平面平面 故在线段上存在一点，使平面平面． 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质可得A，再根据线面平行的判定可得B即可； （2）取的中点，连接，根据中位线的性质判定即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图所示，平面PBD⊥平面ABCD，平面PECD⊥平面ABCD. （1）求证:直线PD⊥平面ABCD; （2）若ECPD，在菱形ABCD中，∠BAD=，且PD=AD=2EC，求直线PE与平面PBD所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理及线面平行的性质定理，结合线面垂直的性质定理即可求解； （2）根据菱形的对角线的性质及线面垂直的性质定理，再利用线面垂直的判定定理及线面角的定义，结合锐角三角形的正弦函数的定义即可求解. 【小问1详解】 设l⊂平面PBD,且l,PD不重合,l⊥BD. 因为平面PBD⊥平面ABCD, 所以l⊥平面ABCD. 因为l,PD不重合, 所以平面PECD. 因为平面PECD⊥平面ABCD, 所以l平面PECD,又平面PECD平面PBD=PD 所以lPD,所以直线PD⊥平面ABCD. 【小问2详解】 连接AC,交BD于点O.如图所示 因为四边形ABCD是菱形, 所以AC⊥BD. 因为PD⊥平面ABCD, AC平面ABCD, 所以PD⊥AC, 平面PBD. 所以AC⊥平面PBD. 过点C作CFPE交PD于F,连接FO, 则∠CFO即为直线PE与平面PBD所成角的平面角. 不妨设PD=AD=2EC=2,则CO=,CF=,且CO⊥OF, 所以sin∠CFO=. 所以直线PE与平面PBD所成角的正弦值为. 18. 拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知在中，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为.若角的对边分别为，且 （1）求； （2）若，求的面积最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角及三角形内角和定理化简即可得到，再由辅助角公式及特殊角的三角函数值即可求得； （2）利用余弦定理及基本不等式求得的最大值，再次利用基本不等式及三角形的面积公式可求得的面积最大值. 【小问1详解】 由正弦定理得 因为 因为即 则或 因为为三角形的内角， 【小问2详解】 由余弦定理得，当时取等号，取的中点G， 同理 19. 已知四棱锥P－ABCD中，△PBC为正三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，． （1）设F为BC中点，问：在线段AD上是否存在这样的点E，使得平面PAD⊥平面PEF成立．若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由； （2）已知. ①求二面角的平面角的余弦值； ②求直线AC和平面PAD所成角的正弦值． 【答案】（1）存在， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）存在这样的E点；且当时满足，过点F作交AD于点E，则可得，，从而由线面垂直的判定可得AD⊥平面PEF，再由面面垂直的判定定理可证得结论， （2）①由（1）可得∠PFE即为所求二面角P－BC－A的平面角，然后在△PEF中利用余弦定理可求得答案，②法1：设AC与平面PAD所成角为，设d为点C到平面PAD的距离，则，由于BC//面PAD，所以C到平面PAD的距离等于F点到平面PAD的距离，由等积法求出，从而可求出，法2（等体积法）：设AC与平面PAD所成角为，设d为点C到平面PAD的距离，则，利用求出，从而可求出， 【小问1详解】 存在这样的E点；且当时 过点F作交AD于点E， ∵△PBC为正三角形， ∴，∵，∴， 又∵， ∴， ∵ ∴AD⊥平面PEF， ∵AD平面PAD， 故平面PAD⊥平面PEF 【小问2详解】 ①解：由（1）知，，， ∴∠PFE即为所求二面角P－BC－A的平面角． ∵，，∴，又∵，， ∴在△PEF中， ②法1：设AC与平面PAD所成角为，设d为点C到平面PAD的距离， 则 ∵，，∴，∵， ∴BC//平面PAD，C到平面PAD的距离等于F点到平面PAD的距离． 由（1）知，F到平面PAD的距离等于F到PE的距离， 在△PEF中，，，， ∴， 则，又， ∴，∴． ∴，即直线AC与平面PAD所成角的正弦值为． 法2（等体积法）：设AC与平面PAD所成角为，设d为点C到平面PAD的距离，则，其中． ∵，即 其中，又，，， ∴，故， ∴ 过P作交EF于点H，由（1）中知AD⊥面PEF， ∵AD平面ABCD，故平面ABCD⊥平面PEF， 又平面ABCD平面，，PH平面PEF，故PH⊥平面ABCD， ∴，由（2）题①知，，故可求， 故． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期5月阶段性检测高一数学 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为实数，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. （ 4. 已知中，，，若满足上述条件的三角形有两个，则的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题，其中真命题是（ ） A. 若，，则． B. 若，，，，则． C. 若，，，则． D. ，，，，，则． 6. 已知球O为棱长为1的正四面体的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，有，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，已知，分别为线段，上的动点，为的中点，则的周长的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的是（ ） A. B. z的虚部为-1 C. 为纯虚数 D. 10. 如图，的角所对的边分别为，，且，若点在外，，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 四边形面积的最大值为 D. 四边形面积的最大值为 11. 如图，在棱长为的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，，下列说法正确的是（ ） A. 平面 B. 若，，，四点共面，则 C. 若，点在侧面内，且平面，则点的轨迹长度为 D. 若，由平面分割该正方体所成的两个空间几何体为和，某球能够被整体放入或，则该球的表面积最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，为非零不共线向量，向量与共线，则______. 13. 已知cos(＋α)＝，，则的值为________. 14. 在三棱锥中，，，两两垂直，，，为棱上一点，于点，则当的面积取最大值时，三棱锥的外接球表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，是边的中点，且，设与交于点，记. （1）用表示向量； （2）若，且，求的余弦值. 16. 如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点． （1）求证：平面． （2）在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由． 17. 如图所示，平面PBD⊥平面ABCD，平面PECD⊥平面ABCD. （1）求证:直线PD⊥平面ABCD; （2）若ECPD，在菱形ABCD中，∠BAD=，且PD=AD=2EC，求直线PE与平面PBD所成角的正弦值. 18. 拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点.”已知在中，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为.若角的对边分别为，且 （1）求； （2）若，求的面积最大值. 19. 已知四棱锥P－ABCD中，△PBC为正三角形，底面ABCD为直角梯形，，，，． （1）设F为BC中点，问：在线段AD上是否存在这样的点E，使得平面PAD⊥平面PEF成立．若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由； （2）已知. ①求二面角的平面角的余弦值； ②求直线AC和平面PAD所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $