专题06 等差数列与等比数列（考点清单，16题型解读）-2023-2024学年高二数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019选择性必修第三册）

清单06 等差数列与等比数列 【考点题型一】数列的概念与分类 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+ 【例1】（23-24高二上·山西·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 【变式1-1】（23-24高二上·广东东莞·期中）下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为 C．数列0，0，0，1，…是常数列 D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列 【变式1-2】（22-23高二下·海南儋州·期中）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ） A．1，，，，… B．，，， C．，，，，… D．1，，，…， 【变式1-3】（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）（多选）下面四个结论正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列的图像是一系列孤立的点 C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数 【考点题型二】数列单调性的判断及应用 数列的单调性：判断数列的单调性的方法 1、作差比较法： ⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列． 2、作商比较法： ⅰ.当时， 则⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列； ⅱ.当时， 则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列；⇔数列是常数列． 3、结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 【例2】（23-24高二下·广东中山·月考）已知，下列数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·北京·期中）数列的通项公式为，则使得“数列是单调递增数列”成立的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·辽宁大连·期中）数列中前项和满足，若是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】求数列的最大（小）项 求数列最大(小)项的方法 （1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． （2）利用，求数列中的最大项； 利用，求数列中的最小项. 当解不唯一时，比较各解大小即可确定． 【例3】（22-23高二下·江西九江·月考）已知数列中，，它的最小项是（    ） A．第四项 B．第五项 C．第六项 D．第四项或第五项 【变式3-1】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，则数列的偶数项中最大项为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3-3】（22-23高二下·江西·期末）（多选）数列满是，则（    ） A．数列的最大项为 B．数列的最大项为 C．数列的最小项为 D．数列的最小项为 【考点题型四】数列的周期性 一般情况下，通过对已知递推关系进行变形，结合周期性的定义确定数列的周期。但对于某些计算复杂的问题，可直接根据递推关系写出数列的项，通过观察具体的项的规律确定周期性。 【例4】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在数列中，，，则数列的前2024项的积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二下·河南·期中）已知数列满足，且，若，则m的值可能为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【变式4-2】（23-24高二下·河南·开学考试）在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二下·重庆·月考）在数列中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】等差数列的基本量运算 ，，，，知三求二 （1）在等差数列中，，或，两个公式共涉及，，，及五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、末项和前项和；、 （2）依据方程的思想，在等差数列前项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”。 【例5】（23-24高二下·北京顺义·期中）已知在等差数列中，，，则公差等于（    ） A．8 B．6 C．4 D． 【变式5-1】（23-24高二下·湖南长沙·月考）记单调递增的等差数列的前项和为，若且，则（    ） A．70 B．65 C．55 D．50 【变式5-2】（23-24高二下·河南·月考）设为等差数列的前项和，已知，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式5-3】（2024·广东·二模）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．5 D．7 【考点题型六】等差数列的判断与证明 判断或证明一个数列是等差数列的方法 1、定义法：（常数）是等差数列； 2、中项法：是等差数列； 3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。 【例6】（23-24高二下·浙江·期中）对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-1】（23-24高二上·重庆·月考）（多选）对于数列，若，，（），则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是单调递增数列 C．数列是等差数列 D．数列是等差数列 【变式6-2】（23-24高二下·北京·期中）已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）证明：数列为等差数列． 【变式6-3】（23-24高二上·江苏常州·期末）设是正项数列的前项和，且，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式． 【考点题型七】等差数列的性质及应用 1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)， 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap. 【例7】（23-24高二下·江西·月考）已知为等差数列，若，则的公差为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高二下·辽宁大连·期中）在等差数列中，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-2】（23-24高二下·四川·期中）设是公差不为0的等差数列的前n项和，若，则k = ． 【变式7-3】（23-24高三下·山东菏泽·月考）已知为等差数列，，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】等差数列前项和的性质及应用 1、片段和性质：设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和， ，，…组成公差为的等差数列；Sk，S2k-Sk，S3k - S2k… 2、前n项和与n的比值： 数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为； 3、奇偶项和性质：若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d； ①当项数为偶数时，，，； ②当项数为奇数时，，，. 4、两等差数列前n项和比值：在等差数列，中，它们的前项和分别记为，则 【例8】（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．54 B．63 C．72 D．135 【变式8-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则 ． 【变式8-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，那么 ． 【变式8-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于 ． 【考点题型九】等差数列前n项和的最值问题 1、二次函数法：将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，但要注意 n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 【例9】（23-24高三下·甘肃民乐·月考）设等差数列的前n项和为，若，则当取得最小值时，n的值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【变式9-1】（22-23高二下·辽宁朝阳·月考）等差数列中，已知，前n项和为，且，则最小时n的值为（    ） A．11 B．11或12 C．12 D．12或13 【变式9-2】（23-24高二下·北京·期中）设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．4或5 【变式9-3】（23-24高二下·四川成都·月考）已知等差数列中，是它的前项和，若，则当最大时，的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．16 【考点题型十】含绝对值的等差数列求和 已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤 第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 第二步，求和： ①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)； ②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加． 【例10】（23-24高二下·山东潍坊·月考）已知在等差数列中，公差，其前项和为，，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【变式10-1】（23-24高二下·河南·期中）在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求的值． 【变式10-2】（23-24高二下·四川成都·月考）已知是等差数列的前n项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【变式10-3】（23-24高二下·河南南阳·开学考试）在等差数列中，，，其前项和为． （1）求出时的最大值； （2）求 【考点题型十一】等差数列的实际应用 等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用，将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程。需要注意一下两点： （1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型； （2）深入分析题意，确定是求通项公式，或是求前项和，还是求项数。 【例11】（23-24高二下·云南昆明·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二节气的日影长成等差数列，若前九个节气日影长之和为85.5尺，则雨水日影长为（    ） A．10.5尺 B．9.5尺 C．8.5尺 D．7.5尺 【变式11-1】（23-24高二下·北京房山·期中）世界上最古老的数学著作《莱因德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（    ） A．磅 B．磅 C．磅 D．磅 【变式11-2】（23-24高二上·山东临沂·期末）中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰:“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂,遂千百五二十岁”，即1遂为1520岁.某疗养中心恰有57人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为三遂，则最年轻者的年龄为（    ） A．52 B．54 C．58 D．60 【变式11-3】（2024·山西晋城·一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（    ） A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日 C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日 【考点题型十二】等比数列的基本量计算 1、等比数列涉及5个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这五个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解，求解时要注意。 2、使用等比数列求和公式时注意事项： （1）一定不要忽略的情况； （2）知道首项、公比和项数，可以用；知道首尾两项；、和，可以用； 【例12】（23-24高二下·广东惠州·月考）设是等比数列，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【变式12-1】（23-24高二下·辽宁大连·期中）设等比数列的前项和为，已知，，则（    ） A．9 B．12 C．27 D．48 【变式12-2】（23-24高二下·重庆·期中）已知公比为正数的等比数列前n项和为，且，，则（    ） A．或 B． C． D． 【变式12-3】（23-24高三下·湖南邵阳·模拟预测）记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（    ） A．6 B．3 C．1 D． 【考点题型十三】等比数列的判断与证明 等比数列的判定方法 1、定义法：（常数）为等比数列； 2、中项法：（）为等比数列； 3、通项公式法：（，为常数）为等比数列. 【例13】（2024·山东聊城·一模）已知数列满足，则“ ”是“ 是等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式13-1】（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）（多选）记为数列的前项和，下列说法正确的是（    ） A．若对，有，则数列是等差数列 B．若对，有，则数列是等比数列 C．已知，则是等差数列 D．已知，则是等比数列 【变式13-2】（23-24高二下·上海宝山·月考）已知数列满足：. （1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式. 【变式13-3】（23-24高二下·四川凉山·期中）设数列满足：，，且，对成立. （1）证明：是等比数列； （2）求和的通项公式. 【考点题型十四】等比数列的性质及应用 1、“子数列”性质 （1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为； 若取出所有的的倍数项，组成的数列仍未等比数列，首项为，公比为； （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列， 即，，，…仍是等比数列，公比为 2、“下标和”性质：在等比数列中，若，则； （1）特别地，时，； 当时， （2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积， 即 3、两等比数列合成数列的性质：若数列，是项数相同的等比数列，是不等于0的常数， 则数列、、也是等比数列； 【例14】（23-24高二下·四川达州·月考）等比数列中，则（   ） A． B．5 C．10 D．20 【变式14-1】（23-24高二下·安徽六安·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式14-2】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式14-3】（23-24高二下·湖北·月考）已知等差数列，等比数列，满足，，则（    ）． A． B． C．2 D．4 【考点题型十五】等比数列前n项和的性质及应用 1、运算性质： 2、奇偶项性质：等比数列中，若项数为，则；若项数为，则. 3、片段和性质：若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 【例15】（23-24高三下·江苏连云港·月考）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式15-1】（23-24高二上·宁夏银川·月考）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【变式15-2】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【变式15-3】（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）在等比数列中，公比，前87项和，则（    ） A． B．60 C．80 D．160 【考点题型十六】等比数列的实际应用 等比数列的实际应用问题需要注意两点： （1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型； （2）深入分析题意，确定是求通项公式，或是求前项和，还是求项数。 【例16】（23-24高二下·四川绵阳·期中）我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年（记为第1年）年底该地区有土地1万平方千米，其中是沙漠.从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设第年年底绿洲面积为万平方千米，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（    ） A．3盏 B．4盏 C．5盏 D．7盏 【变式16-2】（23-24高二上·湖北荆门·期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（    ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：） A．42 B．43 C．35 D．49 【变式16-3】（23-24高二上·上海杨浦·月考）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则（    ）天后两鼠相遇. A．1 B．2 C．3 D．4 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 等差数列与等比数列 【考点题型一】数列的概念与分类 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+ 【例1】（23-24高二上·山西·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 【答案】C 【解析】对于A，由数列的定义易知A错误； 对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误； 对于C，数列的第项为，故C正确； 对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误.故选：C. 【变式1-1】（23-24高二上·广东东莞·期中）下列叙述正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列0，1，2，3，…的一个通项公式为 C．数列0，0，0，1，…是常数列 D．数列2，4，6，8与数列8，6，4，2是相同的数列 【答案】A 【解析】对于A项，设， 则对恒成立， 所以，数列是递增数列.故A正确； 对于B项，当时，与第一项为0不符.故B项错误； 对于C项，数列中的项并不完全相同.故C项错误； 对于D项，根据数列的概念，数列与顺序有关. 所以，数列2，4，6，8与数列8，6，4，2不是相同的数列.故D项错误.故选：A. 【变式1-2】（22-23高二下·海南儋州·期中）下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是（ ） A．1，，，，… B．，，， C．，，，，… D．1，，，…， 【答案】C 【解析】A，B都是递减数列，D是有穷数列，只有C符合题意．故选：C． 【变式1-3】（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）（多选）下面四个结论正确的是（    ） A．数列的项数是无限的 B．数列的图像是一系列孤立的点 C．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 D．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数 【答案】BD 【解析】A选项，有限数列的项数是有限的，故A错误； B选项，因数列的项数均为正整数，则若将项数作为横坐标， 项作为纵坐标画在平面直角坐标系中，则相应图象为一系列孤立的点，故B正确. C选项，相同数列是指，两个数列，相同的项数对应相同的项， 则数列1，2，3，4和数列1，3，4，2不是相同的数列，故C错误； D选项，因数列的项数均为正整数，项数与项一一对应，且分为有限数列与无限数列， 则数列可看作定义在正整数集（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）上的函数，故D正确. 故选：BD 【考点题型二】数列单调性的判断及应用 数列的单调性：判断数列的单调性的方法 1、作差比较法： ⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列． 2、作商比较法： ⅰ.当时， 则⇔数列是递增数列；⇔数列是递减数列；⇔数列是常数列； ⅱ.当时， 则⇔数列是递减数列；⇔数列是递增数列；⇔数列是常数列． 3、结合相应函数的图象直观判断：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 【例2】（23-24高二下·广东中山·月考）已知，下列数列是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，故为递减数列，故A错误. 对于B，，故为递减数列，故A错误. 对于C，，故为递增数列，故C正确. 对于D，，故为递减数列，故D错误.故选：C. 【变式2-1】（23-24高二下·北京·期中）数列的通项公式为，则使得“数列是单调递增数列”成立的充分不必要条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为数列是单调递增数列， 所以，即，化简得，所以， 令， 则在上递增，所以，所以, 所以使“数列是单调递增数列”的充要条件是， 所以充分不必要条件是可以是.故选：A. 【变式2-2】（23-24高二下·辽宁大连·期中）数列中前项和满足，若是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 则， 两式相减得， 因为数列是递增数列， 所以当时，，解得. 当时，， 所以，解得. 综上.故选：B. 【变式2-3】（23-24高二下·四川凉山·期中）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数，，且是递增数列， 则，解得．故选：C 【考点题型三】求数列的最大（小）项 求数列最大(小)项的方法 （1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． （2）利用，求数列中的最大项； 利用，求数列中的最小项. 当解不唯一时，比较各解大小即可确定． 【例3】（22-23高二下·江西九江·月考）已知数列中，，它的最小项是（    ） A．第四项 B．第五项 C．第六项 D．第四项或第五项 【答案】D 【解析】因为， 所以设，其对称轴为，且开口向上， 又因为，所以的最小项为第四项或第五项.故选：D. 【变式3-1】（23-24高二下·吉林长春·期中）已知，则数列的偶数项中最大项为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】数列中，，则， 令，解得，则当时，，即， 同理当时，，即，而当时，， 所以数列的偶数项中最大项为.故选：D 【变式3-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知，则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】， 当，时，，，且随着的变大，变大， 当，时，，，且随着的变大，变大， 故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是，.故选：C 【变式3-3】（22-23高二下·江西·期末）（多选）数列满是，则（    ） A．数列的最大项为 B．数列的最大项为 C．数列的最小项为 D．数列的最小项为 【答案】BD 【解析】因为， 所以， 由，得到，且易知，时，，当时，， 所以 所以数列的最大项为，最小项为，故选：BD. 【考点题型四】数列的周期性 一般情况下，通过对已知递推关系进行变形，结合周期性的定义确定数列的周期。但对于某些计算复杂的问题，可直接根据递推关系写出数列的项，通过观察具体的项的规律确定周期性。 【例4】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在数列中，，，则数列的前2024项的积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， ，，，， 所以数列的周期为，且， 设数列的前项的积为，.故选：C 【变式4-1】（23-24高二下·河南·期中）已知数列满足，且，若，则m的值可能为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】D 【解析】数列的递推公式为，由， 则有，，，， ，则是以4为周期的周期数列， ，有，，故m的值可能为2024，故选：D． 【变式4-2】（23-24高二下·河南·开学考试）在数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以是周期为2的数列，则.故选：D. 【变式4-3】（23-24高二下·重庆·月考）在数列中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知：， ，，，即数列是以为周期的周期数列； ， . 故选：A. 【考点题型五】等差数列的基本量运算 ，，，，知三求二 （1）在等差数列中，，或，两个公式共涉及，，，及五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、末项和前项和；、 （2）依据方程的思想，在等差数列前项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”。 【例5】（23-24高二下·北京顺义·期中）已知在等差数列中，，，则公差等于（    ） A．8 B．6 C．4 D． 【答案】A 【解析】是等差数列， ，即，．故选：A． 【变式5-1】（23-24高二下·湖南长沙·月考）记单调递增的等差数列的前项和为，若且，则（    ） A．70 B．65 C．55 D．50 【答案】B 【解析】由等差数列，设，为公差， 由于，则，化简得， 由于数列单调递增，因此，解出， 因此，则.故选：B. 【变式5-2】（23-24高二下·河南·月考）设为等差数列的前项和，已知，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【解析】设等差数列的首项为，公差为， 则，解得， 所以，故选：B. 【变式5-3】（2024·广东·二模）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为， 因为， 所以， 即，解得， 所以.故选：A. 【考点题型六】等差数列的判断与证明 判断或证明一个数列是等差数列的方法 1、定义法：（常数）是等差数列； 2、中项法：是等差数列； 3、通项公式法：（，为常数）是等差数列。 【例6】（23-24高二下·浙江·期中）对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】充分性：若是等差数列， 则． 必要性：若，则， 两式相减得， 即，所以是等差数列． 所以甲是乙的充要条件.故选：C． 【变式6-1】（23-24高二上·重庆·月考）（多选）对于数列，若，，（），则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是单调递增数列 C．数列是等差数列 D．数列是等差数列 【答案】ACD 【解析】对A，由题意，，故，故A正确； 对B，因为，，，故B错误； 对C，，故数列是等差数列，故C正确； 对D，，故数列是等差数列，故D正确. 故选：ACD 【变式6-2】（23-24高二下·北京·期中）已知数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）证明：数列为等差数列． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）因为， 若，可得； 若，可得， 由于不符合， 所以； （2）因为，则，由（1）可知：， 则， 可知数列是以首项为，公差为的等差数列． 【变式6-3】（23-24高二上·江苏常州·期末）设是正项数列的前项和，且，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）因为，， 所以，，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列． （2），且，所以． 当时，，． 时，不满足上式， 所以． 【考点题型七】等差数列的性质及应用 1、在等差数列{an}中，当m≠n时，d＝为公差公式，利用这个公式很容易求出公差， 还可变形为am＝an＋(m－n)d. 2、等差数列{an}中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列． 3、等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)， 特别地，若m＋n＝2p，则an＋am＝2ap. 【例7】（23-24高二下·江西·月考）已知为等差数列，若，则的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设的公差为，因为， 所以，．故选：D． 【变式7-1】（23-24高二下·辽宁大连·期中）在等差数列中，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】等差数列中，有， ，得，则.故选：D. 【变式7-2】（23-24高二下·四川·期中）设是公差不为0的等差数列的前n项和，若，则k = ． 【答案】18 【解析】由，所以， ，即，即， 由等差数列下标和性质可得. 【变式7-3】（23-24高三下·山东菏泽·月考）已知为等差数列，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 因为， 可得，解得， 又由，可得，解得， 所以.故选：C. 【考点题型八】等差数列前项和的性质及应用 1、片段和性质：设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和， ，，…组成公差为的等差数列；Sk，S2k-Sk，S3k - S2k… 2、前n项和与n的比值： 数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为； 3、奇偶项和性质：若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d； ①当项数为偶数时，，，； ②当项数为奇数时，，，. 4、两等差数列前n项和比值：在等差数列，中，它们的前项和分别记为，则 【例8】（23-24高二下·山东潍坊·期中）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．54 B．63 C．72 D．135 【答案】B 【解析】因为是等差数列，所以，，为等差数列， 即成等差数列， 所以，解得.故选：B 【变式8-1】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列为等差数列，其前项和为，且，，则 ． 【答案】135 【解析】设等差数列的公差为， 因为数列为等差数列，所以，即， 则. 【变式8-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，那么 ． 【答案】/0.75 【解析】数列，均为等差数列，且其前项和分别为，， ． 【变式8-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于 ． 【答案】 【解析】因为等差数列共有项， 所有奇数项之和为， 所有偶数项之和为， 所以，，解得. 【考点题型九】等差数列前n项和的最值问题 1、二次函数法：将Sn＝na1＋d＝n2＋n配方，转化为求二次函数的最值问题，但要注意 n∈N*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观． 2、邻项变号法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 【例9】（23-24高三下·甘肃民乐·月考）设等差数列的前n项和为，若，则当取得最小值时，n的值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【解析】∵，∴，即． ∵，∴，∴， ∴当时取得最小值时，n的值为8．故选:D． 【变式9-1】（22-23高二下·辽宁朝阳·月考）等差数列中，已知，前n项和为，且，则最小时n的值为（    ） A．11 B．11或12 C．12 D．12或13 【答案】C 【解析】根据题意由可得， 整理可得. 所以， 由，可得； 由二次函数性质可知，当时，取最小时.故选：C 【变式9-2】（23-24高二下·北京·期中）设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．4或5 【答案】D 【解析】设公差为，由，， 所以，解得，所以， 令，解得，则数列单调递增，且， 所以当或时取得最小值.故选：D 【变式9-3】（23-24高二下·四川成都·月考）已知等差数列中，是它的前项和，若，则当最大时，的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．16 【答案】A 【解析】∵等差数列中，, ∴ 故，继而, 根据等差数列的性质可知前8项均为正数项， ∴数列的前8项和最大；故选：A． 【考点题型十】含绝对值的等差数列求和 已知{an}为等差数列，求数列{|an|}的前n项和的步骤 第一步，解不等式an≥0(或an≤0)寻找{an}的正负项分界点． 第二步，求和： ①若an各项均为正数(或均为负数)，则{|an|}各项的和等于{an}的各项的和(或其相反数)； ②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，这时数列{an}只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加． 【例10】（23-24高二下·山东潍坊·月考）已知在等差数列中，公差，其前项和为，，且． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为在等差数列中，公差，其前项和为， ，且，则，① 由可得，可得，② 联立①②可得，， 所以，. （2）因为， 当时，且； 当时，. 综上所述，. 【变式10-1】（23-24高二下·河南·期中）在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求的值． 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）设其公差为d， 由题意可得．解得，， ∴，． （2）设数列的前n项和为， 则由（1）可得，，， 由（1）知，令，得，当时，， 当时，可得， 当时，可得， 因为，所以， 所以． 【变式10-2】（23-24高二下·四川成都·月考）已知是等差数列的前n项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设等差数列的公差为，则：. 所以. （2）由（1）得： 由. 所以当时，. 当时，. 所以. 【变式10-3】（23-24高二下·河南南阳·开学考试）在等差数列中，，，其前项和为． （1）求出时的最大值； （2）求 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为， ∵，∴， ∴，∴，解得， ∴， 令，∴， 因为∴的最大值为． （2）∵，， ∴， 由，得， ∵，， ∴数列中，前项小于，第项等于，以后各项均为正数， 当时，， 当时，， 综上，． 【考点题型十一】等差数列的实际应用 等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用，将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程。需要注意一下两点： （1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型； （2）深入分析题意，确定是求通项公式，或是求前项和，还是求项数。 【例11】（23-24高二下·云南昆明·期中）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二节气的日影长成等差数列，若前九个节气日影长之和为85.5尺，则雨水日影长为（    ） A．10.5尺 B．9.5尺 C．8.5尺 D．7.5尺 【答案】B 【解析】这十二个节气的日影长成等差数列，前九个节气日影长之和为85.5尺， 则，，即雨水日影长为9.5尺.故选：B． 【变式11-1】（23-24高二下·北京房山·期中）世界上最古老的数学著作《莱因德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（    ） A．磅 B．磅 C．磅 D．磅 【答案】D 【解析】设五个人从小到大所得面包为、、、、，设其公差为， 则由题意可得，即， 整理可得，又，即， 即有，即，即最小的1份为磅.故选：D. 【变式11-2】（23-24高二上·山东临沂·期末）中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰:“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂,遂千百五二十岁”，即1遂为1520岁.某疗养中心恰有57人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为三遂，则最年轻者的年龄为（    ） A．52 B．54 C．58 D．60 【答案】A 【解析】将他们的年龄从小到大依次排列为， 所以，，解得.故选：A. 【变式11-3】（2024·山西晋城·一模）生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡须从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，从3月1日开始，到3月20日他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天是（    ） A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日 C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日 【答案】D 【解析】若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列， 且首项为1，公差为2，第天所得积分为． 假设他连续打卡天，第天中断了， 则他所得积分之和为 ，化简得，解得或12， 所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．故选：D 【考点题型十二】等比数列的基本量计算 1、等比数列涉及5个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这五个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解，求解时要注意。 2、使用等比数列求和公式时注意事项： （1）一定不要忽略的情况； （2）知道首项、公比和项数，可以用；知道首尾两项；、和，可以用； 【例12】（23-24高二下·广东惠州·月考）设是等比数列，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】设的公比为，由，得，所以， 从而．故选：B． 【变式12-1】（23-24高二下·辽宁大连·期中）设等比数列的前项和为，已知，，则（    ） A．9 B．12 C．27 D．48 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为，由，则， 所以，解得， 则有.故选：C. 【变式12-2】（23-24高二下·重庆·期中）已知公比为正数的等比数列前n项和为，且，，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为， 因为，，且， 所以，解得，所以.故选：C. 【变式12-3】（23-24高三下·湖南邵阳·模拟预测）记为公比小于1的等比数列的前项和，，，则（    ） A．6 B．3 C．1 D． 【答案】B 【解析】依题意，成等比数列，首项为2，设其公比为， 则， 由，得，整理得， 由等比数列的公比小于1， 得，解得，所以.故选：B 【考点题型十三】等比数列的判断与证明 等比数列的判定方法 1、定义法：（常数）为等比数列； 2、中项法：（）为等比数列； 3、通项公式法：（，为常数）为等比数列. 【例13】（2024·山东聊城·一模）已知数列满足，则“ ”是“ 是等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，因为，所以， 又，则，则， 依次类推可知，故， 则是首项为，公比为的等比数列，即充分性成立； 当是等比数列时，因为，所以， 当时，，则是公比为的等比数列， 所以，即， 则，，， 由，得，解得，不满足题意； 当，即时，易知满足题意； 所以，即必要性成立.故选：C. 【变式13-1】（22-23高二上·重庆沙坪坝·期末）（多选）记为数列的前项和，下列说法正确的是（    ） A．若对，有，则数列是等差数列 B．若对，有，则数列是等比数列 C．已知，则是等差数列 D．已知，则是等比数列 【答案】AC 【解析】对A，由等差中项的性质，可知数列是等差数列，故A正确； 对B，若，满足，，但不为等比数列，故B错误； 对C，当时，，当时，，时符合该式， 易知是以为首项，为公差的等差数列，故C正确； 对D，当时，， 时，， 时符合该式， 当时，易知是以为首项，为公比的等比数列， 当时，则是等于零的常数列，故D错误.故选：AC. 【变式13-2】（23-24高二下·上海宝山·月考）已知数列满足：. （1）求证：是等比数列； （2）求数列的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明：由得，易知，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得， 所以. 【变式13-3】（23-24高二下·四川凉山·期中）设数列满足：，，且，对成立. （1）证明：是等比数列； （2）求和的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2）， 【解析】（1）移项得到，， 相加得，所以， 因为，所以是首项为5，公比为的等比数列； （2），，所以对成立， 解得，对成立， 故和. 【考点题型十四】等比数列的性质及应用 1、“子数列”性质 （1）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为； 若取出所有的的倍数项，组成的数列仍未等比数列，首项为，公比为； （2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列， 即，，，…仍是等比数列，公比为 2、“下标和”性质：在等比数列中，若，则； （1）特别地，时，； 当时， （2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积， 即 3、两等比数列合成数列的性质：若数列，是项数相同的等比数列，是不等于0的常数， 则数列、、也是等比数列； 【例14】（23-24高二下·四川达州·月考）等比数列中，则（   ） A． B．5 C．10 D．20 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为， 则，所以， 故.故选：C. 【变式14-1】（23-24高二下·安徽六安·期中）已知等比数列的各项均为正数，公比，且满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【解析】因为是各项均为正数的等比数列， 所以，解得，所以，故选：C 【变式14-2】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为与的等比中项为， 所以，所以.故选：B 【变式14-3】（23-24高二下·湖北·月考）已知等差数列，等比数列，满足，，则（    ）． A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】数列是等差数列，，可得，即， 数列是等比数列，，可得，可得， 则．故选：B． 【考点题型十五】等比数列前n项和的性质及应用 1、运算性质： 2、奇偶项性质：等比数列中，若项数为，则；若项数为，则. 3、片段和性质：若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． 【例15】（23-24高三下·江苏连云港·月考）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，， 因为成等比数列，故， 即，解得，则， 所以,. 故.故选：D 【变式15-1】（23-24高二上·宁夏银川·月考）已知一个等比数列的项数是是偶数，其奇数项之和1011，偶数项之和为2022，则这个数列的公比为（      ）. A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【解析】设该等比数列为,其项数为项，公比为, 由题意易知，设奇数项之和为,偶数项之和为， 易知奇数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 偶数项组成的数列是首项为，公比为的等比数列， 则，， 所以,即. 所以这个数列的公比为2.故选:D. 【变式15-2】（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【解析】法一：因为等比数列的公比为， 则，， 所以，解得. 法二：根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为， 所以，即，解得..故选：C 【变式15-3】（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）在等比数列中，公比，前87项和，则（    ） A． B．60 C．80 D．160 【答案】C 【解析】在等比数列中，由公比， 可得构成公比为的等比数列， 设，则， 因为数列的前87项和， 所以，解得，所以.故选：C. 【考点题型十六】等比数列的实际应用 等比数列的实际应用问题需要注意两点： （1）抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型； （2）深入分析题意，确定是求通项公式，或是求前项和，还是求项数。 【例16】（23-24高二下·四川绵阳·期中）我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年（记为第1年）年底该地区有土地1万平方千米，其中是沙漠.从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造成绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠.设第年年底绿洲面积为万平方千米，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，， ， 可变形为，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，故.故选：A 【变式16-1】（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（    ） A．3盏 B．4盏 C．5盏 D．7盏 【答案】A 【解析】设各层塔的灯盏数为， 数列是公比为的等比数列， 由题意可得，解得，故选：A. 【变式16-2】（23-24高二上·湖北荆门·期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（    ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：） A．42 B．43 C．35 D．49 【答案】A 【解析】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列， 由，可得，两边取对数得， 所以，所以，故需要的天数约为.故选：A 【变式16-3】（23-24高二上·上海杨浦·月考）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”描述的问题是：有五尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大､小鼠第一天都进一尺，以后每天，大鼠加倍，小鼠减半，则（    ）天后两鼠相遇. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设天后能打穿，则，化简为， 令，则， 又由函数的单调性可知在内有唯一零点， 所以至少需要天.故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$