精品解析：2024年河南省周口市西华县中考三模数学试题

2024年普通高中招生第三次模拟考试试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30．分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此可解． 【详解】解：的相反数是2， 因此． 故选C． 【点睛】本题考查求一个数的绝对值，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数． 2. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A．是轴对称图形，故本选项错误； B．是轴对称图形，故本选项错误； C．是轴对称图形，故本选项错误； D．不是轴对称图形，故本选项正确． 故选D． 3. 下列几何体都是由个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别画出四个选项中简单组合体的三视图即可． 【详解】、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意； 、左视图为，主视图为，左视图与主视图相同，故此选项符合题意； 、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意； 、左视图为，主视图为，左视图与主视图不同，故此选项不合题意； 故选B． 【点睛】此题主要考查了简单组合体的三视图，关键是掌握左视图和主视图的画法． 4. 信息技术的存储设备常用等作为存储量的单位．例如，我们常说某手机的容量是128，某个文件的大小是120等，其中，，，对于一个存储量为32的优盘，其容量有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法的应用，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解题关键．根据“同底数幂的乘法：底数不变，指数相加”，结合题意进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴一个存储量为32的优盘，其容量有． 故选：A． 5. 如图，菱形的边长为，对角线，交于点，过点作于点，连接，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质得出，，，由勾股定理得，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是菱形，=， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴ 故选：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质勾股定理及求算术平方根；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 6. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设共有x人，根据物价不变列方程；设物价是钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案 【详解】解：设共有x人，则有8x-3=7x+4 设物价是钱，则根据可得： 故选D． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别解出两个不等式，然后找出解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得， x≥−2， 由②得， x＜2， 故原不等式组的解集为：−2≤x＜2． 在数轴上表示为： 故答案为：D． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法及在数轴上表示解集，在数轴上表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 8. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键． 9. 如图，在中，，边在x轴上，A，B两点的坐标分别为，，矩形的顶点F与点O重合，顶点D在边上，且纵坐标为1．将矩形沿x轴向左平移，当点D落在边上时，点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，平移的性质，相似三角形的性质和判定，利用相似三角形求出线段是解题的关键．延长交于点，利用矩形的性质证明，利用相似的性质得到，再利用平移的性质即可得到点E的坐标． 【详解】解：延长交于点， ，边在x轴上，A，B两点的坐标分别为，， ，，， 矩形的顶点F与点O重合，顶点D在边上，且纵坐标为1． ，， ， ， 即， ， 矩形沿x轴向左平移，点D落在边上， 点E的坐标为． 故选：． 10. 如图，边长为2的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了复杂图形面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．延长，交于点，，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如下图，延长，交于点，， ∵边长为2的正方形的中心与半径为2的的圆心重合， ∴图中阴影部分的面积 ． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个大于1小于4的无理数___________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据实数的大小关系，结合数轴和无理数的定义可分析出答案.只要是被开方数大于1而小于16，且不是完全平方数的都可． 【详解】根据题意可知：大于1小于4的无理数有如等， 故答案是：（答案不唯一） 12. 方程组的解为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得：， 把代入②得：，解得：， ∴方程组的解为． 故答案为：． 13. 化简：____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先通分，再进行分式加减运算，然后约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，且点D在上，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC，确定弧所对的圆心O，可知AC为直径，连接OB、OD，利用勾股定理求得，，则，根据圆周角定理可得，从而求得，即可求解． 【详解】解：连接AC，确定弧所对的圆心O，连接OB、OD，如下图： 由勾股定理可得：，， ∴ ∴为直角三角形， ∴AC为直径，，， ∴ ∵ ∴， ∴， 所以的长为 故答案为： 【点睛】此题考查了弧长的计算，涉及了勾股定理，圆周角定理等性质，解题的关键是确定圆心的位置，正确求得半径以及圆心角，熟记弧长公式． 15. 矩形中，，点E是边上一点，且点E不与A，D重合，沿折叠使点A的对应点恰好落在矩形的对角线上，则的长为____________． 【答案】3或 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是综合运用矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识． 由勾股定理求得，当点在上时，设，由翻折的性质得：，则由勾股定理求得；当点在上时，由，求得，由三角形相似的判定定理证得，根据相似三角形的性质求得． 【详解】解：∵矩形， ， 当在上时，如图1所示： 设， 由翻折的性质得：， ∴， ∴， 在中，， 解得：， ， 当点在上时，如图2所示： 由翻折的性质得：垂直平分， ， ， ， ， ， ， ，即， ∴， ∴． ∴的长为3或． 故答案为：3或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，立方根，负整数指数幂，整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，立方根，负整数指数幂分别计算即可； （2）根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式分别计算后，合并同类项即可． 【详解】（1） ． （2） ． 17. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程综合，涉及根的判别式、十字相乘法解一元二次方程及解一元一次不等式等知识，熟记根的判别式与一元二次方程根的关系及解一元二次方程的方法是解决问题的关键． （1）本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，求出，即可得证； （2）利用十字相乘法因式分解求出关于的一元二次方程的解，由题意列不等式求解即可得到答案． 【小问1详解】 证明：关于的一元二次方程中，， ， 关于的一元二次方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：关于的一元二次方程可分解为， 解得， 方程有一根小于， ， 解得． 18. 为了调动员工的积极性，某商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．商场家电部经理为了解员工的销售情况，对当月20名员工的销售额进行了统计和分析． 【数据收集】20名员工当月销售额（单位：万元） 5.0，9.9，6.0，5.2，8.2，6.2，7.6，9.4，8.2，7.8，5.1，7.5，6.1，6.3，6.7，7.9，8.2，8.5，9.2，9.8 【数据整理】 销售额/万元 频数 3 5 4 4 【数据分析】 平均数 众数 中位数 7.44 请根据以上信息，回答下列问题 （1）填空： ， ， ． （2）经理对数据分析后，最终对一半的员工进行奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请给出合理解释． 【答案】（1）4，8.2，7.7 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了众数、中位数以及利用调查统计的应用，熟练掌握众数和中位数的定义和作用是解题关键． （1）结合题意计算的值；根据中位数和众数的定义计算和的值即可； （2）利用中位数进行决策． 【小问1详解】 解：根据题意，， 这组数据中，出现次数最多的是8.2，共计出现3次， ∴这组数据的众数， 将这组数据按照从小到大的顺序排列，为5.0，5.1，5.2，6.0，6.1，6.2，6.3，6.7，7.5，7.6，7.8，7.9，8.2，8.2，8.2，8.5，9.2，9.4，9.8，9.9， 排在第10位和第11位的分别为7.6和7.8， ∴这组数据的中位数． 故答案为：4，8.2，7.7； 【小问2详解】 由（1）可知，20名员工的销售额的中位数为7.7万元，即20名员工中有一半员工的销售额超过7.7万元，家电部对一半的员工进行了奖励，说明销售额在7.7万元及以上的员工才能获得奖励，而员工甲的销售额是7.5万元，低于7.7万元，所以员工甲不能拿到奖励． 19. 位于周口市商水县郝岗乡常社村的寿圣寺塔（亦称常社塔），始建于北宋明道二年（公元年），六角九级楼阁式砖塔，俊秀挺拔，与中州名镇逍遥镇隔河相望，为周口市最早的地上高层建筑．某数学小组测量寿圣寺塔的高度，如图，在处用测角仪测得塔顶的仰角为，沿方向前进到达处，又测得塔顶的仰角为．已知测角仪的高度为，测量点，与塔的底部在同一水平线上，求寿圣寺塔的高度（结果精确到．参考数据：）． 【答案】寿圣寺塔的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．延长交于点，由题意知，．设，在中，得．在中，．进而得．解得≈．从而即可得解． 【详解】解：延长交于点，由题意知，． 设， 在中，， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， 即． 解得． ∴． 答：寿圣寺塔的高度约为． 20. 某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． （1）分别写出，关于的函数解析式． （2）当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用，是否有更省钱的购买方案？若有，请设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 【答案】（1） （2）①该厨具店选择方案二更省钱；②有更省钱的购买方案，购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶，方案所需费用为元 【解析】 【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答； ②先按方案一购买 80 个电饭煲，再按方案二购买 120 个电热水壶最省钱，计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得： ， ； 【小问2详解】 解：①当时，，． ， 该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 购买80个电饭煲，按方案一获赠80个电热水壶，再按方案二购买剩余的120个电热水壶． 该方案所需费用为（元）． 21. 司南是最早的磁性指向器，我国著名专家王振铎曾成功复原了汉代的司南如图①所示．小红受此启发，设计了如图②所示的简易司南装置．她首先取来一个正方形纸板，取对角线的中点O，再连接，取的中点E，然后以点O为圆心，长为半径作．再用一根铁丝将纸板竖直悬挂在水平支架上的点P处（），此时，长度固定不变，然后在P，E两点之间挂上一条橡皮筋．当纸板绕点O转动时，的长也随之变化．如图③，当与相切时，回答下列问题： （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求点P和点D之间的距离． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，正方形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据切线性质及正方形的性质可知，，进而可得结论； （2）根据正方形的性质及垂直定义可知，进而可知，即可求得，，，如图，连接，，由正方形的性质可知，E，O，D三点共线，得，在中，，，由勾股定理得即可求解． 【小问1详解】 解：，理由： ∵与相切， ∴， ∴， ∵四边形为正方形，是的中点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，（不合题意，舍去）， ∴，． ∵点E是OB的中点， ∴， 如图，连接，， 由正方形的性质可知，E，O，D三点共线， ∴， 在中，，， 由勾股定理得． 22. 如图，抛物线与坐标轴交于点O，B两点，直线与抛物线交于点A，B两点，已知点B的坐标为． （1）求b和k的值； （2）求出点A的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点M是直线上的一个动点，将点M向上平移2个单位长度得到点N，若线段与抛物线有公共点，请直接写出点M的横坐标m的取值范围． 【答案】（1）， （2）， （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出b和k的值即可； （2）联立两个函数解析式求出点A的坐标，图象法求出不等式的解集即可； （3）根据抛物线与线段有交点，得到点在线段上，求出的值，进而求出m的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把分别代入和，得： ， ∴； 【小问2详解】 由（1）知，两个函数的解析式分别为：， 联立， 解得：或， ∴； 由图象，可知：不等式的解集为； 【小问3详解】 ∵抛物线与线段有交点， ∴点在线段上， ∴， 当时， 解得：， ∴当时，或． 23. 张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答． （1）【观察发现】 ①如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则线段与的数量关系是 ； ②如图2，的角平分线相交于点P，当时，线段与的数量关系是 ； （2）【探究迁移】 如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，若，，当有一个内角是时，请直接写出边的长． 【答案】（1）①；②； （2）， 理由： 在上取点E，使，连接， 则， ∵， ∴， ∵的平分线与的平分线恰好交于边上的点P， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）4或 【解析】 【分析】（1）①运用角平分线定义证明，即得；②在上取点D，使，连接，，根据三角形角平分线相交于一点，得到，证明，得到，，根据，证明，得到，根据四边形内角和性质得到，得到，结合得到，得到 ，即得； （2）在上取点E，使，连接，得到，结合的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，证明， ，即得； （3）设，则，当时，得到，，过点E作于点G，得到是等腰直角三角形，，根据，， 证明，得到，，根据， ，得到，，根据，，得到，，求出的值即可；当时，过点P作于点H，得到是等腰直角三角形，，根据，得到，结合，得到，，得到，得到，求解即可；当时，，根据，得到，，得到不成立． 【小问1详解】 解：①∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； ②在上取点D，使，连接，， ∵的角平分线、相交于点P． ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，则， 当时，， ∴， ∴， ∴， 过点E作于点G， 则， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即： ∴，， ∴， ∴， ∴，即：； 当时，， 过点P作于点H， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴不成立． 综上，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年普通高中招生第三次模拟考试试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30．分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 2. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列几何体都是由个大小相同的小正方体组成的，其中主视图与左视图相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 4. 信息技术的存储设备常用等作为存储量的单位．例如，我们常说某手机的容量是128，某个文件的大小是120等，其中，，，对于一个存储量为32的优盘，其容量有（ ） A. B. C. D. 5. 如图，菱形的边长为，对角线，交于点，过点作于点，连接，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，边在x轴上，A，B两点的坐标分别为，，矩形的顶点F与点O重合，顶点D在边上，且纵坐标为1．将矩形沿x轴向左平移，当点D落在边上时，点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，边长为2的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个大于1小于4的无理数___________. 12. 方程组的解为____________． 13. 化简：____________． 14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上，且点D在上，，则的长为_________． 15. 矩形中，，点E是边上一点，且点E不与A，D重合，沿折叠使点A的对应点恰好落在矩形的对角线上，则的长为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于，求的取值范围． 18. 为了调动员工的积极性，某商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．商场家电部经理为了解员工的销售情况，对当月20名员工的销售额进行了统计和分析． 【数据收集】20名员工当月销售额（单位：万元） 5.0，9.9，6.0，5.2，8.2，6.2，7.6，9.4，8.2，7.8，5.1，7.5，6.1，6.3，6.7，7.9，8.2，8.5，9.2，9.8 【数据整理】 销售额/万元 频数 3 5 4 4 【数据分析】 平均数 众数 中位数 7.44 请根据以上信息，回答下列问题 （1）填空： ， ， ． （2）经理对数据分析后，最终对一半的员工进行奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请给出合理解释． 19. 位于周口市商水县郝岗乡常社村的寿圣寺塔（亦称常社塔），始建于北宋明道二年（公元年），六角九级楼阁式砖塔，俊秀挺拔，与中州名镇逍遥镇隔河相望，为周口市最早的地上高层建筑．某数学小组测量寿圣寺塔的高度，如图，在处用测角仪测得塔顶的仰角为，沿方向前进到达处，又测得塔顶的仰角为．已知测角仪的高度为，测量点，与塔的底部在同一水平线上，求寿圣寺塔的高度（结果精确到．参考数据：）． 20. 某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案：方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．某厨具店计划购进80个电饭煲和个电热水壶（）．设选择方案一需付款元，选择方案二需付款元． （1）分别写出，关于的函数解析式． （2）当时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用，是否有更省钱的购买方案？若有，请设计出更省钱的购买方案，并计算出该方案所需费用． 21. 司南是最早的磁性指向器，我国著名专家王振铎曾成功复原了汉代的司南如图①所示．小红受此启发，设计了如图②所示的简易司南装置．她首先取来一个正方形纸板，取对角线的中点O，再连接，取的中点E，然后以点O为圆心，长为半径作．再用一根铁丝将纸板竖直悬挂在水平支架上的点P处（），此时，长度固定不变，然后在P，E两点之间挂上一条橡皮筋．当纸板绕点O转动时，的长也随之变化．如图③，当与相切时，回答下列问题： （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求点P和点D之间的距离． 22. 如图，抛物线与坐标轴交于点O，B两点，直线与抛物线交于点A，B两点，已知点B的坐标为． （1）求b和k的值； （2）求出点A的坐标，并结合图象写出不等式的解集； （3）点M是直线上的一个动点，将点M向上平移2个单位长度得到点N，若线段与抛物线有公共点，请直接写出点M的横坐标m的取值范围． 23. 张老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是张老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答． （1）【观察发现】 ①如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则线段与的数量关系是 ； ②如图2，的角平分线相交于点P，当时，线段与的数量关系是 ； （2）【探究迁移】 如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】 在（2）的条件下，若，，当有一个内角是时，请直接写出边的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $