精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2024届高三下学期高考考前热身卷（一）数学试题

牡丹江市第二高级中学高三年级高考考前热身卷（一） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数与复数都是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知且，若函数为偶函数，则实数（ ） A. 3 B. 9 C. D. 6. 安排包括甲、乙在内的4名大学生去3所不同的学校支教，每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有（ ） A. 36种 B. 30种 C. 24种 D. 12种 7. 的展开式中的系数为（ ） A. 55 B. C. 30 D. 8. 双曲线C：的右焦点为F，双曲线C上有两点A，B关于直线l：对称，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则， 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 是图象的一个对称中心 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的最小值为 11. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，AC⊥BC，且．下列说法正确的是（ ） A. 四棱锥为“阳马” B. 四面体的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为 C. 四棱锥体积最大值为 D. 四面体为“鳖臑” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，，则外接圆半径为______. 13. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为______． 14. 已知函数，则_____；若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）求的单调区间和极值. 16. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 某兴趣小组，对高三刚结束的测试的物理成绩进行随机调查，在所有选择物理科的考生中随机抽取100名各类考生的物理成绩，整理数据如下表（单位：人） A班男生 2 8 15 8 B班男生 3 10 20 4 A班女生 3 4 2 1 B班女生 10 6 4 0 （1）估计该校高三学习物理男生人数与女人数的比值； （2）求A班物理平均成绩的估计值（同一组中的数据用该组区间中点值为代表，结果四舍五入到整数）； （3）把成绩在称为及格，成绩在为不及格，根据所有数据完成下面列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析该校考生的物理成绩与性别是否有关？ 性别 成绩 合计 及格 不及格 男生 女生 合计 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 18. 如图，在直三棱柱中，，点是棱上的一点，且，点是棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点. （1）求双曲线的方程； （2）证明：为直角三角形； （3）若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江市第二高级中学高三年级高考考前热身卷（一） 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式求解集、根式的性质求定义域确定集合，由交集运算求结果. 【详解】由题设，集合，集合， 所以. 故选：B 2. 已知复数与复数都是纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设（且），根据是纯虚数，列出方程，即可求解. 【详解】因为是纯虚数，故设（且）， 又因为是纯虚数，所以且， 解得，所以. 故选：D． 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可得出开口方向和，进而求出焦点坐标． 【详解】解：整理抛物线方程得 焦点在轴， 焦点坐标为 故选：A 4. 两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量夹角公式，以及向量夹角坐标公式，或者根据向量运算法则求解画图即可. 【详解】法一：， 设与的夹角为，则， 又，； 法二：根据，，取， 设， 与的夹角为， 从而， 又，； 法三：利用运算法则，设，，，则，如图 ， 则设向量与夹角为，则， ，，， 又，. 故选：A 5. 已知且，若函数为偶函数，则实数（ ） A. 3 B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用偶函数的定义求解. 【详解】已知且，若函数为偶函数，则有， 即，化简得，所以. 故选：B 6. 安排包括甲、乙在内的4名大学生去3所不同的学校支教，每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有（ ） A. 36种 B. 30种 C. 24种 D. 12种 【答案】B 【解析】 【分析】利用间接法，先求所有的可能情况，再排除甲、乙安排在同一所学校的可能情况. 【详解】若每名大学生只去一个学校，每个学校至少去1名，则不同的安排方法有种， 若甲、乙安排在同一所学校，则不同的安排方法有种， 所以甲、乙不能安排在同一所学校，则不同的安排方法有种. 故选：B. 7. 的展开式中的系数为（ ） A. 55 B. C. 30 D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对，有， 令，有， 令，有， 则， 故的展开式中的系数为. 故选：C. 8. 双曲线C：的右焦点为F，双曲线C上有两点A，B关于直线l：对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】，，的中点为， 联立直线方程和双曲线方程后结合对称可得的坐标，而，故可求. 【详解】，设的中点为，连接 因为为线段的垂直平分线，故可设，， 由可得（*）， 故，故， 故的中点为， 因的中点在直线上，故， 故，此时，且， 故， 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质、前n项和公式逐项分析判断即得. 【详解】等差数列中，， 对于A，，，A正确； 对于B，，则，， 则，，因此，即，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，设的公差为，由，得，解得， 则，，D正确. 故选：ACD 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. B. 是图象的一个对称中心 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由周期公式可得A错误；由余弦函数的对称中心可得B正确；由余弦函数的递增区间可得C正确；由余弦函数的单调性可得D错误. 【详解】A：由最小正周期是，故A错误； B：因为，对称中心，解得， 当时，对称中心为，故B正确； C：由余弦函数的递增区间可知，解得， 当时，在区间上单调递增，故C正确； D：由C可知，在上单调递增，故最小值为，故D错误； 故选：BC. 11. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，AC⊥BC，且．下列说法正确的是（ ） A. 四棱锥为“阳马” B. 四面体的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为 C. 四棱锥体积最大值为 D. 四面体为“鳖臑” 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A，D的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意找到四面体的外接球的球心位置，求出外接球半径，利用球的表面积公式即可得到判断B. 【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”， ∴在堑堵中，，侧棱平面， 对A选项，∴，又，且，则平面， ∴四棱锥为“阳马”，对； 对C选项，在底面有，即， 当且仅当时取等号， ，故C错误； 对D选项，由，即，又且，平面， ∴平面，平面, ∴，则为直角三角形， 又由平面，平面，，则为直角三角形， 由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形． ∴四面体为“鳖臑”，故D正确； 对B选项，由C知为直角三角形，侧棱平面，则易知,为直角三角形， 而为直角三角形，则外接球球心位于的中点， 则外接球半径， 则球的表面积为，故B正确. 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，，则外接圆半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据面积公式和数量积的定义可求，根据同角的三角函数基本关系式和正弦定理可求外接圆的半径. 【详解】因为，故, 故，故为锐角，故， 故外接圆的半径为， 故答案为：. 13. 已知直线与圆交于，两点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得直线过定点，再分析取得最小值时的情况，利用弦长公式即可得解. 【详解】由，得， 由，解得，则直线过定点， 又，所以该定点在圆内， 由圆可得圆心，半径， 当圆心与定点的连线垂直于时，取得最小值， 圆心与定点的距离为， 则的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数，则_____；若，不等式恒成立，则实数a的取值范围是____________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】先整理得，再求得，从而即可求得的值；进而将转化为，再得到在R上为增函数，从而得到对恒成立，再分离参数，结合基本不等式即可求得实数的取值范围． 【详解】由，则，所以则， 所以可转化为， 因为在R上为增函数，所以在R上为增函数， 所以对恒成立，即对恒成立， 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以，即实数的取值范围． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调递减区间为和，单调递增区间为，的极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求出斜率，利用直线垂直列式求解即可； （2）求出导数方程的根，根据导数与极值的关系列表即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 则，因为函数在点处的切线与直线垂直， 故，解得； 【小问2详解】 因为，所以， 令，解得或，令得或，令得， 列表如下： 3 0 + 0 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 故的单调递减区间为和，单调递增区间为， 的极大值为，极小值为. 16. 已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，，成等差数列以及求出首项和公比，再利用等比数列的通项公式写出即可； （2）由（1）将数列的通项公式代入中化简，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以， 即， 解得或， 因为各项均为正数， 所以， 所以， 由， 得， 解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 所以， 两式相减可得， 整理可得． 17. 某兴趣小组，对高三刚结束的测试的物理成绩进行随机调查，在所有选择物理科的考生中随机抽取100名各类考生的物理成绩，整理数据如下表（单位：人） A班男生 2 8 15 8 B班男生 3 10 20 4 A班女生 3 4 2 1 B班女生 10 6 4 0 （1）估计该校高三学习物理男生人数与女人数的比值； （2）求A班物理平均成绩的估计值（同一组中的数据用该组区间中点值为代表，结果四舍五入到整数）； （3）把成绩在称为及格，成绩在为不及格，根据所有数据完成下面列联表，试根据小概率值的独立性检验，分析该校考生的物理成绩与性别是否有关？ 性别 成绩 合计 及格 不及格 男生 女生 合计 附： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2） （3） 性别 成绩 合计 及格 不及格 男生 65 5 70 女生 17 13 30 合计 82 18 100 该校考生的物理成绩与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01． 【解析】 【分析】（1）根据表中数据求出男生和女生人数即可求解； （2）根据频数分布列表，利用每组的组中值乘以对应的频率之和即可求解； （3）根据表中数据可补充列联表，利用卡方的计算公式求出，结合表中的数据即可得出结论. 【小问1详解】 由表中数据可知，男生共有， 女生共有， 由此估计该校高三学习物理男生人数与女人数的比值约为. 【小问2详解】 A班共有：人 班物理平均成绩的估计值为 【小问3详解】 由表中数据可知，列联表如下： 性别 成绩 合计 及格 不及格 男生 65 5 70 女生 17 13 30 合计 82 18 100 零假设为：该校考生的物理成绩与考生性别无关， 根据表格中数据计算得到 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为该校考生的物理成绩与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01． 18. 如图，在直三棱柱中，，点是棱上的一点，且，点是棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为直三棱柱中,，故,所以两两垂直， 分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， ， ，点是棱的中点 所以， 所以, 所以， 设平面法向量为，则， 令，则，，所以平面的法向量． 设平面法向量为，则， 令，则，所以平面的法向量． 由于，故， 因此平面平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量即可利用向量垂直求证． （2）利用向量的夹角即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知平面的法向量． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知双曲线：（，）的右顶点，斜率为1的直线交于、两点，且中点. （1）求双曲线的方程； （2）证明：为直角三角形； （3）若过曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：由已知可得，直线的方程为：，即， 联立，， 则，， ， ，为直角三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）设出、两点坐标，借助点差法计算即可得； （2）联立直线与双曲线方程，可得与、两点坐标有关韦达定理，通过计算即可得为直角三角形； （3）设直线方程为：，，，，结合题意计算可得，又，，可得，联立直线与渐近线方程，可得与两点坐标有关韦达定理，代入化简可得，结合面积公式计算即可用表示该三角形面积，构造相应函数借助对勾函数性质可得函数单调性即可得面积范围. 【小问1详解】 设，，则，， ，两点在双曲线上， ，由①－②得， 即，， ，即，， 又，，双曲线的方程为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意可知，若直线有斜率则斜率不为0， 故设直线方程为：， 设，，， ，， ， 点在双曲线上，， ， ③， 又，， ，④， 联立， ， ⑤，⑥， ，分别在第一象限和第四象限，，， 由④式得：， ⑦， 将⑤⑥代入⑦得：， ， 令，， 由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， ，. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）小问关键点在于借助向量的线性关系，结合点在对应曲线及直线上，通过计算用表示出该三角形面积，难点在于计算. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $