7.1复数的概念与7.2复数的运算-2023-2024学年高一下学期数学暑假作业（知识回顾+基础训练+提升训练+培优训练）（人教2019A版专用）

7.1复数的概念与7.2复数的运算（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础训练】 5 【提升训练】 7 【培优训练】 10 知识回顾 1. 复数的有关概念 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集. (2)复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. 2. 复数的分类 (1)设复数z＝a＋bi(a，b∈R). ①z为实数⇔b＝0， ②z为虚数⇔b≠0， ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. (2)集合表示： 3. 复数相等 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R). 则z1＝z2⇔a＝c且b＝d. 4. 复数与复平面内点的关系 (1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. (3)复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义. 5. 复数与复平面内向量的关系 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 6. 复数的模与共轭复数 (1)复数的模 ①定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. ②记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记为|z|或|a＋bi|. ③公式：|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R). 如果b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一个实数，它的模就等于|a|(a的绝对值). (2)共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用__表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi. 7. 复数的加法法则 (1)运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，两个复数的和仍然是一个确定的复数. (2)复数加法的几何意义 两个向量1与2的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行. 如图，复数z1＋z2是以1，2为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数. (3)加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 8. 复数的减法法则 (1)运算法则 复数的减法是加法的逆运算； 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，两个复数的差是一个确定的复数. (2)复数减法的几何意义 如图，复数z1－z2是从向量2的终点指向向量1的终点的向量所对应的复数. 9. 复数的乘法及其运算律 (1)复数代数形式的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 10. 复数的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i. 基础训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·黑龙江·三模）若，则的虚部为（   ） A． B．1 C．3 D． 2．（2024·辽宁大连·二模）设，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·海南·模拟预测）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024·贵州毕节·三模）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 5．（2024·四川·模拟预测）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C．10 D． 7．（2024·山东临沂·二模）已知为虚数单位，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·河南·模拟预测）已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·河南·二模）已知复数，是的共轭复数，则下列说法正确的是（    ） A．的实部为 B．复数在复平面中对应的点在第四象限 C． D． 10．（2024·福建宁德·三模）已知是两个复数，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若为实数，则 C．若均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则均为纯虚数 11．（2024·全国·模拟预测）设复数，，则（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D．在复平面内，复数对应的点位于第四象限 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·河北唐山·二模）已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为 ． 13．（2024·广东汕头·二模）写出一个满足，且的复数， . 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2021·湖南株洲·二模）已知复数，满足，其中i为虚数单位，表示的共轭复数. （1）求的值； （2）求. 16. (15分) （22-23高一下·天津河东·阶段练习）已知复数. (1)当实数为何值时，复数为纯虚数； (2)当实数为何值时，复数表示的点位于第四象限. 17. (15分) （22-23高三·全国·对口高考）已知复数（a，），存在实数t，使成立. (1)求证：为定值； (2)若，求a的取值范围． 18. (17分) （22-23高二下·陕西渭南·期末）计算下列各式的值： (1)已知是虚数单位，若，求的值； (2)设是虚数单位），其中是实数，求. 19. (17分) （22-23高一下·福建三明·阶段练习）已知复数. (1)若，求的值； (2)，，求. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·广东汕头·一模）在复数范围内，下列命题是真命题的为（    ） A．若，则是纯虚数 B．若，则是纯虚数 C．若，则且 D．若、为虚数，则 2．（2024·安徽·三模）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北邢台·二模）若，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·河北廊坊·期末）若复数为纯虚数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 6．（2024·全国·模拟预测）如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 7．（2024·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 8．（2023·黑龙江佳木斯·三模）复数的虚部是（    ） A．1012 B．1011 C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·全国·三模）一般地，对于复数（i为虚数单位，a，），在平面直角坐标系中，设，经过点的终边的对应角为，则根据三角函数的定义可知，，因此，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合的辐角的值叫做辐角的主值.已知复数z满足，，为z的实部，为z的辐角的主值，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C． D． 10．（2024·全国·模拟预测）已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则与均为实数 B．若与均为实数，则 C．若均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则均为纯虚数 11．（2024·云南昆明·模拟预测）欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.若在复数范围内关于x的方程（a，）的两根为，，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．复数对应的点位于第二象限． D．复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·贵州遵义·一模）已知复数，，则的最小值为 ． 13．（2024·广东广州·二模）已知复数的实部为0，则 ． 14．（2023·河南安阳·模拟预测）若为虚数单位，则计算 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2021·黑龙江大庆·模拟预测）已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）设复数，求； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 16. (15分) （23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)为坐标原点，复数，在复平面内对应的点分别为，，求面积的取值范围． 17. (15分) （22-23高三上·河南商丘·阶段练习）已知虚数z满足. (1)求z； (2)若z的虚部为正数，比较与的大小. 18. (17分) （23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知复数，为z的共轭复数，且． (1)求m的值； (2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 19. (17分) （2021·上海浦东新·模拟预测）已知关于得二次方程：. (1)当方程有实数根时，求点的轨迹方程； (2)求方程实数根的取值范围. 培优训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．0 2．（2023·湖北武汉·模拟预测）复数，若为纯虚数，则（　　） A．-i B．7i C．-5i D．5i 3．（2024·全国·模拟预测）已知是虚数单位，复数的实部、虚部分别为3，2，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024·陕西西安·模拟预测）是虚数单位，复数，（是的共轭复数），则（    ）． A． B． C． D． 5．（22-23高一·全国·课后作业）欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（    ）． A．； B．； C．； D．在复平面内对应的点位于第二象限． 6．（2022·上海奉贤·一模）复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（    ）个. A．9 B．10 C．11 D．无数 7．（2023·全国·模拟预测）已知复数，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 8．（21-22高三上·浙江宁波·开学考试）已知数列满足，，若，则正整数k的值是（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·重庆·三模）已知复数，复数满足，复数的共轭复数为，则（    ） A． B．的最小值为2 C． D．的最大值为 10．（2022·福建莆田·模拟预测）意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤： 第一步，把方程中的用来替换，得到方程； 第二步，利用公式将因式分解； 第三步，求得，的一组值，得到方程的三个根：，，（其中，为虚数单位）； 第四步，写出方程的根：，，. 某同学利用上述方法解方程时，得到的一个值：，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高三上·辽宁·开学考试）设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（    ）. A．若，则是实数 B．若，则存在唯一实数对使得 C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线 D．若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（22-23高二上·上海嘉定·期中）已知集合（其中 为虚数单位），则满足条件的集合M的个数为 . 13．（2022·江苏苏州·模拟预测）任何一个复数（其中a、，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则 ；对于， ． 14．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如果复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，，复数z满足，且，则的最大值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024·黑龙江大庆·模拟预测）欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题： (1)将复数表示成（，为虚数单位）的形式； (2)求的最大值； (3)若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值． 16. (15分) （2024·河南郑州·三模）复数除了代数形式之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，著名的欧拉公式体现了两种形式之间的联系．利用复数的三角形式进行乘法运算，我们可以定义旋转变换．根据，我们定义：在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转的变换称为旋转角是的旋转变换．设点经过旋转角是的旋转变换下得到的点为，且旋转变换的表达式为曲线的旋转变换也如此，比如将“对勾”函数图象上每一点绕原点逆时针旋转后就得到双曲线：． (1)求点在旋转角是的旋转变化下得到的点的坐标； (2)求曲线在旋转角是的旋转变化下所得到的曲线方程； (3)等边中，在曲线上，求的面积． 17. (15分) （2022·上海·高考真题）已知复数和，其中均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有． (1)试求m的值，并分别写出和用x、y表示的关系式； (2)将作为点P的坐标，作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程； (3)是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由． 18. (17分) （2024·贵州黔南·二模）1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元次多项式方程在复数域上至少有一根（）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：次复系数多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算）.对于次复系数多项式，其中，，，若方程有个复根，则有如下的高阶韦达定理： (1)在复数域内解方程； (2)若三次方程的三个根分别是，，（为虚数单位），求，，的值； (3)在的多项式中，已知，，，为非零实数，且方程的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含的式子表示）. 19. (17分) （2024高一下·全国·专题练习）已知复数，，． (1)若为实数，求的值； (2)设复数在复平面内对应的向量分别是，若，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1复数的概念与7.2复数的运算（人教2019A版专用） 目录 【知识回顾】 2 【基础训练】 5 【提升训练】 14 【培优训练】 25 知识回顾 1. 复数的有关概念 (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集. (2)复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部. 2. 复数的分类 (1)设复数z＝a＋bi(a，b∈R). ①z为实数⇔b＝0， ②z为虚数⇔b≠0， ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. (2)集合表示： 3. 复数相等 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R). 则z1＝z2⇔a＝c且b＝d. 4. 复数与复平面内点的关系 (1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴. (2)实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. (3)复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义. 5. 复数与复平面内向量的关系 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一确定. 6. 复数的模与共轭复数 (1)复数的模 ①定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值. ②记法：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模记为|z|或|a＋bi|. ③公式：|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R). 如果b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一个实数，它的模就等于|a|(a的绝对值). (2)共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用__表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi. 7. 复数的加法法则 (1)运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，两个复数的和仍然是一个确定的复数. (2)复数加法的几何意义 两个向量1与2的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量，复数的加法可以按照向量的加法来进行. 如图，复数z1＋z2是以1，2为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数. (3)加法运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). 8. 复数的减法法则 (1)运算法则 复数的减法是加法的逆运算； 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，两个复数的差是一个确定的复数. (2)复数减法的几何意义 如图，复数z1－z2是从向量2的终点指向向量1的终点的向量所对应的复数. 9. 复数的乘法及其运算律 (1)复数代数形式的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (2)复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 10. 复数的除法法则 (a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i. 基础训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·黑龙江·三模）若，则的虚部为（   ） A． B．1 C．3 D． 2．（2024·辽宁大连·二模）设，则“”是“复数为纯虚数”的（   ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·海南·模拟预测）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024·贵州毕节·三模）若复数z满足，则（    ） A．1 B．5 C．7 D．25 5．（2024·四川·模拟预测）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C．10 D． 7．（2024·山东临沂·二模）已知为虚数单位，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·河南·模拟预测）已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·河南·二模）已知复数，是的共轭复数，则下列说法正确的是（    ） A．的实部为 B．复数在复平面中对应的点在第四象限 C． D． 10．（2024·福建宁德·三模）已知是两个复数，下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若为实数，则 C．若均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则均为纯虚数 11．（2024·全国·模拟预测）设复数，，则（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D．在复平面内，复数对应的点位于第四象限 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·河北唐山·二模）已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为 ． 13．（2024·广东汕头·二模）写出一个满足，且的复数， . 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数满足，则的最小值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2021·湖南株洲·二模）已知复数，满足，其中i为虚数单位，表示的共轭复数. （1）求的值； （2）求. 16. (15分) （22-23高一下·天津河东·阶段练习）已知复数. (1)当实数为何值时，复数为纯虚数； (2)当实数为何值时，复数表示的点位于第四象限. 17. (15分) （22-23高三·全国·对口高考）已知复数（a，），存在实数t，使成立. (1)求证：为定值； (2)若，求a的取值范围． 18. (17分) （22-23高二下·陕西渭南·期末）计算下列各式的值： (1)已知是虚数单位，若，求的值； (2)设是虚数单位），其中是实数，求. 19. (17分) （22-23高一下·福建三明·阶段练习）已知复数. (1)若，求的值； (2)，，求. 参考答案： 1．A 【分析】先利用乘法运算法则化简复数，然后化简得，即可求出其虚部. 【详解】因为，所以，所以， 所以，则的虚部为. 故选：A 2．A 【分析】由复数为纯虚数求得的值，再根据充分必要条件关系判断. 【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得， 所以是复数为纯虚数的充要条件. 故选：A. 3．A 【分析】利用复数的模长公式及除法运算法则结合几何意义计算即可. 【详解】易知，所以， 则在复平面内对应的点为，显然位于第一象限. 故选：A 4．B 【分析】由复数的乘法和除法运算化简即可求出，再由复数的模长公式求解即可. 【详解】因为，则， 即， 故. 故选：B. 5．A 【分析】设出复数z的代数形式，结合共轭复数及复数加减法运算，再利用复数相等求解即得. 【详解】令复数，则， 根据两个复数相等的条件有，解得，所以． 故选：A 6．A 【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解. 【详解】由，则. 故选：A 7．B 【分析】借助复数的四则运算及复数模长计算公式计算即可得. 【详解】， 则，故. 故选：B. 8．D 【分析】由是关于的方程的一个根，则是关于的方程的一个根，结合根与系数的关系求解即可. 【详解】由是关于的方程的一个根， 则是关于的方程的一个根， 则，， 即，，则， 故选：D. 9．ABD 【分析】先化简得到，然后用实部和共轭实数的定义判断A和B选项；由于虚数不能比较大小，故C错误；直接计算即知D正确. 【详解】我们有，故的实部为，A正确； 由知，所以在复平面中对应的点是，在第四象限，B正确； 都不是实数，它们不能比较大小，C错误； ，D正确. 故选：ABD. 10．AC 【分析】根据题意，复数，根据复数的运算法则和复数的概念，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】设复数，则， 对于A中，由，且，可得，所以， 所以，所以A正确； 对于B中，由，可得，即， 但与不一定相等，所以与不一定相等，所以B错误； 对于C中，由均为纯虚数，可得， 此时，所以C正确； 对于D中，由为实数，即， 可得，但不一定为，所以D错误. 故选：AC. 11．ABD 【分析】根据复数的概念、复数的四则运算、复数的几何意义，逐项判断即可. 【详解】选项A：，其虚部为，故A正确． 选项B：，则的共轭复数为，故B正确． 选项C：因为，所以． 又，所以，故C不正确． 选项D：，其在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确． 故选：ABD. 12．/ 【分析】首先求出，再根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部. 【详解】因为，又， 所以， 所以复数的虚部为. 故答案为： 13．（答案不唯一） 【分析】根据题意，设，结合复数的运算可得或，即可得到结果. 【详解】设，，因为， 所以，， 由，解得或， 则（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一）. 14． 【分析】设，由条件得，所求式消元后化成，结合点的轨迹图形特征，求得的范围，结合函数单调性即得的最小值. 【详解】设，由两边平方整理得：， 即而， 作出复数对应的点的轨迹的图形如图. 易得，因在定义域内为增函数， 故， 即当且仅当时，取最小值. 故答案为:. 15．（1）；（2）． 【分析】（1）将代入中，可得，利用复数的模长公式求解即可； （2）由以及，可得出和，代入可得． 【详解】（1）由题意知，， ； （2）； ， 又， 则是以为首项，为公差的等差数列， ， 故． 16．(1) (2) 【分析】（1）由已知结合复数为纯虚数的条件可建立关于m的方程及不等式，求出m的值； （2）结合复数的几何意义可建立关于m的不等式组，再求出m的取值范围． 【详解】（1）复数 复数为纯虚数, ，解得 ∴时，为纯虚数． （2）复数表示的点位于第四象限，可得，解得， 当时，复数在复平面内对应的点在第四象限， ∴m的取值范围为 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）对化简整理可得，结合复数的相等分析运算；（2）根据复数模长的定义和公式，结合运算求解. 【详解】（1）∵，则， 由复数相等，消去t得， 故为定值. （2） ∵，且 ∴， 又∵，即，则，整理得， ∴原不等式组即为，解得， 故a的取值范围为. 18．(1) (2)5 【分析】(1)根据共轭复数的概念和复数的模长公式求解； (2)根据复数相等的定义求解. 【详解】（1），， ，； （2）， ，解得， . 19．(1)， (2) 【分析】（1）根据复数相等的概念，即可求得答案； （2）根据复数的除法运算，可求得答案. 【详解】（1）由题意复数， 则由可得； （2）当,时，， 故. 提升训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·广东汕头·一模）在复数范围内，下列命题是真命题的为（    ） A．若，则是纯虚数 B．若，则是纯虚数 C．若，则且 D．若、为虚数，则 2．（2024·安徽·三模）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北邢台·二模）若，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·河北廊坊·期末）若复数为纯虚数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 6．（2024·全国·模拟预测）如图，复数对应的向量为，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为（    ）    A． B． C． D． 7．（2024·安徽·模拟预测）若为虚数单位，，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 8．（2023·黑龙江佳木斯·三模）复数的虚部是（    ） A．1012 B．1011 C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·全国·三模）一般地，对于复数（i为虚数单位，a，），在平面直角坐标系中，设，经过点的终边的对应角为，则根据三角函数的定义可知，，因此，我们称此种形式为复数的三角形式，r称为复数z的模，称为复数z的辐角.为使所研究的问题有唯一的结果，我们规定，适合的辐角的值叫做辐角的主值.已知复数z满足，，为z的实部，为z的辐角的主值，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C． D． 10．（2024·全国·模拟预测）已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则与均为实数 B．若与均为实数，则 C．若均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则均为纯虚数 11．（2024·云南昆明·模拟预测）欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.若在复数范围内关于x的方程（a，）的两根为，，其中，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．复数对应的点位于第二象限． D．复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（2024·贵州遵义·一模）已知复数，，则的最小值为 ． 13．（2024·广东广州·二模）已知复数的实部为0，则 ． 14．（2023·河南安阳·模拟预测）若为虚数单位，则计算 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2021·黑龙江大庆·模拟预测）已知复数（），且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）设复数，求； （2）复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 16. (15分) （23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，且． (1)求函数的解析式； (2)为坐标原点，复数，在复平面内对应的点分别为，，求面积的取值范围． 17. (15分) （22-23高三上·河南商丘·阶段练习）已知虚数z满足. (1)求z； (2)若z的虚部为正数，比较与的大小. 18. (17分) （23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知复数，为z的共轭复数，且． (1)求m的值； (2)若是关于x的实系数一元二次方程的一个根，求该一元二次方程的另一复数根． 19. (17分) （2021·上海浦东新·模拟预测）已知关于得二次方程：. (1)当方程有实数根时，求点的轨迹方程； (2)求方程实数根的取值范围. 参考答案： 1．D 【分析】利用特殊值法可判断ABC选项；利用共轭复数的定义结合复数的乘法、复数的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，则，所以，，此时，不是纯虚数，A错； 对于B选项，取，则成立，但不是纯虚数，B错； 对于C选项，取，，则，但且，C错； 对于D选项，若、为虚数，设，， 则，， 所以， ，D对. 故选：D. 2．D 【分析】先求得z，然后求得|z|. 【详解】依题意，，故， 故. 故选：D 3．B 【分析】由复数的运算化简后利用共轭复数与复数的关系求出复数，再计算其模长即可. 【详解】由已知等式可得， 所以， 所以， 故选：B. 4．D 【分析】利用复数的周期性化简，再利用复数的四则运算化简求出结果即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的虚部为， 故选：D. 5．A 【分析】利用复数的除法运算法则以及纯虚数的定义求解. 【详解】因为为纯虚数， 所以解得， 故选：. 6．D 【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解. 【详解】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为． 故选：D 7．D 【分析】根据复数的几何意义可得复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，进而求出的最大值. 【详解】根据题意，复数对应的点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆， 所求式子的几何意义表示点到圆上点的距离的最大值， 如图所示，最大值为. 故选：D. 8．D 【分析】由错位相减法化简复数后再由复数的运算和复数的几何意义求出结果即可. 【详解】因为， ， 所以，① 因为，所以，， 所以化简①可得， 所以虚部为， 故选：D. 9．ABD 【分析】根据复数的几何意义确定点的轨迹，结合的几何意义确定其最大值，判断A，求的最小值判断B，由图象确定的范围，结合余弦函数性质证明，判断C，结合复数运算及，判断D. 【详解】因为，， 复数在复平面的对应的点为, 所以点Z在以为圆心、以r为半径的圆上或圆内. 对于选项A，B，由复数的几何意义可得表示点Z与的距离， 又点到点的距离为， 所以的最大值为，A正确， 的最小值为，B正确， 对于C，过点作以为圆心，为半径的圆的切线，设切点为， 设，则或， 所以，所以，所以C错误. 对于D，设，有（其中是z的辐角的主值）， 由于，所以，所以D正确. 故选：ABD. 10．ABC 【分析】根据复数的四则运算，结合共轭复数的定义即可求解ABC，举反例即可求解D. 【详解】设，．，． 若，则，，所以，，所以A正确； 若与均为实数，则，且，又，，所以，所以B正确； 若，均为纯虚数，则，所以，所以C正确； 取，，则为实数，但，不是纯虚数，所以D错误． 故选：ABC． 11．AD 【分析】先根据欧拉公式得出，代入方程（a，），根据复数相等的充要条件得出，；根据韦达定理可得出，进而可判断选项A；根据复数模的计算方法可判断选项B；由欧拉公式和特殊值可判断选项C；由欧拉公式和复数的几何意义可判断选项D. 【详解】因为， 所以. 又因为在复数范围内关于x的方程（a，）的两根为，， 所以， 且，即， 则，解得：. 所以，，故选项A正确，选项B错误； 又因为， 所以当时，，此时复数对应的点为，故选项C错误； 因为， 所以，， 又因为复数对应的点为 ， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆，故选项D正确. 故选：AD. 12． 【分析】由复数的模长公式结合二次函数的最值求出结果即可. 【详解】， 当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 13． 【分析】利用复数的实部为0，求出，再利用二倍角公式得出结论． 【详解】复数的实部为0， ． ． 故答案为：． 14． 【分析】设，两边乘以相减，结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则，计算可得所求和． 【详解】设， ， 上面两式相减可得， ， 则． 故答案为：． 15．（1）；（2）. 【分析】（1）先根据条件得到，进而得到，由复数的模的求法得到结果； （2）由第一问得到，根据复数对应的点在第一象限得到不等式，进而求解. 【详解】（1）∵为纯虚数， ∴，，解得. ∴，则. （2）， 复数在复平面对应的点在第一象限， ∴，，解得. ∴实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：如果是复平面内表示复数的点，则①当，时，点位于第一象限；当，时，点位于第二象限；当，时，点位于第三象限；当，时，点位于第四象限；②当时，点位于实轴上方的半平面内；当时，点位于实轴下方的半平面内． 16．(1)； (2). 【分析】（1）根据是的对称轴，结合对称轴处取得最值，计算即可； （2）根据复数的几何意义，建立三角形面积关于的三角函数关系，求函数值域即可. 【详解】（1）∵，即当时函数取到最值， 又， 其中， ∴，代入得， 即，解得，∴ ； （2）由（1）可得：， 由复数的几何意义知：， ∴， 当，，即，时，有最大值6； 当，，即，时，有最小值2； ∴. 17．(1)或 (2) 【分析】（1）设，代入已知等式，由复数相等的定义列方程组求解； （2）由（1）得，然后计算复数的模后可得不等式成立． 【详解】（1）设，则， 所以，所以，解得，或 所以或. （2）由题意知，所以，，，所以， 所以. 所以. 18．(1) (2) 【分析】（1）根据共轭复数的概念，结合复数的加法运算即可求解参数的值； （2）首先将代入一元二次方程中求出参数，的值，然后再根据求根公式求解另外一个复数根即可. 【详解】（1）已知，则， 由于，得，解得： （2）由（1）可知，，将代入方程可得：， 即：，得：，解得：，， 带入一元二次方程中得：， 解得：，， 即方程另外一个复数根为 19．(1)； (2). 【分析】（1）根据复数相等结合条件可列出关于的方程，整理即可求得点的轨迹方程； （2）由题可得，然后根据判别式大于等于零即得． 【详解】（1）设方程的实数根为，则有 ， 即， 所以， 两式消去可得， 整理可得， 即点的轨迹方程是； （2）由可得， 整理得， ， ，                   解得， 方程的实数根的取值范围是. 培优训练 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数，，则.设，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．0 2．（2023·湖北武汉·模拟预测）复数，若为纯虚数，则（　　） A．-i B．7i C．-5i D．5i 3．（2024·全国·模拟预测）已知是虚数单位，复数的实部、虚部分别为3，2，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2024·陕西西安·模拟预测）是虚数单位，复数，（是的共轭复数），则（    ）． A． B． C． D． 5．（22-23高一·全国·课后作业）欧拉公式（i为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，下面结论中正确的是（    ）． A．； B．； C．； D．在复平面内对应的点位于第二象限． 6．（2022·上海奉贤·一模）复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（    ）个. A．9 B．10 C．11 D．无数 7．（2023·全国·模拟预测）已知复数，则（    ） A．2022 B．2023 C． D． 8．（21-22高三上·浙江宁波·开学考试）已知数列满足，，若，则正整数k的值是（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．（2024·重庆·三模）已知复数，复数满足，复数的共轭复数为，则（    ） A． B．的最小值为2 C． D．的最大值为 10．（2022·福建莆田·模拟预测）意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤： 第一步，把方程中的用来替换，得到方程； 第二步，利用公式将因式分解； 第三步，求得，的一组值，得到方程的三个根：，，（其中，为虚数单位）； 第四步，写出方程的根：，，. 某同学利用上述方法解方程时，得到的一个值：，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高三上·辽宁·开学考试）设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（    ）. A．若，则是实数 B．若，则存在唯一实数对使得 C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线 D．若，则 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．（22-23高二上·上海嘉定·期中）已知集合（其中 为虚数单位），则满足条件的集合M的个数为 . 13．（2022·江苏苏州·模拟预测）任何一个复数（其中a、，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，若，时，则 ；对于， ． 14．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如果复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，，复数z满足，且，则的最大值为 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (13分) （2024·黑龙江大庆·模拟预测）欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题： (1)将复数表示成（，为虚数单位）的形式； (2)求的最大值； (3)若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值． 16. (15分) （2024·河南郑州·三模）复数除了代数形式之外，还有两种形式，分别是三角形式和指数形式，著名的欧拉公式体现了两种形式之间的联系．利用复数的三角形式进行乘法运算，我们可以定义旋转变换．根据，我们定义：在直角坐标系内，将任一点绕原点逆时针方向旋转的变换称为旋转角是的旋转变换．设点经过旋转角是的旋转变换下得到的点为，且旋转变换的表达式为曲线的旋转变换也如此，比如将“对勾”函数图象上每一点绕原点逆时针旋转后就得到双曲线：． (1)求点在旋转角是的旋转变化下得到的点的坐标； (2)求曲线在旋转角是的旋转变化下所得到的曲线方程； (3)等边中，在曲线上，求的面积． 17. (15分) （2022·上海·高考真题）已知复数和，其中均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有． (1)试求m的值，并分别写出和用x、y表示的关系式； (2)将作为点P的坐标，作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程； (3)是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由． 18. (17分) （2024·贵州黔南·二模）1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元次多项式方程在复数域上至少有一根（）.此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用.由此定理还可以推出以下重要结论：次复系数多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算）.对于次复系数多项式，其中，，，若方程有个复根，则有如下的高阶韦达定理： (1)在复数域内解方程； (2)若三次方程的三个根分别是，，（为虚数单位），求，，的值； (3)在的多项式中，已知，，，为非零实数，且方程的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含的式子表示）. 19. (17分) （2024高一下·全国·专题练习）已知复数，，． (1)若为实数，求的值； (2)设复数在复平面内对应的向量分别是，若，求的值． 参考答案： 1．B 【分析】变形复数，根据题中定义进行计算，即可判定. 【详解】， 所以 , 所以的虚部为. 故选:B. 2．B 【分析】化简得，由得解. 【详解】由题意得， 因为为纯虚数，所以， 所以． 故选：B． 3．A 【分析】依题意，，求出，进而根据复数的几何意义求得答案. 【详解】因为复数的实部、虚部分别为3，2， 所以， 所以， 在复平面内对应的点为，在第一象限， 故选：A. 4．B 【分析】由题意得，，，再结合复数的四则运算求解即可. 【详解】因为复数， 所以，， 所以， 故选：B. 5．B 【分析】对于A，根据欧拉公式的定义，代入即可判断； 对于B，根据复数的模的计算公式即可判断； 对于C，将代入，联立两个式子解方程组即可判断； 对于D，表示的复数在复平面内对应的点为，从而得以判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确： 对于C，因为，， 所以，故C错误； 对于D，依题意可知表示的复数在复平面内对应的点的坐标为， 故表示的复数在复平面内对应的点的坐标为， 因为，所以，则该点位于第四象限，故D错误. 故选：B. 6．C 【分析】先根据复数的模为1及复数模的运算公式，求得即，接下来分与两种情况进行求解，结合，求出的个数. 【详解】，其中，所以，即，，当时，①，，所以，，因为，所以或；②，，所以，，因为，所以，，，，或；当时，①，，即，，因为，所以，②，，即，，因为，所以，，，，，综上：，，一共有11个. 故选：C 7．B 【分析】根据题意结合复数运算可得的方程的根为，进而整理可得，取即可得结果. 【详解】设， 则， 由题意可得： 可得关于的方程的根为， 故， 整理得， 即， 令，可得， 且2022为偶数，所以. 故选：B. 8．B 【分析】利用递推关系式计算数列各项的值，确定满足题意的k值即可. 【详解】解：由题意结合递推关系式可得： ， ， ， ， . 故选：B. 9．ABD 【分析】根据复数的乘方即可判断A；根据复数的模的计算公式结合二次函数的性质即可判断B；根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断C；根据复数的几何意义得出复数的轨迹即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，， 当时，取得最小值，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由，得复数在复平面内的轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 故是圆上的点到原点距离，其最大值为，故D正确. 故选：ABD 10．ABC 【分析】根据三次方程的代数解法对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】 依题意可知是次项系数，所以，A选项正确. 第一步，把方程中的，用来替换， 得， 第二步，对比与， 可得，解得，B选项正确. 所以，C选项正确. ，D选项错误. 故选：ABC 11．ACD 【分析】根据复数的概念及运算性质，以及共轭复数的性质和复数模的性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，若，因为，则，可得， 设，则，所以A正确； 对于B中，由A得，设，若， 则， 只要或，选项B就不正确； 例如：，此时， 可表示为或， 所以表示方法不唯一，所以B错误. 对于C中，若，则，可得， 则，所以且， 设，则，其中， 则复数对应的向量与复数对应的向量方向共线，且长度是倍， 故在复平面内对应的点的轨迹是射线（且与方向共线），所以C正确. 对于D中，若，可得，同理， 由，即，可得， 即， 即，即， 即， 因为，所以成立， 所以成立，所以D正确. 故选：ACD. 12．8 【分析】 因为具有周期性，分别计算n取1,2,3,4时x的值，根据集合元素的个数，写出子集个数. 【详解】周期为4，当时，；当时，； 当时，；当时，，所以集合的子集个数为个. 故答案为：8个. 13． 【分析】利用给定定理直接计算即得；令，求出等比数列前项的和，再利用复数相等求解作答. 【详解】当，时，，所以； ，令，则， ， ， 而，则，， 所以. 故答案为：-i； 【点睛】思路点睛：涉及复数的次幂的求和问题，可把视为等比数列的第n项，再借助数列问题求解. 14． 【分析】先将复数转化为平面直角坐标系中的坐标，然后用距离公式对条件进行变形，得到，由此可以证明. 之后再使用向量的坐标运算将表示为关于的表达式，利用即可证明，最后给出一个的例子即可说明的最大值是. 【详解】由，，，，知，，，，从而，，. 由于，，故条件即为，展开得到，再化简得，所以，故我们有，从而. 由于，，，，故，从而. 经验证，当，时，条件满足. 此时. 所以的最大值是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将复数坐标化为平面直角坐标系中的坐标，并将复数之差的模长表示为平面直角坐标系中的线段长度. 另外，本题还具有“阿波罗尼斯圆”的背景：平面上到两个不同定点的距离之比恒为常数的点的轨迹是一个圆，该圆称为关于的阿波罗尼斯圆. 使用解析几何方法结合距离公式，很容易证明此结论. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据欧拉公式直接可得解； （2）由欧拉公式可证明，并得到，这即得结果； （3）根据单位根的概念，代入化简即可. 【详解】（1）由欧拉公式有 . （2）由于，，故， 而当时，有. 故的最大值是. （3）由于，故，而，所以. 故 （利用） （利用） （利用） （利用） （利用）. 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对欧拉公式的使用和复数四则运算法则的熟练运用. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用欧拉公式和点的旋转变换求解即可； （2）利用欧拉公式和曲线的旋转变换求解即可； （3）设在旋转角是的旋转变换下所得的点分别为，先求出，由题意可知为等边三角形，的面积即为的面积，分类讨论当和同在曲线的下支时和当和同在曲线的上支时，求出，即可得出答案. 【详解】（1）由题可设所求点的坐标为，由 得所求点的坐标为． （2）设曲线上任意一点在旋转角是的旋转变换下所得点坐标为． 则即 得， 所求曲线方程为． （3）由题点在旋转角是的旋转变换下所得的点为． 设在旋转角是的旋转变换下所得的点分别为和． 设曲线在旋转角是的旋转变换下所得曲线为， 则方程为． 则是曲线的下顶点． 由题，为等边三角形，的面积即为的面积． 设的边长为，由双曲线的对称性： 当和同在曲线的下支时，则， 代入的方程得无解． 当和同在曲线的上支时，则， 代入的方程得的面积为． 综上所述，的面积为． 【点睛】关键点睛：本题的关键点是利用欧拉公式和点的旋转变换求出点在旋转角是的旋转变换下所得的点为，设在旋转角是的旋转变换下所得的点分别为，由题意分析知为等边三角形，的面积即为的面积，分类讨论当和同在曲线的下支时和当和同在曲线的上支时，求出，即可得出答案. 17．(1)， (2) (3)这样的直线存在，其方程为或. 【分析】（1）根据复数模的运算性质，求得 ；再由两复数相等就是实部与虚部对应相等得、与x、y表示的关系式. （2）变换后的点坐标均用表示为，再消去参数得到Q的轨迹方程. （3）将变换后的点坐标代入直线，用对应系数相等或对应成比例求得值. 【详解】（1）由题设，， 于是由，且，得， 因此由， 得关系式 （2）设点在直线上，则其经变换后的点满足 ， 消去，得， 故点的轨迹方程为 （3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件， ∴所求直线可设为， ∵该直线上的任一点，其经变换后得到的点 仍在该直线上， ∴， 即， 当时，方程组无解，故这样的直线不存在。 当时，由 得，解得或， 故这样的直线存在，其方程为或. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意直接解方程即可； （2）根据题意结合韦达定理分析运算求解； （3）根据题意结合韦达定理可得，结合不等式可得，由可得，结合不等式成立条件分析求解. 【详解】（1）由可得，解得. （2）由题意可知：， 将，，代入可得， 所以. （3）设，， 因为，当且仅当∥时，等号成立， 可得， 即， 当且仅当时，等号成立， 因为方程的根恰好全是正实数， 设这n个正根分别为， 且，，， 由题意可知：， 因为，且均为正数， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 又因为， 即， 所以. 【点睛】关键点点睛：利用柯西不等式可得则，当且仅当时，等号成立，注意等号成立的条件分析求解. 19．(1) (2) 【分析】（1）利用复数的乘法结合复数的有关概念求解； （2）利用复数的几何意义和平面向量的数量积运算求解. 【详解】（1）解：因为，， 所以 ，且为实数， 所以，即， 又因为，所以， 所以，则. （2）由题意可得，，，因为，所以 ， 即， 化简可得，所以， 又因为，则， 所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$