精品解析：福建省福州第一中学2024届高三下学期5月模拟数学试题

2024年福州一中高三模拟考试 数学试题 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求集合，，再求. 【详解】由，所以； 由，所以. 所以. 故选：B 2. 已知，向量，若，则实数（ ） A. B. C. -2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由，可得，用坐标表示数量积，即得解 【详解】由 可得 ，因为，所以. 故选：D 3. 等比数列的前项和为，若，，，，则（ ） A. 30 B. 31 C. 62 D. 63 【答案】B 【解析】 【分析】先求等比数列的通项公式，再求. 【详解】因为数列为等比数列，且，，所以为递增数列. ，且，所以，， 所以，。 所以. 故选：B 4. 将甲、乙等5名同学分配到3个社区进行志愿服务，要求每人只去一个社区，每个社区不能少于1人，且甲、乙在同一社区，则不同的安排方法数为（ ） A. 54 B. 45 C. 36 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体法，结合分配分组法求解即可. 【详解】将甲和乙视为一人，则问题转化为将四个人分配到三个社区，且每个社区都被分配至少一人. 此时，三个社区被分配的人数必定是：两个社区恰被分配一人，一个社区恰被分配两人. 被分配到两人的社区有3种选择，一经选择，分配方法有种. 从而不同的方法数为. 故选：C. 5. 已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的性质求出当时函数的解析式，然后求导，利用导数的几何意义进行求解即可. 【详解】当时，，函数是偶函数， 当时，，， 当时，， ，即曲线在处切线的斜率为-5. 而，所以曲线在处的切线方程为：. 所求即为. 故选：A. 6. 已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，求圆锥的底面半径和母线长，再根据公式求圆锥的表面积. 【详解】如图： 设圆锥底面为，母线长为，母线，夹角为，则，所以. 因为的面积为，所以. 又. 所以圆锥的表面积为：. 故选：B 7. 当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少，另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少．现同时给两位患者分别注射药品A和药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设经过小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等，根据题意列方程，再由对数的运算性质计算可得． 【详解】设经过小时后两位患者体内药品的残条量恰好相等， 由题意得：，整理得：， 两边取常用对数得：，即， 即， 所以，即， 所以大约经过时，两位患者体内药品的残余量恰好相等． 故选：C． 8. 在中，角所对应的边分别为，点为边的中点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，然后用三角函数定义证明，再使用正余弦定理即可求得结果. 【详解】 由已知有，解得（舍去），所以. 设为的中点，由于，故，从而，所以. 由余弦定理得，所以由正弦定理得. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中， 正确的是（ ） A. 数据的第百分位数为 B. 已知随机变量服从正态分布，；则 C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程，若，则 D. 若样本数据的方差为，则数据的方差为4 【答案】BC 【解析】 【分析】利用第百分位数的性质判断A，利用正态分布的性质判断B，利用回归方程的性质判断C，利用数据方差的性质判断D即可. 【详解】对于A，我们首先按顺序排列数据，得到， 而第百分位数即为中位数，所以该数为，故A错误， 对于B，因为随机变量服从正态分布，， 所以，， 故，得到，故B正确， 对于C，因为，所以， 将代入中，得到，解得，故C正确， 对于D，因为样本数据的方差为， 所以数据的方差为，故D错误. 故选：BC 10. 已知为椭圆的左，右焦点，为平面上一点，若，则（ ） A. 当为上一点时，的面积为1 B. 当为上一点时，的值可以为1 C. 当满足条件的点均在内部时，则的离心率小于 D. 当点在的外部时，在上必存在点，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，求的面积，判断A 的真假；根据A的结论和的取值范围，判断B的真假；根据点在椭圆内部，判断，的关系，确定离心率的取值范围；根据点在椭圆内部，判断的大小. 【详解】对A：如图： 因为点在椭圆上，不妨设点在第一象限，所以， 又因为，所以. 所以，所以，故A正确； 对B：因为，，所以，而. 所以不可能为1，故B错误； 对C：如图： 当都在椭圆内部，则，故C正确； 对D：如图： 当在的外部时，因为，所以以，为直径的圆与椭圆必有交点，不妨取，则，故D正确. 故选：ACD 11. 在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点（不含端点），则（ ） A. 存在点，使平面 B. 存在点，点到直线的距离等于 C. 过四点的球的体积为 D. 过三点的平面截正方体所得截面为六边形 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用线面平行的判定定理即可；对于B，设，然后解方程即可；对于C，利用外接球的性质求出其半径，再求其体积即可；对于D，直接构造出相应的截面即可. 【详解】 对于A，当是的中点时，由于是的中点，故. 而，且，故四边形是平行四边形，所以，从而. 而在平面内，不在平面内，所以平面，故A正确； 对于B，设，则，，. 所以， 这就得到. 故点到直线的距离，故B错误； 对于C，设的中点为，过四点的球的球心为，在平面上的投影为，则. 由可知平面，再由可知是的中点. 所以球的半径. 从而球的体积，故C正确； 对于D，分别在上取点，使得. 则过三点的平面截正方体所得截面为六边形，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对线面平行的判定定理的使用. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足（是虚数单位），则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数模的性质进行运算. 【详解】因为，所以. 故答案为： 13. 能够说明“若对任意的都成立，则函数在是减函数”为假命题的一个函数是___________．（答案不唯一） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】写出一个符合题意的函数即可. 【详解】满足对任意的都成立， 但在不单调，即函数在是减函数为假命题， 故答案为：（答案不唯一）. 14. 设集合为含有个元素的有限集．若集合的个子集满足以下3个条件： ①均非空；②中任意两个集合交集为空集；③．则称为集合的一个阶分拆． 若，为的2阶分拆，集合所有元素的平均值为，集合所有元素的平均值为，则的最小值等于______，最大值等于______． 【答案】 ①. 0 ②. 1012 【解析】 【分析】根据题意分别取取得最值时的集合，从而可得的最值. 【详解】由题意：取，， 因为：，，，， 所以，则为最小值； 取，， 为最大值. 故答案为：0；1012 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，，． （1）证明：数列为常数列； （2）求数列的前2024项和． 【答案】（1）证明：依题意， ， 则化为， 而，则，因此， 所以数列为常数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用和差角的余弦公式，结合构造法推理即可. （2）由（1）求出数列的通项，再结合余弦函数的周期性，利用分组求和法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，由，即是以6为周期的周期数列，令， 所以数列的前2024项和 . 16. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，分别为的中点. （1）证明：四点共面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 如图：取中点，连接，. 因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以； 又四边形是直角梯形，且，， 所以四边形为正方形，所以； 在中，，，由得：. 所以，，两两垂直. 以为原点，建立如图空间直角坐标系： 则，，，，， 因为为中点，所以，因为为中点，所以， 则，， 所以. 因为，所以四点共面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，先证，，两两垂直，再建立空间直角坐标系，用向量的方法证四点共面. （2）求平面的法向量，用空间向量求直线与平面所成的角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，， 设平面的法向量为， 则，取， 设直线与平面所成的角为， 则. 17. 某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店外卖覆盖A，B两个区域，骑手入职只能选择其中一个区域.其中区域A无底薪，外卖业务每完成一单提成5元；区域B规定每日底薪150元，外卖业务的前35单没有提成，从第36单开始，每完成一单提成8元.为激励员工，快餐连锁店还规定，凡当日外卖业务超过55单的外卖骑手可额外获得“精英骑手”奖励50元.该快餐连锁店记录了骑手每天的人均业务量，整理得到如图所示的两个区域外卖业务量的频率分布直方图. （1）从以往统计数据看，新入职骑手选择区域A的概率为0.6，选择区域B的概率为0.4， （i）随机抽取一名骑手，求该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率； （ii）若新入职的甲，乙､丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人区域选择相互独立，求至少有两名骑手选择区域A的概率； （2）若仅从人均日收入的角度考虑，新聘骑手应选择入职哪一区域？请说明你的理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）. 【答案】（1）（i）0.26；（ii）； （2）设为区域A骑手日工资，则随机变量分布列为 100 150 200 250 350 400 0.05 0.1 0.25 0.3 0.2 0.1 . 设为区域B骑手日工资，则随机变量分布列为 150 190 270 400 480 0.25 0.25 0.3 0.15 0.05 . 因为，所以新聘骑手应选择区域A. 【解析】 【分析】（1）（i）设“随机抽取一名骑手是区域A骑手”为事件M，“骑手获得‘精英骑手’奖励”为事件N，进而结合频率分布直方图和独立事件的乘法公式计算即可； （ii）设为选择区域A的骑手人数，则，再根据二项分布概率公式计算即可； （2）分别计算选择区域A和区域B骑手日工资的期望，进而决策. 【小问1详解】 解：（1）（i）设“随机抽取一名骑手是区域A骑手”为事件M，“骑手获得‘精英骑手’奖励”为事件N， 则，， 结合频率分布直方图知，，， 所以， 因此该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率为0.26. （ii）设为选择区域A的骑手人数，则， . 【小问2详解】 略 18. 已知双曲线的上、下顶点分别为． （1）若直线与交于两点，记直线与的斜率分别为，求的值； （2）过上一点作抛物线的切线和，切点分别为，证明：直线与圆相切． 【答案】（1） （2） 由，求导得：. 设，，，则， 则切线的方程为：， 同理切线的方程为：， 为，的交点，联立以及， 可得：. 因为直线必存在斜率，设直线方程为：， 代入得，需满足， 则，，所以， 又在双曲线上，所以. 所以原点到直线的距离：. 所以直线与圆相切． 【解析】 【分析】（1）把直线方程和双曲线方程联立，消去，利用根与系数的关系，得到和，并分析两者之间的关系，再表示，化简即可. （2）设切点坐标，利用导数写出两条切线方程，求出交点，利用焦点在双曲线上，得到弦所在的方程的特点，再利用点到直线的距离公式验证直线与圆的位置关系. 【小问1详解】 由双曲线可知其焦点坐标为， 如图： 易知，. 由得：，整理得：，. ，设，. 则，，所以. 因为：，， 所以. 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线和双曲线以及抛物线的位置关系的应用问题，综合性强；解答的难点在于计算量较大，计算过程复杂，并且计算基本都是字母参数的运算，一不小心，就会出错, 19. 已知函数，，其中为自然对数的底数. （1）证明：时，； （2）求函数在内的零点个数； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）证明：令，则， 所以在单调递增，所以， 所以时，； 再令，则， 所以在单调递增，所以， 所以时，. 综上所述，时，. （2）零点个数为1个 （3） 【解析】 【分析】（1）利用作差法，构造新函数，利用导数求新函数的最值，即可证得不等式成立； （2）求出的解析式，对分类讨论，分段判断函数的零点个数，综合可得答案； （3）令，求导，分，和三种情况讨论，利用导数研究函数的单调性，从而可得符合条件的的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ①时，由（1）知， ，在没有零点； ②时，，所以是函数的零点； ③当时，， 令，则， 则函数在上单调递增，则， 则函数在上单调递减，则，在没有零点； ④当，，没有零点. 综上所述，当时，函数的零点个数为1. 【小问3详解】 由（2）知，当时，， 令 ， 则，令 ，故单调递增， ①当时，， ， 使得， 当时，，单调递减，不符合题意； ②当时，，若时，总有（不恒为零）， 则在上为增函数， 但，故当时，，不合题意. 故在上，有解，故，使得， 又在时单调速增，所以当时，，单调递增， 故当时，，不符合题意，故不符合题意； ③当时，，由于单调递增，， 故时，，单调递减； 时，，单调递增，此时， 当时，； 综上可得，. 【点睛】方法点睛：证明时，时，利用作差法，构造新函数，，利用导数求新函数的最值，即可证得不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年福州一中高三模拟考试 数学试题 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，向量，若，则实数（ ） A. B. C. -2 D. 2 3. 等比数列的前项和为，若，，，，则（ ） A. 30 B. 31 C. 62 D. 63 4. 将甲、乙等5名同学分配到3个社区进行志愿服务，要求每人只去一个社区，每个社区不能少于1人，且甲、乙在同一社区，则不同的安排方法数为（ ） A. 54 B. 45 C. 36 D. 27 5. 已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 当药品注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少，另一种药物注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少．现同时给两位患者分别注射药品A和药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 8. 在中，角所对应的边分别为，点为边的中点，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中， 正确的是（ ） A. 数据的第百分位数为 B. 已知随机变量服从正态分布，；则 C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程，若，则 D. 若样本数据的方差为，则数据的方差为4 10. 已知为椭圆的左，右焦点，为平面上一点，若，则（ ） A. 当为上一点时，的面积为1 B. 当为上一点时，的值可以为1 C. 当满足条件的点均在内部时，则的离心率小于 D. 当点在的外部时，在上必存在点，使得 11. 在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点（不含端点），则（ ） A. 存在点，使平面 B. 存在点，点到直线的距离等于 C. 过四点的球的体积为 D. 过三点的平面截正方体所得截面为六边形 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足（是虚数单位），则______． 13. 能够说明“若对任意的都成立，则函数在是减函数”为假命题的一个函数是___________．（答案不唯一） 14. 设集合为含有个元素的有限集．若集合的个子集满足以下3个条件： ①均非空；②中任意两个集合交集为空集；③．则称为集合的一个阶分拆． 若，为的2阶分拆，集合所有元素的平均值为，集合所有元素的平均值为，则的最小值等于______，最大值等于______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列中，，． （1）证明：数列为常数列； （2）求数列的前2024项和． 16. 如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，分别为的中点. （1）证明：四点共面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店外卖覆盖A，B两个区域，骑手入职只能选择其中一个区域.其中区域A无底薪，外卖业务每完成一单提成5元；区域B规定每日底薪150元，外卖业务的前35单没有提成，从第36单开始，每完成一单提成8元.为激励员工，快餐连锁店还规定，凡当日外卖业务超过55单的外卖骑手可额外获得“精英骑手”奖励50元.该快餐连锁店记录了骑手每天的人均业务量，整理得到如图所示的两个区域外卖业务量的频率分布直方图. （1）从以往统计数据看，新入职骑手选择区域A的概率为0.6，选择区域B的概率为0.4， （i）随机抽取一名骑手，求该骑手获得当日“精英骑手”奖励的概率； （ii）若新入职的甲，乙､丙三名骑手分别到该快餐连锁店应聘，三人区域选择相互独立，求至少有两名骑手选择区域A的概率； （2）若仅从人均日收入的角度考虑，新聘骑手应选择入职哪一区域？请说明你的理由（同组中的每个数据用该组区间的中点值代替）. 18. 已知双曲线的上、下顶点分别为． （1）若直线与交于两点，记直线与的斜率分别为，求的值； （2）过上一点作抛物线的切线和，切点分别为，证明：直线与圆相切． 19. 已知函数，，其中为自然对数的底数. （1）证明：时，； （2）求函数在内的零点个数； （3）若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $