江西省上饶市2022-2023学年高二下学期期末数学模拟试卷

上饶市2022-2023年高二下学期期末数学模拟卷（学生版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若全集，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列结论正确的是（    ） A．函数的最小值为2 B．若为实数，则恒成立 C．函数的值域为 D．函数的最小值为2 4．已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．为偶函数 C．有最小值 D．在上单调递增 5．已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ） A． B． C． D． 6．设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4049 C． D． 7．若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．数据12，23，35，47，61的第75百分位数为47 B．随机变量，则 C．若两组成对数据的样本相关系数分别为，则A组数据比组数据的线性相关性强 D．若已知二项式的第三项和第八项的二项式系数相等．若展开式的常数项为84，则 10．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（    ） A．可能为等差数列 B．不可能为等比数列 C．是等差数列 D．是等比数列 11．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．与 的定义域不同 B．的单调递减区间为 C．若有三个不同的解，则 D．对任意两个不相等正实数，若，则 三、填空题 12．已知是定义域为的偶函数，且，则 ． 13．已知，则 ． 14．已知，若实数m，n满足，则的最小值为 四、解答题 15．已知集合，. (1)当时，求； (2)若命题“”是命题“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16．新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用表示注射疫苗后的天数，表示人体中抗体含量水平（单位：，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示： 天数 1 2 3 4 5 6 抗体含量水平 5 10 26 50 96 195 根据以上数据，绘制了散点图. (1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值； (3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的y值大于50的天数为X，求X的分布列与数学期望. 参考数据： 3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 4023.87 其中.参考公式：用最小二乘法求经过点，，，，的线性回归方程的系数公式，；. 17．已知函数． (1)若，判断的单调性； (2)若在上没有极值点，求的取值范围． 18．已知数列满足，且． (1)求证：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 19．已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围 试卷第4页，共5页 试卷第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 答案第12页，共12页 答案第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上饶市2022-2023年高二下学期期末数学模拟卷（教师版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 命题人：刘林芳 一、单选题 1．若全集，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合中函数的值域，得到集合，判断两个集合的包含关系. 【详解】全集，，则， ，所以. 故选：D 2．若x，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】等价变形，然后构造函数得出，解不等式得，再利用充分条件和必要条件的定义，即可得解. 【详解】设命题p：，命题q： 对于命题p，因为，所以，， 构造函数，易知在R上为增函数，所以； 对于命题q，因为，所以，即； 所以为假命题，为真命题； 所以p是q的必要不充分条件; 故选：B. 3．下列结论正确的是（    ） A．函数的最小值为2 B．若为实数，则恒成立 C．函数的值域为 D．函数的最小值为2 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、B，利用基本不等式判断D，根据二次函数的性质判断C. 【详解】对于A：当时， 当且仅当，即时取等号，故A错误； 对于B：当，时，但是，故，故B错误； 对于C：因为，则在上单调递增， 又，且当时，所以， 即函数的值域为，故C错误； 对于D：因为，所以，所以， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：D 4．已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．为偶函数 C．有最小值 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】利用题设结合赋值法可得出，进而结合二次函数性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由于函数的定义域为R，且， 令，则，得， 时，恒成立，无法确定，A不一定成立； 由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定； 由于的对称轴为与的位置关系不确定， 故在上不一定单调递增，D也不确定， 由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用赋值法确定函数，进而结合二次函数性质求解. 5．已知数列各项为正数，满足，，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，再结合，可得，进而可得数列是等差数列，即可求出的通项，从而可求出数列的通项，再利用裂项相消法求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，， 即， 所以数列是等差数列， 又，，所以， 所以数列的公差为，首项为， 所以，所以， 所以，则， 所以. 故选：C. 6．设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4049 C． D． 【答案】C 【分析】令，求得首项，当时，，由已知递推式可得，由等差数列的定义和通项公式，可得所求值． 【详解】由，可得时，， 即有， 当时，，可得，化为， 即有是首项为3，公差为2的等差数列， 可得， 即，可得． 故选：C． 7．若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数分别求得与相切的切线方程，可得，进而可得有解，从而利用导数可求的范围. 【详解】设直线与相切与点，因为， 所以切线方程，即， 设直线与相切与点， 因为，所以切线方程，即， ， 所以有解， 令，， 所以函数在，上单调递减，在，上单调递增， 因为，，所以，所以， 的范围为. 故选：A. 【点睛】思路点睛：本题考查曲线公切线相关问题的求解，求解曲线公切线的基本思路是假设切点坐标，利用导数的几何意义分别求得两曲线的切线方程，根据切线方程的唯一性构造方程组来进行求解. 8．已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，令，则在上为增函数，即在上恒成立，分离参数，利用二次函数的单调性求解最值即可. 【详解】对任意的，且，， 则，令，则， 由单调性的定义知在上为增函数，. 则在上恒成立，即， 也即在上恒成立， 记，因为的对称轴为，所以在上单调递减， 所以，所以，即实数a的取值范围为. 故选：A 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．数据12，23，35，47，61的第75百分位数为47 B．随机变量，则 C．若两组成对数据的样本相关系数分别为，则A组数据比组数据的线性相关性强 D．若已知二项式的第三项和第八项的二项式系数相等．若展开式的常数项为84，则 【答案】ABD 【分析】由百分位数的计算可得A正确；由随机变量的方差公式和性质计算可得B正确；由相关系数的性质可得C错误；由二项式的通项和组合数的计算可得D正确； 【详解】A：因为，所以第75百分位数为第四位，为47，故A正确； B：因为随机变量，所以，故B正确； C：由相关系数的意义可知系数的绝对值越接近1，相关性越强，所以A组数据比组数据的线性相关性弱，故C错误； D：二项式的通项为， 由题意可得，解得， 代入，故D正确； 故选：ABD. 10．已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（    ） A．可能为等差数列 B．不可能为等比数列 C．是等差数列 D．是等比数列 【答案】AC 【分析】对于AB，举例判断，对于C，根据等差数列的定义结合题意分析判断，对于D，根据等比数列的定义结合题意分析判断， 【详解】对于A，当为常数列时，因为为等差数列，所以为等差数列，所以A正确． 对于B，当为常数列，且时，因为是等比数列，所以为等比数列，所以B错误． 对于C，设的公差为，则，得， 因为，所以数列是等差数列，所以C正确． 对于D，设的公比为，则， 当时，不是常数，所以不是等比数列，所以D错误． 故选：AC 11．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．与 的定义域不同 B．的单调递减区间为 C．若有三个不同的解，则 D．对任意两个不相等正实数，若，则 【答案】AD 【分析】利用定义域关于原点对称且是奇函数，确定选项A；利用求导和导函数值小于0，解不等式，排除选项B；利用导数研究单调性和自变量趋向于正、负无穷时的极限值来作出简图，通过是不符合题意，来排除选项C；利用极值点偏移法，构造函数并进行求导分析证明，确定选项D． 【详解】对于A，由的定义域为，而的定义域为，所以选项A是正确的； 对于B，由函数定义域为，因为，由，得到，解得或， 所以的单调递减区间为，，所以选项B是错误； 对于C，因为，由，解得且， 所以的增区间为区间，， 由选项B知，的减区间为，， 又，当时，，且， 当时，，且， 当且时，，当且时，， 其图象如图所示， 由图知，有三个不同的解，则且，所以选项C是错误； 对于D，由题知，得到， 由图，不妨设，设，， 则， 当时，，，所以， 即在区间上单调递增，又， 所以，得到， 又，当时，，即在区间上单调递减， 又，所以，得到，所以选项D是正确. 故选：AD. 三、填空题 12．已知是定义域为的偶函数，且，则 ． 【答案】2 【分析】利用给定条件，得到函数的周期性，将所求函数值化为已知函数值，代入求解即可. 【详解】由题意得是定义域为的偶函数，且， 故，可得， 故得函数的周期，而令，可得，解得， 则. 故答案为：2 13．已知，则 ． 【答案】/-0.5 【分析】根据函数解析式求出，然后代入中求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 14．已知，若实数m，n满足，则的最小值为 【答案】4 【分析】利用导数求解函数单调性，由得，即可利用不等式求解最值. 【详解】由可得，故在单调递增， 而， 故得， ，当且仅当，即时取等号， 故答案为：4 四、解答题 15．已知集合，. (1)当时，求； (2)若命题“”是命题“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，利用集合的基本运算即可得到结论. （2）根据充分条件和必要条件的定义结合集合之间的关系即可得到结论. 【详解】（1）当时，， ， 则. （2）若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则， 对应方程的两个根为或， 已知，此时 若满足AB，则，解得. 故实数的取值范围为. 16．新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用表示注射疫苗后的天数，表示人体中抗体含量水平（单位：，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示： 天数 1 2 3 4 5 6 抗体含量水平 5 10 26 50 96 195 根据以上数据，绘制了散点图. (1)根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值； (3)从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，记其中的y值大于50的天数为X，求X的分布列与数学期望. 参考数据： 3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 4023.87 其中.参考公式：用最小二乘法求经过点，，，，的线性回归方程的系数公式，；. 【答案】(1) (2)，40 (3)分布列见解析， 【分析】（1）由于这些点分布在一条曲线的附近，从而可选出回归方程； （2）设，，则建立w关于x的回归方程，然后根据公式和表中的数据求解回归方程即可，再将代入回归方程可求得在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值； （3）由题意可知x的可能取值为0，1，2，然后求对应的概率，从而可求出分布列和期望. 【详解】（1）根据散点图可知这些点分布在一条曲线的附近，所以更适合作为描述y与x关系的回归方程类型. （2）设，变换后可得， 设，建立w关于x的回归方程， ， 所以 所以w关于x的回归方程为， 所以， 当时，， 即该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为4023.87. （3）由表格数据可知，第5，6天的y值大于50， 故x的可能取值为0，1，2， ， ， ， X的分布列为 0 1 2 . 17．已知函数． (1)若，判断的单调性； (2)若在上没有极值点，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减 (2) 【分析】（1）解不等式即可； （2）分两种情况：即在上恒成立，或在上恒成立。 【详解】（1）当时，，其定义域为， ， 由，得．由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． （2）因为， ， 当时，， 若在上没有极值点，则在上单调， 即在上恒成立，或在上恒成立． 若在上恒成立，则，解得， 若在恒成立，则，解得． 综上所述，a的取值范围为． 18．已知数列满足，且． (1)求证：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，且得，从而得证. （2）先由（1）求得数列的通项公式，进而用错位相减法和等差数列前n项和公式即可求解数列的前项和. 【详解】（1）因为，且， 所以即， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）得，故 所以， 所以 ， 令①， 所以②， 所以由①②得 ， 故, 所以. 19．已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【详解】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况. 试卷第16页，共17页 试卷第1页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $$