必修第二册课本习题总结训练-2025届高三数学一轮复习

人教A版数学课本优质习题总结训练——必修二 P24 1．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为(    ) A． B． C． D． 2．如图，O是平行四边形ABCD外一点，用表示. P37 3．如图，设是平面内相交成60°角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标，设. (1)计算的大小；(2)根据平面向量基本定理判断，本题中对向量坐标的规定是否合理. P39 4．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设，求的值 4题图 5题图 P51 5．如图，在山脚测得出山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，求证：山高． P52 6．已知非零向量、满足，且，则的形状是( ) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰(非等边)三角形 D．等边三角形 7．已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心) A．重心外心垂心 B．重心外心内心 C．外心重心垂心 D．外心重心内心 P53 8．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高. 9．如下左图，在中，已知，BC，AC边上的两条中线AM，BM相交于点P，求的余弦值. P54 10．如上右图，在中，求证：. 11．已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，求证： (1)三角形的面积； (2)若r为三角形的内切圈半径，则； (3)把边BC，AC，AB上的高分别记为,则，，. 12．已知a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，. (1)求A；(2)若a=2，ΔABC的面积为，求b、c. P60 13．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于 A． B． C． D． P61 14．已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则(　　) A． B． C． D． 15．若，是夹角为的两个单位向量，且与的夹角为(    ) A． B． C． D． 16．若平面向量，，两两的夹角相等，且，，则(    ) A．2 B．5 C．2或5 D．或5 P62 17．如图，直线与的边，分别相交于点，．设，，，，请用向量方法探究与ΔABC的边和角之间的等量关系． P80 18．在复数范围内解下列方程：(1) (2) P81 19．利用公式a2+b2=(a+bi)(a-bi)，把下列各式分解成一次因式的积：(1)x2+4； (2)a4-b4. P95 20．已知复数z1=m+(4-m2)i(m∈R)和z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(λ∈R)，若z1=z2，试求λ的取值范围. P119 21．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径. P120 22．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8，若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？ 23．分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，这3个几何体的体积之间有什么关系？ P132 24．正方体各面所在平面将空间分成几部分？ 25．已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示，求证：P，Q，R三点共线. P144 26．一木块如图所示，点在平面 内，过点将木块锯开，使截面平行于直线 和，应该怎样画线？ 4题图 5题图 6题图 P145 27．如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题： (1)有水的部分始终呈棱柱形；(2)没有水的部分始终呈棱柱形；(3)水面EFGH所在四边形的面积为定值；(4)棱A1D1始终与水面所在平面平行；(5)当容器倾斜如图(3)所示时，BE·BF是定值． 其中所有正确命题的序号是______，为什么？ P152 28．过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接. (1)若，则点O是的 心. (2)若，，则点O是边的 . (3)若，，，垂足都为P，则点O是的 心. P162 29．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(    ) A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 30．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. (1)过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直.( ) (2)过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行.( ) (3)过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直.( ) (4)过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行.( ) (5)过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.( ) P164 31．如图，在正方形中，E，F分别是的中点，D是EF的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中，哪些棱与面互相垂直？ 32．如图，AB是的直径，点C是上的动点，过动点C的直线VC垂直于所在平面，D，E分别是VA，VC的中点，判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由. P169 33．如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，把容器的容积V(单位：)表示为x(单位：cm)的函数. 11题图 12题图 34．三个平面可将空间分成几部分？请分情况说明. P170 35．如图，一块正方体形木料的上底面有一点E.若经过点E在上底面上画一条直线与CE垂直，则应该怎样画？ 35题图 36题图 36．如图所示，边长为2的正方形中，点E是的中点，点是的中点，将分别沿折起，使两点重合于点. (1)求证:；(2)求三棱锥的体积. P171 37．如图，在正方体中，求证： (1)B1D⊥平面A1BC1；(2)B1D与平面A1BC1的交点H是ΔA1C1B的重心. 38．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则(  ) A．α∥β且∥α B．α⊥β且⊥β C．α与β相交，且交线垂直于 D．α与β相交，且交线平行于 P184 39．高二年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为170.2cm和160.8cm. (1)如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高. (2)如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？ P214 40．某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03. (1)根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？ (2)如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？ (3)如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗？为什么？ P222 41．四名同学各掷骰子5次，并各自记录每次骰子出现的点数，分别统计四名同学的记录结果，可以判断出一定没有出现点数6的是(    ) A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．中位数为3，方差为2.8 D．平均数为2，方差为2.4 P223 42．为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了200户居民去年一年的月均用电量(单位：kWh)，数据从小到大排序如下： 8 18 22 31 42 48 49 50 51 56 57 57 60 61 61 61 62 62 63 63 65 66 67 69 70 70 71 72 72 74 76 77 77 78 78 80 80 82 82 82 83 84 84 88 88 89 90 91 93 93 94 95 96 96 96 97 98 98 98 99 100 100 100 101 101 101 105 106 106 106 107 107 107 107 108 108 109 109 110 110 110 111 112 113 113 114 115 116 118 120 120 120 121 123 124 127 127 127 130 130 130 131 131 132 132 132 133 133 134 134 134 135 135 135 135 136 137 137 138 139 139 140 141 142 144 146 146 147 148 149 151 152 154 156 159 160 162 163 163 164 165 167 169 170 170 172 174 174 177 178 178 180 182 182 187 189 191 191 192 194 194 200 201 201 202 203 203 206 208 212 213 214 216 223 224 237 247 250 250 251 253 254 258 260 265 274 274 283 288 289 304 319 320 324 339 462 498 530 542 626 为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使75%的居民缴费在第一档，20%的居民缴费在第二档，其余5%的居民缴费在第三档，请确定各档的范围. P224 43．某人有4把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大？如果试过的钥匙又混进去，第二次能打开门的概率又有多大？ P249 44．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第1枚正面朝上”，事件“第2枚正面朝上”，事件“2枚硬币朝上的面相同”，中哪两个相互独立？ 45．设样本空间含有等可能的样本点，且，请验证A，B，C三个事件两两独立，但. P250 46．假设，，且，相互独立，则 ； . 47．若，，证明：事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立． P264 48．一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球. (1)求第二次取到红球的概率；(2)求两次取到的球颜色相同的概率； (3)如果是4个红球，n个绿球，已知取出的2个球都是红球的概率为，那么n是多少？ -必修二结束- 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版数学课本优质习题总结训练——必修二 参考答案： 1．A 【分析】设中点为，确定，为正三角形，再计算向量的投影得到答案. 【详解】设中点为，则，即，故边为圆的直径， 则，又，则为正三角形， 则有， 向量在向量上的投影向量， 故选：A 2． 【解析】由，，，即可得到结论. 【详解】. 【点睛】本题考查向量加法，向量减法，属于基础题. 3．（1）；（2）合理 【分析】（1）结合图形作辅助线在直角三角形中求解； （2）根据平面向量基本定理，作为一组基底，则平面内任意向量都有唯一有序数对使得. 【详解】解：（1）建立如图所示的直角坐标系，将分解到轴和轴可求得，所以. （2）作为一组基底，对于任意向量都是唯一确定的，所以本题中对向量坐标的规定合理. 【点睛】此题考查平面向量基本运算，涉及数形结合处理模长问题，对平面向量基本定理辨析 4．2 【分析】利用平面向量基本定理表示出，列方程组即可求解. 【详解】因为点O是BC的中点， 所以. 而M、N、O三点共线，所以 ， 则有 5． 【详解】主要考查正弦定理的应用． 解：在中， 　　　　　， 　　　　　． 在中，根据正弦定理， 　　　　　　　　 所以山高为． 6．D 【分析】由可得，再由可求出，即得三角形形状. 【详解】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量， 由，可得的角平分线与垂直， 所以为等腰三角形，且， 且， 所以，又， 所以， 所以， 所以三角形为等边三角形． 故选：D． 7．C 【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C.    考点：向量在几何中的应用. 8． 【详解】在△BCD中， . 由正弦定理得 所以 在Rt△ABC中， 塔高为. 9． 【解析】即为与的夹角，先用将与表示出来，求出以及，，代入公式即可． 【详解】解：∵M，N分别是BC，AC的中点， . 与的夹角等于. ， ， ， ． 【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量的夹角公式，考查计算能力，是中档题． 10．证明见解析 【分析】利用余弦定理的推理将左边的余弦式进行角化边，化简整理即可得到右边. 【详解】根据余弦定理的推论，得左边右边，故等式成立. 【点睛】本题考查了余弦定理的推理的应用，考查了证明等式的方法及推理论证能力，属于基础题. 11．（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【解析】（1）设三角形的三边a，b，c的对角分别为A，B，C，则由余弦定理可得，求出并代入三角形面积公式，设，则，即可化简得证； （2）由（1）可得．而又因为，，结合上述两式即可得证； （3）由三角形面积公式可得，即可得解． 【详解】证明：（1）根据余弦定理的推论得， 则，代入， 得 又， 所以， 代入可得； （2）因为，所以三角形的周长， 又三角形的面积，其中r为内切圆半径， 所以； （3）根据三角形的面积公式， 得. 同理可证，. 【点睛】本题主要考查了余弦定理、三角形面积公式，平方差公式的应用，计算量较大，属于中档题． 12．(1) (2) 【分析】（1）在中，由及正弦定理得到，得出角A； （2）由三角形面积公式结合余弦定理可得． 【详解】（1）根据正弦定理， 变为，即， 也即， 所以． 整理，得，即，所以， 所以，则． （2）由，，得． 由余弦定理，得， 则，所以．则． 13．D 【详解】试题分析：由已知得， 而所以，选D. 考点：平面向量的线性运算，相反向量. 14．B 【分析】利用向量减法和向量相等的定义即可求得之间的关系，进而得到正确选项. 【详解】， 而在平行四边形ABCD中，，所以， 又，，，， 则，也即. 故选：B. 15．B 【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】因为，是夹角为的两个单位向量， 所以， 故， ， ， 故 ， 由于 ，故. 故选：B. 16．C 【分析】根据给定条件，利用向量运算律计算即得. 【详解】由向量，，两两的夹角相等，得或， 当时，， 当时， . 故选：C 17． 【分析】由，结合数量积可得，再运用数量积定义可分别求出、、，代入整理即可. 【详解】如图所示， 因为，所以， 即， 又因为， ， ， 所以， 即. 18．(1) (2) 【分析】根据题意，由一元二次方程的解法结合复数的运算，即可得到结果. 【详解】（1）将方程的二次项系数化为1， 得 得，即 所以原方程的根为 （2）方程的二次项系数为1， 配方，得由， 知可得 所以原方程的根为. 19．（1）； （2）. 【解析】（1）运用平方差公式进行因式分解即可； （2）运用平方差公式进行因式分解即可. 【详解】（1）； （2）. 【点睛】本题考查了在复数范围内因式分解，考查了平方差公式的应用，属于基础题. 20．. 【详解】试题分析：当时，复数的实部和虚部分别相等，求得 ，根据 ，求函数的值域. 试题解析：∵，∴， ∴，消去得：， ∴， ∵，∴当时，. 当时，.所以的取值范围为：. 21． 【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据圆锥的表面积公式和半圆的面积公式列方程组，解出即可. 【详解】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意得. 又圆锥的侧面展开图为半圆，，即. 将②式代入①式得，，即. 故圆锥的底面直径为. 【点睛】本题考查圆锥的表面积公式，是基础题. 22．6 【分析】按侧面放置时，液面以上部分为三棱柱，其体积为原来棱柱的，故可得水的体积为棱柱的，由此可得按底面放置时液面的高． 【详解】设三棱锥的体积为，按侧面水平放置时液面以上部分的体积为，故水的体积为，设按底面放置时液面的高为，则，故． 【点睛】一定形状的几何体容器，按不同位置放置时容器内的液体的体积计算方法不一致，可根据同一体积的不同计算方法得到关键几何量之间的相互关系． 23． 【解析】直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，依照题意，得到三个几何体的体积． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为， 以为轴，进行旋转，形成底面半径为，高为的圆锥， 其体积； 以为轴，进行旋转，形成底面半径为，高为的圆锥， 其体积， 以为轴，进行旋转，形成底面半径为，高的和为的两个圆锥的组合体， 其体积． 所以. 【点睛】本题考查几何体的体积公式．较易．解题时要认真审题，仔细解答． 24．27个部分 【分析】根据题意画出图形即可得出答案. 【详解】   如图，图中画出了正方体最上层把空间分成9个部分， 同理中层、下层也分别把空间分成9个部分， 因此共将空间分成27个部分. 【点睛】本题主要考查的是平面基本性质，正确理解确定平面的几个公理及由题意画出图形且有较强的空间想象能力是解题的关键，是中档题. 25．证明见解析 【分析】推导出P，Q，R都在平面ABC与平面α的交线上，即可证明. 【详解】证明：法一：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α. 又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上. ∴P，Q，R三点共线. 法二：∵AP∩AR＝A， ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR. ∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR， ∴P，Q，R三点共线. 26．画线见解析． 【详解】试题分析：利用线面平行的判定定理去确定． 试题解析：过平面内一点作直线，交于，交于；过平面内一点作直线，交于，则，所确定的截面为所求． 考点：棱锥的结构特征，线面平行的判定和实际应用． 27．(1)(2)(4)(5) 【分析】根据题意，结合棱柱的特征进行判断，观察即可得到答案. 【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形，所以(1)和(2)正确； 因为水面所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化，所以水面四边形的面积是变化的，(3)错误； 因为棱始终与平行，与水面始终平行，所以(4)正确； 因为水的体积是不变的，高始终是也不变，所以底面积也不会变 ，即是定值， 所以(5)正确；综上知(1)(2)(4)(5)正确， 故答案为：(1)(2)(4)(5). 28． 外 中点 垂 【分析】(1)由可得，，根据题意可得，可得，从而可得，从而得到结果； (2)由(1)得到，根据在直角三角形中，斜边的中线是斜边的一半可得，点O为斜边的中点； (3)由，可得平面，进而可得，又，可得平面，进而可得，同理可得,，从而得出答案。 【详解】解(1)如图，因为    所以， 故， 又，, 所以 故可得， 同理可得： 所以点O是的外心； (2)由(1)可得点O是的外心， 又因为， 根据在直角三角形中，斜边的中线是斜边的一半 得到点O为斜边的中点， 即为边的中点； (3)因为，，且 平面 所以平面， 所以， 因为 所以 又， 平面， 所以平面， 所以， 同理可得：, 故，点O是的垂心。 【点睛】本题考查了四面体这一几何体，主要从线面垂直这一位置关系进行考查，需要一定的空间想象能力。 29．D 【分析】将直线l1，l2，l3，l4放在正方体中，由此即可判断出答案. 【详解】   构造如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C. 故选:D. 30． √ × √ × √ 【解析】(1)过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直； (2)过平面外一点，有无数条直线与这个平面平行； (3)过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直； (4)过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行； (5)过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 【详解】根据点线面位置关系，结合公理： 过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直，所以(1)正确； 过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行，则过该点在平面内的无数条直线都与已知平面平行，所以(2)错误； 过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线垂直，所以(3)正确； 过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行，所以(4)错误； 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以(5)正确. 【点睛】此题考查根据公理辨析点线面的位置关系，关键在于根据公理准确分析，可以结合具体图形进行辨析. 31．平面GEF，平面GSE，平面GSF. 【分析】通过对折叠前后直线位置关系的辨析得折后，根据线面垂直的判定定理即可判定. 【详解】解：折前 ∴折后. 又SG，EG，FG交于一点G. 根据EG，FG交于一点G，可得平面GEF， 同理可证：平面GSE，平面GSF. 【点睛】此题考查折叠问题中的垂直关系，找准折叠前后的变化关系和不变关系，关键在于根据线线垂直证明线面垂直. 32．直线DE与平面VBC垂直，理由见解析 【解析】先证明平面平面VBC，再根据面面垂直的性质证明AC与平面VBC垂直，即可得证. 【详解】解：直线DE与平面VBC垂直 理由：由VC垂直于所在平面，知，即是二面角A-VC-B的平面角. 由AB是的直径，知. 因此，平面平面VBC. 由两个平面垂直的性质定理， 平面平面VBC，交线为VC，，平面VAC， 可知直线AC与平面VBC垂直， 由D，E分别是VA，VC的中点，知， 所以直线DE与平面VBC垂直. 【点睛】此题考查面面垂直的证明和根据面面垂直的性质证明线面垂直，其中涉及利用三角形中位线得平行关系. 33． 【分析】根据题意，求得正四棱锥的底面边长和高，结合棱锥的体积公式，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，如图所示，可得，且四边形ABCD为正方形， 所以，所以， 所以.    【点睛】本题主要考查了正棱锥的结构特征，以及棱锥的体积的计算，其中解答中熟记棱锥的几何体结构特征，结合棱锥的体积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题. 34．三个平面可将空间分成4或6或7或8部分，见解析 【分析】根据平面的概念和平面的基本特征，即可求解，得到答案. 【详解】当三个平面两两平行时，可把空间分为4部分； 当一个平面和两个平行平面相交时, 可把空间分为6部分； 当三个平面两两相交时，可把空间分为6、7、8个部分. 直观图，如图所示，    【点睛】本题主要考查了平面的基本性质的应用，其中解答中熟记平面的概念及基本性质，结合图形求解是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题. 35．见解析 【分析】根据正方体的结构特征，结合线面垂直的判定定理和性质定理，即可求解，得到答案. 【详解】如图所示，连接在上底面过点E作直线即可， 因为面，所以.根据作法知， 又因为，所以平面，所以. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特征，以及线面垂直的判定定理与性质定理的应用，其中解答中熟记正方体的结构特征，准确利用线面垂直的判定定理和性质定理进行判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 36．(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)由已知可得，，从而有平面，进而可得结论； (2)由勾股定理可得，从而易得的面积，又由(1)知平面，从而根据即可求解． 【详解】(1)证明：由正方形知，， ，， ，、平面， 平面， 又平面， ． (2)解：，，可得， 的面积为， 又由(1)平面， 是三棱锥的底面上的高线， 所以三棱锥的体积为：. 37．(1)见解析；(2)见解析 【分析】(1)结合正方体的结构特征，以及线面垂直的判定定理，即可证得平面； (2)连接，根据，得出点H为的外心，进而得到点H也是的重心. 【详解】(1)如图所示，连接，则， 平面，， 又，平面， 平面，平面. 平面.，同理， ，平面. (2)连接，由，得， 因此点H为的外心， 又为正三角形，∴点H也是的重心. 【点睛】本题主要考查了正方体的结构特征，以及线面垂直的判定与证明，其中解答中熟记正方体的结构特征，合理应用线面垂直的判定定理和性质定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题. 38．D 【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D． 考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论． 39．(1)男生49人，女生51人，平均身高165.4cm(2)见解析 【解析】(1)先计算抽样比例，得到男生人数和女生人数，再计算平均身高得到答案. (2)根据(1)的计算公式计算得到答案. 【详解】(1)抽取男生人数为，抽取女生人数为. 高二年级全体学生的平均身高估计为(cm). (2)仍按(1)方式进行估计，即(cm). 【点睛】本题考查了分层抽样的相关计算，意在考查学生的计算能力. 40．(1)不能，见解析；(2)能，170.02，43.24；(3)168.67,46.89，不合适，见解析. 【解析】(1)由于不知道如何抽取的样本，因此没法计算总体均值，同样没法计算总体方差； (2)按男女生比例抽取样本，可按相应公式计算均值和方差； (3)已知样本量，可按样本量所占比计算均值与方差，但不具代表性，个体不是等概率抽取的． 公式：分层抽样中两组数据的抽样比例是，则总体均值为， 总体方差 【详解】(1)不能，因为本题没有给出男、女生的样本量，或者男、女生样本量的比例，故无法计算出总样本的均值和方差.. (2)总样本的均值为. 总样本的方差. (3)总样本的均值为. 总样本的方差为. 不能作为总体均值和方差的估计，因为分层抽样中未按比例抽样，总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差. 【点睛】本题考查用样本估计总体，掌握抽样分析中能用样本估计总体所必须具备的条件是总体中每个个体被抽取的概率应相等，即等可能． 41．D 【分析】根据题意举出特例，结合中位数，众数，平均数以及方差公式，即可得出答案． 【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误； 对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误； 对于C，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3， 平均数为：， 方差为， 可以出现点数6，故C错误； 对于D，若平均数为2，且出现6点，则方差， 则平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故D正确． 故选：D． 42．第一档用电范围为,第二档用电范围为,第三档用电范围为. 【解析】根据所给数表,可计算出200户居民中排为在时的数值,即可规定为第一档的最高值;排位在时的数值为第二档的最高值,剩余为第三档即可. 【详解】由题意可知,排位在时为即第150位的数值为第一档的最高值,通过查表可知, 第150个数据为178, 所以第一档用电范围为; 排位在时为即第190位的数值为第二档的最高值,通过查表可知, 第190个数据为289, 所以第二档用电范围为; 第三档的用电范围为 综上可知,第一档用电范围为,第二档用电范围为,第三档用电范围为. 【点睛】本题考查了统计中分析数据与处理数据的能力,通过所给数据找出符合题意的解,属于基础题. 43．； 【解析】先列举出事件“第二次才打开门”包含的基本事件，分别求出两种情况对应的所有基本事件以及个数，由古典概型的公式计算概率即可. 【详解】解：用1，2表示能打开门的钥匙，用3，4表示不能打开门的钥匙事件“第二次才打开门”包含的样本点有，共4个 若把不能开门的钥匙扔掉，则该试验的样本空间可表示为 ，共有12个样本点，所以此时的概率； 若试过的钥匙又混进去，则样本空间可表示为，共有16个样本点，所以此时的概率为. 【点睛】本题主要考查了利用古典概型的公式计算概率，属于中档题. 44．A与B，A与C，B与C都相互独立 【解析】分别计算出,进而求得.由独立事件概率性质即可判断中哪两个相互独立. 【详解】可求 所以 由独立事件概率性质可知A与B,A与C,B与C都相互独立. 【点睛】本题考查了古典概型概率的计算方法,根据概率判断事件的独立性,属于基础题. 45．见解析 【解析】分别计算出,进而求得.由独立事件概率性质即可判断中两两事件相互独立.再计算出与,即可判断结论. 【详解】可求得 所以 即A,B,C两两独立 但,所以 【点睛】本题考查了古典概型概率的计算方法,根据概率判断事件的独立性,属于基础题. 46． 0.56 0.94 【分析】(1)由与相互独立知，代入求解即可， (2)，代入求解即可． 【详解】解：(1)∵，，且与相互独立， ∴； (2)， 故答案为：0.56；0.94． 47．详见解析 【分析】根据独立事件和互斥事件的概率证明. 【详解】证明：若事件A，B相互独立，则； 若事件A，B互斥，则， 所以事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立． 48．(1)；(2)；(3)5. 【解析】(1)先求出从10个球中不放回地随机取出2个的不同取法数，再求出第二次取到红球的不同取法数，然后求概率即可； (2)结合(1)求解即可； (3)由取出的2个球都是红球的概率求出基本事件的个数，然后再求解即可. 【详解】解：(1)从10个球中不放回地随机取出2个共有(种)可能，即. 设事件A=“两次取出的都是红球”，则. 设事件B=“第一次取出红球，第二次取出绿球”，则. 设事件C=“第一次取出绿球，第二次取出红球”，则. 设事件D=“两次取出的都是绿球”，则. 事件A，B，C，D两两互斥. ∴P(第二次取到红球)=. (2)P(两次取到的球颜色相同)； (3),. 又,解得. 【点睛】本题考查了古典概型的概率的求法，重点考查了运算能力，属基础题. 答案第4页，共14页 23 学科网（北京）股份有限公司 $$