必修一第一册课本习题总结训练-2025届高三数学一轮复习

人教A版数学课本优质习题总结训练——必修一 P102 1．如图，ΔOAB是边长为2的正三角形，记ΔOAB位于直线x=t(t＞0)左侧的图形的面积为f(t).试求函数y=f(t)的解析式，并画出函数y=f(t)的图象. 2．某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下表所示的关系. x … 30 40 45 50 … y … 60 30 15 0 … (1)根据表中提供的数据描出实数对(x,y)的对应点，根据画出的点猜想y与x之间的函数关系，并写出一个函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为P(单位：元)，根据上述关系，写出P关于x的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？ P110 3．(1)已知10m=2,10n=3，求10的值；(2)已知a2x=3，求的值. 4．已知，求下列各式的值：(1)a+a-1；(2) a2+a-2. 5．(1)当n= 1，2，3，10，100，1000，10000，100000，……时，用计算工具计算(1+)n(n∈N+)的值； (2)当n越来越大时，(1+)n的底数越来越小，而指数越来越大，那么(1+)n是否也会越来越大？有没有最大值？ P120 6．已知函数的图象过原点，且无限接近直线y=2但又不与该直线相交. (1)求该函数的解析式，并画出图象；(2)判断该函数的奇偶性和单调性. P141 7．已知，，求实数a的取值范围. 8．比较下列各题中三个值的大小：(1)log0.26，log0.36，log0.46；(2)log23，log34，log45. P230 9．是否存在锐角α，β，使得①α+2β=；②tan·tanβ=2-同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由. 10．(1)求函数的最小正周期和单调递增区间； 11．你能利用所给图形，证明下列两个等式吗？ ；. 12．设.利用三角变换，估计在时的取值情况，进而猜想x取一般值时的取值范围. P254 13．(1)证明：； (2)求的值； (3)若，求的值. (4)求的值. P255 14．化简：(1)；(2)；(3)；(4) 15．(1)已知，求的值； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值； (4)已知，求的值. 16．(1)已知，，求的值； (2)已知，，求的值． 17．证明： (1)； (2)； (3)； (4). 18．已知，，的值． 19．已知，求证. 20．已知函数． (1)求f(x)的最小正周期；(2)当时，求f(x)的最小值以及取得最小值时x的集合． 21．如图正方形ABCD的边长为1,P,Q分别为边AB,DA上的点，当ΔAPQ的周长为2时，求∠PCQ的大小. --必修一结束— 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教A版数学课本优质习题总结训练——必修一 参考答案： 1．，函数图象见解析； 【分析】在求的解析式时，关键是要根据图象，对的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象． 【详解】解：(1)当时， 如图，设直线与分别交于、两点，则，又，， (2)当时，如图，设直线与分别交于、两点，则，又，， (3)当时，，综上所述 2．(1) (2)，销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润300元 【分析】(1)猜想y与x是一次函数关系，设，代入数据计算得到答案. (2)，根据二次函数的单调性得到最值. 【详解】(1)如图，猜想y与x是一次函数关系，设. 将代入得,解得. ∴ y与x的一次函数解析式为. (2)，当时，. ∴销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润300元.  【点睛】本题考查了求函数解析式，函数图像，函数的最值，意在考查学生对于函数知识的应用能力. 3．(1)；(2). 【解析】(1)根据指数幂运算法则将原式转化为即可求值；(2)利用立方和公式化简因式分解再求值. 【详解】(1)原式； (2)原式. 【点睛】此题考查根据指数幂的运算法则求代数式的值，利用整体代换，涉及因式分解. 4．(1)7；(2)47. 【解析】(1)对等式两边同时平方即可得解；(2)根据(1)对两边同时平方即可得解. 【详解】(1)，∴两边平方得.. (2)由(1)知，两边平方得. 【点睛】此题考查与指数幂运算相关的化简求值，关键在于找准关系，准确化简代换求值. 5．(1)见解析；(2)是，没有. 【解析】(1)利用计算器依次计算求值；(2)根据(1)的计算结果分析，越来越大，没有最大值. 【详解】(1)； ；； ；. (2)由(1)知，当n越来越大时，的值也会越来越大，但没有最大值. 【点睛】此题考查利用计算机计算指数幂的值，根据指数幂的大小关系分析代数式的变化趋势，和最值的情况，体现了根据有限的事实与类比无限的思想. 6．(1)，图象见解析；(2)为偶函数，在上为减函数，在上为增函数. 【分析】(1)由函数图象过原点可得，又由图象无限接近直线可得，由此可求出函数的解析式，去掉绝对值再结合指数函数图象特征即可画出函数图象； (2)利用奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性，去掉绝对值得，根据单调性的性质即可求得函数的单调性． 【详解】解：(1)由题意知，，，，∴，图象如图： (2)∵，∴，为偶函数，又，∴在上为减函数，在上为增函数． 【点睛】本题主要考查指数函数图象的应用，属于基础题． 7． 【分析】分别根据对数和指数函数的单调性解不等式，再求交集即可． 【详解】解:，当时成立；②当时，解得．又，，∴a的取值范围是． 8．(1) (2) 【解析】(1)利用换底公式分析即可.(2)分别两两作差,根据基本不等式分析作差后的正负再判定即可. 【详解】解:(1) 因为,，且,故 (2), 同理可证. 【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性以及作差比较大小的问题,属于中档题. 9．， 【分析】由①易知：，可得，结合与为锐角，则可求出，，即可得出答案. 【详解】存在.由①得， ∴， 将②代入上式得， 因此，，是方程的两根，解得，. 当时，∵，∴， 此时不存在，故，， 所以， ∵，均为锐角， ∴，. 10．(1)周期为，单调递增区间为.  (2)最大值为，最小值为 【解析】(1)利用诱导公式、辅助角公式化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式和单调性求解即可； (2)利用辅助角公式直接求解即可. 【详解】解：(1) ，最小正周期为； 由，得，∴单调递增区间为. (2)，其中，的最大值为，最小值为. 【点睛】本题考查了用辅助角公式求解正弦型函数的最小正周期、单调区间和最值，考查了数学运算能力. 11．证明见解析 【分析】取线段AB的中点M，求出它的坐标，再利用圆的几何性质和锐角三角函数中正弦的定义和余弦的定义证明即可. 【详解】证明：线段AB的中点M的坐标为.过点M作垂直于x轴，交x轴于，如图，则.在中，. 在中，. 于是有，. 【点睛】本题考查了利用单位圆、锐角三角函数中正弦的定义、余弦的定义证明三角恒等式，考查了数形结合思想. 12．猜想，当时，. 【解析】根据同角三角函数的平方关系，二倍角的正弦公式，分别求出当时，的取值范围，然后猜想出x取一般值时的取值范围. 【详解】解：当时，； 当时，，此时有； 当时，，此时有，由此猜想，当时，. 【点睛】本题考查了同角三角函数的平方关系，考查了正弦的二倍角的公式，考查了正弦函数的值域，运用代数式的恒等变形是解题的关键. 13．(1)证明见解析；(2)；(3)2(4) 【解析】分别根据两角和的正切公式即求出或证明． 【详解】(1)证明： =右边， (2)解：. (3)解： . (4)解：， ． 【点睛】本题考查了两角和的正切公式，考查了运算求解能力和转化与划归思想，属于中档题． 15．(1)4；(2)-1(3)-1；(4)1 【解析】(1)利用辅助角公式及二倍角公式计算可得； (2)利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得； (3)利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得； (4)利用同角三角函数的商数关系将切化弦，通分，再利用辅助角公式及诱导公式计算可得； 【详解】解：(1)原式 ； (2)原式 (3)原式 (4)原式 【点睛】此题考查了二倍角的正弦公式，诱导公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题． 15．(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】(1)由，利用同角的三角函数关系求出，再计算的值； (2)由，两边平方利用二倍角正弦公式求出的值； (3)由，根据平方公式和二倍角公式求出的值； (4)由，利用平方关系结合题意求得的值． 【详解】解：(1)由，， 得， 所以； (2)由， 所以， 解得； (3)由， 得， 解得，则； (4)由，得： ． 【点睛】本题考查了三角函数的求值与应用问题，也考查了三角恒等变换应用问题，属于中档题． 16．(1)；(2) 【分析】(1)利用两角和与差的余弦函数公式化简可求进而根据同角三角函数基本关系式化简即可求解． (2)将两边同时平方，再相加即可得解； 【详解】解：(1)， ． (2)因为，， 所以，， 上述两式相加得 即解得 17．(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析；(4)证明见解析 【解析】(1)利用二倍角公式即可证明； (2)利用二倍角正弦公式及商数关系即可证明； (3)利用两角和的正弦公式化简证明； (4)利用二倍角余弦公式及完全平方公式化简证明； 【详解】证明：(1)左边 右边 (2)左边右边. (3)左边 右边 (4)左边右边. 【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，三角恒等变换公式是的灵活应用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 18．. 【分析】依题意可得，且，. 然后可得，，进而可得. 【详解】将平方得，所以，所以. 所以，从而. 联立，得. 所以，. 故. 19．证明见解析 【解析】由，得到，把已知两等式代入，整理即可得证． 【详解】证明：， ， 把，代入得：， 即， 整理得：． ． ， 两边平方可得：． 【点睛】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键． 20．(1)，(2)，时 【分析】(1)先利用同角平方关系及二倍角公式，辅助角公式进行化简，即可求解； (2)由的范围先求出的范围，结合余弦函数的性质即可求解． 【详解】解：(1)， ， ， ， 故的最小正周期； (2)由可得，， 当得即时，函数取得最小值．所以，时 21． 【详解】试题分析：分析设出角，然后借助于正方形的性质得到 结合内角和为直角，间接法得到 进而表示所求的角的大小． 设则,则 即 考点：本题主要是考查运用三就爱哦函数表示边长，进而结合两角和差的关系式得到结论． 点评：解决该试题的关键是能根据边表示出的正切值，借助于两角差的正切公式得到结论． 答案第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$