精品解析：河南省漯河市高级中学2024届高三下学期三模数学试题

2023-2024学年高三三模试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是（ ） A. 至少有一个样本点落在回归直线上 B. 若所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为1 C. 当时，x增加1个单位时，y平均增加2个单位 D. 若回归直线的斜率，则变量x与y正相关 3. 设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ） A B. C. D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数、、、的图形．图中四边形的对角线相交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知P是圆上的一个动点，直线上存在两点A，B，使得恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A B. C. D. 8. 设为原点，为双曲线的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.） 9. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有3个红球和4个绿球；乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机获出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”，则下列说法正确的是（ ） A. ，是对立事件 B. ，是独立事件 C D. 10. 如图，在长方体中，，，是棱上的一点，点在棱上，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，四点共面，则 B. 存在点，使得平面 C. 若，，，四点共面，则四棱锥的体积为定值 D. 若为的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 11. 已知函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于对称 C. 的图象关于对称 D. 在上单调递增 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 数列满足，则________. 13. 设O为坐标原点，双曲线的左焦点为F，过F的直线与的左、右两支分别交于P，Q两点，且，则C的渐近线方程为______. 14. 已知长方体的底面ABCD为边长是2的正方形，，E，F分别为棱AB，的中点，则过，E，F的平面截长方体的表面所得截面的面积为______________. 四．解答题（共5小题，共77分） 15. 在以为坐标原点的平面直角坐标系中，双曲线：的虚轴长为4，一条渐近线方程为，直线：交双曲线于、两点，为直线上一点且.点为直线与轴的交点. （1）求双曲线的方程和焦距； （2）若线段上一动点满足，求直线与的斜率之积. 16. 某学校的数学兴趣小组对学校学生的冰雪运动情况进行调研，发现约有的学生喜欢滑雪运动．从这些被调研的学生中随机抽取3人进行调查，假设每个学生被选到的可能性相等． （1）记表示喜欢滑雪运动的人数，求的数学期望． （2）若该数学兴趣小组计划在全校学生中抽选一名喜欢滑雪运动的学生进行访谈．抽选规则如下：在全校学生中随机抽选一名学生，如果该学生喜欢滑雪运动，就不再抽选其他学生，结束抽选活动；如果该学生不喜欢滑雪运动，则继续随机抽选，直到抽选到一名喜欢滑雪运动的学生为止，结束抽选活动．并且规定抽取的次数不超过次，其中小于当次调查的总人数．设在抽选活动结束时，抽到不喜欢滑雪运动的学生的人数为，求抽到名学生不喜欢滑雪运动的概率． 17. 已知函数． （1）求证：； （2）若是的两个相异零点，求证：． 18. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面为的中点，为PA上一点，且． （1）证明：平面BDQ； （2）若二面角为，求三棱锥体积． 19. 对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的． （1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”． （2）记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列． （3）设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高三三模试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再根据，求得的取值范围. 详解】由题意知，又且， 故，即的取值范围为. 故选：D. 2. 根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是（ ） A. 至少有一个样本点落在回归直线上 B. 若所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为1 C. 当时，x增加1个单位时，y平均增加2个单位 D. 若回归直线的斜率，则变量x与y正相关 【答案】D 【解析】 【分析】根据线性回归的思想、回归直线的特点及性质进行分析即可. 【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误； 所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为 ，故B错误； 当时，x增加1个单位时，y平均减少2个单位，故C错误； 若回归直线的斜率，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确． 故选: D． 3. 设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据椭圆定义结合勾股定理解得，进而可得，在△中，利用勾股定理列式求解即可. 【详解】设， 因为，则，， 由椭圆的定义可得，， 因为，即， 在中，则，即， 解得，可得， 在△中，可得，整理得， 所以椭圆E的离心率为. 故选：B． 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知角表示待求角，根据二倍角的余弦公式，诱导公式求解. 【详解】 ， 故选：D． 5. 如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数、、、的图形．图中四边形的对角线相交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长、交于点，取的中点，连接，分析出为等腰直角三角形，求出的长，分析出，利用平面几何的相关知识可求得的值. 【详解】延长、交于点，取的中点，连接， 易知为等腰直角三角形，则，， 所以，，，， 故为等腰直角三角形，且，则， 因为、分别为、的中点，则，且， 所以，，故. 故选：B. 6. 已知P是圆上的一个动点，直线上存在两点A，B，使得恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知以为直径的圆要内含或内切圆，根据两圆的位置关系分析求解. 【详解】已知圆的圆心为，半径， 若直线上存在两点A，B，使得恒成立， 则以为直径的圆要内含或内切圆， 因为点到直线l的距离， 所以长度的最小值为， 故选：B． 7. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象分析出函数的奇偶性、函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】由图象可得函数为偶函数，且，，当且仅当时，， 对于A，因为，，所以函数是偶函数，又，， 则，所以函数在上单调递增， 所以，故解析式可能为A，故A正确； 对于B，由，不合题意，故B错误； 对于C，因为，所以且， 所以函数是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，由，不合题意，故D错误. 故选：A. 8. 设为原点，为双曲线的两个焦点，点在上且满足，，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由题意列出含的方程组，解出的关系式，进而求出双曲线的渐近线即可. 【详解】 设 ，由双曲线的定义知 ， 在 中，由余弦定理得：， 所以 ， 再由，为的中点，延长至，使， 所以四边形为平行四边形，且， 在中，由余弦定理知：， 在中，由余弦定理知：， 因为，则， 可知， 所以 ③， 由得， 把代入得， 化简得 ， 所以渐近线方程为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：由四点共圆的四边形四个边的平方和等于两条对角线的平方和是解决本题的关键. 二．多选题（共3小题，每题6分，共18分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.） 9. 甲、乙两个不透明的袋子中分别装两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有3个红球和4个绿球；乙袋中装有5个红球和2个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机获出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”，则下列说法正确的是（ ） A. ，是对立事件 B. ，是独立事件 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据对立事件的定义即可判断A；根据独立事件的定义即可判断B，利用条件概率即可判断CD. 【详解】A：由题意知，每次只摸出一个球，，， 则，所以对立，故A正确； B：，， 则，所以不相互独立，故B错误； C：，故C错误； D：，， 所以，故D正确. 故选：AD 10. 如图，在长方体中，，，是棱上的一点，点在棱上，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，，四点共面，则 B. 存在点，使得平面 C. 若，，，四点共面，则四棱锥的体积为定值 D. 若为的中点，则三棱锥的外接球的表面积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用假设法即可判断A，利用线面平行的判定即可判断B，利用棱锥体积公式即可判断C，求出外接球半径，找到球心位置即可判断D. 【详解】对A，由四点共面，得，则， 若不是棱的中点，则，故A错误. 对B，当是棱的中点时，取的中点，连接，则为的中点. 因为为的中点，则. 因为平面平面，所以平面，则B正确. 根据长方体性质知，且平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 则点，到平面的距离为定值， 又因为的面积为定值， 所以三棱锥和三棱锥的体积都为定值， 则四棱锥的体积为定值，故C正确. 取棱的中点，由题中数据可得， 则，所以为等腰直角三角形，所以是外接圆的圆心， 外接圆的半径.设三棱锥的外按球的球心为， 半径为，设，则， 即，解得，则，此时点位于中点， 从而三棱锥的外接球的表面积是，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数的图象向左平移个单位后得到的图象，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图象关于对称 C. 图象关于对称 D. 在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据平移可得，即可根据诱导公式求解A，代入表达式求解函数值即可求解BC，利用整体法即可求解D. 【详解】，故A错误； 由，故B正确； 由，得C正确； 由，令，得，, 当时，，故D正确. 故选:BCD. 三．填空题（共3小题，每题5分，共15分.） 12. 数列满足，则________. 【答案】 【解析】 【分析】当时求出，当时，得到，作差即可得到，再检验时是否满足，即可得解. 【详解】因为， 当时，， 当时，， 则得：， 所以， 当时，不成立，所以． 故答案为：. 13. 设O为坐标原点，双曲线的左焦点为F，过F的直线与的左、右两支分别交于P，Q两点，且，则C的渐近线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，由双曲线的定义可知， 在和中，利用余弦定理建立方程列式，化简得，即可求解. 【详解】如图所示，由，不妨设，则， 双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，， 由得，，则，① 在中，，② 在中，，③ 由①②得，，所以，④ 由①③得，，所以，⑤ 由④⑤得，故， 故的渐近线方程为. 故答案为： 14. 已知长方体的底面ABCD为边长是2的正方形，，E，F分别为棱AB，的中点，则过，E，F的平面截长方体的表面所得截面的面积为______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，作出过点的长方体的截面，再结合相似三角形求出截面面积. 【详解】在长方体中，连接并延长与的延长线交于点，直线交于，交的延长线于， 连接交于，连接，则五边形即为过点的长方体的截面， 由，为的中点，得是中点，，， 由，是中点，得，则， 则， 等腰底边上的高， 的面积， 平面平面，平面平面，平面平面， 则，于是∽，同理，∽， ， 因此， 所以所得截面的面积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据已知条件，结合平面的基本事实作出截面多边形是解决本题的关键. 四．解答题（共5小题，共77分） 15. 在以为坐标原点的平面直角坐标系中，双曲线：的虚轴长为4，一条渐近线方程为，直线：交双曲线于、两点，为直线上一点且.点为直线与轴的交点. （1）求双曲线的方程和焦距； （2）若线段上一动点满足，求直线与的斜率之积. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线的概念及其焦距的概念即可求得答案； （2）联立直线和双曲线即可得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理得到，，从而结合即可得到点的坐标，结合即可得到点的坐标，进而即可求解. 【小问1详解】 由题意知得，，，， ∴双曲线的方程为，焦距为. 【小问2详解】 由，可得， 则， 所以，. 因为直线与双曲线交于轴上方的、两点， 所以，解得， 所以， 所以，所以，由， 可得，解得， 所以，所以， 所以，于是. 16. 某学校的数学兴趣小组对学校学生的冰雪运动情况进行调研，发现约有的学生喜欢滑雪运动．从这些被调研的学生中随机抽取3人进行调查，假设每个学生被选到的可能性相等． （1）记表示喜欢滑雪运动的人数，求的数学期望． （2）若该数学兴趣小组计划在全校学生中抽选一名喜欢滑雪运动的学生进行访谈．抽选规则如下：在全校学生中随机抽选一名学生，如果该学生喜欢滑雪运动，就不再抽选其他学生，结束抽选活动；如果该学生不喜欢滑雪运动，则继续随机抽选，直到抽选到一名喜欢滑雪运动的学生为止，结束抽选活动．并且规定抽取的次数不超过次，其中小于当次调查的总人数．设在抽选活动结束时，抽到不喜欢滑雪运动的学生的人数为，求抽到名学生不喜欢滑雪运动的概率． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）由题意服从二项分布，由二项分布期望公式直接可得解； （2）由题意可知，时，前次取到是不爱好滑雪的人，第次取到爱好滑雪得的人，利用独立事件的乘法公式求解，当时，取到的所以人都不爱好滑雪，活动结束. 【小问1详解】 由题意，， ， . 【小问2详解】 由题意，的可能取值为， ，， ，， ， ， 综上，. 17. 已知函数． （1）求证：； （2）若是的两个相异零点，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，求导，分析函数的单调性，确定函数的值域可证明该问题. （2）求，分析函数单调性，求出极值；根据的两个相异零点，可确定的取值范围，并分别得到的取值范围，推导出的取值范围. 【小问1详解】 令，则． 令，得；令，得． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，所以． 小问2详解】 易知函数的定义域是． 由，可得． 令得；令得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． ①当，即时，至多有1个零点，故不满足题意． ②当，即时，． 因为在上单调递增，且．所以， 所以在上有且只有1个零点，不妨记为，且． 由（1）知，所以． 因为在上单调递减，， 所以在上有且只有1个零点，记为，且． 所以，所以． 同理，若记 则有， 综上所述，． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 18. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面为的中点，为PA上一点，且． （1）证明：平面BDQ； （2）若二面角为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以向量为基底，分别表示向量，利用建立方程，确定为AP的中点，从而得到OQ为的中位线，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面BDQ的法向量和平面CDQ的法向量，利用二面角为建立方程，解方程可得DC的长度，接着利用体积公式即可求解. 【小问1详解】 证明：因为平面平面ABCD， 所以，则． 设， 则， ， 因为，所以，即 则，解得， 所以为AP的中点． 连结AC，与BD交于点，连结QO， 由于底面ABCD是矩形，所以为AC的中点，则OQ为的中位线， 所以， 又平面平面BDQ， 所以平面BDQ 【小问2详解】 易知DA，DC，DP两两互相垂直， 以为坐标原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面BDQ的法向量为， 由，得， 取，则， 设平面CDQ的法向量为， 由，得， 取，则， 于是，解得， 故三棱锥的体积为． 19. 对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的． （1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”的． （2）记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列． （3）设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）是等差数列，则，令，可得结论； （2）设，可得，进而可得结论； （3）设，可得是首项为2，公比为的等比数列，设，可得，可得，可得数列是首项，公比为的等比数列，可求的通项公式． 【小问1详解】 是等差数列，设， 令， 则是等差数列，是等比数列，所以数列是“优分解”的． 【小问2详解】 因为数列是“优分解”的，设， 其中， 则． 当时， 当时，是首项为，公比为的等比数列． 【小问3详解】 一方面，数列是“优分解”的，设， 其中，由（2）知 因，所以． 是首项为2，公比为的等比数列． 另一方面，因为是“优分解”的，设， 其中， 是首项为2，公比为的等比数列， ，且， 化简得， 即数列是首项，公比为的等比数列． 又， 又解得， 综上所述，． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，弄清题意，并充分应用等比和等差数列的性质是解题的关徤. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$