1.5一元二次不等式及其解法讲义-2025届高三数学一轮复习

第五节　一元二次不等式及其解法 课程目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 基础知识 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是　　　的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0（其中a，b，c均为常数，a≠0）. 提醒　对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 2.三个“二次”的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象 ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 　　　 R ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式.（　　） （2）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0.（　　） （3）若方程ax2＋bx＋c＝0（a＜0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0（a＜0）的解集为R.（　　） 2.不等式4x2＋4x＋1≤0的解集为（　　） A.⌀　 B.R C.{x｜x＝}　 D.{x｜x＝－} 3.(多选)下面结论不正确的有(　　). A.≥0等价于(x-a)(x-b)≥0 B.若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0 C.不等式x2≤a的解集为[-,] D.若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R 4.不等式－x2－3x＋4＞0的解集为　　　　（用区间表示）. 5.不等式x（x＋5）＜3（x＋5）的解集为　　　　. 常用结论 1.分式不等式的解法 （1）＞0（＜0）⇔f（x）·g（x）＞0（＜0）； （2）≥0（≤0）⇔ 2.｜ax＋b｜≤c（c＞0）和｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法 （1）｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 结论运用 1.不等式≥0的解集为　　　　. 2.不等式－1≥0的解集为　　　　. 3.不等式3≤｜5－2x｜＜9的解集为　　　　. 聚焦考点 课堂演练 考点1 不含参数的一元二次不等式的解法 【例1】　解下列不等式： （1）－3x2－2x＋8≥0； （2）≤1. 方法技巧 解一元二次不等式的4个步骤 提醒　对于分式不等式的求解，要注意分母不等于0. 跟踪训练 1.不等式x2＜4x＋5的解集为（　　） A.（－∞，－5）∪（1，＋∞） B.（－∞，－1）∪（5，＋∞） C.（－1，5） D.（－5，1） 2.不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是　　　　. 考点2 含参数的一元二次不等式的解法 【例2】（1）(多选)已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则a的值可以是(　　). A.6 B.7 C.8 D.9 （2）解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＞0）. 方法技巧 解含参数的一元二次不等式的步骤 （1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； （2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； （3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集. 跟踪训练 解不等式12x2－ax＞a2（a∈R）. 考点3 三个“二次”间的关系 【例3】　已知函数y＝x2＋ax＋b（a，b∈R）的最小值为0，若关于x的不等式x2＋ax＋b＜c的解集为{x｜m＜x＜m＋4}，则实数c的值为（　　） A.9　　 B.8　　 C.6　　 D.4 方法技巧 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式的解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数的图象开口方向及与x轴的交点，可以利用根或根与系数的关系求待定系数. 跟踪训练 1.（多选）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，3），则下列说法正确的是（　　） A.a＞0 B.bx－c＞0的解集是xx＞ C.cx2＋ax－b＞0的解集是xx＜－或x＞1 D.a＋b＜c 2.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，求不等式bx2－cx＋3≤0的解集. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五节　一元二次不等式及其解法 课程目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义；能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 2.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 基础知识 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是　2　的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0（其中a，b，c均为常数，a≠0）. 提醒　对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记a＝0时的情形. 2.三个“二次”的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象 ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 　{x｜x＜x1，或x＞x2}　 R ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）ax2＋bx＋c＜0为一元二次不等式.（　×　） （2）若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（x1，x2），则必有a＞0.（　√　） （3）若方程ax2＋bx＋c＝0（a＜0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0（a＜0）的解集为R.（　×　） 2.不等式4x2＋4x＋1≤0的解集为（　　） A.⌀　 B.R C.{x}　 D.{x} 解析：D　因为4x2＋4x＋1＝（2x＋1）2，所以4x2＋4x＋1≤0的解集为x. 3.(多选)下面结论不正确的有(　　). A.≥0等价于(x-a)(x-b)≥0 B.若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0 C.不等式x2≤a的解集为[-,] D.若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R 解析：A错误,≥0等价于(x-a)(x-b)≥0且x≠b.C错误,当a=0时,其解集为{0};当a<0时,其解集为⌀. 对于D,若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为⌀,故D错误. 4.不等式－x2－3x＋4＞0的解集为　（－4，1）　（用区间表示）. 解析：由－x2－3x＋4＞0可知，（x＋4）（x－1）＜0，得－4＜x＜1. 5.不等式x（x＋5）＜3（x＋5）的解集为　（－5，3）　. 解析：原不等式等价于（x＋5）（x－3）＜0，解得－5＜x＜3，即该不等式的解集为（－5，3）. 常用结论 1.分式不等式的解法 （1）＞0（＜0）⇔f（x）·g（x）＞0（＜0）； （2）≥0（≤0）⇔ 2.｜ax＋b｜≤c（c＞0）和｜ax＋b｜≥c（c＞0）型不等式的解法 （1）｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c； （2）｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c. 结论运用 1.不等式≥0的解集为　（－∞，－）∪[1，＋∞）　. 解析：由结论1不等式变为⇒x≥1或x＜－. 2.不等式－1≥0的解集为　（1，2]　. 解析：－1≥0⇔≤0，由结论1得⇔1＜x≤2，故不等式－1≥0的解集为（1，2]. 3.不等式3≤｜5－2x｜＜9的解集为　（－2，1]∪[4，7）　. 解析：由结论2得即解得不等式的解集为（－2，1]∪[4，7）. 聚焦考点 课堂演练 　　考点1 不含参数的一元二次不等式的解法 【例1】　解下列不等式： （1）－3x2－2x＋8≥0； （2）≤1. 解：（1）原不等式可化为3x2＋2x－8≤0， 即（3x－4）（x＋2）≤0，解得－2≤x≤， 所以原不等式的解集为. （2）因为≤1，所以－1≤0，所以≤0，即≥0，此不等式等价于（x－4）（x－）≥0且x－≠0，解得x＜或x≥4，故原不等式的解集为{x｜x＜或x≥4}. 方法技巧 解一元二次不等式的4个步骤 提醒　对于分式不等式的求解，要注意分母不等于0. 跟踪训练 1.不等式x2＜4x＋5的解集为（　　） A.（－∞，－5）∪（1，＋∞） B.（－∞，－1）∪（5，＋∞） C.（－1，5） D.（－5，1） 解析：C　不等式x2＜4x＋5，即x2－4x－5＜0，所以（x＋1）·（x－5）＜0，解得－1＜x＜5.所以原不等式的解集为（－1，5）.故选C. 2.不等式－1＜x2＋2x－1≤2的解集是　{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}　. 解析：原不等式等价于即由①得x（x＋2）＞0，所以x＜－2或x＞0；由②得（x＋3）（x－1）≤0，所以－3≤x≤1. 画出数轴，如图，可得原不等式的解集为{x｜－3≤x＜－2或0＜x≤1}. 考点2 含参数的一元二次不等式的解法 【例2】（1）(多选)已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则a的值可以是(　　). A.6 B.7 C.8 D.9 解析（1）由f(x)=x2-6x+a的图象开口向上且对称轴为直线x=3知,要使题设不等式的解集中有且仅有3个整数,则解得5<a≤8, 所以a的可能取值为6,7,8. （2））解关于x的不等式ax2－（a＋1）x＋1＜0（a＞0）. 解：原不等式可化为（ax－1）（x－1）＜0， 因为a＞0，所以a（x－）（x－1）＜0. 所以当a＞1时，解为＜x＜1； 当a＝1时，解集为⌀； 当0＜a＜1时，解为1＜x＜. 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为⌀； 当a＞1时，不等式的解集为. 方法技巧 解含参数的一元二次不等式的步骤 （1）若二次项系数含有参数，则应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式； （2）判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系； （3）确定方程无根时，可直接写出解集；确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定不等式的解集. 跟踪训练 解不等式12x2－ax＞a2（a∈R）. 解：原不等式可化为12x2－ax－a2＞0， 即（4x＋a）（3x－a）＞0，令（4x＋a）（3x－a）＝0， 解得x1＝－，x2＝. 当a＞0时，不等式的解集为（－∞，－）∪（，＋∞）； 当a＝0时，不等式的解集为（－∞，0）∪（0，＋∞）； 当a＜0时，不等式的解集为（－∞，）∪（－，＋∞）. 考点3 三个“二次”间的关系 【例3】　已知函数y＝x2＋ax＋b（a，b∈R）的最小值为0，若关于x的不等式x2＋ax＋b＜c的解集为{x｜m＜x＜m＋4}，则实数c的值为（　　） A.9　 B.8 C.6　 D.4 解析：D　由题意得＝0，∴b＝，又不等式x2＋ax＋b＜c的解集为{x｜m＜x＜m＋4}，∴方程x2＋ax＋－c＝0的根为m，m＋4，即m＋m＋4＝－a，解得m＝，∴m＋＝－2，又m2＋am＋－c＝0，∴c＝m2＋am＋＝（m＋）2＝4.故选D. 方法技巧 1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式的解集的端点值. 2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数的图象开口方向及与x轴的交点，可以利用根或根与系数的关系求待定系数. 跟踪训练 1.（多选）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，3），则下列说法正确的是（　　） A.a＞0 B.bx－c＞0的解集是xx＞ C.cx2＋ax－b＞0的解集是xx＜－或x＞1 D.a＋b＜c 解析：BCD　不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为（－1，3），则即bx－c＞0，即－2ax＋3a＞0，所以x＞.cx2＋ax－b＞0，即－3ax2＋ax＋2a＞0，即3x2－x－2＞0，解集是x｜x＜－或x＞1.因为x＝－1∈x｜x＜－或x＞1，所以c－a－b＞0，即a＋b＜c.故选B、C、D. 2.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，求不等式bx2－cx＋3≤0的解集. 解：根据二次函数y＝x2＋bx＋c的图象可知，－1，2为方程x2＋bx＋c＝0的两根， 故－1＋2＝－b，－1×2＝c，即b＝－1，c＝－2， 则bx2－cx＋3≤0即－x2＋2x＋3≤0，也即x2－2x－3≥0，（x－3）（x＋1）≥0， 解得x≥3或x≤－1. 故不等式解集为（－∞，－1]∪[3，＋∞）. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$