1.3等式性质与不等式性质讲义-2025届高三数学一轮复习

第三节　等式性质与不等式性质 课程目标 1.回顾等式的性质. 2.理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 3.会比较两个数（式）的大小. 基础知识 1.比较实数的大小 （1）文字叙述：如果a－b是正数，那么a　　b；如果a－b等于0，那么a　　　　b；如果a－b是负数，那么a　　　　b.反过来也成立； （2）符号表示：a－b＞0⇔a　 　　b；a－b＝0⇔a　　　　b；a－b＜0⇔a　　　　b. 2.等式的基本性质 （1）对称性：如果a＝b，那么b＝a； （2）传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； （3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； （4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； （5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3.不等式的基本性质 （1）对称性：a＞b⇔b＜a； （2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； （3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c　　　　b＋d； （4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac　　　bc；a＞b，c＜0⇒ac　　　　bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； （5）可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，n≥2）； （6）可开方性：a＞b＞0⇒＞ （n∈N，n≥2）. 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）a＝b⇔ac＝bc.（　　） （2）若＞1，则a＞b.（　　） （3）若a＞b，则ac2＞bc2.（　　） （4）两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种.（　　） 2.(多选)下面结论不正确的有(　　). A.若>1,则b>a B.若a>b,则a2>b2 C.若a>b,c<d,则a-c>b-d D.若a>b,c>d,则ac>bd 3.设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是（　　） A.＜ B.ac＞bc C.a2＞b2　 D.a＋c＞b＋c 4.比较两数的大小：＋　　　＋. 5.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a－b的取值范围为　　　　. 常用结论 1.倒数性质：（1）a＞b，ab＞0⇒＜；（2）a＜0＜b⇒＜；（3）a＞b＞0，d＞c＞0⇒＞. 2.分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则（1）真分数性质：＜；＞（b－m＞0）；（2）假分数性质：＞；＜（b－m＞0）. 结论运用 （多选）下列命题中正确的是（　　） A.若a＜b，则ac2＜bc2 B.若b＞a＞0，则＞ C.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d D.若ab＜0，a＞b，则＞ 聚焦考点 课堂演练 考点1 比较两个数（式）的大小 【典例1】　（1）已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是（　　） A.M＞N　 B.M＝N C.M＜N　 D.不能确定 （2）若a＝，b＝，则a　　　　b（填“＞”或“＜”）. 方法技巧 比较大小的常用方法 （1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. （2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. 跟踪训练 若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为（　　） A.p≥q　 B.p≤q C.p＞q　 D.p＜q 考点2 不等式的基本性质 【典例2】（多选）若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是（　　） A.ad＞bc B.＋＜0 C.a－c＞b－d D.a（d－c）＞b（d－c） 方法技巧 利用不等式的性质判断不等式的方法 （1）直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； （2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 跟踪训练 （多选）已知a，b∈R，则下列选项中能使＜成立的是（　　） A.b＞a＞0　 B.a＞b＞0 C.b＜0＜a　 D.b＜a＜0 考点3 不等式性质的应用 【典例3】　（必修第一册第43页5题改编）已知2＜a＜3，－1＜b＜5，则a＋2b的取值范围是　　　　，ab的取值范围是　　　　. 变式 若本例条件变为1＜a＋b＜3，0＜a－b＜2，则a＋2b的取值范围是　　　　. 方法技巧 　　利用不等式性质可以求某些代数式的范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的范围.解决的途径是先确立所求范围的整体与已知范围的整体的数量关系，最后通过“一次性”不等关系运算求解. 跟踪训练 已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是　　　　. 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.已知a＋b＜0，且a＞0，则（　　） A.a2＜－ab＜b2　 B.b2＜－ab＜a2 C.a2＜b2＜－ab　 D.－ab＜b2＜a2 2.已知a＞0，b＞0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则（　　） A.m＞n B.m≥n C.m≤n　 D.m＜n 3.若a，b∈R，且a＞｜b｜，则（　　） A.a＜－b　 B.a2＜b2 C.a＞b　 D.＞ 4.（2024·襄阳一模）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（　　） A.4×＜150　 B.4×≥150 C.4×≤150　 D.4×＞150 5.（多选）设a＞b＞1，c＜0，则下列结论正确的是（　　） A.＞ B.ac＜bc C.a（b－c）＞b（a－c） D.＞ 6.（多选）下列命题为真命题的是（　　） A.若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d B.若a＞b，c＞d，则ac＞bd C.若a＞b，则＞ D.若a＜b＜0，c＜0，则＜ 7.　 　（填“＞”“＜”或“＝”）. 8.已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a　 　2b－（填“＞”“＜”或“＝”）. 9.已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②＜；③a＜0且b＜0.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：　 　. 10.已知6＜a＜60，15＜b＜18，求a－b，的取值范围. 综合应用 B 巩固 11.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为（　　） A.b≤c＜a　 B.a＜b≤c C.b＜c＜a　 D.b＜a＜c 12.若a＞0，b＞0，则p＝（ab与q＝abba的大小关系是（　　） A.p≥q　 B.p≤q C.p＞q　 D.p＜q 13.已知－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，则3x＋2y的取值范围为　 　. 14.（1）已知a＋b＞0，试比较＋与＋的大小； （2）若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤. 15.若a＞b＞0，c＜d＜0，｜b｜＞｜c｜. （1）求证：b＋c＞0； （2）求证：＜； （3）在（2）的不等式中，能否找到一个代数式，满足＜所求式＜？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三节　等式性质与不等式性质 课程目标 1.回顾等式的性质. 2.理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 3.会比较两个数（式）的大小. 　　基础知识 1.比较实数的大小 （1）文字叙述：如果a－b是正数，那么a　＞　b；如果a－b等于0，那么a　＝　b；如果a－b是负数，那么a　＜　b.反过来也成立； （2）符号表示：a－b＞0⇔a　＞　b；a－b＝0⇔a　＝　b；a－b＜0⇔a　＜　b. 2.等式的基本性质 （1）对称性：如果a＝b，那么b＝a； （2）传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； （3）可加性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； （4）可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； （5）可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3.不等式的基本性质 （1）对称性：a＞b⇔b＜a； （2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； （3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c　＞　b＋d； （4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac　＞　bc；a＞b，c＜0⇒ac　＜　bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； （5）可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn（n∈N，n≥2）； （6）可开方性：a＞b＞0⇒＞ （n∈N，n≥2）. 课前自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）a＝b⇔ac＝bc.（　×　） （2）若＞1，则a＞b.（　×　） （3）若a＞b，则ac2＞bc2.（　×　） （4）两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种.（　√　） 2.(多选)下面结论不正确的有(　　). A.若>1,则b>a B.若a>b,则a2>b2 C.若a>b,c<d,则a-c>b-d D.若a>b,c>d,则ac>bd 答案　ABD 3.设a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式成立的是（　　） A..＜　 Bac＞bc C.a2＞b2　 D.a＋c＞b＋c 解析：D　对于选项A，当c≤0时，不等式ac＞bc不成立，故A不正确.对于选项B，当a＞0，b＜0时，不等式＜不成立，故B不正确.对于选项C，当a＝－1，b＝－2时，不等式a2＞b2不成立，故C不正确.选项D正确， 故选D. 4.比较两数的大小：＋　＞　＋. 解析：因为（＋）2＝17＋2，（＋）2＝17＋2，所以（＋）2＞（＋）2，所以＋＞＋. 5.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a－b的取值范围为　（－6，5）　. 解析：∵－3＜b＜5，∴－5＜－b＜3，又－1＜a＜2，∴－6＜a－b＜5. 常用结论 1.倒数性质：（1）a＞b，ab＞0⇒＜；（2）a＜0＜b⇒＜；（3）a＞b＞0，d＞c＞0⇒＞. 2.分数性质：若a＞b＞0，m＞0，则（1）真分数性质：＜；＞（b－m＞0）；（2）假分数性质：＞； ＜（b－m＞0）. 结论运用 （多选）下列命题中正确的是（　　） A.若a＜b，则ac2＜bc2 B.若b＞a＞0，则＞ C.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d D.若ab＜0，a＞b，则＞ 解析：BD　A中，当c＝0时不成立，故A不正确；B中，由真分数性质知B正确；C中，因为a＞b，（－c）＜（－d），不满足不等式的同向可加性，故C不正确；D中，因为ab＜0，所以a，b异号，所以当a＞b时a＞0且b＜0，＞，故D正确.综上可知B、D正确. 聚焦考点 课堂演练 考点1 比较两个数（式）的大小 【例1】　（1）已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M，N的大小关系是（　A　） A.M＞N　 B.M＝N C.M＜N　 D.不能确定 （2）若a＝，b＝，则a　＜　b（填“＞”或“＜”）. 解析：（1）∵0＜a＜，∴1＋a＞0，1＋b＞0，1－ab＞0.∴M－N＝＋＝＞0，∴M＞N.故选A. （2）易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a. 方法技巧 比较大小的常用方法 （1）作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论. （2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论. 跟踪训练 若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为（　　） A.p≥q B.p≤q C.p＞q　 D.p＜q 解析：B　p－q＝＋－a－b＝＋＝（b2－a2）·（－）＝＝，∵a＜0，b＜0，∴a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q＜0，故p＜q.综上，p≤q.故选B. 考点2 不等式的基本性质 【例2】（多选）若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是（　　） A.ad＞bc　 B.＋＜0 C.a－c＞b－d　 D.a（d－c）＞b（d－c） 解析：BCD　因为a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故A错误；因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a（－c）＞（－b）（－d），所以ac＋bd＜0，cd＞0，所以＝＋＜0，故B正确；因为c＜d，所以－c＞－d，因为a＞b，所以a＋（－c）＞b＋（－d），即a－c＞b－d，故C正确；因为a＞0＞b，d－c＞0，所以a（d－c）＞b（d－c），故D正确. 方法技巧 利用不等式的性质判断不等式的方法 （1）直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； （2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性. 跟踪训练 （多选）已知a，b∈R，则下列选项中能使＜成立的是（　　） A.b＞a＞0　 B.a＞b＞0 C.b＜0＜a　 D.b＜a＜0 解析：BD　对于A，由b＞a＞0可得＞＞0，A错误；对于B，由a＞b＞0可得＞＞0，B正确；对于C，由b＜0＜a可得＞0＞，C错误；对于D，由b＜a＜0可得0＞＞，D正确.故选B、D. 考点3 不等式性质的应用 【例3】　（必修第一册第43页5题改编）已知2＜a＜3，－1＜b＜5，则a＋2b的取值范围是　（0，13）　，ab的取值范围是　（－3，15）　. 解析：∵2＜a＜3，－1＜b＜5，∴－2＜2b＜10，∴0＜a＋2b＜13，当－1＜b＜0时，0＜－b＜1，∴0＜－ab＜3，则－3＜ab＜0，当0＜b＜5时，0＜ab＜15，当b＝0时，ab＝0，综上，－3＜ab＜15. 变式 若本例条件变为1＜a＋b＜3，0＜a－b＜2，则a＋2b的取值范围是　（，）　. 解析：设a＋2b＝x（a＋b）＋y（a－b），则a＋2b＝（x＋y）a＋（x－y）b，即解得即a＋2b＝（a＋b）－（a－b），由1＜a＋b＜3，则＜（a＋b）＜，由0＜a－b＜2，则－2＜－（a－b）＜0，－1＜－（a－b）＜0，故＜（a＋b）－（a－b）＜. 方法技巧 　　利用不等式性质可以求某些代数式的范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的范围.解决的途径是先确立所求范围的整体与已知范围的整体的数量关系，最后通过“一次性”不等关系运算求解. 跟踪训练 已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是　（－3，－1）　. 解析：因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c，因为a＞b＞c，所以－2a－c＜a，即3a＞－c，解得＞－3，将b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即a＜－c，得＜－1，所以－3＜＜－1. 第3节　 等式性质与不等式性质 课后分层跟踪巩固 基础达标 A 1.已知a＋b＜0，且a＞0，则（　　） A.a2＜－ab＜b2　 B.b2＜－ab＜a2 C.a2＜b2＜－ab　 D.－ab＜b2＜a2 解析：A　法一　由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b.因为a2－（－ab）＝a（a＋b）＜0，所以0＜a2＜－ab.又因为0＜a＜－b，所以0＜－ab＜（－b）2，所以0＜a2＜－ab＜b2，故选A. 法二　令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，从而a2＜－ab＜b2，故选A. 2.已知a＞0，b＞0，设m＝a－2＋2，n＝2－b，则（　　） A.m＞n B.m≥n C.m≤n　 D.m＜n 解析：B　由题意可知，m－n＝a－2＋2－2＋b＝（－1）2＋（－1）2≥0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即m≥n，故选B. 3.若a，b∈R，且a＞｜b｜，则（　　） A.a＜－b　 B.a2＜b2 C.a＞b　 D.＞ 解析：C　由a＞｜b｜得，当b≥0时，a＞b，当b＜0时，a＞－b，综上可知，当a＞｜b｜时，则a＞b成立，故选C. 4.（2024·襄阳一模）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区.为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（单位：厘米）应满足的不等式为（　　） A.4×＜150　 B.4×≥150 C.4×≤150　 D.4×＞150 解析：B　由题意知导火索燃烧的时间为秒，人在此时间内跑的路程为（4×）米，由题意可得4×≥150，故选B. 5.（多选）设a＞b＞1，c＜0，则下列结论正确的是（　　） A.＞ B.ac＜bc C.a（b－c）＞b（a－c） D.＞ 解析：ABC　对于A，∵a＞b＞1，c＜0，∴－＝＞0，∴＞，故A正确；对于B，∵a＞b＞1，c＜0，∴ac＜bc，故B正确；对于C，∵a＞b＞1，∴a（b－c）－b（a－c）＝ab－ac－ab＋bc＝－c（a－b）＞0，∴a（b－c）＞b（a－c），故C正确；对于D，∵＜0，a＞b＞1，∴＜，故D错误. 6.（多选）下列命题为真命题的是（　　） A.若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d B.若a＞b，c＞d，则ac＞bd C.若a＞b，则＞ D.若a＜b＜0，c＜0，则＜ 解析：AD　对于A，由不等式的性质可知同向不等式相加，不等号方向不变，故正确.对于B，当a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1时，ac＝bd，故错误.对于C，当c＜0时，＜，故错误.对于D，－＝，因为b－a＞0，c＜0，ab＞0，所以－＜0，即＜，故正确.故选A、D. 7.　＜　（填“＞”“＜”或“＝”）. 解析：分母有理化有＝＋2，＝＋，显然＋2＜＋，所以＜. 8.已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a　＜　2b－（填“＞”“＜”或“＝”）. 解析：因为a≠b，a＜0，所以a－（2b－）＝＜0，所以a＜2b－. 9.已知a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②＜；③a＜0且b＜0.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：　若a＞b，a＜0且b＜0，则＜（答案不唯一）　. 解析：若a＞b，a＜0且b＜0，则＜，证明：－＝，∵a＞b，∴b－a＜0.∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，则－＝＜0，故＜. 10.已知6＜a＜60，15＜b＜18，求a－b，的取值范围. 解：因为6＜a＜60，15＜b＜18， 所以－18＜－b＜－15， 所以－12＜a－b＜45. 又＜＜，则＜＜， 即＜＜4. 因为＝＋1，所以＜＜5. 综合应用 B 巩固 11.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为（　　） A.b≤c＜a　 B.a＜b≤c C.b＜c＜a　 D.b＜a＜c 解析：B　∵c－b＝4－4a＋a2＝（a－2）2≥0，∴c≥b，又∵b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，两式相减得2b＝2＋2a2，即b＝1＋a2，∴b－a＝a2＋1－a＝（a－）2＋＞0，∴b＞a，∴a＜b≤c. 12.若a＞0，b＞0，则p＝（ab与q＝abba的大小关系是（　　） A.p≥q　 B.p≤q C.p＞q　 D.p＜q 解析：A　＝＝＝（，若a＞b＞0，则＞1，a－b＞0，∴＞1；若0＜a＜b，则0＜＜1，a－b＜0，∴＞1，若a＝b，则＝1，∴p≥q.故选A. 13.已知－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，则3x＋2y的取值范围为　（，）　. 解析：设3x＋2y＝λ（x－y）＋μ（x＋y），即3x＋2y＝（λ＋μ）x＋（μ－λ）y，于是解得∴3x＋2y＝（x－y）＋（x＋y）.∵－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，∴－＜（x－y）＜2，5＜（x＋y）＜，∴＜（x－y）＋（x＋y）＜.故3x＋2y的取值范围是（，）. 14.（1）已知a＋b＞0，试比较＋与＋的大小； （2）若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤. 解：（1）＋－（＋）＝＋ ＝（a－b）·（－）＝. ∵a＋b＞0，（a－b）2≥0，∴≥0. ∴＋≥＋. （2）证明：∵bc≥ad，＞0，∴≥， ∴＋1≥＋1，∴≤. 15.若a＞b＞0，c＜d＜0，｜b｜＞｜c｜. （1）求证：b＋c＞0； （2）求证：＜； （3）在（2）的不等式中，能否找到一个代数式，满足＜所求式＜？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由. 解：（1）证明：因为｜b｜＞｜c｜，且b＞0，c＜0，所以b＞－c，所以b＋c＞0. （2）证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0. 又a＞b＞0，所以由同向不等式的可加性可得a－c＞b－d＞0， 所以（a－c）2＞（b－d）2＞0， 所以0＜＜.　① 因为a＞b，d＞c，所以由同向不等式的可加性可得a＋d＞b＋c， 所以a＋d＞b＋c＞0.　② ①②相乘得＜. （3）由（2）知：a＋d＞b＋c＞0，0＜＜，＜， 所以＜＜或＜＜. 所以，均为所求代数式.（只要写出一个即可 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjshuxue加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$