二次函数进阶训练-2023-2024学年高一上学期数学初升高衔接

初升高:二次函数进阶训练 本专题训练二次函数的解析式、图象与性质、限定取值范围的函数最值,体会数形结合与分类讨论的重要思想方法。 一、单选题 1.已知某二次函数的图象与函数y=2x2的图象的形状一样,开口方向相反,且其顶点为(-1,3),则此函数的解析式为( ) A.y=2(x-1)2+3 B.y=2(x+1)2+3 C.y=-2(x-1)2+3 D.y=-2(x+1)2+3 2. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( ) 3. 设abc>0,则二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是( ) 4. 已知m>2,点(m-1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数y=x2-2x的图象上,则( ) A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y1<y3<y2 D.y2<y1<y3 5. 【多选题】如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1. 下面四个结论中正确的是( ) A.b2>4ac B.2a-b=1 C.a-b+c=0 D.5a<b 二、填空题 6. 已知二次函数图象经过点(2, -1)和点(-1, -1),且函数最大值是8,则此二次函数的解析式为_. 7. 已知二次函数的图象经过点(4,3),且图象被x轴截得的线段长为2,对称轴为x=2,则该函数的解析式为_. 8. 已知函数y=x2-6x+5(1≤x≤a),并且当x=a时,函数取最大值,则实数a的取值范围是_. 三、解答题 9. 求下列函数的函数值y的取值范围. (1) y=x2+4x-2, (2) y=x2+4x-2 (-5≤x≤0) (3) y=x2+4x-2 (-6≤x≤-3) 10. 已知函数y=-x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2,求实数a的值. 11. 求函数y=x2+2ax+1在-1≤x≤2时的最大值. 参考答案 1. D 解析 设所求函数的解析式为y=a(x-h)2+k(a≠0),由题意可知a=-2,h=-1,k=3,故y=-2(x+1)2+3. 2. C 解析 因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,所以a<0,b<0,所以二次函数的图象开口向下,对称轴方程x=-<0.只有选项C符合. 3. D 【解析】 若a>0,b<0,c<0,则函数图象的对称轴为直线x=->0,函数f(x)的图象与y轴的交点(0,c)在x轴下方.故D符合. 4. A 解析 ∵m>2,∴m-1>1. ∴三点均在对称轴的右边. ∵当x≥1时,y随着自变量增大而增大,m+1>m>m-1, ∴y1<y2<y3. 5. AD 【解析】因为二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,A正确;二次函数的图象的对称轴为直线x=-1,即-=-1,得2a-b=0,B错误;结合图象,知当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,C错误;因为函数图象的开口向下,所以a<0,所以5a<2a,又b=2a,即5a<b,D正确. 6. y=-4x2+4x+7. 【解析】 方法一(一般式):设y=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7. 方法二(顶点式):设y=a(x-m)2+n(a≠0). 抛物线的对称轴为x==.所以m=. 又根据题意函数有最大值8,所以n=8,所以y=a+8. 因为当x=2时,y=-1,所以a+8=-1,解得a=-4, 方法三(两根式):由已知得y+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设y+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 即y=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值8,即=8, 解得a=-4, 7. y=x2-4x+3 【解析】 ∵图象的对称轴为直线x=2,且图象被x轴截得的线段长为2, ∴y=0的两根为1或3, 设解析式为y=a(x-1)(x-3)(a≠0), ∵图象过点(4,3),∴3a=3,∴a=1, ∴所求函数的解析式为y=(x-1)(x-3),即y=x2-4x+3. 8. a≥5 解析 ∵图象的对称轴为x=3,由图象对称性知a≥5. 9. 【解析】 (1)配方,得y=(x+2)2-6, 故当x=-2时,ymin=-6,无最大值.所以函数值y的取值范围为y≥-6. (2)配方,得y=(x+2)2-6. 因为-5≤x≤0 所以,当x=-2时,ymin=-6. 当x=-5时,ymax=3.故函数值y的取值范围为-6≤y≤3. (3)配方,得y=(x+2)2-6. 因为-6≤x≤-3, 所以当x=-3时,ymin=-5. 当x=-6时,ymax=10.故函数值y的取值范围是-5≤y≤10. 10. a的值为-1或2. 【解析】当对称轴x=a<0时,如图1所示,当x=0时,ymax=1-a=2,即a=-1,且满足a<0,∴a=-1. 当0≤a≤1时,如图2所示,当x=a时ymax=-a2+2a2+1-a=a2-a+1=2,解得a=. ∵0≤a≤1,∴a=舍去. 当a>1时,如图3所示. 当x=1时,ymax=2.且满足a>1,∴a=2. 综上可知,a的值为-1或2. 11. 【解析】 由题意y=(x+a)2+1-a2,图象开口向上,对称轴为x=-a. ①当-a<,即a>-时,当x=2时,ymax=4a+5; ②当-a≥,即a≤-时,当x=-1时ymax=2-2a. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$