精品解析：江苏省江阴市华士高级中学2023-2024学年高一下学期5月学情调研数学试题

2023-2024学年度春学期5月学情调研试卷 高一数学 总分：150 时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据面面平行、线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理逐一判断即可. 【详解】A：当时，如果l是平面，外一条直线，当时，显然，成立，这时不成立，故本选项的命题不正确； B：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为，所以在平面内一定存在一条直线，而，所以， 根据面面垂直的判定定理可知，因此本选项的命题正确； D：当时，设，显然当时，且时，一定有成立，但是不成立，因此本选项的命题不正确； 故选：C 2. 《2023年五一出游数据报告》显示，济南凭借超强周边吸引力，荣登“五一”最强周边游“吸金力”前十名榜单．其中，济南天下第一泉风景区接待游客100万人次，济南动物园接待游客30万人次，千佛山景区接待游客20万人次．现采用按比例分层抽样的方法对三个景区的游客共抽取1500人进行济南旅游满意度的调研，则济南天下第一泉风景区抽取游客（ ） A. 1000人 B. 300人 C. 200人 D. 100人 【答案】A 【解析】 【分析】按照分层抽样计算规则计算可得. 【详解】依题意济南天下第一泉风景区应抽取游客（人）. 故选：A 3. 如图，用斜二测画法得到的直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且直角边长是，求出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的倍，得到结果． 【详解】△是一平面图形的直观图，直角边长为， 直角三角形的面积是， 因为平面图形与直观图的面积的比为， 原平面图形的面积是． 故选：B． 4. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为13，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可求得圆锥的底面半径和高，根据圆锥的体积公式即可得答案. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h， 由题意可知，且， 则， 故该圆锥的体积为， 故选：A 5. 假设，，且A与相互独立，则（ ） A. 0.9 B. 0.75 C. 0.88 D. 0.84 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式求得，再根据和事件的概率计算即可求得答案. 【详解】由题意，，且A与相互独立， 则, 故， 故选：C 6. 如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得，再根据向量的加减法则用把表示出来，从而可求出，进而可求出. 【详解】因为为平行四边形对角线上一点，交于点， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 故选：C 7. 如果三棱锥底面不是等边三角形，侧棱与底面所成的角都相等，平面，垂足为，则是的（ ） A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 【答案】D 【解析】 【分析】由线面角的定义，得到再在三角形中，由三角函数得到从而得到进而得解. 【详解】如图所示： 因为平面，侧棱与底面所成的角都相等， 则 故故是的外心. 故选：D. 8. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，，，则的周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理得到，，即可将转化为的三角函数，结合的取值范围及正切函数的性质计算可得. 【详解】因为，，由正弦定理，即， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，所以， 则，所以， 因为，所以或（舍去）， 所以，所以， 所以，即 所以，即的周长的取值范围为. 故选：C 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，下列命题正确的是（ ） A. 若样本的每一个数据变为原来的6倍，则平均数也变为原来的6倍，方差不变 B. 若样本的每一个数据增加3，则平均数也增加3，方差不变 C. 若样本数据增加两个数值，且，则极差变大 D. 若样本数据增加两个数值，且，则中位数不变 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一组数据都加上或都乘以一个数后的平均值以及方差的性质可判断A，B；根据极差的概念判断C；根据中位数的概念判断D. 【详解】对于A，若样本的每一个数据变为原来的6倍，则平均数也变为原来的6倍，方差变为原来的36被，A错误； 对于B，根据原来的数据都加上一个数后的平均知己方差的性质可知， 若样本的每一个数据增加3，则平均数也增加3，方差不变，B正确； 对于C，原来数据的极差为，样本数据增加两个数值后的极差为样本数据增加两个数值， 由于，故，C正确； 对于D，不妨假设样本数据是从小到大排列，则其中位数为， 样本数据增加两个数值，且，则其中位数也为，D正确， 故选：BCD 10. 一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有1~9这9个数字（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件对立 C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由互斥，对立以及独立的定义判断即可. 【详解】样本空间为， 因为，所以事件与事件互斥，故A正确； 因为，，所以事件与事件不对立，故B错误； ，，，即事件与事件相互独立，故C正确； 因为，所以事件与事件不互斥，故D错误； 故选：AC 11. 如图，在正方体中，点是棱的中点，点是线段上的一个动点，则以下叙述中正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线不可能与平面垂直 C. 直线与所成角为定值 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正方体的性质及线面平行、线面垂直的判定定理一一判断即可； 【详解】解：如图由正方体的性质可知，平面，平面，所以平面， 同理可证平面，，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故A正确； 因为，，，平面， 所以平面，平面，所以， 同理可证，，平面，所以平面， 同理可证平面，因为平面，所以，故C正确； 当点为的中点时，，所以平面，故B错误； 又，平面，平面，所以平面， 所以到平面的距离不变，设为，又的面积不变， 所以为定值，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 从，，，中任取个不同的数，则取出的个数之和为5的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】从，，，中任取个不同的数的可能取法有：，，， ，，共个， 其中满足取出的个数之和为5的有，，共个， 所以所求概率. 故答案为： 13. 一艘海轮从处出发，以每小时60海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达处.在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么两点间的距离是________海里. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可求出的值，然后在利用正弦定理可求出 【详解】由题意得，， 所以， 在中，由正弦定理得，则， 所以，得， 即两点间的距离是海里， 故答案为： 14. 已知点，，均位于单位圆（圆心为，半径为1）上，且，则___________；的最大值为___________. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据弦长公式可求得，利用平面向量的线性运算及数量积的定义可求解的值；建立直角坐标系，设，，三点的坐标，利用平面向量数量积的坐标表示即可求解的最大值. 【详解】解：因为，圆的半径为1，所以， 又，所以； 以圆心为原点，建立直角坐标系，设， 则， 则，因为，所以的最大值为. 故答案为：；. 四、解答题(本大题共5个大题，共77分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 已知，是夹角为的两个单位向量，，. （1）求与的夹角； （2）若与（）互相垂直，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律求得以及，利用向量的夹角公式即可求得答案； （2）根据垂直的向量表示，列式计算，即可求得答案. 【小问1详解】 因为，是夹角为的两个单位向量，故， 则， 则， ， 故，而， 故. 【小问2详解】 因为与（）互相垂直， 故，即， 故. 16. 某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间､､……､､. （1）求频率分布直方图中的值，并估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率； （2）从评分在的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率； （3）估计这50名学生对个性化作业评分的平均数.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） 【答案】（1），概率为0.68. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为1列出方程，求出，并计算出不低于70分的频率作为概率的估计值；（2）利用列举法求解古典概型的概率；（3）同一组中的数据以这组数据的中间值作代表计算出平均数. 【小问1详解】 由题意得：， 解得：， 由频率分布直方图知，不低于70分的三组频率之和为， 因此估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率为0.68. 【小问2详解】 评分在的人数为2人，设为，在的人数为3人，设为， 从这5人中随机抽取2人，共10个等可能的基本事件， 分别为， 记事件为“2人评分都在”，包含3个基本事件，分别为， 所以， 因此2人评分都在的概率为. 【小问3详解】 这50名学生对个性化作业评分的平均数为： . 17. 如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，平面平面.求证： （1）∥平面； （2）平面平面. 【答案】（1）∵别为棱的中点， ∴MN∥BC 又平面， ∴∥平面. （2）∵，点为棱的中点， ∴， 又平面平面，平面平面， ∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 【解析】 【分析】（1）证得MN∥BC，由线面平行的判定定理证明即可； （2）证得平面.由面面垂直的判定定理证明即可 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的判定，考查推理能力，属于基础题 18. 刍（chú）甍（méng）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术曰：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形为长方形，平面，和是全等的等边三角形. （1）求证：； （2）若已知， ①求二面角的余弦值； ②求该五面体的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质定理即得； （2）过点作，作，过点作，作，由题可得即为二面角的平面角，结合条件利用余弦定理可得；利用割补法可把该五面体分为两个四棱锥和一个三棱柱，然后利用锥体及柱体的体积公式即得. 【小问1详解】 五面体中，因为平面， 平面，平面平面， 所以. 【小问2详解】 过点作，作，垂足分别为，， 过点作，作，垂足分别为，， 连结，，如图， ①由（1）及四边形为长方形知，， 所以，， 所以即为二面角的平面角， 因为，且和是全等的等边三角形， 所以，， 因此，在中，，， 由余弦定理， 得， 故二面角的余弦值为. ②取中点，连结，由知，， 因为，，且，是平面内两相交直线， 所以平面， 因为平面， 所以，又，是平面内两相交直线， 所以平面， 在中，，，可得， 所以，四棱锥和的体积均为， 三棱柱的体积， 所以，该五面体的体积为. 19. 在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，是边上一点. （1）求的值； （2）若. ①求证：平分； ②求面积的最大值及此时的长. 【答案】（1）； （2）①证明见解析；②最大值为3，. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得，即得； （2）①设，，，由题可得，利用正弦定理可得，进而即得；②利用余弦定理及面积公式可表示出三角形的面积，然后利用二次函数的性质或基本不等式可得面积的最大值，再利用余弦定理可求的长. 【小问1详解】 因为，， 所以 . 【小问2详解】 ①因为， 所以，即， 由知，，， 设，，， 在中，由正弦定理得，， 即，所以， 在中，由正弦定理得，， 即，所以， 所以，即， 所以平分； ②在中，因为，， 代入余弦定理得，， 而的面积， 解法1：因为，且为锐角，所以， 所以 ， 当且仅当，取等号， 此时，，，即，， 由得， 解得. 解法2：由得， 所以， 所以当即时，面积最大为3， 此时在中，，，， 所以由余弦定理求得， 在中，由余弦定理得， 所以此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度春学期5月学情调研试卷 高一数学 总分：150 时间120分钟 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设l是一条直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 2. 《2023年五一出游数据报告》显示，济南凭借超强周边吸引力，荣登“五一”最强周边游“吸金力”前十名榜单．其中，济南天下第一泉风景区接待游客100万人次，济南动物园接待游客30万人次，千佛山景区接待游客20万人次．现采用按比例分层抽样的方法对三个景区的游客共抽取1500人进行济南旅游满意度的调研，则济南天下第一泉风景区抽取游客（ ） A. 1000人 B. 300人 C. 200人 D. 100人 3. 如图，用斜二测画法得到的直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为13，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 假设，，且A与相互独立，则（ ） A. 0.9 B. 0.75 C. 0.88 D. 0.84 6. 如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如果三棱锥底面不是等边三角形，侧棱与底面所成的角都相等，平面，垂足为，则是的（ ） A. 垂心 B. 重心 C. 内心 D. 外心 8. 已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，，，则的周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，下列命题正确的是（ ） A. 若样本的每一个数据变为原来的6倍，则平均数也变为原来的6倍，方差不变 B. 若样本的每一个数据增加3，则平均数也增加3，方差不变 C. 若样本数据增加两个数值，且，则极差变大 D. 若样本数据增加两个数值，且，则中位数不变 10. 一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有1~9这9个数字（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件.下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件对立 C. 事件与事件相互独立 D. 11. 如图，在正方体中，点是棱的中点，点是线段上的一个动点，则以下叙述中正确的是（ ） A. 直线平面 B. 直线不可能与平面垂直 C. 直线与所成角为定值 D. 三棱锥的体积为定值 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 从，，，中任取个不同的数，则取出的个数之和为5的概率为________. 13. 一艘海轮从处出发，以每小时60海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达处.在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么两点间的距离是________海里. 14. 已知点，，均位于单位圆（圆心为，半径为1）上，且，则___________；的最大值为___________. 四、解答题(本大题共5个大题，共77分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 已知，是夹角为的两个单位向量，，. （1）求与的夹角； （2）若与（）互相垂直，求的值. 16. 某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间､､……､､. （1）求频率分布直方图中的值，并估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率； （2）从评分在的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率； （3）估计这50名学生对个性化作业评分的平均数.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） 17. 如图，在三棱锥中，，分别为棱的中点，平面平面.求证： （1）∥平面； （2）平面平面. 18. 刍（chú）甍（méng）是几何体中的一种特殊的五面体.中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.求积术曰：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形为长方形，平面，和是全等的等边三角形. （1）求证：； （2）若已知， ①求二面角的余弦值； ②求该五面体的体积. 19. 在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，是边上一点. （1）求的值； （2）若. ①求证：平分； ②求面积的最大值及此时的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $