精品解析：安徽省合肥市第八中学2024届高三“最后一卷”数学试题

合肥八中2024届高三“最后一卷” 数学试题 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若 ，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 某校运动会，一位射击运动员10次射击射中的环数依次为：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8．则下列说法错误的是（ ） A. 这组数据的平均数为8 B. 这组数据的众数为7 C. 这组数据的极差为4 D. 这组数据的第80百分位数为9 3. 若x，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知点 在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆面叫做球冠的底，垂直于圆面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球冠也可看作圆弧绕过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面．假设球面对应球的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积公式为．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2023年12月21日21时35分，经过约7.5小时的出舱活动，航天员汤洪波、唐胜杰已安全返回天和核心舱，神舟十七号航天员乘组第一次出舱活动取得圆满成功．若航天员汤洪波出舱后站在机械臂上，以背后的地球为背景，如图所示，面向镜头招手致意，此时汤洪波距离地球表面约为400km（图中的点A处），设地球半径约为Rkm，则此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列各项为正数，满足，，若 ，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线 ，、分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段与y轴交于点E，，线段的中点H满足，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z，，，下列结论正确的有（ ） A. 若复数z满足，则 B. 若，z满足，则 C. 若，则 D. 若复数z满足，则z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆 10. 群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的a、，有； ②、b、，有； ③，使得，有，e称为单位元； ④，，使，称a与b互为逆元． 则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（ ） A. 关于数的乘法构成群 B. 自然数集N关于数的加法构成群 C. 实数集R关于数的乘法构成群 D. 关于数的加法构成群 11. 已知函数，对任意的都有，且（其中e为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 是的极小值点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则______． 13. 除数函数（divisor function）的函数值等于n的正因数的个数，例如，，．则______． 14. 已知函数，若对任意恒成立，则正数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，直四棱柱各棱长均为2，，O是线段BD的中点． （1）求点O到平面的距离； （2）求直线AB与平面所成角的正弦值． 16. 已知函数，角A为△ABC的内角，且． （1）求角A的大小； （2）如图，若角A为锐角， ，且△ABC的面积S为，点E、F为边AB上的三等分点，点D为边AC的中点，连接DF和EC交于点M，求线段AM的长． 17. 混养不仅能够提高水产养殖的收益，还可以降低单一放养的病害风险，提高养殖效益．某鱼塘中有A、B两种鱼苗．为了调查这两种鱼苗的所占比例，设计了如下方案：①在该鱼塘中捕捉50条鱼苗，统计其中鱼苗A的数目，以此作为一次试验的结果；②在每一次试验结束后将鱼苗放回鱼塘，重复进行这个试验n次（其中 ），记第i次试验中鱼苗A的数目为随机变量 ；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该鱼塘中鱼苗A的数目为M，鱼苗B的数目为N，其中 ，每一次试验都相互独立． （1）在第一次试验中，若捕捉的50条鱼苗中鱼苗A的数目有20条，记录员逐个不放回的记录鱼苗的种类，求第一次记录的是鱼苗A的条件下，第二次记录的仍是鱼苗A的概率； （2）已知，， （i）证明：，； （ii）试验结束后，记的实际取值分别为，平均值和方差分别记为、，已知其方差．请用和分别代替和，估算和． 18. 已知抛物线 ，点 在抛物线 上． （1）证明：以R为切点的 的切线的斜率为； （2）过 外一点A（不在x轴上）作 的切线AB、AC，点B、C为切点，作平行于BC的切线（切点为D），点、分别是与AB、AC的交点（如图）． （i）若直线AD与BC的交点为E，证明：D是AE的中点； （ii）设三角形△ABC面积为S，若将由过 外一点的两条切线及第三条切线（平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如．再由点、确定的切线三角形，，并依这样的方法不断作1，2，4，…，个切线三角形，证明：这些“切线三角形”的面积之和小于 ． 19. 贝塞尔曲线（Be'zier curve）是一种广泛应用于计算机图形学、动画制作、CAD设计以及相关领域的数学曲线．它最早来源于Bernstein多项式．引入多项式 ，若是定义在上的函数，称 ， 为函数的n次Bernstein多项式． （1）求在上取得最大值时x的值； （2）当 时，先化简，再求的值； （3）设 ，在内单调递增，求证：在内也单调递增． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥八中2024届高三“最后一卷” 数学试题 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：高考范围. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，若 ，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几集合中的元素化简集合，再根据集合间的关系即可得实数a的取值范围. 【详解】因为集合，， 若 ，则 ，故实数a的取值范围是. 故选：B. 2. 某校运动会，一位射击运动员10次射击射中的环数依次为：7，7，10，9，7，6，9，10，7，8．则下列说法错误的是（ ） A. 这组数据的平均数为8 B. 这组数据的众数为7 C. 这组数据的极差为4 D. 这组数据的第80百分位数为9 【答案】D 【解析】 【分析】利用众数、中位数、极差、百分位数的定义，根据条件逐一对各个选项分析判断即可得出结果. 【详解】这组数据的平均数为，故A正确； 这组数据的众数为7，故B正确； 这组数据的极差为，故C正确； 将这组数据按照从小到大的顺序排列为， 因为， 所以这组数据的第80百分位数为，故D错误. 故选：D. 3. 若x，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】等价变形，然后构造函数得出，解不等式得，再利用充分条件和必要条件的定义，即可得解. 【详解】设命题p：，命题q： 对于命题p，因为，所以，， 构造函数，易知在R上为增函数，所以； 对于命题q，因为，所以，即； 所以为假命题，为真命题； 所以p是q的必要不充分条件; 故选：B. 4. 已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，且圆在椭圆内，则确定与圆相切时取得最小值，即可求解. 【详解】由题意知，，且圆在椭圆内， 当与圆相切时，取得最小值， 此时， 所以， 所以的最小值为. 故选：A 5. 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆面叫做球冠的底，垂直于圆面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球冠也可看作圆弧绕过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面．假设球面对应球的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积公式为．据中国载人航天工程办公室消息，北京时间2023年12月21日21时35分，经过约7.5小时的出舱活动，航天员汤洪波、唐胜杰已安全返回天和核心舱，神舟十七号航天员乘组第一次出舱活动取得圆满成功．若航天员汤洪波出舱后站在机械臂上，以背后的地球为背景，如图所示，面向镜头招手致意，此时汤洪波距离地球表面约为400km（图中的点A处），设地球半径约为Rkm，则此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，结合公式计算即可求解. 【详解】如图，km， 由，得，又， 则，得， 所以（）. 即此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为（）. 故选：D 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和差的余弦公式化简，再根据结合两角差的余弦公式化简即可得解. 【详解】由， 得， 故 所以 . 故选：C. 7. 已知数列各项为正数，满足，，若 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，得，再结合，可得，进而可得数列是等差数列，即可求出的通项，从而可求出数列的通项，再利用裂项相消法求解即可. 【详解】因为 ，，所以， 因为，所以，， 即， 所以数列是等差数列， 又 ，，所以 ， 所以数列的公差为，首项为， 所以，所以， 所以，则， 所以. 故选：C. 8. 已知双曲线 ，、分别为左、右焦点，若双曲线右支上有一点P使得线段与y轴交于点E，，线段的中点H满足，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，设，表示出的方程求得，则，由表示出P的坐标，代入双曲线方程，整理计算即可求解. 【详解】由，得的横坐标为，设， 则直线的方程为，令，得，即， 所以线段的中点，则， 由，得，则， 即，代入双曲线方程得， 即，整理得， 由，解得. 故选：A 【点睛】思路点睛：解答本题的思路是根据点的坐标表示出点 的坐标，由中点坐标公式表示出点的坐标，结合平面向量数量积的坐标表示求得，代入双曲线方程计算即可. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数z，，，下列结论正确的有（ ） A. 若复数z满足，则 B. 若，z满足，则 C. 若，则 D. 若复数z满足，则z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆 【答案】ABD 【解析】 【分析】A根据的条件，得出 可以判断；B根据复数相等的充要条件即可求解；C举反例可求解；D令，再结合椭圆的定义可以求解. 【详解】对于A选项，令， 因为，所以，即，所以，故A正确； 对于B选项，令， 因为，所以或 ， ； ； 因为，所以， 因为或，所以， 所以，故B正确； 对于C选项，令，易知，所以，故C错误； 对于D选项，令，因为， 所以， 由椭圆定义可得z在复平面内所对应点的轨迹是椭圆，故D正确， 故选：ABD. 10. 群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件： ①对所有的a、，有； ②、b、，有； ③，使得，有，e称为单位元； ④，，使，称a与b互为逆元． 则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（ ） A. 关于数的乘法构成群 B. 自然数集N关于数的加法构成群 C. 实数集R关于数的乘法构成群 D. 关于数的加法构成群 【答案】AD 【解析】 【分析】根据“”运算的定义，结合集合中元素与集合的关系判断，对每个选项逐一判断即要可． 【详解】对于A选项，对所有的、，有，且满足①乘法结合律； ②，使得，有； ③，，有，故A正确； 对于B选项，①自然数满足加法结合律； ②，使得，有； 但是对于，，不存在，使，故B错误； 对于C选项，对所有的、，有， ①实数满足加法结合律； ②，使得，有； 但对于，，不存在，使，故C错误； 对于D选项，对所有的、，可设，，， ，，， 则， ①满足加法结合律，即、、，有； ②，使得，有； ③，设， ，，，使，故D正确． 故选：AD． 11. 已知函数，对任意的都有，且（其中e为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. 是偶函数 D. 是的极小值点 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意，合理巧妙赋值，即可判断ABC；根据构造函数，利用导数研究的性质即可判断D. 【详解】A：令，得，解得， 令，得，解得，故A正确； B：令，得，又，所以，故B正确； C：令，得，所以为奇函数，故C错误； D：由，得， 设函数，则， 当 时，，令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 是的极大值点，故D错误. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，本题的关键是：根据，构造函数. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算与向量垂直的坐标运算列方程求解即可. 【详解】因为，， 由可得， 解得. 故答案为：. 13. 除数函数（divisor function）的函数值等于n的正因数的个数，例如，，．则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义写出的质数因数，即可得解. 【详解】因为，它的因数形如， 其中， 所以不同的因数有个，即. 故答案为：. 14. 已知函数，若对任意恒成立，则正数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】一方面，通过题设条件可以证明；另一方面，在的情况下又可证明题设条件成立，这就得到了的取值范围是. 【详解】一方面，如果对任意有： 设，则对任意有 ，从而由知. 假设，则由零点存在定理知存在使得. 但由又有，矛盾，所以. 代入得到，从而，解之，得到； 另一方面，如果： 设，则. 从而当时 ，当时. 所以在上递减，在上递增. 当时，有， 且. 所以，这就意味着， 展开即，此即，故. 综上，的取值范围是. 【点睛】方法点睛：分类讨论是求取值范围的典型方法. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，直四棱柱各棱长均为2，，O是线段BD的中点． （1）求点O到平面的距离； （2）求直线AB与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，以点 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （2）利用向量法求解即可. 【小问1详解】 连接，由题意，点 为的交点， 连接交于点，连接，则平面， 因为四边形为菱形，则， 如图，以点 为原点，建立空间直角坐标系， 在中，，则为等边三角形，则， 则， 故， 设平面的法向量为，则有，可取， 则点O到平面的距离为； 【小问2详解】 ，故， 则， 即直线AB与平面所成角的正弦值为． 16. 已知函数，角A为△ABC的内角，且． （1）求角A的大小； （2）如图，若角A为锐角， ，且△ABC的面积S为，点E、F为边AB上的三等分点，点D为边AC的中点，连接DF和EC交于点M，求线段AM的长． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再根据即可得解； （2）先根据三角形的面积公式求出边，再将用表示，结合数量积的运算律即可得解. 【小问1详解】 ， 则， 因为，所以 ，所以， 所以或； 【小问2详解】 若角A为锐角，则， 设角 的对边分别为 ， 则，所以， 如图，连接 ， 因为点E、F为边AB上的三等分点，所以 为 的中点， 因为点D为边AC的中点，所以点为的重心， 则， 所以， 又， 所以， 即线段AM的长为． 17. 混养不仅能够提高水产养殖的收益，还可以降低单一放养的病害风险，提高养殖效益．某鱼塘中有A、B两种鱼苗．为了调查这两种鱼苗的所占比例，设计了如下方案：①在该鱼塘中捕捉50条鱼苗，统计其中鱼苗A的数目，以此作为一次试验的结果；②在每一次试验结束后将鱼苗放回鱼塘，重复进行这个试验n次（其中 ），记第i次试验中鱼苗A的数目为随机变量 ；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该鱼塘中鱼苗A的数目为M，鱼苗B的数目为N，其中 ，每一次试验都相互独立． （1）在第一次试验中，若捕捉的50条鱼苗中鱼苗A的数目有20条，记录员逐个不放回的记录鱼苗的种类，求第一次记录的是鱼苗A的条件下，第二次记录的仍是鱼苗A的概率； （2）已知，， （i）证明：，； （ii）试验结束后，记的实际取值分别为，平均值和方差分别记为、，已知其方差．请用和分别代替和，估算和． 【答案】（1） （2）（i）由题可得， ，2， ， 都近似服从完全相同的二项分布， 则 ， ， ， ， 所以 ， ； （ii）， 【解析】 【分析】（1）设事件 ：“第一次记录的是鱼苗”，事件 ：“第二次记录的是鱼苗”，然后根据题意求出 和 ，再利用条件概率公式即可求得所求概率； （2）（i）由题意可得， ，2， ， 都近似服从完全相同的二项分布，则 ， ，然后利用期望和方差的公式计算即可得证； （ii）由（i）可知 ，则的均值，的方差，然后结合题意即可求解． 【小问1详解】 设事件 ：“第一次记录的是鱼苗”，事件 ：“第二次记录的是鱼苗”， 由题意可得，，， 所以； 【小问2详解】 （i）略 （i i）解：由（i）可知 ，则的均值， 的方差， 所以，解得或 ， 又 ，则 ， 所以，． 18. 已知抛物线 ，点 在抛物线 上． （1）证明：以R为切点的 的切线的斜率为； （2）过 外一点A（不在x轴上）作 的切线AB、AC，点B、C为切点，作平行于BC的切线（切点为D），点、分别是与AB、AC的交点（如图）． （i）若直线AD与BC的交点为E，证明：D是AE的中点； （ii）设三角形△ABC面积为S，若将由过 外一点的两条切线及第三条切线（平行于两切线切点的连线）围成的三角形叫做“切线三角形”，如．再由点、确定的切线三角形，，并依这样的方法不断作1，2，4，…，个切线三角形，证明：这些“切线三角形”的面积之和小于 ． 【答案】（1） 设是以 为切点的 的切线，则. 由于该直线和 有唯一公共点，故联立后的方程组只有唯一解. 从而将第一个方程代入第二个，得到的方程只有唯一解. 此方程展开即为 ，从而，所以. （2）（i）设，，则. 根据上一小问的结论，可知 在 和处的切线分别是和. 联立两直线解得，所以. 由于不在 轴上，所以 ，故，所以 的纵坐标是，从而. 而，在 外， 在 上，所以直线 的方程是. 这表明该直线通过的中点，所以直线 与的交点 就是的中点，即. 而，，故 的中点坐标为，这就是点 的坐标，所以 是 的中点. （ii）由于 是 的中点，和平行，故分别是 的中点. 所以，. 首先有. 从而，. 而，故根据点的一般性可知对 外的任意一点，该点确定的切线三角形的面积为. 再由，，可知，同理. 这就表明，不断作个切线三角形后，第次作的所有切线三角形的面积均为任意一个第 次作的切线三角形的面积的. 而 ，所以第次作的切线三角形的面积均为 . 设所有切线三角形的面积之和为，由于第次作的切线三角形的个数为，故. 从而，这就得到 ， 所以 ，即 ，结论得证. 【解析】 【分析】（1）设出切线方程并和抛物线联立，再由方程有唯一解得到结论； （2）使用（1）的结论即可直接得到（i）的结论；求出每次作的切线三角形的面积与前一次作的切线三角形的面积的比值，从而确定每个切线三角形的面积，然后即可证明（ii）. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对抛物线性质的使用和探究. 19. 贝塞尔曲线（Be'zier curve）是一种广泛应用于计算机图形学、动画制作、CAD设计以及相关领域的数学曲线．它最早来源于Bernstein多项式．引入多项式 ，若是定义在上的函数，称 ， 为函数的n次Bernstein多项式． （1）求在上取得最大值时x的值； （2）当 时，先化简，再求的值； （3）设 ，在内单调递增，求证：在内也单调递增． 【答案】（1） （2） ， （3） 由， 上式 ， 而在内单调递增，所以， 所以，故 ， 所以在内也单调递增． 【解析】 【分析】（1）求导，进而可求出函数的单调区间，即可得解； （2）根据Bernstein多项式及函数的n次Bernstein多项式的定义化简即可求出，再令即可得解； （3）根据及函数的n次Bernstein多项式的定义求导并化简，再根据在内单调递增，可得，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意，， 则 令 ，得， 当时， ，当 时， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，在上取得最大值； 【小问2详解】 ， 所以； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：理解Bernstein多项式及函数的n次Bernstein多项式的定义是解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $